Đề olympic 2018 đề nghị chuyên lê quý đôn ninh thuận lớp 11

Cho tam giác ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp I.. Gọi D là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC theo thứ tự là ,E F.. Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH NINH THUẬN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - 4 LẦN THỨ XXIV

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN ; KHỐI: 11

ĐỀ THI

CÂU HỎI 1 (4.0 điểm) Giải phương trình x33x27x 6 3x7 33x26x2

CÂU HỎI 2 (4.0 điểm) Cho dãy số ( )x thỏa mãn: n 1

3

3;

x









Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn đó

CÂU HỎI 3 (3.0 điểm) Cho tam giác ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp I Gọi D là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC theo thứ tự là ,E F Gọi , H K lần

lượt là hình chiếu vuông góc của I lên BC và AH Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn đường kính AD cắt nhau tại M

a) Chứng minh rằng tam giác MBC cân

b) Chứng minh rằng KB HC KC HB

CÂU HỎI 4 (3.0 điểm) Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn:

  ( ) ( ) ( )  1 ( )  1 ( ), ,

f x y f x f y f xy  y f x  x f y x y 

CÂU HỎI 5 (3.0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m n m  , luôn tồn tại số,  2 nguyên dương k sao cho:

n



CÂU HỎI 6 (3.0 điểm) Trên một bảng các ô vuông kích thước 17 17 , người ta đặt vào giữa

một hình vuông khác có cạnh chung với hình vuông mà chúng đang đứng, tiếp theo chúng quay

đứng chung trong một hình vuông

HẾT

-Số phách

Số phách

CÂU HỎI 1 (4.0 điểm) Giải phương trình x33x27x 6 3x7 33x26x2 ĐÁP ÁN CÂU HỎI 1:

3

u x

 







Ta có hệ phương trình:  

3

3

u v u uv v x







Vì

u uv v  x  v     x

Do đó: x 1 33x26x2 x3 3x1  1

Đặt x2cos  0;  , khi đó:  1 trở thành:

CÂU HỎI 2 (4.0 điểm) Cho dãy số ( )x thỏa mãn: n 1 3

3;

x









Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn, tính giới hạn đó

ĐÁP ÁN CÂU HỎI 2:

x   x  x   x   x   x  m

f x  x  f x   x

BBT:

( )

( )

n

x  x  x   x   x  x 

x x Giả sử x n1x n, với n 1, ta có:

khoảng (2;) nên ta có x n2 x n1 Vậy dãy ( )x n giảm.

lim n

Đặt a2cos ,t t[0; ] , ta được:

3

2

cos 6 cos 2cos 3 cos 1





18

Vì t[0; ] và cos3t 0 nên ta được 3 nghiệm 0; ; 4

a a   a  

CÂU HỎI 3 (3.0 điểm) Cho tam giác ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp I Gọi D là trung điểm BC, hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC theo thứ tự là ,E F Gọi , H K lần

lượt là hình chiếu vuông góc của I lên BC và AH Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn đường kính AD cắt nhau tại M

a) Chứng minh rằng tam giác MBC cân

b) Chứng minh rằng KB HC KC HB

ĐÁP ÁN CÂU HỎI 3

a) Gọi J là giao điểm của MD với đường tròn đường kính AD, ta có tứ giác EDFJ là tứ giác điều hòa Vì A(EDFJ) nên (A EFDJ)A BCDJ( )1

Vì D là trung điểm BC nên AJ BC , mà || AJ JD nên BCMD Tam giác MBC có

MD vùa là trung tuyến, vừa là đường cao nên cân tại M

b) Gọi ,U V lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ( ) I với AB AC Ta có:,

 BC là trục đẳng phương của hai đường tròn ( )I và đường tròn đường kính IH

 IK là trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính IH và IK

 UV là trục đẳng phương của hai đường tròn ( )I và đường tròn đường kính IK

Vì tam giác ABC không cân nên UV cắt BC tại X và ta có XIK

Áp dụng định lý Cé-va cho tam giác ABC với các điểm , ,H U V ta có AH BV CU đồng , , quy Do vậy (K XHBC  ) 1

Mà KX KH nên KH là phân giác của góc BKC

Suy ra KB HB

KC HC hay KB HC. KC HB. (đpcm)

CÂU HỎI 4 (3.0 điểm) Tìm tất cả các hàm số :f   thỏa mãn:

V

U

X

I

M

K

H E

F

D

C

B A

J

  ( ) ( ) ( )  1 ( )  1 ( )  * , ,

f x y f x f y f xy  y f x  x f y x y  ĐÁP ÁN CÂU HỎI 4:

Đặt P a b là phương trình được tạo ra khi thay  ;  x a y b ,  trong phương trình  *

 

f

f





Nếu f  0 2 P x ;0 : f x   x 2 không thỏa  *

 

f

f







Nếu f  1 3 P x 1;1 : f x  3x, thỏa  *

Nếu f  1  3 f 1 0 Khi đó:

Vì thế: f x  2 3 f  1  f x 1  x1  f 1

Hơn nữa: P x  2;1 : f x 1 3 f  1  f x 1   x1  f 1

 

 

1

f x f x

f

 





 Khi đó: P x ;1 : f x 1 3f x   f x  3f x  f x 0, thỏa  *

Nếu f  1 2, ta có:

     

2

P x x f f x f x f x x f x x f x

f x f x x f x x x f x x x f x

f x f x x f x xf x x

P x x f x f x f x x f x

f x f x x f x xf x x f x x

2  4 2 2   2

f x x x f x x x

Vậy có 3 hàm số thỏa yêu cầu bài toán: f x 0, f x 3 ,x f x x2x

CÂU HỎI 5 (3.0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m n m  luôn tồn tại,  2

số nguyên dương k sao cho:

n



ĐÁP ÁN CÂU HỎI 5:

Bổ đề: Với a là số thực khác 0, a 1

a

 là một số nguyên thì n 1

n

a a

 là một số nguyên, với mọi số

tự nhiên n .

Chứng minh bổ đề: (dùng quy nạp)

a

    Ta có: S0 2,S1 

a

    Cần chứng minh 1

1

k

a



Thật vậy:

Quay trở lại bài toán: Đặt 2 4 1

2

r    

         r là nghiệm của phương trình X2 mX   1 0

Vì tích hai nghiệm bằng 1 nên nghiệm còn lại của phương trình là 1

r và

2

4 2

r  

n n

        r n là nghiệm của phương trình: 2

1 0

Y  kY 

n

r   r           

CÂU HỎI 6 (3.0 điểm) Trên một bảng các ô vuông kích thước 17 17 , người ta đặt vào giữa

một hình vuông khác có cạnh chung với hình vuông mà chúng đang đứng, tiếp theo chúng quay

đứng chung trong một hình vuông

ĐÁP ÁN CÂU HỎI 6:

Tô màu các ô vuông của bảng bằng 4 màu ký hiệu là A, B, C, D theo quy tắc trên Ta thấy

có 81 ô A; 72 ô B; 72 ô C và 64 ô D Ta chia các ô vuông thành 2 loại:

Loại 1 gồm các ô A và D

Loại 2 gồm các ô B và C

Vì có 257 con robot và có 2 loại ô vuông, nên theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất là 257

1 129

2

 

  con robot chứa trong các ô loại 1 hoặc có ít nhất 129 con robot chứa trong các ô loại 2

Trong khi di chuyển, có thời điểm các con rô-bốt ở trong các ô loại 1 chuyển sang hết các ô loại 2 và ngược lại Sau đó, các robot trong các ô loại 1 sẽ quay về các ô loại 1, các robot trong các ô loại 2 cũng quay về các ô loại 2 Như vậy sẽ có thời điểm các ô loại 1 chứa ít nhất 129 con robot

Vì các ô loại 1 có hai màu A và D nên theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất là 129 1 65

2

 

con robot chứa trong các ô A hoặc có ít nhất 65 con robot chứa trong các ô D

Ta cũng thấy rằng sau mỗi sau mỗi lần di chuyển thì tất cả các robot trong ô A chuyển hết sang ô

D và ngược lại Do đó phải có thời điểm mà có ít nhất 65 con robot chứa trong các ô D Vì chỉ có

64 ô D nên theo nguyên lý Dirichlet phải có 2 ô D chứa ít nhất 2 con robot