D05 một số bài toán áp dụng số nguyên tố, số chính phương và hợp số muc do 4

Tại ô góc trên bên trái của bảng người ta đặt một quân cờ.. Hai người chơi luân phiên di chuyển quân cờ, mỗi lượt di chuyển chỉ di chuyển quân cờ sang phải một ô hoặc xuống dưới một ô..

Câu 1 [DS10.C1.1.E05.d] (HSG NINH BÌNH 2018-2019)1) Với số n nguyên dương, đặt f n( )là các ước

G n f m  f n  m  m n

và gọi p là số nguyên tố i

thứ i i  ( *).

Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G và p là ước nguyên tố của n thì m (p p1 2 p là ước của n m)

2) Với số nguyên tố p , gọi m k M, là các số nguyên dương thỏa mãn 2k

m

p

 và ( 1 2 1)2k

m

M  p p p 

Chứng minh rằng: Nếu n M và n thuộc G thì n chia hết cho p m

Lời giải 1)

np p p k N i a  f n  k  k  k  Giả sử nchia hết cho p , tồn tại m i thỏa mãn 1 i m a   mà nkhông chia hết cho p i

Suy ra k m 1,k i 0.

Xét 0

i

m

n

p



ta có:

0

k

k



Do k m 1 2k m k m nên1 f n( )0 f(n) mâu thuẫn

Vậynchia hết chop với mọi i i1, 2, , m

2)

Xét n G và n M

Giả sử không chia hết cho p thì mọi ước của n đều thuộc tập m  p p1, , ,2 p m1

( Thật vậy, giả sử n có ước p j p m

thì theo ý (a) n chia hết cho p p1, 2, ,p m, ,p j.

Mâu thuẫn.) Suy ra : 1k1 2k2 k m11 (k N,i 1, 1)



Vì n M nên tồn tại: 1   sao cho i m 1 k i 2k

Đặt 1 i k

n n p



và n0 n p1 m Do p i k 2k  p msuy ra n0  n

f(n) (k 1)(k 1) (k 1)   t

f(n ) (k 1)(k  1) (ki 1)(k k 1)(ki  i 1) (k 1).2t

Vì k i 1 2k 2(k k 1) k 1i   i  f(n ) f(n).0  Mâu thuẫn

Vậy có điều cần chứng minh

Câu 1 [DS10.C1.1.E05.d] (HSG ĐỒNG THÁP 18-19) Cho bảng ô vuông gồm m hàng và n cột Tại ô

góc trên bên trái của bảng người ta đặt một quân cờ Hai người chơi luân phiên di chuyển quân cờ, mỗi lượt di chuyển chỉ di chuyển quân cờ sang phải một ô hoặc xuống dưới một ô Người chơi nào đến lượt mình không di chuyển được quân cờ thì thua Xác định điều kiện của m n, để người thực hiện lượt chơi đầu tiên luôn là người thắng

Lời giải

Trước hết, ta gọi người thứ nhất là người chơi đầu tiên, người còn lại là người thứ hai

Ta dùng hai màu trắng, đen tô lần lượt các ô vuông trong bảng (tô đan xen như bàn cờ), với ô trên cùng bên trái tô màu trắng

Quy ước: ô thuộc hàngp, cột qgọi là ô ( p q; )

Khi đó:

+ Nếu m n, cùng tính chẵn, lẻ thì ô ( )1;1

cùng màu với ô (m n; )

+ Nếu m n, khác tính chẵn, lẻ thì ô ( )1;1

khác màu với ô (m n; )

Từ giả thiết bài toán, người chơi chỉ có thể di chuyển quân cờ sang phải hoặc xuống dưới một ô, ta nhận thấy cả hai người chơi đều phải di chuyển quân cờ sang ô khác màu với ô đang đứng

Ở lượt di chuyển đầu tiên, thứ nhất sẽ di chuyển quân cờ sang ô màu đen, và người thứ hai sẽ di chuyển quân cờ sang ô màu trắng Cờ luôn được đưa về ô (m n; )

Để người thứ nhất thắng thì quân cờ phải được di chuyển vào ô(m n; )

và ô (m n; )

phải được tô màu đen (trùng với màu mà người thứ nhất di chuyển lượt đầu tiên) Điều này xảy ra khi m n, khác tính chẵn, lẻ

Ngược lại, nếu m n, cùng tính chẵn, lẻ thì lập luận tương tự như trên, người thứ hai luôn thắng Vậy m n, khác tính chẵn, lẻ thì người thứ nhất luôn thắng