D03 bài toán liên quan đến tỷ số đoạn thẳng muc do 4

Chứng minh rằng SB SD SB SD.

Câu 1 [HH11.C1.1.E03.d] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm

của SC Một mặt phẳng  P

chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB , SD tại các điểm B, Dkhác S.

Chứng minh rằng

SB SD

SB SD

Lời giải

Lấy I AM B D và OACBD

Ta có S , O , I là các điểm chung của hai mặt phẳng SACvà SBD .

Suy ra S, O , I thẳng hàng.

Và I là trọng tâm các mặt chéo SAC

2 3

SI SO

Vẽ BP B I và DN D I P N, SO  OP ON

2

x y

SB SD SI SI SI

Suy ra:

2

3

3



Từ  * :1  x 2 x2 3x  2 0 x(3 x) 2

2

x y xy



.Câu 1.[HH11.C1.1.E03.d] (HSG lớp 11 SGD Thanh Hoá 18-19) Cho lăng trụ ABCD A B C D Một mặt phẳng 1 1 1 1   thay đổi và luôn song song với mặt đáy cắt các đoạn AB1,B C1,CD1,DA1lần lượt tại M N P Q, , , .Hãy xác định vị trí   sao cho

MNPQnhỏ nhất

Lời giải

P

N

D'

I O

M D

B

C A

S

B'

Gọi A B C D   là thiết diện của  

với lăng trụ ABCD A B C D Do 1 1 1 1  

thay đổi và luôn song song với mặt đáy nên S A B C D   S ABCD S A B C D1 1 1 1 S

Đặt AB a BC b CD c ;  ;  ; DA d và các cạnh bên bằng nhau và bằng 1, 1

AA

AA





Xét AA B1 1có A M / /A B1 1.Theo định lí talet: 1 1 1

A M AA

A M ax

A B AA



Xét AA D1 có A Q / / AD Theo định lí talet: 1  

1

A A A Q

x d

A A AD



ta cũng có Nên tỉ số diện tích:



1 sin

A MQ

ABD

S A M A Q MA Q







Tương tự ta cũng có các kết qủa sau:

D PQ

S



Xét

B MN ABC

C NP BCD

D PQ

D PQ

ACD

S S

x.(1 ) S S

x.(1 ) S

S

S

x.(1 ) x.(1 )

A MQ

ABD

A MQ ABD

x x S

S

x S S

x

















































.Cộng các đẳng thức lại với nhau ta có :

Đặt SMNPQ S S S 2 (1x  x S)

.Vâỵ để Snhỏ nhất 2 (1x  x)thì lớn nhất

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

2

2 (1 ) 2

x  x     

Dấu bằng xẩy ra khi:

1 1

2

x  x x

Vậy   đi qua trung điểm cạnh bên và luôn song song với mặt đáy thì SMNPQ S

 nhỏ nhất và bằng nửa diện tích đáy