De so 51 de so 17 de thi hsg 11 tinh ha nam 2014 đã sửa

Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số.. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O,R, AD = R.. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác DMN.. Vậy quĩ tích c

Câu 1 Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên 0;1007 :

2

8sin cos 3 sin cos

0



Lời giải Điều kiện xác định sin 7 3 os 3 0 ,

pt 4sin 2 sin 3 sin cos 0 2(cos cos3 ) 3 sin cos 0

cos3 cos sin cos3 cos

,

m











Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm của phương trình đã cho là ( )

12 2

12 2

Suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn 0;1007 gồm 2014 nghiệm lập thành một cấp số cộng có công sai 1

5

Tổng các nghiệm là 2014 2.5 (2014 1) 3043154

Câu 2 Tìm hệ số của x trong khai triển 4 (1 3 )2 2n

  biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn

Lời giải

1

1

2

n

n













Từ giả thiết suy ra n 1007

Xét khai triển

2014 0 2014

2 2014 2014

2014

2014 4028 2 2014

( ) ( 3 )

( 1) ( 3)

k

k

k

k

k

k i









 

Ta tìm i, k là các số tự nhiên thỏa mãn

2014 4

4028 2 4

2013

0 2014

2 0

2012 0

k i

k i

k k

i

i k

k i

 











  











 

  









 

 Vậy hệ số của x trong khai triển là 4 C20144  3C20132 C201420139C20142012

Câu 3 Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần,

các chữ số còn lại có mặt đúng một lần Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4?

Lời giải

+) Gọi số cần tìm là abcdef với a b c d e f , , , , , 1,3, 4,8

Sắp xếp chữ số 3 vào 3 trong 6 vị trí, có 3

6

C cách Sắp xếp 3 chữ số 1;4;8 vào 3 vị trí còn lại có 3! cách

Vậy có tất cả C63.3! 120 số

+) Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng tạo thành 1số chia hết cho 4

Trong các số trên, số lấy chia hết cho 4 có tận cùng là 48, 84 Trong mỗi trường hợp có 3

C  cách sắp

xếp chữ số 3và 1 vào 4 vị trí còn lại, suy ra có 8 số chia hết cho 4

Gọi A là biến cố: “ Số lấy ra chia hết cho 4”

Vậy số các kết quả thuận lợi cho A là  A 8

+) Số phần tử của không gian mẫu là  120

Xác suất của biến cố A là 8 1

120 15

A A



Câu 4 Cho dãy số  u xác định như sau: n 1 *

2014

1

u

n









 



 Đặt

1

1

n n

k k

S

u



 Tìm limS n

n 

Lời giải

1

1 ( 1)







1

n

n

S

  

1 1

1 1

1

1

1

1 (1 ) 2014.2015

0

1 2014.2015

1007

n n

n

n

n

n

u

u s

u











 



 



Câu 5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD = R Dựng các hình bình hành ABMD, ACND

Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác DMN.

Lời giải

I

N

M O A

D

C B

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN.

ABMD, ACND là hình bình hành suy ra AD BM BM               , CN

Xét phép tịnh tiến theo vectơ AD

:

AD







Suy ra TAD:O I , suy ra OI = AD = R Vậy quĩ tích của điểm I là đường tròn tâm (O,R).

Câu 6 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi I là tâm của hình vuông CDD’C’, K là trung điểm của cạnh CB.

a Dựng thiết diện của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng (AKI) Tính diện tích của thiết

diện theo a

b Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của (AKI) và CC’.

Lời giải

N

I

J

K

D

D'

A' C'

C B'

a, +) Gọi J là giao điểm của AK và CD, Q là giao điểm của JI và CC’, N là giao điểm của IJ và DD’.

Thiết diện là tứ giác AKQN.

Chứng minh được AKQN là hình thang có 2 đáy là KQ, AN.

+) Chứng minh được C là trung điểm của JD, K là trung điểm JA, Q là trung điểm của JN.

1 1 1

2 2 4

JKQ

JAN





CQ

CC

2

2

2

6 cos

7

5

.sin

14

4

JKQ

AKQN JKQ

KJQ

JK JQ

a

a





b, Vì A’D’//AD nên góc tạo bởi A’D’, AQ bằng góc tạo bởi AQ, AD.

3

QAD

AQ AD