Đáp án đề hsg 12 quảng ngãi 2020 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2020-2021 Ngày thi: 04/12/2020

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút

1a

3,0

điểm ĐK: 2

1

2 1

( 1)

1

x x

x

x





 









,

0,5

Phương trình đã cho tương đương log (23 x 1) log ( 3 x1)2 3(x 1)2  (2x 1) 1  log (23 x 1) (2 x1) 3( x 1)2log 3(3 x1)2

0,5

Xét f t    log2t t  ,với t 0 '  1 1 0, 0

ln 2

t

     suy ra f t( ) đồng biến trên (0;)

0,5

Từ đó ta có: f 2x 1 f 3x 12

 2x1 3 x12

2

3x 8x 4 0

2 2 3

x x









 



Vậy tập nghiệm của phương trình là

2 2, 3

S  

0,5

1b

(2,0

điểm)

Điều kiện: x 0 Đặt 2

1 1

3 x

t   , phương trình trở thành

2

2 0 (*)

t  m t 

0,25

Có 12

x

Giả sử có t 0 (0;3), khi đó 2

1 1

1

x



     , cho 2 nghiệm x trái dấu nhau

0,5

Do đó, ycbt  (*) có 2 nghiệm phân biệt thuộc (0;3) 0,25

Có

2

2 (*) m t f t( )

t



t

Vậy 11

2 2

3

m

 

0,5

ĐỀ CHÍNH THỨC

3 3 2 (3 2 3)( ) 3 3 2 ( ) (2 2 ) 0

x  x  m  x m m  m  x m x m 

Trước tiên, m 0 và N( 2 ; 8 m  m36m2)

0,75

Đặt t m t 2( 0), có 3 2

9t  18t 10t 20 0  t 2 Suy ra m  2

0,5

Vậy có 2 điểm M( 2; 2 2); ( 2; M  2 2) 0,5 2b

(2,0

điểm)

Gọi u n là diện tích rừng sau n năm kể từ đầu năm 2019

Ta có u 1 90%.14,5 1 14,05  (triệu ha)

0,5

Với mỗi n  , 2 u n 0,9.u n1 1 u n 10 0,9 u n110

1

10 4,05.0,9n n

0,5

1

4, 05.0,9n 10

n

Sau 30 năm, dự đoán diện tích rừng cả nước là

29

30 4,05.0,9 10 10, 2

u

    (triệu ha)

0,5

3a

3,0

điểm

Trong mặt phẳng (ABC) kẻ Ax Cy lần lượt vuông góc với , AB BC tương ,

ứng cắt nhau tại H(MB)

0,5

(SHA) (ABC)

  ; (SHC)(ABC)

 SH (ABC)  BH AC

0,5

 CBH HBA 300 AH HC a

0,5

Ta có: 3

4

BM

BH 

( ,( )) ( ,(SAB)

a

Ta có:

5

Vậy ( ,(d S ABC))a 5

0,5

(2,0

điểm)

Q I

N M

O C

B

S

P

Có 1, 2

SA  SB  Đặt , , (0 , 1)

0,25

Cắt khối chóp theo mp SAC :( )

1 1

2

S MNPQ S MNP S MPQ

S ABC S ACD

V

Cắt khối chóp theo mp SBD :( )

Có

1 2

2

S MNPQ S MNQ S NPQ

S ABD S BCD

V

0,5

Có 1 1 1 2 2 2

3x2xy3y3xy x y xy

0,25

Rút 2

2

x y x



 , y(0;1] x(0,2](0;1]

Có

2

S MNPQ

V

0,25

'( ) 0, (0;1]

3 ( 2)

x

(0;1]

2 max ( ) (1)

3

(dấu “=” khi 1; 2

3

0,5

Vậy . 1 2 1

2 3 3

S MNPQ

4

(3 điểm) * Gọi số các chữ số 1, 2, 3 có mặt trong số cần lập là , , 40m n m n

 

* Tổng các chữ số trong số đó bằng m2n3 40  m n 120 2 m n 0,5

* Tổng trên chẵn khi và chỉ khi n chẵn, nghĩa là trong số tự nhiên đó có

chẵn các chữ số 2

+ n 0, có 2 số; 40 n 2, có C402.238 số; …; n 40, có C số4040 1,0 Như vậy số các số thỏa mãn là: S C400 240C402 238 C4040

Xét khai triển

  2 40 400 240 4039239 4038 382 2 4040 02 40

Có P  1  2 1 40 C400 240 C4039 392 C4038 382  C404020

 1 2 140 400 240 4039 392 4038 382 4040 02

0,5

Cộng vế theo vế 2 đẳng thức trên ta có P(1)P( 1) 2  S

Suy ra:  1  1 340 1

5

(2 điểm) Có 9 3 40 20 1

x y

   32x y 20(2 ) 1

x y



Đặt t2x y , có 3t 20 1 3t 20 1 0 (*)

Xét hàm ( ) 3f t  t 20 1t

'( ) 3 ln 3 20 0 3 log log (20log )

ln 3 ln 3

Do log3 3 log 3elog 33   1 e 10 20log 3e20 27

nên 0 log (20log ) 3 3 3e  và (0)f f(4) 0

3

(log (20log e)) 20log 20log (20log ) 1 20log 1 0

20log

e

e

0,5

Suy ra, nghiệm của (*) là 0 t 4 hay 0 2 x y 4 (**) 0,25

Có P8x3y33(2xy1)(2x y  2) (2x y )3 3(2x y ) 6.2 xy6 0,25 Dùng (a b )2 4ab, dấu “=” khi a b

(2 ) (2 ) 3(2 ) 6

2

Xét hàm số 3 3 2

2

f z z  z  z trên [0;4]

'( ) 3 3 3 0

2

f z  z  z   z  hoặc 1 5

2

z  (loại)

Có (0) 6; (4) 34; (1 5) 17 5 5

0,25

Suy ra 17 5 5

2

P  , dấu “=” khi 2 1 5

4

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 17 5 5

4



0,25