D02 phép chia trong tập số nguyên, số nguyên tố, ucln và bcnn muc do 3

Chứng minh rằng B27.. Trở lại bài toán.. Có tồn tại hay không bộ ba số nguyên dương x y z, , thỏa mãn phương trình trên?. Lời giải Có tồn tại bộ ba số nguyên dương x y z, , thỏa mãn p

Câu 1 [DS10.C1.1.E02.c] Cho số tự nhiên A thỏa mãn: nếu đổi chỗ ít nhất một cặp vị trí các chữ số của

số A , thì ta được số B gấp 3lần số A Chứng minh rằng B27.

Lời giải

Cho n N *, kí hiệu S n 

là tổng các chữ số của n

Ta có nhận xét: n9 S n 9; 3n  S n 3

Ta có B3 1A 

nên ta suy ra B , khi đó 3 S B 3 S A  3

do S A S B   A3 B9 S B 9  S A 9 A9  B27theo (1)

Câu 1 [DS10.C1.1.E02.c] (HSG NINH BÌNH 2018-2019) Cho đa thức P x( )có hệ số nguyên a b c, , là các

số nguyên thỏa mãn P a( ) 1, ( ) 2 P b  và P c ( ) 3 Chứng minh rằng: a c 2b

Lời giải

Cách 1:

Đa thức có nghiệm x b có thể viết dưới dạng (x b ).q( )x

Vì P b ( ) 2nên ta có P x( ) ( x b).q( ) 2x  với q x  ( ) [x]

Ta có:

( ) 1 ( ) 3

P a

P c









 thay vào P x( )ta được

1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1

3 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1



Vì a b c b q a ,  ,  , q c 

là những số nguyên nên a b và c b là ước của 1

Ta có P a( )P c( ) a c .Suy ra:

1 1

a b

c b

 





 

1 1

a b

c b

 





 

 2

a c b

Cách 2:

Bổ đề: Cho P x( )là đa thức với hệ số nguyên; a b, là hai số nguyên khác nhau Khi đó: ( )P a  P b( )a b

Trở lại bài toán

Ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P a P b

P c P b

P a P c











a b

c b

a c











 

Khi đó:

Như vậy: a b và c b là ước của 1

Suy ra:

1 1

a b

c b

 





 

1 1

a b

c b

 





 

  a c 2b

Câu 1 [DS10.C1.1.E02.c] (HSG ĐỒNG THÁP 18-19) Xét phương trình x31y5 z2018

Có tồn tại hay không bộ ba số nguyên dương x y z, , thỏa mãn phương trình trên?

Lời giải

Có tồn tại bộ ba số nguyên dương x y z, , thỏa mãn phương trình trên

Vì: Xét x 2 ,5m y 2 ,31m m 

Khi đó: x31 y5 25m31 231m5 2.2155m 2155m 1

Mà theo đề bài ta có: x31y5 z2018nên ta cần chọn m sao cho: 155m 1 2018 ,n n   1

Khi đó: z 2n Từ  1

suy ra: 2018n 1chia hết cho 155 Hay: 3n  1chia hết cho 155

Đặt: 3n 1 155 ,k k 



Suy ra: 155k 1chia hết cho 3 Hay 156k k1

chia hết cho 3

Do đó: k 1chia hết cho 3

Đặt: k 1 3 ,q q  k 3q 1,q 

.Từ đó suy ra: m2018q677 Như vậy x y z, ,  25 2018  q 677 , 231(2018q 677), 2155q 52,q 

đều là nghiệm của phương trình đã cho