Chứng minh rằng diện tích tam giác AMB không đổi.. Mỗi lần cho phép thay đổi dấu của tất cả các ô trên cùng một hàng, cùng một cột hoặc trên cùng một đường chéo song song hoặc trùng đườn
Trang 1Sở Giáo dục – Đào tạo Nam Định
Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong
ĐỀ THI HSG DH VÀ ĐB BẮC BỘ
LẦN THỨ 4 MÔN THI: TOÁN LỚP 10
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1: Giải phương trình sau:
2
2 2
32
x x
Bài 2: Cho các số dương a a1; ; ;2 a n ,n2;n có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:
1 2 2 1
n i
Bài 3: Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn: x2 y21 chia hết cho 2xy 1.
Chứng minh rằng: x y
Bài 4: Cho một đường tròn O R, và một dây AB cố định ( AB2R ) Gọi M là một
điểm thay đổi thỏa mãn: 2
MA MB , trong đó A’ và B’ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng MA và MB với đường tròn O Chứng minh rằng diện tích tam giác
AMB không đổi.
Bài 5:
Cho bảng 8x8 và các dấu +, - được đặt như hình vẽ
Mỗi lần cho phép thay đổi dấu của tất cả các ô trên
cùng một hàng, cùng một cột hoặc trên cùng một
đường chéo song song hoặc trùng đường chéo
chính Hỏi có tồn tại khả năng tất cả các ô đều đánh
dấu cộng?
+ + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Trang 2
-Hết -Đáp án
1 Giải phương trình sau:
2
2 2
32
x x
4 điểm
Phương trình tương đương với:
2
2 2
32
x x
0,5 đ
Chứng minh: x2 x 1 x2 x 1 1
Thật vậy, bất đẳng thức tương đương:
x x x x x x x
là bất đẳng thức đúng
Suy ra: x2 x 1 x2 x 1 4 5
1,5 đ
4
4 16 3 5
1,5
2 Cho các số dương a a1; ; ;2 a n ,n2;n có tổng bằng 1
Chứng minh rằng:
1 2 2 1
n i
4 điểm
Ký hiệu b i 2 a i 0 i1,2, ,n, khi đó:
1
n i i
Ta có:
1
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
1 1 2
1
n
n
n
b b b b
n
n
Suy ra:
2
1
n
n
Dấu bằng xảy ra khi a1a2 a n
2 đ
3 Cho các số nguyên dương x, y thỏa mãn: x2 y2 1 chia hết
cho 2xy 1 Chứng minh rằng: x y .
4 điểm
Xét
2 2 1
x y k
xy
, nhận xét: k 1
Trang 3Cố định k và xét các cặp số nguyên dương x y thỏa mãn:;
2 2 1
x y
k
xy
Trong tất cả các cặp số đó, ta chọn cặp A B;
sao cho A B có giá trị nhỏ nhất Ta chứng minh A B 1 Không mất tổng quát, giả sử A B 0, xét phương trình:
2 2
1
Bx
Có ' B k2 2 B2 1 k k 1 B k2 11 0
Suy ra phương trình có nghiệm A và x , áp dụng định lí Viet:2
2 2
2 2
2
1
B k
A
1,5
Từ (1) ta có x là số nguyên2
Từ (2) ta có: x2 B B2 k 1 B A B
A
điều này trái giả thiết A B nhỏ nhất
Vậy A = B có nghĩa với mọi k, ta đều có x y
1,5
4 Cho một đường tròn O R, và một dây AB cố định ( AB2R) Gọi
M là một điểm thay đổi thỏa mãn: 2
MA MB , trong đó A’ và B’ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng MA và MB với đường
tròn O Chứng minh rằng diện tích tam giác AMB không đổi.
4 điểm
Xác định quỹ tích của M
Từ giả thiết ta có:
2
MA MA MB MB
/
OA OM 2 OB OM2 2MO2 R2
2
2
2
OM OI R
(I là trung điểm AB)
Kẻ các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M , ta có:0
2
0
OM OI R
Từ đó ta có: OM OI OM OI 0 0 OI M M 0 0
0,5 đ
2 đ
Trang 4I B'
A'
O
A
B
M0 M
Vậy quỹ tích M là đường thẳng vuông góc với OI tại M0 1 đ
Do là đường thẳng song song với AB nên diện tích tam giác
MAB không đổi Ta có điều phải chứng minh
0,5 đ
5 Cho bảng 8x8 và các dấu +, - được đặt như hình vẽ Mỗi lần cho
phép thay đổi dấu của tất cả các ô trên cùng một hàng, cùng một
cột hoặc trên cùng một đường chéo song song hoặc trùng đường
chéo chính Hỏi có tồn tại khả năng
tất cả các ô đều đánh dấu cộng?
4 điểm
Xét miền được tô đậm như hình vẽ Với ô dấu – ta kí hiệu là số
-1, ô dấu + kí hiệu là số 1
Nhận thấy với mỗi lần thay đổi chỉ tác động đến một số chẵn ô
trong miền đang xét, nghĩa là không làm thay đổi tích của tất cả
các số trong miền Ban đầu có tích các số âm, vì vậy không xảy
ra trường hợp tích các số dương, nghĩa là không tồn tại trạng thái
tất cả các ô được đánh dấu +
Mọi cách giải đúng, giám khảo thống nhất cho điểm
+ + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + - + + + + + + + + + + + + + + + + + + +