Gọi V, V1 lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN... I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD... Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12M«n: To¸n... thuéc c¸c c¹nh cña tø diÖn.
Trang 1Đề xuất đề thi học sinh giỏi
lớp 12 Môn: Toán - Bảng A
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Cho phơng trình:
m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phơng trình trên với m=1
2) Tìm m để phơng trình đã cho có đúng 8 nghiệm phân biệt 5
;
2 2
x
Bài 2:
1) Giải phơng trình (Sin)x + (tg)x = ()x
(với x là tham số, 0 < x <
2
) 2) Tìm a để phơng trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt
32-x - Sin a +1 log (x2 + 4x + 6) + ) +
( 3) log
x Sina
Bài 3: Với mọi ABC, k 3
0, 4
Chứng minh:
Bài 4: Xét hai dãy số:
1
1
a ; 0
1
; ; voi
1 (i=1, 2 )
i
i i
i
b
a
b a
b
Chứng minh (a2006) + + b2006) + )2 > 16) + 039
Bài 5: Cho tứ diện ABCD
1) Gọi i (i= 1, 2, , 6) + ) là độ lớn các góc nhị diện có cạnh lần lợt là các cạnh của tứ diện
Chứng minh:
6) +
1
2
i i
2) Gọi G là trọng tâm của tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB tại M và cắt DC tại N Gọi V, V1 lần lợt là thể tích của tứ diện ABCD và DAMN Chứng minh:
1
9 2
V V
Trang 23) Gọi diện tích các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện lần lợt là: Sa, Sb, Sc, Sd I là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện ABCD Chứng minh:
Trang 3Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12
M«n: To¸n B¶ng A
Víi m =1; Ph¬ng tr×nh
0
Cosx Cos x Cosx
x=
2
k Cosx
1
2
Ph¬ng tr×nh
0
Cosx Cos x Cosx m
* Cosx =0 Cã 2 nghiÖm:
x
* Ycbt 4Cosx2 - 2 Cosx +m - 3 =0
(-1 1)
Cã 2 nghiÖm t1, t2 tháa m·n:
2
1 0 1 : (a) 0<t<1=t (b)
t t
* Trêng hîp (b) lo¹i (v× nÕu t2=1 th× t1<0)
* Trêng hîp (a)
( 1) (0) 0
1< m < 3 (0) (1) 0
VËy gi¸ trÞ m cÇn t×m: 1< m < 3
0,5
0,5
0,5
0,5
Chøng minh:
0, 2
u cã Sinu < u < tgu
2
0,5 0,5
0,5
0,5
Trang 4Khi đó
x =0: VT =2 > VP
x >0: VT > VP
x <0; VT> VP
Vậy phơng trình vô nghiệm
Đặt Sina -1 =m (-2 m 0)
ta luôn có: xR thì:
2
x 4 6) + 2
2 x-m 2 2
x
nên TXĐ của phơng trình là R
( 3) 2 4 6) + log ( 2 4 6) + ) 3 2 2log (2 2)
x m
Xét hàm số: f(t) = 3 log ( ) : 2; +
t
t
là hàm số đồng biến với x[2; +)
nên phơng trình x2 + 4x +6) + = 2 x-m +2 (*)
2 2
2 2 4 0 : (1) 6) + 4 2 0 : (2)
x x m
Theo yêu cầu bài toán (*) có 3 nghiệm phân biệt
(1), (2) có 1 nghiệm chung; 2 nghiệm còn lại khác nhau
3 2 5 2 2
m
m
m
(loại)
Vậy theo yêu cầu bài toán:
6) + 3
2
6) +
- "2 2
k Sina
Sina
Có 3 họ giá trị của a cần tìm
0,5
0,25 0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5mà:
Ta có:
Chứng minh tơng tự có:
1
và 1
Từ (a), (b), (c) suy ra (đpcm)
Dấu "=" khi A=B = C=
3
ABC đều
0,5
0,5
0,5
Ta có Si = (ai + bi) (i=1,2,3….).)
Thì
2 2
i+1 i+1 i+1
2 2
2
1 1
S = (a + b ) = : (i=1,2, )
1 1
nên ta có: (a1 + b1)2 > 0
(a2 +b2)2 > 0
(a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + 8
(a2006) + +b2006) + )2 > (a2005 + b2005)2 + 8
Cộng các bđt trên, ta có:
(a2006) + +b2006) + )2 > 8 2005 = 16) + 040 > 16) + 039
0,5 0,5
0,5 0,5
Trang 6
C
A
I
A1 D1
M
H¹ IA1 (BCD); ID1 (ABC)
IB1 (ACD); IC1 (ABD)
Dùng A1M BC D M1 BC
nªn A MD1 11 (T¬ng tù víi 2….)6) + )
Ta cã:
2
2
6
i i=1
0
Cos 2 : (dpcm)
1,0
1,0
1,0
Trang 7
G
A'
A
B
C
D
O M
N
Trang 8
DAMN ABCD
A' lµ träng t©m BCD Gäi:
O lµ trung ®iÓm BC
§Æt: vµ
V
V
T ong tù
DM DN DA
xy
DB DC DA
DM DA dt DMA
x
DB DO dt DBC
dt DNA
dt DBC
: (b)
Tõ (a), (b) suy ra:
y(3x-1) =x: (x ) y=
1
x 0 va x
1 3
x 2 1
T ong tù, suy ra: ; 1
2 V
VËy:
y
dt DMN x y
dt DBC
dt DMN DM DN
xy
dt DBC DB DC
x
x y
2 1
2
1 ( ) : ;1
Cã: f'(x) = =0 x=
x
x x x
vµ:
2
2 3
1
f(x) 1
2
4 9
1 2
4 V1 1
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 9
I
P' D
A
B
C M'
M P
N'
N
Gäi
M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI)
N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI)
P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI)
v× I ë trong tø diÖn, nªn: M, M',….) thuéc c¸c c¹nh cña tø diÖn
Do: (DAM) lµ mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña nhÞ diÖn c¹nh AD nªn:
d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)]
dt AMB dt DAB
dt AMC V dt DAC S
®iÓm M ®o¹n BC; nªn:
c b
S
S
Chøng minh t¬ng tù:
MÆt kh¸c: I MM' = (AMD) (BCM')
nªn c¸c vecto
; '; ';
VËy gäi vecto:
( a b c d )
v S IA S IB S IC S ID
th×
( a b) ( c d) ')
v S S IM S S IM song song víi
'
MM
Chøng minh t¬ng tù:
// '
// '
v PP
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 10Nhng
'
MM ;
'
NN ;
';
PP không đồng phẳng
nên: v 0 (đpcm)
Chú ý:
1)Điểm toàn bài là điểm tổng cộng sau khi đã làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5) 2) Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng chính xác thì cho điểm tối đa của câu đó.