Không gian
Trong cơ học không gian ba chiều, hình học ơ-clit đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích động học và động lực học Các phép tính hình học ơ-clit được áp dụng để nghiên cứu các hiện tượng trong không gian này.
Thời gian
Thời gian là một đại lượng vô hướng thể hiện sự thay đổi liên tục theo một chiều nhất định và tuyệt đối, được đo trên trục số thực gọi là trục thời gian Đơn vị cơ bản của thời gian là giây (s).
1.4 Gốc, hệ thống tọa độ và quy ước dâu
Gốc tọa độ là một điểm tham chiếu dùng để xác định vị trí và đo lường chuyển động của điểm.
Hệ thống tọa độ gồm nhiều trục tham chiếu có chiều dương được xác định theo quy ước Hệ thống tọa độ bao gồm:
+ Hệ trục tọa độ Decartesnhư hình 1.2a.
+ Hệ trục tọa độ cực như hình 1.2b
+ Hệ trục tọa độ trụ như hình 1.2c
+ Hệ true tọa độ cầunhư hình 1.2d
Vị trí của điểm A trong không gian được xác định bởi vectơ R, như thể hiện trong hình 1.3 Khi điểm A di chuyển, vectơ R sẽ thay đổi về độ lớn, phương, hoặc cả hai theo thời gian, do đó vectơ R là một hàm phụ thuộc vào thời gian.
Theo tọa độ Decartes (hình 1.3a):
R(i)X / = RĨ X + Ri + R k z (1.1) Theo tọa độ trụ (hình 1.3b):
Di chuyển là sự thay đổi vị trí của một điểm, được xác định qua vectơ di chuyển, có sự biến đổi về phương, chiều và độ lớn so với vectơ vị trí ban đầu Ví dụ, tại thời điểm ti, điểm ở vị trí A với vectơ RA, sau khoảng thời gian t2, điểm di chuyển đến vị trí B với vectơ vị trí Rb.
RAl là vectơ di chuyển, hay còn gọi là vectơ độ dời của điểm B so với điểm A Vectơ di chuyển có hướng theo cát tuyến trong trường hợp chuyển động cong (hình 1.4a) và theo quỹ đạo khi chuyển động là thẳng (hình 1.4b).
Vận tốc là đại lượng vectơ thể hiện tốc độ và hướng di chuyển của một điểm Vectơ vận tốc trung bình được xác định bằng tỉ số giữa vectơ di chuyển và khoảng thời gian thay đổi vị trí tương ứng.
Vectơ vận tốc trung bình có chiều theo chiều của vectơ di chuyển Nếu thời gian càng bé thì vận tốc trung bình càng chính xác.
Vận tốc tức thời (hay còn gọi là vận tốc) tại thời điểm khảo sát được định nghĩa bởi phương trình (1.5):
V = lim —^4 = lim B 4 —— = [ị (15) Ăĩ^ừ \ị At-ằo A t (it
Như vậy, vận tốc được định nghĩa là tốc độ thay đổi của vectơ vị trí theo thời gian.Khi
Vectơ di chuyển AZ bằng 0, cho thấy vectơ vận tốc tại thời điểm khảo sát sẽ cùng phương và cùng chiều với vectơ di chuyển Do đó, vectơ vận tốc phản ánh quỹ đạo chuyển động của chất điểm.
+ Nếu vectơ vận tốc luôn luôn hướng theo đường thẳng và chỉ thay đổi vè độ lớn được gọi là chuyển động thẳng.
Chuyển động cong xảy ra khi vectơ vận tốc thay đổi cả phương lẫn độ lớn Để xác định độ lớn của vận tốc tại một điểm, ta có thể thay thế độ lớn của vectơ RAlỊ bằng chiều dài của cung AB, như được thể hiện trong hình 1.4a.
Thứ nguyên của vận tốc là chiêu dài/thời gian Theo hệ thống đo lường quốc tế (SI), đơn vị của vận tốc là m/s.
Gia tốc là đại lượng thể hiện sự biến đổi về độ lớn và hướng của vận tốc theo thời gian Như hình 1.5 mô tả, vectơ gia tốc trung bình của chất điểm khi di chuyển từ điểm A đến điểm B trong khoảng thời gian At được xác định rõ ràng.
Chiều của vectơ gia tổc trung bình cùng chiều với vectơ vận tốc trung bìnhAv = VB - VA và hướng về phía lõm của.quỹ đạo.
Vectơ gia tốc tức thời (hay còn gọi là gia tốc) tại thời điểm t được định nghĩa là tốc độ thay đổi vectơ vận tốc theo thời gian.
1- &V T V r ~ dv X /d a = lim —— = lim——— = — = V (1.8) a T->0 aí ẢtAỈ) t _ ị dt
Theo phương trình (1.5), ta có:
Vectơ gia tốc được định nghĩa là đạo hàm bậc nhất của vectơ vận tốc và đạo hàm bậc hai của vectơ vị trí theo thời gian Đơn vị đo gia tốc theo hệ SI là mét trên giây bình phương (m/s²), với thứ nguyên là chiều dài chia cho thời gian bình phương.
+ Nếu ơ=0, được gọi là chuyển động đều.
+ Nếu a=constant và dương được gọi là chuyển động nhanh dần đều.
+ Nếu ơ=constant và âm được gọi là chuyển động chậm dân đều.
Hệ thống tọa độ được phân chia thành hai loại: tuyệt đối, khi nó được coi là cố định, và tương đối, khi nó thay đổi Khi xem xét chuyển động phức hợp của chất điểm p so với hệ tọa độ di động OiXiyiZi, hệ tọa độ này chuyển động so với hệ tọa độ cố định Oxyz Chuyển động của p so với hệ cố định được gọi là chuyển động tuyệt đối, trong khi chuyển động của p so với hệ tọa độ di động được gọi là chuyển động tương đối Đồng thời, chuyển động của hệ tọa độ di động so với hệ tọa độ cố định được gọi là chuyển động theo Vị trí của điểm p trong hệ tọa độ cố định Oxỵz được xác định theo các quy tắc nhất định.
Phương trình (1.10) được đạo hàm theo thời gian ta thu được vectơ vận tốc và gia tốc:
V p/O ~ Rp/O ~ Rp/O Ỵ + R OJO ~ Vp/Oỵ + V ojo (1.11) a p/o ~ v p/o ~ vp/o l + V OJO ~ a p/o i + (1.12)
Chuyển động thẳng là chuyển động của chất điểm dọc theo một đường thẳng Hệ trục tọa độ được chọn theo hướng quỹ đạo chuyển động, với chiều dương theo chiều chuyển động Tọa độ của chất điểm tại vị trí bất kỳ A là x, sau khoảng thời gian Δt, chất điểm di chuyển đến điểm B có tọa độ tương ứng là x' Quãng đường di chuyển của chất điểm là Δx Vận tốc của chất điểm được xác định theo phương trình (1.6).
V — lim — = lim - = — Ãí-Tõ A í ẢtAõ At dt (1.13)
Vận tốc của chất điểm có thể mang giá trị âm hoặc dương Nếu vận tốc dương, chất điểm sẽ di chuyển theo chiều dương của trục Ox; ngược lại, nếu vận tốc âm, chất điểm sẽ di chuyển theo chiều âm của trục Ox.
Hình 1.7 Áp dụng phương trình (1.8), gia tốc của chất điểm:
Một hình thức khác của phương trình gia tốc bằng cách thaythê' ờttừ phương trình (1.13) dv dv dx dv a = -— = —-—- = v—~ dt dx dt dx (1.15)
Gia tốc của chất điểm có thể là dương hoặc âm Khi gia tốc dương, chất điểm sẽ chuyển động nhanh theo chiều dương hoặc chậm theo chiều âm Ngược lại, nếu gia tốc âm, chất điểm sẽ chuyển động chậm theo chiều dương hoặc nhanh theo chiều âm.
Từ các phương trình (1.11-1.13), chúng ta có thể xác định vị trí, vận tốc và gia tốc của chất điểm tại bất kỳ thời điểm nào thông qua việc tích phân các phương trình này.
1.10.1 Chuyển động với gia tốc không đối (a=constant)
Một chất điểm chuyển động dọc theo đường thẳng được mô tả bởi phương trình vị trí X = t³ - Qt² - 15t + 40 (m) Để xác định thời gian khi vận tốc của chất điểm bằng không, ta cần tính đạo hàm của phương trình vị trí theo thời gian Tại thời điểm này, chúng ta sẽ tìm vị trí và quãng đường mà chất điểm đã di chuyển, đồng thời tính gia tốc của chất điểm dựa trên đạo hàm bậc hai của phương trình vị trí.
Vận tốc và gia tốc của chất điểm: v = 3t2 -12Í-15 (m/s) a = 6í - 12 (m/s2) Thời điểm vận tốc của chất điểm bằng không được xác định bằng cách giải phương trình:
V = 3í2 - 12í -15=0 Tìm được: t=-ls(loại), t=5s Vậy thời điểm mà chất điểm có tô'c độ bằng không là 5s. a Vị trí tại thời điểm t=5s: x(t = 5) = 53 - 6(5)2 -15(5) + 40 = -60 m; s = x(t = 5) - x(t = 0) = -60 - 40 = -100 m.
Vậy chất điểm di chuyển được 100 m theo phương âm b Gia tốc: a(t = 5) = 6(5) - 12 = 18 m/s2.
