Tuyển tập các bài toán cực trị bồi dưỡng học sinh giỏi thcs

Chương 1 Các bài toán c ực trị về tam giác 1.1 Gi ản lược kiến thức cơ bản Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng được gọi là bài toán cực trị.. Đường vu

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023

Môc lôc

Trang

PHẦN 1 HÌNH HỌC

Chuyên đề 1 Các bài toán cực trị về tam giác

Chuyên đề 2 Các bài toán cực trị về tứ giác, đa giác

Chuyên đề 3 Các bài toán cực trị về đường tròn

PHẦN 2 SỐ HỌC, ĐẠI SỐ

Chuyên đề 4 Các bài toán cực trị về số học

Chuyên đề 5 Các bài toán cực trị về biểu thức một biến

Chuyên đề 6 Các bài toán cực trị về biểu thức nhiều biến

Chương 1

Các bài toán c ực trị về tam giác

1.1 Gi ản lược kiến thức cơ bản

Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng được gọi là bài toán cực trị

Giả sử A là một biểu thức (một biến hoặc nhiều biến)

a) số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của A nếu thỏa mãn 2 điều kiện:

• A≥m với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định biểu thức A;

• Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m

Kí hiệu: m=minA

b) số M được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu thỏa mãn hai điều kiện:

• A M≤ với mọi giá trị của biến thuộc tập xác định biểu thức A;

• Tồn tại một giá trị của biến để A nhận giá trị m

Kí hiệu: M =max A

B ất đẳng thức tam giác

a) Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có AB+AC≥BC

Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi A thuộc đoạn thẳng BC

b) Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc bất kì có hai đầu là A và B

Đường vuông góc, đường xiên

a) Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài

ngắn nhất

b) Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn

hơn và ngược lại

Quan h ệ giữa cạnh và góc trong tam giác

a) Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại

b) Đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau và ngược lại

Các h ệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

a) Cho tam giác ABC vuông t ại A, có đường cao

• sinα =cos ; cosβ α =sinβ

• tanα =cot ; cotβ α =tanβ

H ệ thức lượng trong tam giác thường

Cho tam giác ABC bất kì với AH là đường cao

Định lý Heron (Hêrông)

Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B nằm về cùng một nửa mặt

phẳng có bờ là xy (A, B không thuộc xy)

Điểm C thuộc đường thẳng xy Khi đó AC + CB nhỏ nhất

⇔ AC và BC tạo bởi xy các góc bằng nhau

Chú ý: Hêrông là nhà toán học Hy Lạp sống ở thành phố cổ A – lếch – xan – đri vào thế kỉ thứ nhất sau

Công Nguyên

Chu vi – Di ện tích

a) Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất

b) Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất

c) Cho tam giác ABC có AB=c BC, =a CA, =b a, + + =b c 2p ; rlà bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1: Cho hai làng A và B nằm về một phía của một bờ sông thẳng Hãy tìm một vị trí M trên bờ sông để

xây một cây cầu sao cho tổng các khoảng cách MA + MB có độ dài bé nhất

Hướng dẫn

Giả sử hai bờ sông là a và b

Gọi A′ là điểm đối xứng của A qua bờ a

A B′ giao cắt bờ sông a tại M thì M chính là vị trí đầu cầu M cần xác định (của cây cầu MN vuông góc với 2

bờ sông a, b)

Thật vậy, áp dụng định lý Hêrông, ta có MA+MB< AC+CBvới C là vị trí khác M trên bờ a

Bài 2: Cho góc nhọn xOy và m ột điểm M nằm trong góc đó Hãy tìm trên Ox một điểm A, trên Oy một điểm

B sao cho tam giác AMB có chu vi bé nhất

Hướng dẫn

Gọi N, P tương ứng là các điểm đối xứng của M qua Ox và Oy

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của NP với Ox và Oy

Khi đó, tam giác AMB có chu vi bé nhất Thật vậy, nếu C là 1

điểm trên Ox, C khác A, và D là 1 điểm trên Oy, D khác B

Bài 3: Cho góc nhọn xOy và hai điểm A, B phân biệt nằm ở trong góc  xOy Hãy xác định điểm M trên cạnh

Ox và điểm N trên cạnh Oy sao cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ nhất

Hướng dẫn

DựngA′ đối xứng với điểm A qua cạnh Ox

Dựng B′ đối xứng với điểm B qua cạnh Oy

Dựng đường thẳng đi qua hai điểm A B′ ′, Đường thẳng này cắt

Ox, Oy l ần lượt tại M, N

Ta có độ dài đường gấp khúc AMNB bằng 1

1= AM +MN +NB= A M′ +MN +NB′= A B′ ′

Các điểm M, N chính là các điểm cần xác định thỏa yêu cầu bài toán

Bài 4: Cho góc nhọn xOy và hai điểm A và B nằm ở miền trong góc đó Hãy xác định điểm N trên tia Oy và

điểm M trên tia Ox sao cho đường gấp khúc ANMB có độ dài nhỏ nhất

Hướng dẫn

DựngA′ đối xứng với điểm A qua cạnh Oy Dựng B′ đối xứng với điểm B qua cạnh Ox Đường thẳng A B′ ′

cắt Oy và Ox tương ứng tại N và M thì có độ dài đường ANMB thỏa mãn

Bài 5: Cho trước đoạn thẳng BC và một độ dài h Hãy dựng điểm A cách đường thẳng BC một đoạn bằng h

sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất

Hướng dẫn

Điểm A cách BC một khoảng bằng h

Do đó, A thuộc đường thẳng xy song song với BC và cách BC một

khoảng h

Xét chu vi (ABC)=BC+AB+AC vì BC không đổi nên chu vi

(ABC) nhỏ nhất⇔(AB+AC) nhỏ nhất

Bài toán đưa về tìm A trên xy sao cho BA + CA nhỏ nhất, B và C nằm về cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy

Áp dụng định lý Herông, ta dựng được điểm A thuộc xy và tam giác ABC cân tại A

Bài 6: Cho đoạn thẳng BC cố định Điểm A thay đổi sao cho tổng các khoảng cách AB+BC=a(không

đổi) Hãy tìm trong số tất cả các tam giác ABC thỏa mãn điều kiện trên, một tam giác có diện tích lớn nhất

Nếu tam giác DBC có cùng diện tích S, thì A và D thuộc đường thẳng xy song song với BC

Theo bài toán trên đây, ta có DB+DC > AB+AC =a

Nếu tam giác DBC có diện tích S′ >S

Khi đó, trong số các tam giác có cạnh BC cố định và cùng diện tích S ′ thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất

Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nh ọn Hãy tìm trên các cạnh BC, CA, AB các điểm tương ứng M, N, P

sao cho tam giác MNP có chu vi nhỏ nhất

Hướng dẫn

Trước hết, nhận xét: nếu cố định điểm M trên cạnh BC thì tam

giác MNP có chu vi nhỏ nhất ⇔ N P, tương ứng là giao điểm của

M M′ ′′với các cạnh AB, AC, trong đó M M′, ′′ tương ứng là các điểm đối

xứng của M qua AB và AC (xem bài 1)

Bài toán đưa về dựng điểm M trên cạnh BC để đoạn thẳng M M′ ′′có độ dài

Suy ra cách dựng như sau:

- Dựng K, L lần lượt là các điểm đối xứng với H qua các cạnh AB và AC

- Đường thẳng KL cắt AB, AC tương ứng tại N, P Ta có tam giác HNP có chu vi bé nhất thỏa mãn yêu cầu

đề bài

Nhận xét: Xét tam giác HNP Ta có NB là phân giác góc ngoài tại N, PC là phân giác góc ngoài tại đỉnh P,

hai phân giác này cắt nhau tại A, suy ra HA là phân giác của góc trong tại đỉnh H

Ta lại có BC ⊥ AH, suy ra HB là phân giác của góc ngoài tại đỉnh H, mà HB cắt PC tại C Do đó, NC là

phân giác trong của góc N

Lập luận tương tự, ta có BP⊥ AC

Vậy tam giác HNP có chu vi nhỏ nhất chính là tam giác có ba đỉnh H, N, P tương ứng là chân ba đường cao

AH, CN, BP của tam giác ABC

Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Xét tập hợp các tam giác MNP nội tiếp tam giác ABC Ba đỉnh

M, N, P nằm trên ba cạnh của tam giác Hãy tìm tam giác có chu vi nhỏ nhất

Hướng dẫn

Xem nhận xét bài toán 7 trên đây

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c AC, =b Điểm M di động trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt

là hình chiếu của điểm M trên các cạnh AB, AC Xác định vị trí điểm M để EF có độ dài nhỏ nhất Tính giá

+

Bài 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Điểm M bất kì thuộc cạnh BC Gọi E, F lần lượt là hình chiếu

của điểm M trên các cạnh AB và AC Xác định vị trí điểm M để đoạn thẳng EF có độ dài nhỏ nhất

Ta có EKF =2BAC⇒EF = AM.sinBAC

Ta có sin BAC không đổi, do dó, EF nhỏ nhất

AM

Bài 11: Cho góc vuông xAy và một điểm C thuộc miền trong của góc vuông Hãy dựng qua C một đường

thẳng d cắt cạnh Ax tại M và cắt cạnh Ay tại N (M, N khác A) sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn

Gọi K là hình chiếu của C trên cạnh Ax

Dựng điểm M trên Ax sao cho K là trung điểm của AM

Đường thẳng MC cắt cạnh Ay tại N Ta có đường thẳng MN chính

là đường thẳng phải dựng

Thật vậy, giả sử đường thẳng PQ bất kì qua C, P thuộc Ax, Q thuộc

Ta cần chứng minh S AMN <S APQ

Nhận xét C không thể là trung điểm của PQ vì C là trung điểm

Vậy ta có tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất

Bài 12: Cho góc xAy khác góc bẹt và một điểm C thuộc miền trong góc đó Hãy dựng qua C đường thẳng d

cắt các cạnh Ax Ay, lần lượt tại các điểm M và N khác A sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn

Qua C vẽ đường thẳng song song với Ay, cắt Ax tại K

Gọi M là điểm trên cạnh Ax sao cho K là trung điểm của AM

Dựng đường thẳng MC cắt Ay tại N

Ta có đường thẳng MN chính là đường thẳng phải dựng

giác AMN có diện tích nhỏ nhất

Bài 13: Cho đoạn thẳng BC cố định và một đường thẳng d song song với BC Hãy dựng điểm M trên d sao

cho tam giác BMC có chu vi bé nhất

Hướng dẫn

Xem bài 5

Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Điểm M di động trên cạnh BC, M khác B và C Gọi P, Q tương

ứng là hình chiếu của các điểm B và C lên đường thẳng AM Xác định vị trí của M để (BP+CQ) có giá trị

Bài 15: Cho tam giác ABC Đường thẳng d bất kì đi qua A không cắt cạnh BC Gọi P,Q lần lượt là hình

chiếu của điểm B và C lên đường thẳng d Tìm đường thẳng d thỏa mãn (BP+CQ) có giá trị lớn nhất

Hướng dẫn

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng BC và PQ

Ta có MN là đường trung bình của hình thang BCQP

⇔ d vuông góc với trung tuyến AM tại A

Bài 16: Cho tam giác ABC Đường thẳng d bất kì đi qua A không cắt cạnh BC Gọi P, Q lần lượt là hình

chiếu của điểm B và C lên đường thẳng d Tìm đường thẳng d sao cho(BP+CQ) có giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn

Làm tương tự bài 15, ta có ⇒min(BP+CQ)=2AH

Bài 17: Cho tam giác ABC có AB=c BC, =a CA, =b Điểm M bất kì nằm trong tam giác ABC Gọi

Ta có 1 2 3 ( )

12

Bài 18: Cho tam giác ABC; điểm M bất kì nằm trong tam giác Tia AM cắt cạnh BC tại A′, tia BM cắt cạnh

CAM BAM CAM BAM

1 2 3

Bài 19: Cho đoạn thẳng AB=2a cố định Điểm M di động trên một nửa mặt phẳng có bờ AB sao cho tam

AMB Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=KH KM

max P=a ⇔BK =KA⇔ Klà trung điểm của đoạn AB

Khi đó tam giác AMB cân tại M

Bài 20: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, vẽ các đoạn IH IK IL, , lần

Bài 21: Cho tam giác ABC Hãy tìm điểm M thuộc miền tam giác ABC sao cho biểu thức

P= AM BC+BM CA+CM AB có giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó, cho biết diện tích tam giác

ABC bằng S

Hướng dẫn

Vì tam giác ABC bất kì, nên cần xét ba trường hợp

Trường hợp 1) Tam giác ABC có ba góc nhọn

Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của B và C lên đường thẳng AM

AM ⊥BC BM ⊥ AC CM ⊥ AB⇔M là trực tâm của tam giác ABC

Trường hợp 2) Tam giác ABC vuông, chẳng hạn góc  90A= °

Khi đó lập luận giống trường hợp thứ nhất, ta có M trùng với A, khi

đó minP=2.AB AC =4S

Trường hợp 3) Tam giác ABC có một góc tù, chẳng hạn góc  90A> °

Vẽ tia Ax vuông góc với AC, Ax và AB thuộc cùng một

nửa mặt phẳng có bờ AC Lấy điểm P thuộc tia Ax sao cho

AP= AB

Ta có ∆ABP cân tại A,

nên ABP=APB

Bài 22: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 đơn vị dài Điểm D bất kì trên cạnh BC, D khác B và C Gọi

1

r và r l2 ần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và ACD

Xác định vị trí của điểm D sao cho tích P=r r1.2 có giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó

Hướng dẫn

Đặt BD=x thì CD= −1 x

Gọi E là hình chiếu của D trên cạnh AB

Xét tam giác vuông BDE có EBD=60°

1.cos 60

2

3.sin 60

⇒ = − ⇔ = ⇔ là trung điểm của BC

Bài 23: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh góc vuông AB= AC =a Gọi M là trung điểm của cạnh BC

Một góc  45xMy= ° xoay quanh điểm M, các cạnh Mx My, cắt một hoặc hai cạnh góc vuông AB AC, tại các

điểm E và F

Xác định vị trí các điểm E và F để cho tam giác MEF có diện tích lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó theo a

Hướng dẫn

Xét hai trường hợp

1) E và F cùng thuộc một cạnh góc vuông, chẳng hạn cạnh AC

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các cạnh AB và AC

Ta có MF <MA MQ, <ME

Trên đoạn ME, lấy điểm I sao cho MI =MQ

Ta có: KMI +IMQ =45° =QMF +IMQ

Bài 24: Cho ba tam giác ABC có ba góc nhọn Dựng hình chữ nhật MNPQ với M, N thuộc cạnh BC, điểm P

thuộc cạnh AC, điểm Q thuộc cạnh AB Xác định vị trí các điểm M, N, P, Q để cho hình chữ nhật MNPQ có

giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất, cho biết diện tích tam giác ABC là S

Vậy khi M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH, P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của AB,

thì hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất và bằng

2

S

Bài 25: Cho tam giác ABC có góc A=30 ,° AB=c AC, = Trung tuyến AM Gọi G là trọng tâm của tam b

giác ABC Đường thẳng ( )d quay xung quanh điểm G, ( )d cắt cạnh AB tại P và cắt cạnh AC tại Q

b) Đặt AP= x Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x

c) Với các giá trị nào của x thì diện tích tam giác APQ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

  và x1 > x2 Đặt x2 = x thì x1 = x2 + với h h>0

⇒ =

Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=c AC, =b Điểm M di động trên cạnh BC, M khác B và C

Gọi D, E tương ứng là hình chiếu của điểm M Trên các cạnh AB và AC Kí hiệu diện tích tam giác BDM là

Vậy: Khi M là trung điểm của BC thì (S1+S2)nhỏ nhất và min( 1 2)

2 4 4

bc bc bc

S +S = − =

Bài 27: Cho trước tam giác ABC Điểm O bất kì nằm trong tam giác ABC Gọi D E F, , lần lượt là hình

chiếu của điểm O lên các cạnh BC, CA và AB Xác dịnh vị trí của điểm O để tích P=OD OE OF đạt giá trị

Do a OD =b OE =c OF ⇒BM =CM ⇒M là trung điểm của BC

Lập luận tương tự, ta có N là trung điểm AC và L là trung điểm của AB

Do đó O là trọng tâm của tam giác ABC thì tích P có giá trị lớn nhất

Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại C Vẽ các trung tuyến AE và BF Đặt AE =m BF, =n Gọi r là bán

kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 29: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính r Kẻ các tiếp tuyến của đường tròn tâm

O, song song với ba cạnh của tam giác ABC, các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác ABC ba tam

giác nhỏ có diện tích lần lượt là S S S1, 2, 3 Gọi S là diện tích tam giác ABC Tìm điều kiện của tam giác

Trong đó h là chi1 ều cao của tam giác AMN ứng với cạnh MN, h là chi a ều cao của tam giác ABC ứng với

cạnh BC

Ta có

1 1

b) Với giá trị nào của k thì S MNP đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó theo S

2 21

k k

MinS = ⇔M N P tương ứng là trung điểm các cạnh AB BC CA, ,

Bài 31: Xét tam giác ABC có chu vi bằng 24 đơn vị dài Gọi đường tròn(O r n; ) ội tiếp tam giác ABC Gọi

điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho MN tiếp xúc với đường tròn(O r và MN song song ; )

với BC Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện gì để đoạn thẳng MN có giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó

Ta có: BC+(12−BC)≥2 (12−BC BC) ⇒(12−BC BC) ≤36

36

3 3 1212

Bài 32: Cho tam giác ABC có ba góc nh ọn Điểm M bất kì nằm trong tam giác Gọi D E F, , lần lượt là hình

chiếu của M lên các cạnh BC, CA và AB Chứng tỏ rằng: Khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ M

đến ba đỉnh của tam giác không nhỏ hơn hai lần khoảng cách bé nhất từ điểm M đến ba cạnh của tam giác

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài 33: Ở một quốc gia thuộc liên minh châu Âu có 100 phi trường, mà khoảng cách giữa các phi trường

nào cũng khác nhau Mỗi máy bay cất cánh từ một phi trường bay đến phi trường gần nó nhất Chứng tỏ

rằng, tại mỗi phi trường bất kì của quốc giá đó, có không nhiều hơn 5 máy bay đáp xuống phi trường đó

Hướng dẫn

Bằng phương pháp phản chứng

Giả sử ngược lại, có một phi trường nào đó, kí hiệu là O thỏa

mãn có nhiều hơn 5 máy bay đáp xuống O Điều này có nghĩa, có

1, 2, 3, 4, 5, 6

A A A A A A đáp xuống O là sân bay gần với chúng nhất

(theo giả thiết)

Nhưng khi đó, theo giả thiết, máy bay cất cánh từ phi trường A s2 ẽ phải bay đến phi trường A mà không th1 ể

bay đến phi trường O (vô lí)

Trong trường hợp A OA1 2 = ° , t0 ức là ba phi trường A O A th1, , 2 ẳng hàng Giả sử A n2 ằm ở giữa O và A thì 1

1 2 1

A A < A O(vô lí) Điều vô lí đó chứng tỏ, tại một phi trường không có nhiều hơn 5 máy bay đáp xuống

Bài 34: Hai thị trấn A và B ở hai phía của một con sông (Hai bờ sông a và b được xem như là hai đường

thẳng song song) Hãy tìm một vị trí để xây một cây cầu (vuông góc với hai bờ sông) để sao cho quãng

đường đi từ thị trấn A đến thị trấn B là ngắn nhất

Hướng dẫn

Tham khảo cách giải qua hai hình vẽ sau đây

Giả sử khoảng cách giữa hai bờ sông a, b là h

Dựng điểm P sao cho BP=h và BP⊥b

Nối AP cắt bờ sông a tại K Vẽ KM ⊥b thì KM là vị trí xây cầu

Thật vậy, KM / /BP KM, =BP=h nên tứ giác BMKP là hình bình hành, do đó MB=KP

Khoảng cách từ A đến B, l = AK+KM +MB= +h AP

Nếu xây cầu ở vị trí khác, chẳng hạn cầu LN, thì khoảng cách từ A đến B là

AL+LN +NB= +h AL+LP> +h AP

Bài 35:

Hình vẽ bên cho biết hai làng A và B cách nhau hai con kênh

Con kênh thứ nhất có hai bờ là a và b song song, khoảng cách

hai bờ kênh bằng h Con kênh thứ hai có hai bờ là c và d song

song với nhau, khoảng cách hai bờ kênh bằng 1 Hãy tìm các

vị trí để xây hai cây cầu trên, vuông góc với bờ kênh sao cho

Như vậy với con kênh hai bờ a, b ta xây cầu tại các vị trí C và D

Với con kênh hai bờ c và d ta xây cầu tại các vị trí E và F

Dễ dàng chứng minh được, khoảng cách giữa hai làng A và B qua hai con kênh bằng: AC+ +h DE+ +l FB

là ngắn nhất

Bài 36: Chứng minh rằng: Trong các tam giác ABC có đáy BC và chiều cao tương ứng với đáy BC không

đổi thì tam giác cân tại A có chu vi nhỏ nhất

Hướng dẫn

Xem cách giải của bài 5

Bài 37:

Trong một thành phố có 10 đường phố song song với nhau,

đồng thời có 10 đường phố khác cắt vuông góc với các đường

phố trên (xem hình vẽ)

Hãy xác định một tuyến xe buýt khép kin đi qua tất cả các giao

lộ của các tuyến phố trên đây trong thành phố mà có một số ít

nhất các khúc quẹo

Hướng dẫn

Chỉ cần chứng tỏ không có một tuyến xe buýt có ít hơn 20 giao lộ mà lại có thể đi qua được tất cả các giao lộ

của thành phố ở sơ đồ trên đây

Thật vậy, cứ sau mỗi lần quẹo, xe buýt lại chuyển từ đường phố nằm ngang sang đường phố chạy dọc, hoặc

là từ đường phố chạy dọc sang đường phố chạy ngang Chính vì vậy, mà số các giao lộ đang từ đường phố

chạy ngang sang đường phố chạy dọc phải bằng số các giao lộ đang từ đường phố chạy dọc sang đường phố

chạy ngang và bằng một nửa số các khúc quẹo của tuyến xe buýt

Bởi vì tại khu phố đã cho của thành phố có 10 đường phố chạy ngang và 10 đường phố chạy dọc, nên nếu có

một tuyến xe buýt khác khép kín có ít hơn 20 khúc quẹo thì sẽ có giao lộ và tuyến xe buýt không chạy qua

Bài 38: Quãng đường từ xã M lên hai thị trấn huyện A và huyện B bằng nhau Trên tuyến đường tỉnh lộ đi

qua xã M và thị trấn B có hai làng C và D (hình vẽ) Từ các làng C và D

đều có đường đến thị trấn huyện A Người dân từ các làng C và D đều có

thể đến giao dịch gửi tiền hoặc vay vốn làm ăn tại một trong hai chi nhánh

của ngân hàng nông nghiệp và phát triển nông thôn đặt tại các thị trấn A

Vì MA=MB⇒DM +MB>DA⇒DB>DA

Do đó, người dân ở làng D đến ngân hàng đặt tại A thì khoảng cách đi

lại gần hơn ngân hàng đặt tại B

Bài 39: Trên một ngọn cây AA′cao 5m có một chú quạ (hình vẽ)

Dưới sân người ra rắc rất nhiều thóc Quạ từ ngọn cây A lao xuông

sân, mổ hạt thóc rồi bay lên đậu trên một hàng ràoBB′cao 2m ở phía

đối diện Hỏi con quạ cần mổ hạt thóc ở vị trí nào trên đường thẳng nối

gốc cây A′với chân hàng rào B′ để khoảng cách quạ phải bay là ngắn nhất

Tính khoảng cách ngắn nhất mà con quạ đã bay, cho biết khoảng cách A B′ ′ là 14m

Hướng dẫn

Gọi D là điểm đối xứng của B qua A B′ ′ AD cắt A B′ ′tại C, thì C chính là

vị trí con quạ cần mổ thóc tại đó cho tổng khoảng cách bay (AC+CB)

ngắn nhất

Để tính AC và CB, ta có hai tam giác AA C′ và BB C′ đồng dạng (g.g)

52

Bài 40: Trong số tất cả các tam giác ABC có ba cạnh AB=c BC, =a CA, =b cho trước, hãy tìm tam giác có

bán kính đường tròn nội tiếp r lớn nhất, biết rằng diện tích S của tam giác ABC được tính theo công thức

Bài 41: Trong một mặt phẳng, cho tập hợp hữu hạn các điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng

Thêm vào đó, mỗi tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong tập hợp các điểm đã cho có diện tích không vượt quá

1 (đơn vị diện tích) Chứng minh rằng tập hợp hữu hạn các điểm đã cho được chứa trong một tam giác có

diện tích không vượt quá 4 (đơn vị diện tích)

Hướng dẫn

Vì tập hợp điểm đã cho là hữu hạn, nên trong số các

tam giác có đỉnh là các điểm của tập hợp điểm đã

cho, gọi ABC là tam giác có diện tích lớn nhất Theo

giả thiết S ABC ≤1 Qua ba đỉnh A B C, , vẽ ba đường

thẳng d d d l1, 2, 3 ần lượt song song với BC, CA và

AB Các đường thẳng d d d 1, 2, 3 đôi một cắt nhau,

tạo thành tam giác A B C′ ′ ′

Ta có S A B C′ ′ ′ =4S ABC ≤4(đvdt)

Các đường thẳng d d d1, 2, 3 đôi một cắt nhau, tạo

thành 6 miền mặt phẳng nằm ngoài tam giác A B C′ ′ ′, kí hiệu là ,I A II A,I B,II B,I C,II C

Giả sử trong tập hợp các điểm đã cho có một điểm nào đó, chẳng hạn điểm D không nằm trong ∆A B C′ ′ ′,

thuộc 1 trong 6 miền trên, chẳng hạn D thuộc miền I A ⇒S BCD >S ABC ⇒ vô lí vì mâu thuẫn với cách chọn

ba điểm A B C, , trong tập hợp đã cho có diện tích lớn nhất Điều vô lí đó chứng tỏ điểm D phải nằm trong

A B C′ ′ ′

∆

Tóm lại: Tập hợp các điểm đã cho nằm trong ∆A B C′ ′ ′ thỏa mãn ∆A B C′ ′ ′≤4

Bài 42: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi C B A 1, 1, 1 tương ứng là các điểm thuộc cạnh AB AC BC, ,

sao cho độ dài các đoạn thẳng AA BB CC1, 1, 1 không vượt quá 1 đơn vị dài Chứng minh rằng diện tích S của

3 đơn vị diện tích

Hướng dẫn

Không mất tính tổng quát, giả sử C  ≤ ≤B A

Bởi vì   C+ + =B A 180° ⇒ ≥A 60° và  90A< °

3

S

⇒ ≤

Bài 43: Cho tam giác ABC có diện tích S Điểm D di động trên cạnh AB, D khác A và B Đường thẳng xy

qua D song song với cạnh BC cắt cạnh AC tại E

a) Chứng tỏ rằng với mọi điểm F thuộc cạnh BC, ta đều có

a) Vẽ đường cao AH

Gọi K là giao điểm của AH và DE

Ta có HK bằng chiều cao ∆DEF

Vậy khi D là trung điểm của AB thì max

c) Xác định vị trí của điểm O để cho biểu thức Q OA OB OC .

OE = S +S và 1 2

S S OC

OD = S + S ≥ S Dấu "="xảy ra⇔S2 =S3

Bài 45: Cho tam giác ABC Điểm D bất kì nằm giữa B và C Điểm E bất kì nằm giữa C và A Điểm F bất kì

nằm giữa A và B

a) Chứng tỏ rằng: Diện tích của một trong ba tam giác AEF BDF CDE, , không vượt quá một phần tư diện

tích tam giác ABC

b) Xác định vị trí các điểm D E F, , để cho các tam giác AEF BDF CDE, , có diện tích lớn nhất Tính giá trị

lớn nhất đó, cho biết diện tích tam giác ABC bằng S

lµ trung ®iÓm cña AB

lµ trung ®iÓm cña BC

lµ trung ®iÓm cña AC

⇒ = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ là trọng tâm tam giác ABC

Bài 47: Cho tam giác ABC Điểm O bất kì nằm trong tam giác Các tia AO BO CO, , cắt các cạnh

, ,

BC CA AB tương ứng ở các điểm P Q R, ,

Bài 48: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm tam giác ABC Các đường cao AM BN CL, ,

AM + BN + CL =

HM HN HL

biểu thức P có giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Hướng dẫn

a) Sử dụng diện tích để chứng minh

Bài 49: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Vẽ đường cao AD Gọi H là trực tâm tam giác ABC Tam giác

ABC phải có điều kiện gì để biểu thức P= AD HD có giá trị lớn nhất

Khi đó tam giác ABC cân tại A

Bài 50: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a Trên các cạnh BC CA AB, , lấy ba điểm bất kì I J K, , sao cho

K khác B A, và góc IKJ =60°

Xác định vị trí của điểm K để biểu thức P= AJ BI có giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó

Hướng dẫn

Ta có BKI =180° − −B BIK =120° −BIK

Mặt khác BKI =180° −IKJ −AKJ =120° − AKJ

Bài 51: Cho tam giác ABC Đường thẳng d bất kì đi qua A, không cắt cạnh BC Gọi P và Q tương ứng là

hình chiếu của điểm B và C lên đường thẳng d Xác định vị trí của d để cho đoạn thẳng PQ có độ dài lớn

Bài 52: Cho hai điểm A và B nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xy sao cho khoảng

cách AH từ điểm A tới xy lớn hơn khoảng cách BK từ điểm B tới xy: AH >BK >O(H K, thuộc xy)

Hãy xác định điểm D thuộc đường thẳng xy sao cho (AD−BD) có giá trị lớn nhất

Bài 53: Cho hai điểm A và B ở cùng một phía với đường thẳng xy Dựng trên xy các điểm C và D sao cho độ

dài đoạn thẳng CD=a (cho trước) và tổng các khoảng cách (AC+CD+DB)là nhỏ nhất

Xác định vị trí các điểm M và N để cho diện tích tam giác AMN có giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó

cho biết diện tích tam giác ABC bằng S

Bài 55: Xét tất cả các tam giác ABC có diện tích S không đổi Tam giác ABC cần có điều kiện gì (đặc tính

minP 4 3S a b c ABC

Bài 56: Cho tam giác ABC Điểm M bất kì nằm trong tam giác ABC Qua M dựng ba đường thẳng song

song với ba cạnh AB BC CA, , của tam giác Các đường thẳng này tạo với các cạnh của tam giác ABC ba tam

giác nhỏ có diện tích S S S G1, 2, 3 ọi S là diện tích tam giác ABC Xác định vị trí điểm M để biểu thức

⇒ = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ là trọng tâm tam giác ABC

Bài 57: Cho một bàn bi – a hình tam giác ABC Hãy tìm đường đi ngắn nhất của một quả bi – a đang ở vị trí

M, sao cho sau khi chạm vào thành bàn AC, nó chạm tiếp vào thành bàn BC, rồi chạm tiếp vào thành bàn

AB rồi chạm đến quả bi – a khác đang ở vị trí N

Gọi M 3 là điểm đối xứng với điểm M 2 qua đường thẳng AB

Gọi R là giao điểm của NM v3 ới AB

Gọi Q là giao điểm của RM v2 ới BC

Gọi P là giao điểm của QM v1 ới AC

Ta có đường gấp khúc MPQRN là đường đi ngắn nhất của quả bi – a từ vị trí M đến vị trí N

Bài 58: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Điểm M di động trên cạnh BC, M khác B và C Trên cạnh

AC lấy điểm N sao cho BM =CN Xác định vị trí của điểm N để độ dài đoạn thẳng MN có giá trị nhỏ nhất

Bài 59: Cho tam giác ABC có diện tích S Điểm O bất kì nằm trong tam giác ABC Các tia AO BO CO, , lần

lượt các các cạnh BC CA AB, , tại A B C′ ′ ′, , Xác định vị trí của điểm O để diện tích tam giác A B C′ ′ ′ có giá

Bài 60: Cho tam giác ABC có chu vi không đổi Các phân giác AA BB CC′, ′, ′giao nhau tại I