Đề thi hsg lớp 10, trại hè hùng vương lần viii, năm học 2012 – 2013

5 điểm Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, phân giác trong AD, Đường tròn đường kính AD cắt đường thẳng BC tại H, cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N.. Chứng minh rằng các đ

(Đề thi HSG lớp 10, trại hè Hùng Vương lần VIII, năm học 2012 – 2013)

Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 (5 điểm)

Giải phương trình sau: 3 1 2 2 1 5 2 3 3

2

x

x x   x  

Câu 2 (5 điểm)

Giải hệ phương trình:

12

3 12

3

x

y x

y

y x









Câu 3 (3 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 9a4b4c4 25a2b2c248 0

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

Câu 4 (5 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, phân giác trong AD, Đường tròn đường kính AD cắt đường thẳng BC tại H, cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N Chứng minh rằng các đường thẳng CM,

BN, AH đồng quy

Câu 5 (1 điểm)

Chứng mih rằng trong dãy 9; 99; 999;9999; có vô số số hạng chia hết cho 17

Đáp Án

Câu 1 Điều kiện: 2

2

x 

Phương trình tương đương với: 2 3 x1 2 x21 10 x23x 6

4 2x 1 2 3x 1 2x 1 2x 3x 2 0 (1)

Đặt 2x21t t 0khi đó phương trình (1) trở thành:

4t  2 3x1 t2x  3x 2 0 (2) phương trình (2) có nghiệm:

' 3x 1 4 2x 3x 2 x 3

        phương trình (2) có nghiệm:

2

2

2 1

2

x

t

  





2

2

2

2 60

7 1

2 60 2

7

x

x

x

 

  





    





(thoả điều kiện )

Vậy phương trình có 2 nghiệm 2 60

7

7

x 

Câu 2 Điều kiện: x0; y 0;; y3x0

+ Nhận xét x0,y0

+ Với x0,y0

3 3

3

x

y

y x







1 9 12

3



Với y 3 y 3x

x    suy ra x 1 3 ;2 y3 1  32

Câu 3 Từ giả thiết 9a4b4c4 25a2b2c248 0

2

2

16

3

Biến đổi

P

     

2

a b c b c a c a b a b b c c a a c b a c b

 

Lại có: a b b c c a a ab b bc c ca2  2  2     a2b2c2 a b2 2 b c2 2c a2 2

 2 2 22

3

3

Từ đó 2 2 2 1

3

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1 GTNN của P = 1

Câu 4 Cách 1

Xét tích T MA HB NC (1)

MB HC NA



Do AD là phân giác của BAC nên DB AB (2)

DC AC

Do tứ giác AMDN nội tiếp nên ta có

BM BA BH BD CN CA CD CH 

Do AD là phân giác của MAN và AD là đường kính nên

AM = AN (4)

Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được

T

Do đó các đường thẳng CM, BH, AH đồng quy

Cách 2

Ta chứng minh bài toán cho cả elip và đường tròn như sau: “Elip hoặc đường tròn (E) cắt cạnh BC, CA, AB của ABCở A1,A2; B1,B2; C1,C2 Chứng minh rằng nếu AA1, BB1, CC1 đồng quy thì AA2, BB2, CC2 cũng vậy”

Thật vậy, áp dụng định lý carnaot: “Cho đường cong bậc hai:

F x, y ax 2bxy cy 2dx 2ey f  0 C

Ai, Bi, Ci (i = 1, 2) lần lượt chia cạnh BC, CA, AB của

∆ABC theo tỉ số   i, ,i j (Ai, Bi, Ci ≠ đỉnh) Vậy thì: Ai, Bi, Ci ∈

(C)        1 2 1 2 1 2 1 ", ta có:

AA , BB ,CC đồng quy    1 1 1= -1 nên từ

             đồng quy

Quay trở lại bài toán trên, ta thấy đường tròn đường kính AD cắt ba cạnh của tam giác ABC tại 6 điểm H, D; N,A; A,M mà AD, BA, CA đồng quy tại A nên AH, BN, CM đồng quy

Câu 5 Vì (17, 10) = 1 (1) và 17 là số nguyên tố nên theo định lý Fecma nhỏ ta có:

10 10 17  10 10 1 17 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 10161 17  1016 1 mod17 

Do đó, với mọi n nguyên dương thì 1016.n 1 mod17  1016.n  1 17

Mặt khác 16.n 

n.16

10 1 99 9

Vậy có vô số số hạng của dãy 9; 99; 999;9999; chia hết cho 17