Đề thi hsg môn toán lớp 12 sở sóc trang năm học 2017 2018 file word có lời giải chi tiết

Tia MN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D... Tia MN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D.. Đây là bài rất khó, nhóm đã hỏi nhóm hỗ trợ: Cô Lưu Thêm, Thầy Nguyễn Tất Thu

SÓC TRĂNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

( Đề thi này có 01 trang )

Môn Toán – Lớp 12 Năm học 2016 – 2017 Ngày thi : 18/9/2016 Thời gian làm bài : 180 phút

( Không kể thời gian phát đề )

Bài 1: (6,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n , số n n ( 6 1) chia hết cho 7

Bài 2: (7,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

2







Bài 3: (7,0 điểm ) Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong BM CN, (MAC N, AB)

Tia MN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D

1) Gọi A B C lần lượt là hình chiếu vuông góc của 1, 1, 1 D xuống đường thẳng BC CA AB, ,

Chứng minh DB1 DA1DC1

2) Chứng minh rằng : 1 1 1

DB DA DC .

-Hết -Bài 1: (6,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n , số n n ( 6 1) chia hết cho 7

Lời giải

Ta chỉ cần chứng minh n n ( 6 1) chia hết cho 7 với mọi số nguyên n và n  hay 0 n   bằng  phương pháp quy nạp toán học vì khi 6

( 1)

n n  chia hết cho 7 với mọi số nguyên n và n  thì0 6

( 1)

n n  chia hết cho 7 với mọi số nguyên n và n  0

Với n  ta có 0 n n ( 6 1) 0 nên n n ( 6 1) chia hết cho 7

Giả sử n n ( 6 1) chia hết cho 7 đúng với n k k (  *) tức là k k ( 6 1) chia hết cho 7 ( 1) Khi đó ta có (k1)6  1 6k15k220k315k46k5k6

Suy ra

Mà 7

(k  k) chia hết cho 7 ( do (1) ) và 6 5 4 3 2

7(k 3k 5k 5k 3k k)chia hêt cho 7 nên 6

(k1)[(k1) 1] chia hết cho 7 Do đó 6

( 1)

n n  chia hết cho 7 đúng với n k 1 Vậy n n ( 6 1) chia hết cho 7 với mọi số nguyên n ( đpcm).

Bài 2: (7,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

2







Lời giải

Điều kiện : y  1 0 y1

Xét phương trình 2x y y2  3 2x4x6 (1)

và (x2) y 1 (x1)2 (2)

Ta có (1) (2x y2  2 ) (x4  y3 x6) 0  2 (x y x2  2) ( y x 2)(y2yx2x4) 0

( )(2 ) 0 ( )[( ) 2 ] 0

2

2 1 2 2 3 2

y x







+Với y x 2 thay vào (2) ta được 2 2

(x2) x  1 (x1) (3)

Ta có

(3)



Ta có x2  3 y3 ( thỏa mãn )

+Từ (*) suy ra x y 0 thay vào (2) ta được 2 1 1  ( vô lí )

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ( ; )x y là ( 3; 3) và ( 3; 3)

Bài 3: (7,0 điểm ) Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong BM CN, (MAC N, AB)

Tia MN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D

1) Gọi A B C lần lượt là hình chiếu vuông góc của 1, 1, 1 D xuống đường thẳng BC CA AB, , Chứng minh DB1DA1DC1

2) Chứng minh rằng : 1 1 1

DB DA DC .

(Đây là bài rất khó, nhóm đã hỏi nhóm hỗ trợ: Cô Lưu Thêm, Thầy Nguyễn Tất Thu,… nhưng vẫn không có định hướng giải)

Hướng dẫn tìm và tải các tài liệu ở đây

https://forms.gle/LzVNwfMpYB9qH4JU6