Hh9 chuyên đề 9 quỹ tích (tìm tập hợp điểm)( 34 trang)

QUỸ TÍCH TÌM TẬP HỢP ĐIỂMQuỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều đường thẳng xy cố định một khoảng a cho trước là hai đường thẳng song song với xy và cách xy một khoảng a cho trước.. Qu

CHUYÊN ĐỀ 9 QUỸ TÍCH (TÌM TẬP HỢP ĐIỂM)

Quỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều đường thẳng xy cố định một khoảng a cho trước là hai đường

thẳng song song với xy và cách xy một khoảng a cho trước.

Quỹ tích 4: Quỹ tích những điểm cách đều điểm O cố định một khoảng R cho trước là đường tròn có tâm là

O và bán kính bằng R.

Quỹ tích 5: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc  không đổi (0  180) là hai cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng AB.

Đặc biệt, nếu  90 thì ta nhận được.

Quỹ tích 5a: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông là đường tròn đường

kính AB.

2 Các bước giải một bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất  là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

 Phần thuận: Mọi điểm có tính chất  đều thuộc hình H.

 Giới hạn Xem điểm M chỉ thuộc một phần H1 của hình H hay cả hình H.

 Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H hoặc thuộc phần H1 (nếu có giới hạn) đều có tính chất  .

 Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) các điểm M có tính chất  là hình H (hoặc thuộc phần H1).

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Cho nửa đường tròn đường kính BC Một điểm A di động sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn và

trọng tâm G của tam giác nằm trên nửa đường tròn đó Tìm quỹ tích điểm A.

Giải

Tìm cách giải

 Nếu gọi BP, CQ là đường trung tuyến, ta luôn có AP PC và AQ QB Nếu lấy E đối xứng với C qua B thì BP luôn song song với AE, F đối xứng với B qua C thì CQ luôn song song với AF, mà E, F cố định Khi

G di động thì EAF  · 90 không đổi nên ta tìm được điểm A di chuyển trên nửa đường tròn đường kính EF.

 Vì G là trọng tâm tam giác ABC, nếu gọi O là trung điểm BC thì A, G, O thẳng hàng Mặt khác G là trọngtâm nên OA3.OG không đổi Từ đó suy ra A di chuyển trên đường tròn O R;3 .

Trình bày lời giải

Phần thuận.

Cách 1 Trên đường thẳng BC lấy hai điểm E, F sao cho B là trung

điểm CE, C là trung điểm BF

Ta có: EF 3BC cố định (1)

Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của BG và AC; CG và AB

CQ là đường trung bình của ABF nên CQ/ /AF.

BP là đường trung bình của ACE nên BP/ /AE

Mà CQBP nên AF AE EAF· 90 (2)

Từ (1) và (2), suy ra A di động trên đường tròn đường kính EF.

Cách 2 Gọi O là trung điểm BC  O cố định và A, G, O thẳng hàng.

G là trọng tâm ABC nên 3

Kết luận Vậy tập hợp điểm A là cung nhỏ MN (trừ hai điểm M, N).

Ví dụ 2 Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, BC là dây cung bất kì Trên tia đối của tia CB lấy

điểm D sao cho CD BC Gọi P là giao điểm của AC và DO Tìm quỹ tích điểm P.

Giải Tìm cách giải Ta nghiên cứu tính chất của điểm P.

Ta có AC và PO là hai trung tuyến của ABD, do đó 1

AB  , như vậy E cũng là một điểm cố định và ·APE  90 không đổi.

Như vậy quỹ tích của điểm P là xác định được.

Trình bày lời giải.

Phần thuận Nối AD, vì AC và DO là hai trung tuyến của ABD

nên P là trọng tâm tam giác, suy ra 1

· · · 90

Mà A; E là hai điểm cố định nên tập hợp điểm P là đường tròn có đường kính AE.

Phần đảo Lấy điểm P bất kì thuộc đường kính AE Gọi C là giao điểm thứ hai của tia AP với đường tròn

( )O Gọi D là giao điểm của hai tia BC và OP.

Ta có ·ACB90 ; ·APE90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Kết luận Vậy quỹ tích điểm P là đường tròn đường kính AE.

Ví dụ 3 Cho đường tròn (O; R) và điểm P cố định nằm trong đường tròn) Dây cung AB thay đổi luôn đi

qua P Tiếp tuyến tại A và B với đường tròn cắt nhau tại M Tìm quỹ tích điểm M.

Giải Tìm cách giải Nhận thấy I là giao điểm của AB và MO thì I thuộc đường tròn đường kính OP và

Trình bày lời giải.

Phần thuận Gọi H là hình chiếu của M trên đường thẳng OP.

Gọi I là giao điểm của AB và MO.

Suy ra ABMO từ đó ta có OHM : OIP (g.g)



Phần đảo Trên đường thẳng d lấy điểm M  bất kì Từ M  kẻ tiếp tuyến M A M B ,   Đường thẳng A B  cắt



Ví dụ 4 Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định C là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn Ở phía

ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn a) Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đường tròn đã cho thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm

cố định và đường thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác.

b) Tìm quỹ tích các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đường

Vậy khi C di chuyển trên nửa đường tròn ( )O thì đường thẳng ED đi qua điểm I cố định và đường thẳng GF

đi qua điểm K cố định.

b)  Tìm quỹ tích điểm E.

Phần thuận Ta có B và I cố định (chứng minh câu a) mà BEI  · 90 (vì BCDE là hình vuông) suy ra E

thuộc nửa đường tròn đường kính BI (bên phải By).

Phần đảo Lấy điểm E bất kì thuộc nửa đường tròn đường kính BI (bên phải By) Trên tia EI lấy điểm D sao

 thuộc nửa đường tròn đường kính AB.

Kết luận Vậy quỹ tích các điểm E là nửa đường tròn đường kính BI (bên phải By).

 Tìm quỹ tích điểm G

Phần thuận Ta có A và K cố định (chứng minh câu a) mà ·AGK  90 (vì ACFG là hình vuông) suy ra G

thuộc nửa đường tròn đường kính AK (bên trái Ax).

Phần đảo Lấy điểm G bất kì thuộc nửa đường tròn đường kính AK (bên trái Ax) Trên tia GK lấy điểm F

 thuộc nửa đường tròn đường kính AB.

Kết luận Vậy quỹ tích các điểm G là nửa đường tròn đường kính AK (bên trái Ax).

c)  Tìm quỹ tích điểm D.

Phần thuận Ta có ·ADI  90 mà A, I cố định nên điểm D thuộc nửa đường tròn đường kính AI (bên trái

AI).

Phần đảo Lấy điểm D bất kì thuộc nửa đường tròn đường kính AI (bên trái AI) Dựng hình vuông BCDE

(thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ)

Suy ra D, I, E thẳng hàng (vì DI, DE cùng vuông góc với AD).

Ta có ·ABC EBD· 90  CBI BA BI· ;  (chứng minh câu a)

   (c.g.c)  ·ACB IEB· 90

C

 thuộc nửa đường tròn đường kính AB.

Kết luận Vậy quỹ tích các điểm D là nửa đường tròn đường kính AI (bên trái AI).

 Tìm quỹ tích điểm F.

Phần thuận Ta có BFK  · 90 mà B, K cố định nên điểm F thuộc nửa đường tròn đường kính BK (bên phải

BK).

Phần đảo Lấy điểm F bất kì thuộc nửa đường tròn đường kính BK (bên phải BK) Dựng hình vuông AGFC

(thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ)

Suy ra G, F, K thẳng hàng (vì GK, FK cùng vuông góc với BK).

Ta có BAC KAG· · 90  CAK BA KA· ;  (chứng minh câu a)

   (c.g.c)  ·ACB AGK· 90

C

 thuộc nửa đường tròn đường kính AB.

Kết luận Vậy quỹ tích các điểm F là nửa đường tròn đường kính BK (bên trái BK).

C Bài tập vận dụng

1 Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên đường thẳng d (B nằm giữa A và C) Một đường tròn ( )O thay đổi

luôn đi qua A và B, gọi DE là đường kính của đường tròn ( )O vuông góc với d CD và CE cắt đường tròn

( )O lần lượt tại M và N Khi đường tròn ( )O thay đổi thì hai điểm M và N di động trên đường cố định nào?

2 Cho đường tròn ( ; )O R và đoạn thẳng AB cố định nằm bên ngoài đường tròn ( )O Gọi C là một điểm

chuyển động trên đường tròn Tìm tập hợp các trọng tâm G của tam giác ABC.

3 Cho đường tròn ( )O nội tiếp hình vuông PQRS OA và OB là hai bán kính thay đổi vuông góc với nhau.

Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đưnòg thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By.

(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên tỉnh Phú Yên, năm học 2009 – 2010)

4 Cho đường tròn ( )O và dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển trên cung lớn BC Trên tia

đối của tia AB lấy điểm D sao cho ADAC Gọi M là trung điểm của CD Hỏi M di chuyển trên đường

nào? Nêu cách dựng đường này và giới hạn của nó

(Thi Học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2007 – 2008)

5 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm M chuyển động trên đường tròn đó Gọi H là hình chiếu của

điểm M trên AB Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác OMH.

6 Cho góc vuông xOy và điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy Dựng hình vuông

ABCD nằm trong góc xOy Tìm tập hợp giao điểm I hai đường chéo của hình vuông này.

7 Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đó trên đường thẳng d Vẽ các nửa đường tròn đường kính AB, AC thuộc

hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d Một điểm H chuyển động trên đoạn AB Đường thẳng vuông góc với d ở H cắt cả hai nửa đường tròn nói trên lần lượt ở D và E Gọi M là giao điểm hai đường thẳng DB và EC Tìm quỹ tích điểm M.

8 Cho đường tròn ( ; )O R và tam giác cân ABC có ABAC nội tiếp đường tròn ( ; )O R Kẻ đường kính AI.

Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC Gọi Mx là tia đối của tia MC Trên tia đối của tia MB lấy điểm

D sao cho MD MC

a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của góc BMx.

b) Gọi K là giao thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn ( )O Tứ giác MIKD là hình gì? Vì sao?

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì G luôn nằm

trên một đường tròn cố định

9 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C là điểm

chính giữa của nửa đường tròn M là điểm chuyển động trên

cung BC Gọi N là giao điểm của AM và OC Gọi I là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác CMB Tìm tập hợp điểm I.

HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ

1 Gọi H, K lần lượt là giao điểm của CA với DE và EM Do A, B, C cố định nên H cố định.

 Tam giác CDE có K là trực tâm nên DN cũng đi qua điểm K cố định

Mà ·DME DNE· 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Phần đảo Lấy G thuộc đường tròn tâm O bán kính 1

3R qua O kẻđường thẳng song song với O G  cắt đường thẳng MG tại C Ta

Phần thuận Ta có ·AOB AMB· 90 (giả thiết)

 tứ giác AOBM luôn nội tiếp

AMO ABO

    (vì AOB vuông cân tại O)

Suy ra M luôn nằm trên đường thẳng đi qua O và tạo với đường PQ một góc 45

Trường hợp B ở vị trí B thì M  nằm trên đường thẳng đi qua O

Phần đảo Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M trên PR),

qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt ( )O

tại A.

Kẻ bán kính OBOA

Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì ·AMO ABO· 45).

Suy ra: ·AMB AOB· 90.

Mà AM / /PQ PQ, PS MB PS/ /

Kết luận Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vuông PQRS.

4 Tam giác ACD cân tại A nên BAC· 2·ADC (Góc BAC là góc ngoài của tam giác ACD)

Gọi I là trung điểm của BC, ta có MI/ /BD (đường trung bình của tam giác BCD); nên

· · 1· 1·

IMC BDC  BAC BOC ( ·BOC không đổi)

Do đó M chạy trên cung tròn nhìn IC dưới góc

4



cùng phía với điểm A đối với đường thẳng BC không đổi

Cách dựng Gọi I là trung điểm của BC Dựng tia OI cắt đường tròn ( )O tại N, ta có:

· 1· · ·

2

NBC BAC BDC IMC 

Dựng tia IN/ /BN , dựng đường thẳng qua I và vuông góc với

IN  cắt trung trực đoạn IC tại O1

Đường tròn tâm O1 và đi qua C là đường cần dựng Khi A chạy

trên cung lớn BC tới trùng với B thì D trùng với D0 trên tiếp tuyến Btcủa ( )O và BD0 BC Khi đó M trùng với M0 là trung điểm của

0

CD .

Vậy M chỉ di chuyển trên cung lớn CM0 của đường tròn ( )O1

5 Phần thuận Xét với M thuộc đường tròn sao cho ¼AM MB» .

Ta có HMO HOM· · 90 (vì HMO vuông tại H) mà I là tâm đường tròn nội tiếp HMO.

cung chứa góc 135 dựng trên đoạn OA.

Tương tự với M thuộc đường tròn sao cho ¼AM »MB

Phần đảo bạn đọc tự chứng minh.

Kết luận Vậy quỹ tích điểm I là bốn cung chứa góc 135 dựng trên đoạn OA; OB.

6 Phần thuận Tứ gíc AIBO là tứ giác nội tiếp vì có ·AIB AOB· 180

Suy ra IOB IAB· · (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IB)

Do đó IOA  · 45 nên OI là tia phân giác của góc AOB.

Vậy điểm I chạy trên tia phân giác của góc xOy.

Giới hạn Vẽ hình vuông AOC D1 1 nằm trong góc xOy.

Vì điểm B chỉ chạy trên tia phân Ox nên khi B trùng với O thì C trùng với C1, khi đó I trùng với I1 là giao

điểm của OD1 với AC1.

Phần đảo Lấy điểm I thuộc tia I t1 Nối AI.

Trên nửa mặt phẳng bờ AI chứa điểm O, vẽ tia AB ( B thuộc Ox) sao cho I AB·  45.

Gọi C D,  lần lượt là các điểm đối xứng của A và B qua I Chỉ cần chứng minh rằng I là giao điểm hai

đường chéo của hình vuông AB C D  

Kết luận Tập hợp các điểm I là tia I t1 thuộc tia phân giác Ot của góc xOy.

7 Phần thuận Đặt AB2 ,R AC 2R thì R R là các độ dài không đổi

Trong tam giác vuông ADB và AEC, ta có:

AD AB AH  R AH AE AC AH  R AH

Từ đó suy ra AD AE. 2AH RR.

Tứ giác ADME nội tiếp đường tròn vì ·ADM ·AEM 180.

Suy ra ·AMD AED· .

Từ đó điểm M chạy trên đường tròn tâm A bán kính RR

Giới hạn Vì H chuyển động trên đoạn AB nên:

- Khi H trùng với A thì D trùng với A, khi đó M trùng với M1 như hình vẽ.

Khi H trùng với B thì M trùng với M2 như hình vẽ.

Vậy nên H chạy trên cung M M1 2.

Phần đảo Lấy điểm M  thuộc cung M M1 2 Các tia M B và

Vậy: ·AMB AMx· hay MA là tia phân giác của ·BMx

b) Tam giác MCD cân · · ·

2

BMC MCD MDC

của tam giác)

Lại có tam giác ABC cân

 I là điểm chính giữa của cung BC

2

BMC IMC IMB

  vuông cân tại I  ·NCI 45.

Mà ·NCI  45 (vì OBC cân)

Suy ra C, I, B thẳng hàng

Do đó I thuộc đường thẳng BC.

Giới hạn Khi M tiến tới B thì I tiến tới I1 (I1 là trung điểm đoạn thẳng BC)

Khi M tiến tới C thì I tiến tới C.

Vậy I chuyển động trên đoạn thẳng I C1 thuộc đoạn thẳng BC.

Phần đảo Lấy điểm I bất kì thuộc đoạn thẳng I C1 Vẽ đường tròn ( ;I IC) cắt OC tại N Gọi M là giao

điểm thứ hai của đoạn thẳng AN với ( )I .

Ta có IC IN  ICN cân mà ·NCI 45  CNI· 45  CIN· 90

Do đó · 1· 45

2

Ta có CMN CBA· · 45  ACMB là tứ giác nội tiếp  M thuộc nửa đường tròn ( )O .

Kết luận Tập hợp các điểm I là đoạn thẳng CI1 (với I1 là trung điểm đoạn thẳng BC)

D.BÀI TOÁN LUYỆN THÊM ( Nếu cần )

Câu 1 Cho đường tròn ( )O , Alà điểm cố định nằm ngoài đường tròn ( )O OBC là đường kính quay quanh O Tìm tập hợp tâm I đường ngoại tiếp tam giác ABC

OA không đổi Þ D cố định Vậy I thuộc đường thẳng

( )d cố định là trung trực của đoạn thẳng AD.

b) Giới hạn:

Khi BOC qua A thì I ®I1 (I1 là trung điểm của AD).

Khi BOC không qua A thì I chạy xa vô tận trên đường thẳng ( )d .

Vậy I chuyển động trên đường thẳng ( )d (trừ điểm I1 là trung điểm AD là đường trung trực của đoạn thẳng AD

c) Phần đáo: Lấy điểm I bất kỳ thuộc đường thẳng ( )d (I ¹ I1) Vẽ đường tròn (I IA; ) cắt đường tròn

( )O tại B BO cắt (I IA; ) tại C Ta có: IA =ID Þ D thuộc đường tròn tâm I bán kính IA

2 OA R

= )trừ điểm I1 ( I1 là trung điểm của đoạn thẳng AD).

Câu 2 Cho đường tròn (O R; ) đường kính AB Vẽ đường thẳng ( )d vuông góc với AB tại I I( Î AB).Gọi M là điểm chuyển động trên đường tròn (O R; ) MAvà MB lần lượt cắt ( )d tại C và D Tìm tập

hợp các tâm J của đường tròn qua ba điểm A D C, , .

Hướng dẫn:

(d)

D O

C

B A

I

a) Phần thuận: Gọi E là điểm đối xứng của B qua ( )d Þ E cố định.

EDC =BDC AMB = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

CAI =BDC (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

Suy ra EDC· =CAI· Þ tứ giác EDCA nội tiếp Þ

đường tròn qua ba điểm A D C, ,

đi qua hai điểm cố định A E, .

Vậy tâm I của đường tròn

qua ba điểm A D C, , thuộc

đường thẳng cố định là đường

trung trực xy của đoạn thẳng AE

b) Giới hạn:

+ Khi M º M1 thì J º J 1 (M1 là trung điểm »AB ; J M1 1^OM J1, 1Î ( )d

+ Khi M º M2 thì J º J2 (M2 là trung điểm »AB; J M2 2 ^OM J2, 2Î ( )d

Do đó J chuyển động trên hai tia J x J y1 , 2 của đường trung trực của đoạn thẳng AE .

c)Phần đảo: Lấy điểm J bất kỳ trên tia J x1 (hoặc J y2 ) Vẽ đường tròn (J J A; ) cắt ( )d tại C D,

AC cắt BD tại M

Ta có: J E =J A (J thuộc trung trực của AE ) Þ E Î (J J A, )

ACI =DEA (EDCA nội tiếp ( )J ); DBE· =DEA· (B E, đối xứng qua ( )d ).

Suy ra ACI· =DBE· Þ tứ giác ICMB nội tiếp đường tròn.

Mà CIB· =900Þ CMB· =900Þ M thuộc đường tròn ( )O .

d)Kết luận: Tập hợp các tâm J đường tròn qua ba điểm A D C, , là hai tia J y1 của đường trung trực của

đoạn thẳng AE

Câu 3 Cho ba điểm cố định A B C, , thẳng hàng theo thứ tự đó Trên đường thẳng d vuông góc AB tại

B lấy điểm bất kỳ D Gọi H là trực tâm của tam giác DAC Tìm tập hợp các tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác DAH

Hướng dẫn:

x'

d x

O C

C B

A

Þ = Suy ra: BD BH =AB BC (không đổi) (1)

Xét DBAD và DBHE có: µB chung, BAD· =BHE· (tứ giác ADHE nội tiếp) Do đó:

BD BH =AB BC =BA BE Þ BC =BE E thuộc đường thẳng cố định AB suy ra E cố định

OA =OE (O là tâm đường tròn (DAH) ) Þ O thuộc đường thẳng cố định , ( )m là đường trung trực của đoạn thẳng AE

b) Giới hạn: D chuyển động trên cả đường thẳng ( )d nên O chuyển động trên cả đường thẳng ( )m (loại trừđiểm m là giao điểm của AC và ( )m )

c) Phần đảo: Lấy O bất kỳ trên đường thẳng ( )m Vẽ đường tròn (O OA; ) cắt đường thẳng ( )d lần lượt tại,

D có DB ^AC AH, ^DC Þ H là trực tâm của DDAC .

d) Kết luận: Tập hợp các tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác DAH là đường trung trực ( )m của đoạn thẳng AE (trừ điểm M là giao điểm của AC với ( )m (với E là điểm đối xứng của C qua B ).

Câu 3 Cho tam giác cân ABC nội tiếp trong đường tròn (O R; ) có AB =AC =R 2 M là điểm

chuyển động trên cung nhỏ AC

đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D Tìm tập hợp các điểm I

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD

Khi M º A thì I chạy xa vô tận trên tia Cx

Vậy I chuyển động trên tia Cx vuông góc với AC tại C

c) Phần đảo: Lấy I bất kỳ thuộc tia Cx Vẽ đường tròn (I IC; ), đường tròn này cắt BC tại B, cắt ( )O tại

M (M ¹ C D; ¹ C) Tứ giác BAMC nội tiếp Þ ABC· +AMC· =1800Þ AMC· =1350.

ICD

D có IC =ID( )=r Þ IDC· =450Þ CID· =900 · 1· · 0

452

d) Kết luận: Tập hợp các tâm I của đường tròn ngoại tiếp DMCD là tia Cx vuông góc với AC tại C

Câu 4 Cho đường tròn (O R; ) và điểm A cố định Đường tròn tâm I di động qua A cắt ( )O tại B C, Gọi M là giao điểm của BC và tiếp tuyến tại A của đường tròn ( )I Tìm tập hợp các điểm M .

C B

A

a) Phần thuận: Vẽ tiếp tuyến MD với ( )O (DÎ ( )O )

Xét DMAC và DMBA có ¶M chung,

MAC =MBA,(góc tạo bởi tia

tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp

b) Giới hạn: O chuyển động trên cả đường thẳng ( )d

c) Phần đảo: Lấy M bất kỳ thuộc đường thẳng ( )d Vẽ cát tuyến MBC với ( )O (B C, Î ( )O ), vẽ đường

tròn ( )I qua A B C, , vẽ tiếp tuyến MDvới ( )O (DÎ ( )O )

Xét DMCDvà DMDB có ¶M (chung), MDC· =MBD· (góc tạo bởi tia tiếp tuyến dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CD của ( )O ).

C B

A

Þ = , do đó MA là tiếp tuyến của ( )I

d) Kết luận: Tập hợp các điểm M là đường thẳng vuông góc với OA tại H (với

212

suy ra DO là trung trực của BC Þ DO ^BC

Xét DOMA và DOHD có Oµ chung, OMA· =OHD· (=900) Do đó DOMA : DOHD

= Þ = (không đổi) Þ H cố định Vậy D thuộc đường thẳng cố định ( )d vuông

góc với đường thẳng OA tại H

b) Giới hạn: BC quay quanh A nên D chuyển động trên đường thẳng ( )d

c) Phần đảo: Lấy D bất kỳ trên đường thẳng ( )d Vẽ dây BC qua A và vuông góc với OD tại

C D

B

A