D08 cực trị hình học trong hình học không gian muc do 3

Tìm vị trí của M và Nsao cho độ dài đoạn MNnhỏ nhất... Tính x để diện tích thiết diện lớn nhất... Tính IM IJ và IR AI x  sao cho tổng diện tích Lời giải... Tính giá trị nhỏ nhất của đo

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] Cho hính chóp SABC có mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SBC vuông

cân tại S, góc ASC 1200 Các điểm M và N lần lượt di động trên 2 cạnh AB và SCsao cho

AB SC Tìm vị trí của M và Nsao cho độ dài đoạn MNnhỏ nhất.

Lời giải

Theo bài ra ta có SA SB SC  .

Đặt SA SB SC m   và SA a 

, SB b

, SC c 

ta có a b c m

và

2 2

m

a b  

, b c 0

 

,

2

2

m

a c  

.

Đặt

k

AB SC  , (0   khi đó:k 1)

NC k SC kc 

,

AM k AB k b a 

MN MA SC CN k b a  a c kc   k a kb   k c

2

MN  k a kb   k c k m k m   k m  k k  k

2

3

Dấu bằng xảy ra khi 5 0;1

6

k  

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] Trong mặt phẳng  P

trên  O

Lời giải

C

D

d S

O

d

I K

P

Cách dựng:

là mặt phẳng trung trực của SA

Chứng minh:

Vì I Q

1

2

ABCD

S  AC BD

BD BO  OK  R  OK

H O

K O





 



Vậy tứ giác

ABCD là hình vuông Khi đó

2

1 2 2 2 2

ABCD

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình thang cân ( AD BC ) và/ /

2

BC a,AB AD DC a a    0 Mặt bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và

a) Tính SD

SD và AC Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ) Biết MD x Tính

x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Lời giải

O

S

T

M N

P

K

Q

J

a) Dễ thấy đáy ABCD là nữa hình lục giác đều cạnh a

Kẻ DT AC// (T thuộc BC) Suy ra CT AD a và DT vuông góc SD

Qua M N P, , kẻ các đường thẳng song song với SD cắt SB SA SC, , lần lượt tạiK J Q, , Thiết diện là

dt NPQKJ dt NMKJ dt MPQK 

2 NJ MK MN 2 MK PQ MP 1

2 NJ MK NP

Ta có:

3 3

a

2

3

a

a



 



=

2

4

2

3 3

3 4

x a

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] Cho hình chóp S ABC có  ASBASC45 ;

cos( )

4

BSC 

; SB SC  2;

S ABC cắt bởi mp  a có diện tích lớn nhất

Lời giải

a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có ABAC a

SAB SAC c g c

Ta có:

SA AB

SA ABC

SA AC









b) BC AK ; SAAK Trong mặt phẳng ABC

a

AK 

2

2

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC Các

ABD tại  A', B', 'C

1) Chứng minh tổng

Lời giải

1 1

ABC





Tương tự ta có:

1 1

ABC





;

1 1

ABC





Suy ra:

1

DA  DB  DC  ( Do SMBC SMAC SMAB SABC)

2) Ta có

3

DA  DB  DC  DA DB DC



1

27

MA MB MC  DA DB DC

(không đổi)

1

27 DA DB DC đạt được khi

3

DA DB DC 

1 3

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A B C D Một mặt phẳng ’ ’ ’ ’  P thay đổi luôn

cắt các đoạn AA BB CC DD’, ’, ’, ’lần lượt tại

, , ,

I J H K và cắt các đoạn AB BC CD DA’, ’, ’, ’lần lượt tại M N Q R, , , .

Tính

IM

IJ và

IR

AI

x 

sao cho tổng diện tích

Lời giải

Ta có AA ' ' IJ IJ

x AB

A R A I

IK A D A A

AA '

1

AA ' AA '



1 x IK

Gọi S là diện tích của mặt đáy

IR

IM

IK

Tương tự  S NJM x(1 x S) JIH;S QHN x(1 x S) HJK;S RKQ x(1 x S) KHI

IMR QHN (1 )( IJK HJK) (1 )

S S x  x S S x  x S

2 IMR

2 (1 ) 2[ ( ) ]S

RKQ QHN NJM

S

S

khi

1 2

x 

song song và cách đều hai mặt đáy

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] Cho hình lập phương ABCD A B C D cạnh bằng ’ ’ ’ ’ a Lấy điểm Mthuộc đoạn

’

, 0

2

a

1 Tìm độ dài đoạn MN

2 Tìm xtheo a để đoạn MN ngắn nhất.

Lời giải 1.

Gọi M’, ’N lần lượt là hình chiếu của M , N lên AD

2

2

x

;

2

2

x

N D N N

MN

3 3

a

2 3

a x

2

3

MN

.Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] Cho hình chóp .S ABCD có

Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK

Lời giải

2

Tam giác SAK vuông tại Anên

SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AKnhỏ nhất  K O  x0

Vậy SK nhỏ nhất bằng

6 2

a

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA h vuông

, M là điểm thay đổi trên CD Kẻ SH vuông góc với BM Xác định vị trí

Lời giải

Mà BMSH (gt)  BMAH

Giới hạn: Khi M C thì  HB(chứng minh được BCSAB

)

Khi MD thì  H O (O là tâm hình vuông).

 1

2

ABH

max

ABH

Khi đó

AH BH

HK

AB

AB



2

AB

 2

AB

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] Cho tam giác S ABCD đáy là hình thang, đáy lớn BC2a , đáy bé AD a ,

qua điểm M và

Lời giải

D a A C

S

N

B b

2a

M

Q P

x

P Q

N H K M

b x

b



x

b



;

ab ax MN

b





Từ đó tính ra được

3 2

ab ax QK

b





2

MNPQ

S  MN PQ QK 2 23   3 

4

a

b

đạt giá trị lớn nhất

   

2 2

3

3 4

MNPQ

a

b

2 2

2

2 4

b

2 3 12

a



b

x 

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] (HSG Toán 11 – Cụm Hoàn Kiếm Hai Bà Trưng năm 1617)Trên  P

, cho

B Gọi  Q

là mặt phẳng đi qua A , vuông góc với SB ,  Q

SA SB a  , ABM   Tính a ,  theo diện tích tam giác AHKvà tìm tan để diện tích tam giác

Lời giải

α K

H

M S

sin sin 1

a





a

AH 

2

sin

2 sin 1



cos







1 2

AHK

2 2

2 2







2 2

2 2







8

2 2 2 2 tan



Vậy diện tích tam giác AHKđạt giá trị lớn nhất là

2

8

a

xảy ra khi 2 tan2 1

1 tan

2



.Câu 1.

[HH11.C2.1.E08.c] Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB), (SAC) cùng vuông góc với

, tam giác ABC vuông cân tại B, SB = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

đạt giá trị lớn nhất

Lời giải

H

M G

N

D

A S

Vẽ hình vuông ABCD, mp(SCD) chứa SC và song song với MN nên

d MN SC d MN SCD d M SCD  d A SCD  AH

sin 2

AH



  

Câu 1 [HH11.C2.1.E08.c] (HSG lớp 12 SGD Hà Nam NH 18 – 19) Cho tứ diện đều ABCDcó cạnh bằng

luôn vuông góc với mặt phẳng ABC ĐặtAM x, AN y Tìm x , yđể tam giác DMNcó diện

tích nhỏ nhất, lớn nhất

Lời giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều ABC Do ABCD là tứ diện đều nên



1 2

DMN 

MN lớn nhất, nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất.

,

Vì MN

và MO



cùng hướng nên

x



Từ 0x y,  , ta có 1

2

x

t x

x

 

 với

1

;1 2

x  

 ,





x x

t x

x

Bảng biến thiên:

Quan sát bảng biến thiên, ta có

3 t 2.

Ta có 2   2

trên đoạn

4 3

3 2;

MN min

2

3







   

 



x t

y

, MN max

1

1

, ,

rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông M là điểm di động trên đoạn

BC và BM x  , K là hình chiếu của S trên DM Tính độ dài đoạn SK theo avà x Tính

giá trị nhỏ nhất của đoạn SK

Lời giải

C

B

S

M

K

SA vuông góc với mp ABCD nên SA vuông góc với ABvà AD Vậy các tam giác SAB và SAD vuông tại A.

Vậy tam giác SBC vuông tại C

M

2

2 2ax 2a2

a x



ax a

a











SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AKnhỏ nhất  K O x 0 S Knhỏ nhất bằng

6 2

a