a Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến.. b Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.. chỉ có 1 nghiệm số thực xn... Bất phơng trình đã cho thỏa
Trang 1Đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn Toán học – Thời gian làm bài 180 phút
Bài 1: Cho y = (-m + 1) x3 + 3( m + 1) x2 - 4 mx - m
a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng
Bài 2: Tìm các giá trị của tham số a để bất phơng trình :
1 3 4
1
a x ax
x
Đợc nghiệm đúng với mọi x
Bài 3: Giải phơng trình
2 ) 1
3
x
x
x x
Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thoả mãn
y6 + y3+ 2 x2 = xy x2y2
Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD ; M là 1 điểm nằm bên trong tứ diện;AM, BM , CM, DM.
Lần lợt cắt các mặt BCD; ACD; ABD; và ABC tại A1, B1 , C1 , D1
a) Chứng minh rằng :
1
1 1
1 1
1 1
1
DD
MD CC
MC BB
MB AA
MA
b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức
1 1
1
DM MC
CM MB
BM MA
AM
Đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6: Chứng minh với mỗi số nguyên dơng n thì phơng trình x2n+ 1 = x + 1 chỉ có 1 nghiệm số thực xn Khi đó tìm lim xn
n
Trang 2đáp án và biểu điểm môn Toán học thi học sinh giỏi lớp 12
Bài 1:
a) (1.5 điểm )
D = R
Cần điều kiện : y’ = 3 (m + 1) x2 + 6 ( m + 1 ) x - 4 m 0
+ m + 1 = 0 => m = - 1 có y’ = 4 > 0 Thoã mãn với x
+ m + 1 0 = > m = - 1 Để y’ 0 Thoã mãn với x cần điều kiện
0 ) 1 ( 12 )
1
(
9
0
1
2
' m m
m
1 0 )
3
7
)(
1
(
0
1
m
m
m
hoặc m
7
3
7
3 1
b) Gọi (x0 ;y0) là điểm cố định mà đồ thị đi qua với m
0
3 0 0
2 0
3
Để phơng trình (*) không phụ thuộc m cần
0 3
0 1 4 3
0 2 3
0 2
3
y x x
x x
x
Xét phơng trình 3 2 4 0 1 0
0
3
x
Gọi f(x) = 3 2 4 0 1 0
0
3
+ Có f(0) f(-1) <0 => phơng trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (-1; 0)
(1.0 điểm) + Có f(1) f(2) <0 => phơng trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (1; 2)
+ Có f(-1) > 0 ; khi x thì f(x) <0
Vậy phơng trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (- ; 1 )
Vậy phơng trình f(x) = 0 luôn có 3 nghiệm
Các nghiệm ấy thõa mãn :
0 3
0 1 4 3
2 3
2 3
y x x
x x
x
Trừ hai phơng trình cho nhau đợc : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc đờng thẳng y
= 4x - 1
Bài 2 (3 điểm )
Trớc hết cần ax2 - 4x + a - 3 0 với mọi x
0 ) 3 ( 4
0
'
a a
a < -1 hoặc a > 4 (0,5 điểm) + Nếu a < -1 thì ax2 - 4x + a - 3 < 0 với x
Bất phơng trình đã cho thỏa mãn với x
x + 1 > ax2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với x
ax2 - 5x + a - 4 < 0 thỏa mãn với x
= 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a < -1) (1,0 điểm)
Trang 3 = 4a2 - 16a - 25 > 0
2
41
4
+ Nếu a > 4 thì ax2 - 4x + a - 3 > 0 với x
Bất phơng trình đã cho thỏa mãn với x
x + 1 < ax2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với x
ax2 - 5x + a - 4 > 0 thỏa mãn với x (1,0 điểm)
= 25 - 4a (a - 4 ) < 0 (vì a = 4 > 0)
4a2 - 16a - 25 > 0
2
41
4
a (do a > 4)
2 41 4 2
41 4
;
Bài 3: ( 3 điểm )
Do x = 0 không là nghiệm của phơng trình đã cho nên phơng trình đã cho
(0,25 điểm)
2 1 1
1
2
2 3
x x
x x
x
x x
x
x x
(0,5 điểm)
x
x x
x 1 1 1
2
2
Đặt 1 t.
x
x Điều kiện t 2
(vì 1 1 2
x
x x x
Ta đợc phơng trình mới
) (
2 1 2
mãn thoả
không do
loại
t
t
(0,25 điểm) Với t = 2
0 1 2
2 2 1
2
x x
x
(0,5 điểm)
1
Kết luận: Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 (0,25 điểm)
Bài 4: (3 điểm )
Điều kiện : xy - x2 y2 0 hay 0 xy 1 (0,25 điểm)
Ta có :
Trang 4xy - x2 y2 = -
4
1 4
1 4
1
2
xy y
2
1
2
xy x y ( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy =
2
1
)
Do đó : y 6 + y 3 + 2x2
2
1
Kết hợp với giả thiết
2
1 4
) 2 ( 1
Cộng hai vế hai bất đẳng thức ta có :
1 4 ) 2 ( 1
6
) 2 (
1 x y (y 3 2x)2
Do 1 1 ( 2x y) 2 0 dấu bằng xảy ra khi 1 + (2x - y )2=1
và ( 3 2 ) 2 0
nên ta có 1 1 ( 2x y) 2 (y 3 2x)= 0
0 2
0 2
3
y x x
Giải hệ này ta đợc
2
1
; 1
;
3 2
y x
Thử lại chỉ thấy : (x ; y ) =
2
1
Bài 5: (4 điểm )
a) Gọi thể tích các khối tứ diện M.BCD ; M.ACD ; M.ABC và ABCD là V1 , V2 , V3 , V4
và V khi đó :
V
V
AA
1
1
;
V
V BB
1
1
;
V
V CC
1
1
;
V
V DD
1
1
Cộng 4 đẳng thức trên = > khết quả = 1 (không đổi ) (0.5 điểm )
b) Theo kết quả câu a để thuận tiên gọi V1 = a2; V2 = b2 ; V3 = c2 ; V4= d2
Khi đó :
2
2 2 2 2 1 1
1
a
d c b a V
V MA
=>
1
MA
AM
2
2 2 2
a
d c
b Tơng tự:
1
MB
BM
2
2 2 2
b
a c
1
MC
CM
2
2 2 2
c
b a
d
1
MD
DM
2
2 2 2
d
c b
Mặt khác theo Bất đẳng thức Bunhi a ta có :
Trang 5(b + c + d ) 2 3 (b2 + c2 + d2 )
a
d c b a
d c b AM
BM
3
1
2 2 2
1
(0,5 điểm) Tơng tự :
b
d c a MB
3
1
1
c
d b a MC
3
1
1
d
c b a MD
3
1
1
3
1 3
1
d
c b a c
d b a b
a c d a
d c b
(Theo BĐT cô si cho 2 số không âm )
Vậy T min = 4 3 khi a2 = b2 = c2 = d2
Bài 6: (3 điểm )
Phơng trình đã cho 2 1 1
1 )
1
Vậy phơng trình vô nghiệm
+Nếu 0 < x <1 => vế trái (*) âm = > phơng trình vô nghiệm (0,25 điểm)
+Nếu –1<x 0 vế trái (*) 1 phơng trình vô nghiệm (0,25 điểm)
+Nếu x > 1 xét f(x) = x2 1 1
n là hàm số liên tục trên (1 ; +)
mà f(-1) f(2) < 0 nên theo tính chất của hàm số liên tục x n (0,5 điểm )
Sao cho xn (1;2 ) để f (xn ) = 0 :
với xn =
n
n n
x n
n
n
2
1 2 1 2
1 2
1 1
2
1 2
n
n
x n
n
n
n x
2
1 2 1