Cd 61 trần đình cư ứng dụng tích phân diện tích thực tế da phan bien

Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng như hình vẽ... Phân tích: Để tính được diện tích này ta cần dùng ý nghĩa hình học của tích phân...

Dạng 61 Bài toán thực tế sử dụng diện tích hình phẳng Tên FB: Trần Đình Cư Email:dinhcuvip0603@gmail.com

( ) :

y f x C

y g x C H

16

S  x

Dùng MTCT với cú pháp trên ta được:

_Quy trình đưa về tính diện tích phẳng

-BBước 1 Dựa vào các kiến thức đã học tìm được phương trình của đường

cong, hoặc các đường cong

-BBước 2 Dựa vào đồ thị xác định được công thức tính diện tích hình

phẳng

-BBước 3 Sử dụng máy tính tính tích phân vừa tìm được

_ Bài tập minh họa trong các đề đã thi của BGD. (5-B10 câu) hoặc có thể tìm thêm.

Câu 1: (MINH HỌA LẦN 1- NĂM 2017) Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ

dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m

và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000đồng/1m Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn2

 Bước 2 : Sử dụng công thức tính tích phân để tính diện tích hình phẳng

 Bước 3 : Để tính kinh phí ta lấy diện tích nhân với 100.000 đồng ( vì 1m2 là 100.000

đồng)

Lời giải Chọn B

x y

Giả sử elip có phương trình

56481

5

64 25

648

5

64 100 0002

T    x dx

Sử dụng MTCT ta tính được:

Kết quả trên xấp xỉ với đáp án B, nên ta chọn B

Bài toán này thật chất đưa về việc tính tích

phân

4

2 0

Câu 2: Một mảnh vườn hình thang cong OACB vuông tại O và B, có dạng

phân là 30.000 đồng/1m 2 Hỏi chi phí bón phân mảnh vườn này gần nhất với giá trịnào sau đây?

20

25

O A

C

B

A. 10 Triệu đồng B 11 Triệu đồng C 12 Triệu đồng D 12 Triệu đồng

Phân tích:

Để tính được diện tích này ta cần dùng ý nghĩa hình học của tích phân

x

y

15 20

25

O A

C

B

Sf x dx

20

0

Lời giải Chọn C

y

15 20

25

O A

ta được kết quả như sau

Lấy kết quả này nhân với 30000

Như vậy gần 12 triệu đồng Chọn C

 Một là, để tính diện tích của các hình phẳng phức tạp (không phải là tam giác, tứ giác, hình tròn, )

ta cần dùng đến tích phân

để tính diện tích

 Hai là, đối với mỗi hình phẳng ta cần chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho hình phẳng đó được đơn giản hóa mà không mất tính tổng quát, kết quả diện tích không sai lệch

 Sử dụng MTCT ở bước cuối cùng giúp ta tiết kiệm được thời gian và chọn đáp

án chính xác hơn.

Câu 3: Vòm cửa lớn của trường Đại Học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh có dạng hình

Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này Diện tích mặtkính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8 m và rộng 8 m gần nhất vớigiá trị nào sau đây ?

A.43 m2 B.45 m2 C 47m2. D.49 m2

Phân tích:

 Hình phẳng cần tính diện tích được giới hạn bởi 1 đường thẳng BC và 1 đường cong Parabol, cho nên ta không thể dùng các công thức tính diện tích của những hình đơn giản quen thuộc như: hình chữ nhật, hình tròn, tam giác, Ta cần dùng tích phân để tính diện tích hình phẳng này.

Lời giải

Chọn A

 Không mất tổng quát, ta xét dạng hình parabol vòm cửa lớn như hình vẽ

 Đồng thời xét  P : yax2 bxc.

a b c

Câu 4: (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019)Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn

đỉnh A A B B như hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 1, , ,2 1 2 200.000 nđv / m và phần2còn lại 100.000 nđv / m Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây,2biết A A 1 2 8m, B B 1 2 6m và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có MQ 3m?

P Q

N M

N M

2 3

S    x x

bằng MTCT

và lưu giá trị này vào ô nhớ A

 Sử dụng công thức tính nhanh diện tích elip :

S a b

 Sử dụng chức năng lưu biến nhớ gọi biến nhớ để tiết kiệmđược thời gian

Ta tính S1 bằng S1 S E  S2

Lưu giá trị này vào ô nhớ B

Như vậy tổng chi phí là

Câu 5: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01)Người ta cần trồng một vườn

hoa Cẩm Tú Cầu ( phần được gạch chéo trên hình vẽ) Biết rằng phần gạch chéo là hình phẳnggiới hạn bởi parabol y2x2  và nửa trên của đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính1bằng 2 m 

Tính số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết rằng để trồng mỗi2

m hoa cần ít nhất là 250000 đồng.

A.

3 2

2500006

Ta có phương trình đường tròn tâm gốc tọa độ và bán kính bằng 2 m 





π

 Khi tính diện tích tíchphân bằng MTCT cho kếtquả xấu Do đó, bằngcách Lấy kết quả trừ đáp

án để loại và chọn ra kếtquả đúng

 Khi kết quả cho ta dạng

1 2, 10 n

a a a 

  với n 8 thì

ta xem kết quả đó bằng0

4

y x  D 

38

_ Bài tập áp dụng rèn luyện trong các đề thi thử năm 2019 (10-B15 câu)

Câu 1: Anh An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước giống như

có giá là 700000 đồng Vậy anh An phải trả bao nhiêu tiền để làm cài cửa rào

C D

B(2,5;0) A(-2,5;0)

O

-1,5

tích phân

Lời giải Chọn A

10; ,2

a

 Diện tích miền cong AIB được tính bằng công thức: 

2 1

25x 2 dx

Diện tích cánh cửa này chính bằng diện tích phần hình chữ nhật phía dưới công với diện tích phần vòm phía trên

Câu 2: (ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Một biển quảng

cáo với 4 đỉnh A B C D, , , như hình vẽ Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 200.000(đ/m ) sơn2phần còn lại là 100.000đ/m2 Cho AC8 ;m BD10 ;m MN4mHỏi số tiền sơn gần với số tiềnnào sau đây:

A 12204000 đ B 14207000 đ C 11503000 đ D 10894000 đ

Lời giải

5 32

N N

2 1

5 3 2

2 1

5 3 2

Phần tô đậm được đính đá với giá thành 500.000đ/m2

Phần còn lại được tô màu với giá thành 250.000 /đ m2

Cho AB4dm BC; 8dm.Hỏi để trang trí 1000 họa tiết như vậy cần số tiền gần nhất với số nào

sau đây.

A. 105660667đ B 106666667đ C.107665667đ D 108665667đ

Lời giải Chọn B

Vì AB4dm BC; 8dm. A( 2; 4), B(2; 4),C(2; 4), D( 2; 4)  

Do đó Parabol là: y x 2 hoặc yx2

Diện tích phần tô đậm là

2 2 1

Câu 4: (Phát triển đề tham khảo BGD&ĐT-Đề 5-Năm 2018-2019)Một chi tiết máy hình đĩa tròn có

dạng như hình vẽ bên

Người ta cần phủ sơn cả hai mặt

của chi tiết Biết rằng đường tròn lớn có phương trình x2y2 25 Các đường tròn nhỏ có tâm7

;0 ,2

I  

 

70; ,2

J  

7

;0 ,2

K 

70; ,2

G  

  và đều có bán kính bằng 2 Chi phí phải trả để sơn hoàn thiện chi tiết máy gần nhất với số tiền nào sau đây Biết chi phí sơn là 900.000đ/m2, đơn vị trên hệ trục là dm

A 650000đ B 688500đ C 785200đ D 588700đ

Lời giải Chọn D

Đường tròn lớn có phương trình x2y2 25 ( )C

Đường tròn nhỏ tâm

7

;02

I  

  có phương trình

2 2

1

7

4 ( )2

Hoành độ giao điểm của ( )C và ( )C là 1 x 4,75

Phần diện tích của ( )C ở phía ngoài ( )1 C là

Diện tích hai mặt của chi tiết máy là S 2.(25 4.11, 458) 65, 416 ( dm2) 0,65416 ( m2)

Quá vất vả nếu không dùng MTCT

Câu 5: (ĐỀ 06 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019)Bạn Hoan xây

một bể cá hình tròn tâm O bán kính 10 m và chia nó thành 2 phần như hình vẽ sau Bạn Hoan sẽ thả cá cảnh với mật độ 4 con cá cảnh trên 1m ở phần bể giới hạn bởi đường tròn tâm O và 2Parabol có trục đối xứng đi qua tâm O và chứa tâm O Gọi S là phần nguyên của diện tích phần thả cá Hỏi bạn Hoan thả được bao nhiêu con cá cảnh trên phần bể có diện tích S, biết A B,  O

và AB12m?

Lời giải Chọn D

Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt vào bể cá như hình vẽ sau

Khi đó phương trình của đường tròn tâm O là x2y2 100.

Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình y 100 x2 f x( )

Dựa vào hình vẽ ta suy ra Parabol có đỉnh I0; 10 

đi qua các điểm A6;8 , B  6;8

Câu 6: (SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 02) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên

đó người ta thiết kế phần trồng hoa hồng có dạng một hình parabol có đỉnh trùng với tâm hìnhtròn và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa đường tròn, hai đầu mút của parabolnằm trên nửa đường tròn và các nhau một đoạn 4 mét (phần tô màu) Phần còn lại của khuôn viên(phần không tô màu) dùng để trồng hoa cúc Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí trồnghoa hồng và hoa cúc lần lượt là 200.000 đồng/m2 và 150.000 đồng/m2

4m

2m 2m

Hỏi chi phí trồng hoa khuôn viên đó gần nhất với số tiền nào sau đây (làm tròn đến nghìn đồng)?

A 2.132.000 đồng B 2.266.000 đồng C 2.257.000 đồng D 2.123.000 đồng

Lời giải Chọn D

x y

Ta gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình bên với đỉnh parabol trùng gốc tọa độ

2 2 1

_ Quy trình bấm máy. _ Bài học kinh nghiệm

Câu 7: (TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐỨC CẢNH LẦN 03)Bác An có mảnh ruộng hình Elip độ dài

trục lớn bằng100 m , độ dài trục bé bằng80 m Với chủ trương xây dựng kinh tế nông thôn mới, bác định chuyển đổi canh tác bằng cách đào một cái ao hình Elip ở chính giữa vườn có trục lớn bằng 90 m trục bé bằng 70 m để nuôi tôm, cá Phần đất còn lại bác làm bờ trồng cây xung quanh.Biết chi phí đào 1m ao hết 250000 đồng và chi phí làm bờ trồng cây là 100000đồng/2 2

Số tiền bác An phải chi là T T T 1 2 1370519795 đồng.

Câu 8: (ISCHOOL NHAN TRANG-2019)Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách

giữa hai chân cổng là 8m Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M N, nằm trênParabol và hai đỉnh P Q, nằm trên mặt đất như hình vẽ bên Ở phần phía ngoài phông (phần không kẻ) người ta mua hoa để trang trí với chi phí 200.000 đồng/m2, biết MN 4m,

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

a b c

4

2 4

56.200000 3.733.300

Câu 9: (THPT CỔ LOA HÀ NỘI NĂM 2018-2019)Để trang trí cho một lễ hội đầu xuân, từ một mảnh

vườn hình elip có chiều dài trục lớn là 10 m, chiều dài trục nhỏ là 4 m, Ban tổ chức vẽ một

đường tròn có đường kính bằng độ dài trục nhỏ và có tâm trùng với tâm của elip như hình vẽ.Trên hình tròn người ta trồng hoa với giá 100.000 đồng/m2, phần còn lại của mảnh vườn người tatrồng cỏ với giá 60.000 đồng/m2 (biết giá trồng hoa và trồng cỏ bao gồm cả công và cây) Hỏiban tổ chức cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

4 m

10 m

Lời giải Chọn D

Elip có độ dài trục lớn bằng 10m và độ dài trục nhỏ là 4 m  2a 10  a 5; 2b 4 b2.Đường tròn có đường kính bằng độ dài trục nhỏ  2r2b 4 r2.

 Dựa vào hình vẽ để tìm được đúng các phần diện tích mà bài toán yêu cầu

Câu 10: (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng

dạng parabol đỉnh S như hình vẽ, biết rằng SO AB4 m, O là trung điểm của AB Parabol

được chia thành 3 phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc

m , phần giữa là phần hình quạt tâm O có bán kính 2 m được tô đậm 150000

đồng/m2, phần còn lại 160000 đồng/m2 Tổng chi phí để sơn cả ba phần gần nhất với số nào sau

Lời giải Chọn C

4

y x  D 

38

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên dưới

Ta có parabol có phương trình: y 4 x2 và cung tròn A B có phương trình 1 1 y 4 x2 Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường cong là 4 x2  4 x2  x 3 (không tính

2

x  ) Do đó A 1 3; 1

và B1 3; 1

Từ đó suy ra đường thẳng OA và 1 OB lần lượt có phương trình 1 3; 3