Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trang 1LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có
2
1 2
y
x Giả sử
1
; 2
a
M a
a là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến tại M là
2
2 2
a
a a
Mà tiếp tuyến qua A2; 1 nên
2
2
a
Do đó không có giá trị a thỏa mãn Chọn D.
Câu 2: Ta có
2
3 1
y
x Giả sử
2 1
; 1
a
M a
a là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến tại M là
2
1 1
a
a a
Mà tiếp tuyến qua M1;2 nên
2
1
a
Do đó không có giá trị a thỏa mãn Chọn A.
Câu 3: Ta có
2
3 2
y
x Giả sử
1
; 2
a
M a
a là tọa độ tiếp điểm
Hệ số góc là
2
3
2
S
Câu 4: Ta có y 3x26x3x12 3 3 khi x 1 y4
Do đó phương trình tiếp tuyến là y3x1 4 3x1 Chọn A.
Câu 5: Ta có 2
y x Giả sử M a a ; 32a4
2
Hệ số góc là 1 17
Câu 7: Ta có 2
11 1
cực tiểu là 3; 5
Hệ số góc của cực tiểu là y 3 0 song song trục hoành Chọn B.
Câu 8: Ta có
2
3 2
y
x Tại x 3 y4 Hệ số góc là y 3 3
Trang 2Phương trình tiếp tuyến là y3x 3 4 3x13 Chọn D.
Câu 9: Ta có
2
1 1
y
x Giao điểm với trục tung là 0; 2 Hệ số góc y 0 1 Phương trình tiếp tuyến là yx2 Chọn A.
Câu 10: Ta có y 3x2 3 Giả sử 3
; 3 2
Câu 11: Ta có
2
2 1
y
x Giao điểm với trục tung là 0; 2 Hệ số góc y 0 2 Phương trình tiếp tuyến là y2x2 Chọn A.
Câu 12: y 3x2 6x Hệ số góc là y 3 9 tiếp tuyến y9x 26 Chọn B.
Câu 13: y x2 4x 3 x 22 1 1 khi 2 2
3
Phương trình tiếp tuyến là 2 2 8
Do đó tung độ tiếp điểm là 1 Chọn A.
Câu 15: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x x là 0 2
Ta có
2 2
3
Theo bài ra, ta có min
0
;
x
x x nên phương trình tiếp tuyến của C tại M là
0
x
Tiếp tuyến d cắt TCĐ: x2 tại 0
x
Tiếp tuyến d cắt TCN: y2 tại B x2 0 2;2 IB2x0 4;0
0
2
2
Do đó 2x0 4 2 x0 22 1 k 1 Chọn D.
Trang 3Câu 17: Thay x0 vào giả thiết, ta được
f
f
Đạo hàm 2 vế giả thiết, ta có 4f1 2 1 2 x f x 1 3f1 x f 21 x (*)
Thay x0 vào (*), ta được 4f 1 1f 1 3f 1 f2 1 (I)
TH1 Với f 1 0 thay vào (I), ta có 0 1 (vô lý)
TH2 Với f 1 1 thay vào (I), ta có 4 1 1 3 1 1 1
7
f f f (vô lý)
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 1 1 1 1 6
Câu 18: Tiếp tuyến song song với trục Ox k y x 0 0
Phương trình tiếp tuyến tại điểm 0;m 2 là: y m 2
Phương trình tiếp tuyến tại điểm 1;m 3 là: y m 3
Để có đúng một tiếp tuyến song song với trục Ox thì 2 0 2
Vậy S 2;3 T 5 Chọn B.
Câu 19: Phương trình hoành độ giao điểm là: 3 2
2x 3x 2mx m 3
x x m x x x x m x
2
Để d cắt C tại 3 điểm phân biệt thì g x 0 có 2 nghiệm khác 1
m
Gọi A x mx 1; 1 m 3 và B x mx 2; 2 m 3 theo Vi-ét ta có: 1 2
1 2
1 2 1 2
m
x x
Để tiếp tuyến tại A và B của C vuông góc với nhau thì y x y x 1 2 1
1
36
Trang 4
2
2
Suy ra tổng các phần tử của S bằng 1 Chọn A.
Câu 20: Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm 0
0 0
2
; 1
x
M x
Do tiếp tuyến đi qua điểm A m ;1 nên
2 0
1
1
x
x x x m x x m
Để có đúng một tiếp tuyến đi qua A thì (*) có nghiệm kép hoặc (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một
nghiệm 0
1
m
m
m m
Vậy 3;1
2
S Tổng bình phương trình tập hợp S bằng 9 1 13
4 4 Chọn A.
:
x x Ta có:
1 1
2 2
y
x.
Gọi ;1 1 , ;1 1 , 0
a b là hai điểm thuộc đồ thị C
Gọi d d là hai tiếp tuyến của 1, 2 C tại A và B song song với nhau.
Theo giả thiết ta có: 2 2
0
Suy ra ;1 1
2 2
a
Phương trình tiếp tuyến tại A là: 1 2 2
:
Khi đó
2
2
2
a
max
4a a 4a a d 1 d Chọn C
Câu 22: Gọi A a a ; 3 3a1 , B b b; 3 3b1 với a b
Trang 5Tiếp tuyến tại A, B song song với nhau y a y b 3a2 3 3 b2 3 a2 b2
a b a b a b ab
2
a a a t a t t t t a .
Do a b a2,b 2 S 3 2 5.216 Chọn A.
Câu 23: Ta có:
2
2
Mặt khác
0
2
x
e
Ta có:
2
ln 2
9 1
ln 2
3
f
f
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0 ln 2 là:
ln 2 9 2 2ln 2 3 2 9 2ln 2 3 0
Câu 24: Gọi
4
a
Phương trình tiếp tuyến tại M là:
4
Phương trình hoành độ giao điểm của d và C là:
2
;
M
Để d cắt C tại 2 điểm phân biệt khác M thì phương trình g x 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác
Trang 6
2
1
2
a
a
Kết hợp a¢ a0; 1 Vậy có 3 giá trị của a Chọn B.
Câu 25: C cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên 0 2 b 2 2
d
Đồ thị của hàm số yf x có tiệm cận đứng là 1
2
d b
2 2
2
c
Lại có: 2 0 3 a 2 3
Vậy
Ta có: 2 1
3
y Phương trình tiếp tuyến tại A là: 1 2
3
y x hay x3y 2 0 Chọn A.
Câu 26: Gọi 1 4 7 2
;
7
Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là 1 4 7 2 3 1 4 7 2
7
x a
Ta tìm điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 7 2 7
3
Theo bài ra, hệ số góc của tiếp tuyến là k 6 a3 7a 6 a 2; 1;3
Vậy có tất cả hai giá trị a cần tìm Chọn B
Câu 27: Gọi 1 4 14 2
;
Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là
Trang 7
x a
Ta tìm điều kiện để (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 7 2 7
3
Theo bài ra, hệ số góc của tiếp tuyến là 4 3 28
Vậy có tất cả hai giá trị a cần tìm Chọn A.
Câu 28: Gọi tiếp tuyến d đi qua A có phương trình là 15 27 27 15
Vì C và d tiếp xúc nhau
3
3
2; 1
4
5 4
S Chọn C.
0
;
x
x x nên phương trình tiếp tuyến của C tại M là
Tiếp tuyến d cắt Ox tại 2 2
Tiếp tuyến d cắt Oy tại
0;
Do đó
4
0 2 0
1
2
OAB
x
2
Câu 30: Phương trình tiếp tuyến d của C đi qua M là y m k x 0 y kx m
Vì C tiếp xúc với d nên suy ra
2
3 1
Yêu cầu bài toán m g x 2x3 x21 có ít nhất 1 nghiệm thuộc 1;3
Xét hàm số g x 2x3 x2 1 trên 1;3 , có g x 6x2 2x0; x 1;3
Trang 8Suy ra g x là hàm số nghịch biến trên 1;3 g 3 m g 1 62m2.
Vậy có tất cả 2 62 1 61 giá trị nguyên m cần tìm Chọn C.
Câu 31: Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là 2 3 2
2
x
x m x
2
2
2 0
x x
x x x m 1444444444442444444444443
Để C cắt d tại 2 điểm phân biệt khi f x 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2
2 0
0
f
Khi đó, gọi x x là hoành độ các giao điểm 1, 2 1 2
1 2
6 2
2
m
m
x x
(1)
Theo bài ra, ta có
4
Từ (1), (2) suy ra 6 4 2
2
m
m Chọn B.
0
;
x
x x nên phương trình tiếp tuyến của C tại M là
Tiếp tuyến d cắt TCĐ: x2 tại 0 0
1
2;
Tiếp tuyến d cắt TCN: y1 tại B x2 02;2 x2 2x02
0 0
4
2
x
Câu 33: Phương trình tiếp tuyến của C tại M x y là k k; k y y k y x k x x k
3 2 2009 3 2009
yy x k x x k y k x k x x k x k x k (d)
Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là
2
k
k
x x
Do đó x k12x suy ra k x là cấp số nhân với n 1 1; 2 2 1
n n
Trang 9Vậy 2009 22013 0 3 22013 0 23 3 22013 0 672
Câu 34: Phương trình tiếp tuyến của C tại M x y là k k; k y y k y x k x x k
3 2 3 3 3
yy x k x x k y k x k x x k x k x k (d)
Phương trình hoành độ giao điểm của C và d là
2
k
k
x x
Do đó x k12x suy ra k x là cấp số nhân với n 1 1; 2 2 1
n n
Câu 35: Từ giả thiết ta suy ra được đường thẳng MN có một vectơ chỉ phương ur1;3
Gọi A x y ta có: 0; 0
3
45 3
8
Ta được các phương trình tiếp tuyến tương ứng là 3 117, 3 11, 3 1
Kiểm tra điều kiện cắt tại 3 điểm
Ta xét phương trình 1 4 7 2 1 4 7 2
8x 4x x m g x 8x 4x x m .
Khi đó 3
3
2
x
x
Ta được bảng biến thiên sau:
g x
14
8
1 117
8
Dựa vào BBT suy ra 11, 1
8
m m thì phương trình (*) có ba nghiệm
Trang 10Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn B.
Câu 36: Đường thẳng y ax b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2
5 6
y x x khi phương trình
Tương tự đường thẳng y ax b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 23x10 khi phương trình
x x ax b x a x b có nghiệm kép a 324b10 0 (2)
Từ (1) và (2)
2
2 2
16 48 0
10
6 4 49 0
6 4 49 0
a
b
Vậy M 2a b 4 Chọn B.
Ta có: 1 2
y x y x nên x x là nghiệm của phương trình: 1; 2 y x 4
x
x m (1)
Để tồn tại 2 điểm A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt không âm
1
2
1
m
m
Khi đó ta có: x A x B 2 2 4m 2 2 2 2 4m 2 2 m1
Kết hợp điều kiện suy ra 1;1 3
Câu 38: Gọi ; 1 1
1
a thuộc C
Phương trình tiếp tuyến tại K là:
2
1 1
a a
Tiếp tuyến đi qua điểm
1
a
1
1
a
a
Chọn A.
