12 gia lai 2020 2021 de chinh thuc

Gọi N là giao điểm của BK và AM.. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng BCD và O là trung điểm của đoạn AH.. Tìm giá trị nhỏ nhất của AM AN AP.. Tìm giá trị nhỏ nhất củ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH (BẢNG B), NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn: Toán

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 12/12/2020

(Đề thi có 08 câu, gồm 01 trang)

Họ và tên thí sinh:

Số báo danh:

Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số y=x3- (2m- 1)x2+ -(1 m x)

(m là tham số thực) có đồ thị ( )C

Tìm

m để đường thẳng d y: = -x m cắt đồ thị ( )C

tại ba điểm phân biệt A B,

và C sao cho tổng hệ số góc

của ba tiếp tuyến với ( )C

tại các điểmA B,

và C nhỏ hơn 9.

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình sau trên tập số thực 5x2- 10x=4(x- 1) x2- 2x+2

b) Cho 3 số thực x>1,y>1 và z > thỏa mãn 1

12

Tính M = + +x y z

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển

4

n

x

çè ø , với x >0 và n Î ¥* thỏa mãn A n2- nC n2+55n=0.

Câu 4 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn

2019sin 2020sin 2021sin 2022cos 2020cos 2018cos

A+ B + C = æ öççç ÷÷÷+ æ öççç ÷÷÷+ æ öççç ÷÷÷×

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Câu 5 (3,0 điểm) Cho dãy số ( )u n

thỏa mãn: u =1 2021 và u n+1=u n2- u n+ " Î ¥1, n *

,

n n

v

Tính limv n.

Câu 6 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là trung

điểm của đoạn BC , K là hình chiếu vuông góc của H lên AC Biết

7 5;

4 4

Mæççç ö÷÷÷

÷

çè ø là trung điểm của đoạn

HK , đường thẳng BK có phương trình x+7y- 13=0 Gọi N là giao điểm của BK và AM Tìm tọa

độ điểm A, biết

1 5

;

2 2

I æ öççç ÷÷÷

÷

çè ølà trung điểm của đoạn AB.

Câu 7 (2,0 điểm) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A

xuống mặt phẳng (BCD)

và O là trung điểm của đoạn AH. Gọi ( )a

là mặt phẳng qua O và không đi

qua các điểm A B C, , và D. Mặt phẳng ( )a

cắt các đoạn AB AC, và AD lần lượt tại M N, và P Tìm

giá trị nhỏ nhất của AM AN AP theo a

Câu 8 (2,0 điểm) Cho hàm số f x( ) =ln(x+ x2+1) +2021x

, a b, và c là ba số thực dương sao cho

phương trình f a b c xéêë( + + ) ùúû+f(2020 3- x) =0

vô nghiệm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M

ab bc ca

Hết

- Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay; không được sử dụng các tài liệu khác.

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT, NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn thi: Toán – Bảng B HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

(Hướng dẫn chấm có 05 trang)

1

(3,0đ)

Cho hàm số y=x3- (2m- 1)x2+ -(1 m x)

(m là tham số thực) có đồ thị ( )C

Tìm m để đường thẳng d y: = -x m cắt đồ thị ( )C

tại ba điểm phân biệt A B,

và C sao cho tổng hệ số góc của ba tiếp

tuyến với ( )C

tại các điểmA B,

và C nhỏ hơn 9.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( )C

và d: x3- (2m- 1)x2+ -(1 m x) = -x m

- 0,25

2

1

2 0 (1)

x

é =

-ê

Û ê -ê + =

-0,5

Để đồ thị ( )C và d cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình ( )1

có hai nghiệm phân biệt

khác - 1

( ) ( )

1

3

m

ìï - >

Û íï + + ¹ Û íï Û Î - ¥ -ççç ÷÷È -ççç ÷÷È +¥

¹

m

" thỏa mãn ( )*

thì phương trình ( )1

có hai nghiệm phân biệt x x1, 2,

suy ra

( )

1 2

1 2

2 2

ìï + = ïí

ïî Không mất tính tổng quát giả sử ( )C

cắt d tại ba điểm

( 1; 1 ) (, 1; 1 ) (, 2; 2 )

A - - - m B x x - m C x x - m

Theo đề bài, ta có y¢( 1)- +y x¢( )1 +y x¢( )2 <9

- 0,5

3éx x 2 x x ù 2 2m 1 x x m 4 9

ë û - 0,5

( )

( )

2

4

Û - - < Û - < <

- 0,5

Từ ( ) ( )* , * *

suy ra

mÎ - -æçççç ö æ÷÷÷÷È -çççç ö æ ö÷÷÷÷Èçççç ÷÷÷÷

è ø è ø è ø là giá trị cần tìm. - 0,25

2

(4,0đ)

a)

(2,0đ)

Giải phương trình sau trên tập số thực 5x2- 10x=4(x- 1) x2- 2x+2

Ta có 5x2- 10x=4(x- 1) x2- 2x+2

- 0,5 Đặt

2

- 0,25

Khi đó ( )*

trở thành

( )2

2 3 (2)

é - = ê

-0,5

Trang 1

Từ ( )1 Þ

2

2

4

x

x

ìïïï

- + = - Û íïïïî - = Þ Î Æ

…

. -0,25

Từ

2

6 2 6

3

x x

x

ê

ê

ê

…

-0,25

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm

6 2 6 3

x= +

và

6 2 6 3

- 0,25

b)

(2,0đ)

Cho 3 số thực x>1,y>1 và z > thỏa mãn 1

12

Tính M = + +x y z

Ta có ( )2 1 11 1 22 1 33 2 1(11 2 22 2 33 2)

6

0,5

- 0,25

Từ giả thiết, suy ra xy yz zx+ + > và 3 log12(xy yz+ +zx) >0

Khi đó log(xy yz zx+ + )(5x2+16y2+27z2) … log(xy yz zx+ + )12 1.+

-0,25

Từ ( )1

1

4

- 0,25

Suy ra dấu “=” xảy ra khi 12( ) ( )

11 22 33

ïïï

ïïïî

-12

6 144

4

x

y

z

ìï = ï

î ïïî =

-0,25

0,25

Vậy M =22. - 0,25

3

(2,0đ) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển ( )

4

n

x

0

x > và n Î ¥* thỏa mãn A n2- nC n2+55n=0.

Điều kiện

( )

* 2

n

a n

ìï Î ïïí ïïïî

¥ …

Ta có n2 n2 55 0 ( !2 !) 2!( !2 !) 55 0 2 3 108 0

12 9

n

n n

é =

ê

Û ê = -ê Þ =

(thỏa mãn điều kiện ( )a

). -0,25

Với n =12, ta có

12

12

12 0

k k k k

-=

-0,75

Từ giả thiết, suy ra k =8 và hệ số cần tìm bằng 8( )8 8

12 1 12 495

- 0,5

4

(2,0đ)

Cho tam giác ABC thỏa mãn

( )

2019sin 2020sin 2021sin 2022cos 2020cos 2018cos

A+ B + C = æ öçççç ÷÷÷÷+ æ öçççç ÷÷÷÷+ æ öçççç ÷÷÷÷ a

Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Ta có

A+ B = æ öçççç ÷÷÷÷ æçççç - ö÷÷÷÷ æ öçççç ÷÷÷÷

è ø è ø „ è ø

-Suy ra 1009 sin( sin ) 2018cos ( )1

2

C

A+ B „ æ öç ÷ç ÷ç ÷çè ø÷

-Tương tự 1011 sin( sin ) 2022cos ( )2

2

A

B + C „ æ öç ÷ç ÷ç ÷çè ø÷

-và 1010 sin( sin ) 2020cos ( )3

2

B

C + A „ æ öç ÷ç ÷ç ÷çè ø÷

-0,5

0,25

0,25

0,25

Từ ( ) ( )1 , 2

và ( )3

suy ra

( )

2019sin 2020sin 2021sin 2022cos 2020cos 2018cos

A+ B + C æ öççç ÷÷÷+ æ öççç ÷÷÷+ æ öççç ÷÷÷b

„

-0,25

Từ ( ) ( )a b,

suy ra A =B =C Vậy tam giác ABC đều. - 0,5

5

(3,0đ) Cho dãy số ( )u n

thỏa mãn: u =1 2021 và u n+1=u n2- u n + " Î 1, n *

,

n n

v

Tính limv n.

Ta có u n ¹ 1,u n ¹ 0," Î ¥n * và

1

1

+

+

-

-0,5

* 1

n

- 0,25

n

v

-

2020 u n+ 1

-

-0,25

0,5

Trang 3

Ta có 2 ( )2

, suy ra dãy ( )u n

tăng - 0,5 TH1: ( )u n

bị chặn trên, khi đó dãy ( )u n

có giới hạn, giả sử limu n = >a u1=2021 (vì ( )u n

tăng)

u+ =u - u + Þ u + = u - u + Û a=a2- a+ Û1 a= (loại). -1 0,5 TH2: ( )u n

không bị chặn trên Þ limu n = +¥ .

lim lim

n

n

v

u +

ç

è ø Vậy limv = n 20201 ×

-0,5

6

(2,0đ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A Gọi H là trung điểm của đoạn BC,

K là hình chiếu vuông góc của H lên AC Biết

7 5;

4 4

Mæççç ö÷÷÷

÷

çè ø là trung điểm của đoạn HK , đường thẳng

BK có phương trình x+7y- 13=0 Gọi N là giao điểm của BK và AM Tìm tọa độ điểm A, biết

1 5;

2 2

I æ öççç ÷÷÷

÷

çè ølà trung điểm của đoạn AB.

I

N M K

H

2

AMuuuur= AHuuur+AKuuur

, BK =BH +HK =HC +HK

uuur uuur uuur uuur uuur

2

AM BKuuuur uuur = AHuuur +AKuuur HCuuur+HKuuur

2 AH HC AH HK AK HC AK HK

= uuur uuur+uuur uuur+uuur uuur +uuur uuur

2 AH HK AK HC

= uuur uuur+uuur uuur 1( . . . )

2 AH HK AH HC HK HC

= uuur uuur+uuur uuur+uuur uuur

= uuur uuur+uuur uuur = Þ ^

0,5

Ta có phương trình AM : 7x y- - 11 0= - 0,25

Tọa độ của N là nghiệm của hệ:

9

;

5

x

x y

N

y

ìïï =

î ïïïî =

-0,25

Ta có AHB· =ANB· =900, suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABHN. - 0,25

Vì AÎ AM nên ( ;7 11 ,) 9 ( )*

5

- 0,25

Theo bài toán ta có

10 2

IA =IN =

Suy ra

( )

2

2

5

t

t

é =

-0,25

Vậy (2;3).A - 0,25

(2,0đ)

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng

(BCD)

và O là trung điểm của đoạn AH. Gọi ( )a

là mặt phẳng qua O và không đi qua các điểm

, ,

A B C và D. Mặt phẳng ( )a

cắt các đoạn AB AC, và AD lần lượt tại M N, và P Tìm giá trị nhỏ

nhất của AM AN AP theo a

P O

H

C

A

M N

Gọi V là thể tích tứ diện ABCD

AMNO ABCH

-0,5

V = a V = a - 0,5

Suy ra

2

6

6

AMNP

AM AN AP AM AN AN AP AP AM

=

-0,5

3

AM GM

3

8

a

AM AN AP

Vậy ( ) 3

8

Min

a

-0,25

0,25

8

(2,0đ) Cho hàm số f x( ) =ln(x+ x2+1) +2021x

, a b, và c là ba số thực dương sao cho phương trình

( ) (2020 3 ) 0 1( )

f a b c xéêë + + ùúû+f - x =

vô nghiệm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M

ab bc ca

Hàm số y=f x( )

xác định và liên tục trên ¡

Ta có

( ) 21 2021 0,

1

x

¢ = + > " Î

+ ¡ -Suy ra hàm số y=f x( )

đồng biến trên khoảng (- ¥ +¥; ) ( )a

-Mặt khác f( )- x = - f x( )

nên hàm số y=f x( )

là hàm số lẻ ( )b

-0,25 0,25 0,25

Phương trình ( )1 ( ) ( ) (3 2020) ( )( 3) 2020

Û êë + + úû= - Û + + - =

-. - 0,25

Từ giả thiết, suy ra a b c+ + =3 2( )

- 0,25

Ta có

và

2

AM GM

-+ …

- 0,25

a +b +c + a+ b+ c … a b c+ + = + +a b c

- 0,25

Trang 5

M

ab bc ca

+ + … Khi đó M Min =1 khi a= = =b c 1. - 0,25

Lưu ý: - Thí sinh giải cách khác, nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn chấm điểm tối đa.

- Điểm toàn bài không làm tròn

Hết