D02 phép chia trong tập số nguyên, số nguyên tố, ucln và bcnn muc do 4

Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100.. Nếu tất cả các số bằng nhau thì tất cả các số là 2.

Câu 1 [DS10.C1.1.E02.d](HSG 12 VĨNH LONG 2018-2019) Cho 100 số tự nhiên không lớn hơn 100 và

có tổng bằng 200 Chứng minh rằng từ các số đó có thể chọn được ít nhất một bộ các số có tổng bằng 100

Lời giải

Xét 100 số tự nhiên a a1, , ,2 a và 100 a1a2  a100 200.

Nếu tất cả các số bằng nhau thì tất cả các số là 2 Khi đó ta lấy 50 số 2 sẽ có tổng là 100 Giả sử

1 2

a a ta xét 100số có dạng 0a a a1, ,2 1a a2, 1a2a3, ,a1a2 a99200.

Nếu có một số chia hết cho 100 thì số đó bằng 100 vì số đó bé hơn 200

Nếu không có số nào chia hết cho 100 thì trong 100 số phải có hai số đồng dư trong phép chia cho

100 (vì các số dư nhận giá trị từ 1đến 99) suy ra hiệu của chúng chia hết cho 100và hiệu hai số đó chính là tổng cần tìm

Câu 1 [DS10.C1.1.E02.d] (HSG Toán 11 - Sở Quảng Ngãi - 2018 – 2019) Tìm tất cả các bộ n k p, , 

với ,

n klà các số nguyên lớn hơn 1và plà một số nguyên tố thỏa mãn n5n4 2n3 2n2 1 p k

Lời giải

Từ giả thiết  n k, 2

Ta có:        

        







3 2

1 1

r s

   



 

  

 trong đó

0

r s

r s k

 





 



 

2

   





 Mặt khác: n2 n 1 n 2 n2  1 0, n n2 n 1n 2 0,  n 2 2 

Từ    1 , 2

suy ra n  , do đó 2

5 25

2

p

k





  



Vậy bộ số cần tìm là:n k p , ,  2, 2,5

Trang 1