Đề thi hsg môn toán học lớp 12 thpt nguyễn duy thì năm học 2016 2017 file word có lời giải chi tiết

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A B, sao cho AB 2I

Trường THPT Nguyễn Duy Thì

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ THI MÔN TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1(3 điểm): Cho hàm số: 2 3

2

x y x





1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang lần lượt tại A B, sao cho AB 2IB, với I(2, 2)

Câu 2 (2 điểm):

1 Giải hệ phương trình:

2

( , ).

2

x y

x y











2 Giải phương trình: sin 2 3tan 2 sin 4

2.

tan 2 sin 2





Câu 3(1 điểm):

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có, điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y  4 0 Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình: 3x 4y 23 0 Tìm tọa độ của B và C, biết điểm B có hoành độ dương

Câu 4 (2 điểm): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh

a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng

0

60

1 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a.

2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a.

Câu 5(1 điểm) : Cho a b c, , là ba số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1

P

Trường THPT Nguyễn Duy Thì

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2016-2017

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN

1

Cho hàm số: 2 3

2

x y x





 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

1,5

TXĐ: D R \ 2 

x

y

 

  phương trình đường TCN: y = 2

lim ;lim

    phương trình đường TCĐ: x = 2

0,5

/

2

1 0 2

x





 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Hàm số không có cực trị

0,25

Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)

Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0)

Đồ thị:

0,5

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường 1,5

x y

’ y

∞

+∞

2

2

tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho

2

AB IB, với I(2;2).

Gọi 0 0

0

2

x

x





PTTT của (C) tại M:

2

1

0,55

Do AB 2IB và tam giác AIB vuông tại I  IA = IB nên hệ số góc

của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1 vì

/

2

1 0 2

y x



 nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1

0,5

0 2

0 0

1 1

1

3 1

x x x









0,25

 có hai phương trình tiếp tuyến:

y x 2; yx6

0,25

2 1 Giải hệ phương trình:

2

, 2

2 3 2 4 (2)

x y

x y

x y x y x y

   











1,0

Đk:

1 2 1 2

x y









 



0,25

2 4 0 ( )

x y

  





0,25

2

4

2

x y xy

2 2

2

4

2

xy

 



 



0,25

Hệ đã cho tương đương:

1

3



0,25

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: 1 3; , 3; 1

2 2 2 2

2

Giải phương trình: sin 2 3tan 2 sin 4 2

tan 2 sin 2





1

Đk: cos 2 0

tan 2 sin 2 0

x







Pt tương đương:

3sin 2xtan 2xsin 4x 0

3sin 2 cos 2 sin 2 sin 4 cos 2 0

cos 2 1 sin 2 sin 4 0

0,25

2 cos 2 1

cos 2 1 0

sin 2 0

1 cos 2

x x













 

 











0,25

Nghiệm

3

x  k thỏa mãn (*) Phương trình có 2 họ nghiệm:

3

x  k

0,25

3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD

có (5, 7) A  , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình:

4 0

x y   Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có

phương trình: 3 x 4y 23 0 Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B

có hoành độ dương.

1,0

Gọi C c c ; 4d1, M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2:

3x – 4y – 23 = 0

Ta có AIM đồng dạng CID

10 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,25

Mà I d 2 nên ta có: 3 10 4 10 23 0 1

c

Vậy C(1;5)

0,25

Ta có: 2

M d  M t   B t   

AB t   CB  t  

0,25

1 1

4

5

t

t







 



( 3; 3) ( )

33 21

;

33 21

5 5

B B

 







4 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác

SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc

giữa mặt phẳng ( SCD và mặt phẳng đáy bằng ) 60 0

1. Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

1,0

H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD

Ta có:



3 2

a

SH 

0,25

Góc giữa (SCD) và mặt đáy là SMH 600 0,25

tan 60 2

.

3 2 2 12

S ABCD

V

2 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a

Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ

đường thẳng  đi qua H ,   d và  cắt d tại J,  cắt BD tại I trong

(SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K

Khi đó: dBD SA,  dI S d,( , )  2dH S d,( , )  2dH SBD,( )  2HK

0,25

Ta có BIH đồng dạng BAD 5

10

IH

Xét SHI vuông tại H, ta có: 1 2 12 12 3

8

a HK

Vậy  ,  3

4

BD SA

a

0,5

5 Cho , , a b c là ba số duơng Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1,0

     

1

P

a b c        a b  c   a b c  

0,25

     

a b c            

0,25

Vậy

P

     

=

 3

2 54

( )

2 f t

t  t  với t a b c   1 (t 1)

0,25

 

4 2

4

2 162

1( ) 2

t

t loai





Vậy giá trị lớn nhất của 1

4

P  khi

3

1 1

a b c

c

  







 



0,25

f’(t)

f(t)

0

-1/4