Đề thi hsg môn toán học lớp 12 sở gd đt bắc ninh năm học 2015 2016 file word có lời giải chi tiết

Tìm giá trị lớn nhất của biểu F Câu 4.. Gọi M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác AMC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Chứng minh đường thẳng GI vuông góc với

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNHNĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: Toán – Lớp 12 Chuyên

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016

Câu 1 (4,0 điểm)

Cho hàm số 1

x y x

 



 (C) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m  luôn

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k 1 , k 2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến

với (C) tại A và B Tìm m để 2016 2016

k k đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 2 (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: x33x27x 6 (3x7) 33 x26x2

b) Giải hệ phương trình:

2

2 3

9

9









Câu 3 (3,0 điểm)

Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x y 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu

F

Câu 4 (6,0 điểm)

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : 3 P x y 2 -14 0,z  ( ) :Q x2 - 3y z16 0 và điểm M6;2;4  Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (P), F thuộc

mặt phẳng (Q) sao cho ME EF FM  2 30

b) Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác AMC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh đường thẳng GI vuông góc với đường thẳng CM.

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho dãy số ( )u thỏa mãn điều kiện: n

1

2 1

3

2014

2016 2016

n

u

u 











 a) Chứng minh: ( )u n là dãy số tăng

b) Với mỗi n1,n , đặt

1 2

n n

n

u v

u 



 Chứng minh rằng với mọi n  1

1 2 n 2016

v v  v 

- Hết -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi: Toán - Lớp 12 Chuyên

Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016

1

4,0 đ

x

x

 

1

2

x  không là nghiệm)

Dễ thấy đường thẳng ( ) :d y x m  cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt với mọi m

2,0

Gọi x x là nghiệm của (*), ta có 1, 2 1 2 2 2 1 2

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có k12016k220162(k k1 2)1013 2 Dấu bằng xảy ra khi

2,0

2

Phương trình đã cho  (x1)34x 5 (3x7) (33 x7)(x1) 4 x 5

Đặt u x 1,v3 (3x7)(x1) 4 x 5 Ta có hệ:

3

3

u v u uv v x







0,5

0,5 Nếu x   2;2 đặt x2cos ( [0; ]) , khi đó (1) trở thành: 8cos3 6cos  1

Do đó pt (1) nhận 2 os ; 2 os5 ; 2 os7

1,0

Mặt khác phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm

Giải hệ phương trình:

2

2 3

9

9

y y

x y x x y y

x x







 ĐK: x0,xy2

Ta có 3 2 3

(1) x  2x6ln(x x 9) ( y)  2 y6 ln( y y9) (*)

Xét hàm f t( ) t3 2t6ln(t t29),t 

9

f t t

t



2

2

t

t



Suy ra f(t) đồng biến và liên tục trên 

Mà (*) f x( )f( y) x y  y x 2

1,0

Thay vào (2) ta được:

2

3

3

(ĐK x 32 )

x



 

2 3

2 5

x x x

Nên pt (3) có nghiệm duy nhất x = 3.

Vậy hệ pt có nghiệm ( ; ) (3;9)x y  .

1,0

3

3,0 đ

Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có

4

x y  z  z x y  z   x y z  

2

x y z

x y z     

F

1,5

3

t t

3

g t

t t

Lập BBT suy ra

2

1

12

x g t g

12 tại x y 1,z0

1,5

4

Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P) và (Q) là A3;1;2 , 5;0;7  B 

Do đó với E( ),P F( )Q thì ME EF FM  DE EF FC DC   2 30

Tìm được (28; 14 70; ), (32; 16 80; )

Chọn hệ Oxy sao cho O là trung điểm BC,tia Ox là tia OC, tia Oy là tia OA.

Gọi BC=2a, ( ; d A BC)h

Khi đó B a- ;0 , C a ;0 , 0; A h

1,0

Tính được

3

h



Ta có

h

5

2,0 đ

Dùng quy nạp chứng minh đc u n 2,  n * Do đó u n1u n

Vậy ( )u là dãy tăng (đpcm) n

1,0

n

u



n

n

1,0

- Hết