Gọi M là trung điểm của AB, AP vuông góc với BC tại P, BQ vuông góc với AC tại Q.. Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB tại T... Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CDM và ng
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000.
-
-Câu 1 : Giải phương trình sau trên tập số thực
6x 3 7 3 x15 6 x 3x 2 2 9x227x 14 11
Lời giải
Điều kiện:
2
3
7 3
x
Đặt a 7 3 , x b 3x 2 (a b , 0) Suy ra
5
a b
b a a b ab
2 2 5
s p
sp s p
2
2 5
p s
s s s s
2
2 5
4 6 0
p s
s s s
s a b p ab ,
2 2
2 5
p s
s s s
2 3
p s
2 1 1 2
a b a b
1 2
x x
Thử lại thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình là x 1 hoặc x 2.
Câu 2 : Cho tam giác ABC (BC AC ) Gọi M là trung điểm của AB, AP vuông góc với BC tại
P, BQ vuông góc với AC tại Q Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB tại T Chứng
minh rằng TH CM , trong đó H là trực tâm tam giác ABC.
Lời giải
Trang 2Gọi CD AB tại D Khi đó AP BQ CD , , đồng quy nên T B D A , , , là hàng điểm điều hòa (
( TBDA ) 1).
Do đó ta có TM TD TATB
Xét hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CDM và ngoại tiếp tứ giác ABPQ, tâm của hai đường tròn
này đều nằm trên CM
Nhưng TM TD TATB và HP HA HQ HB nên H T , nằm trên trục đẳng phương của hai đường
tròn nói trên
Do đó ta có TH CM (ĐPCM)
Câu 3 : Cho hàm số f : ( là tập số thực) thỏa mãn 3 3
( )
4
f f x x x
với mọi x
Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt a b c , , sao cho f a ( ) f b ( ) f c ( ) 0
Lời giải
Đặt
3 3
( )
4
g x x x
thì f f x ( ) g x( )
Suy ra f g x ( ) f f f x ( ) g f x ( )
Dễ thấy ( )g x là đơn ánh nên từ f f x ( ) g x( ) suy ra ( )f x cũng là đơn ánh.
Gọi x là một điểm cố định của hàm 0 0 0 0
1 1
2 2
g x g x x x
Ta có f x( )0 f g x ( )0 g f x ( )0 , suy ra f x cũng là một điểm cố định của hàm ( )( )0 g x
( )
f x là một song ánh trên tập
1 1 0; ;
2 2
D
nên
f f f
Q
H B
C
A
T
D
P
M
Trang 3Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Câu 4 : Tìm giá trị lớn nhất của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị a b c , , :
a b c abc a b c k ab bc ca
Lời giải
Vì bất đẳng thức đúng với mọi giá trị a b c , , nên phải đúng với
2 1
3
Ta chứng minh
2 3
k =
là gtln
Xét
2
3
k =
bất đẳng thức trở thành 4+ 4+ 4+ ( + + ³ ) 2 ( + + )2
3
(1)
Áp dụng bđt AM – GM ta có
( a4+ b4) ( + b4+ c4) ( + b4+ c4) ³ 2 a b2 2+ 2 b c2 2+ 2 c a2 2
Suy ra 3 ( a4+ + b4 c4) ( ³ 3 a b2 2+ b c2 2+ c a2 2)
(2)
Mặt khác a b2 2+ b c2 2+ c a2 2- abc a b c ( + + )
( )2 ( )2 ( )2
0
(3)
Từ (2) và (3) suy ra (1) được chứng minh
Vậy số k lớn nhất
2 3
k =
Câu 5 : Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 2013n- 1 chia hết cho 22014.
Lời giải
Xét n = 2 ktvới k, t là các số tự nhiên và t là số lẻ.
Đặt 2013n- = 1 an- 1
1 k 1 k t 1 k 1 [ k t k 1]
Do t là số lẻ nên an- 1 2 M2014 Û a2k - 1 2 M2014
Ta có
1
2k 1 ( 2 1)( 2 1)( 4 1) ( 2k 1)
a chia 4 dư 1 nên
1
a - + chia 4 dư 2
Trang 4Do đó an- 1 2 M2014 Û ( k - 1) 3 2014 + ³
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của n cần tìm là n = 22012.