BĐt ¯ng thực bián phƠn
Giải sỹ K ⊂ R n là một tập lỗi, không gian khác rộng v F : K −→ R n là một toán tử (ảnh xô) cho trước Định nghĩa 1.1: Bài toán tầm tối im x ∈ K thỏa mãn hF (x), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K, được gọi là bài toán bất đẳng thức thực biến phân (variational inequality problem) hay còn gọi là bất đẳng thức thực biến phân (variational inequality) và được ký hiệu là VI.
Têp nghiằm Sol(V I ) cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn l têp tĐt cÊ x ∈ K thọa mÂn (1.1).
Nhên x²t 1.2 Nhơm sau n y mð rởng ành nghắa cho b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn vectỡ, (1.1) cỏn ữủc viát dữợi dÔng nhữ sau:
Tẳm iºm x ∈ K sao cho hF (x), y − xi ∈ − / R + \ {0} , ∀y ∈ K (1.2)
Dạ thĐy rơng x ∈ Sol(V I ) khi v ch¿ khi 0 ∈ F (x) + N K (x) , trong õ N K (x) l nõn phĂp tuyán cừa K tÔi iºm x ữủc ành nghắa bði:
Thêt vêy, x ∈ Sol(V I ) ⇔ hF (x), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K
ành lỵ tỗn tÔi nghiằm
Mằnh ã 1.3 GiÊ sỷ x ∈ K Nếu x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, thì tồn tại một số ε > 0 sao cho hF (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K ∩ B(x, ε) Điều này chứng tỏ x là nghiệm (tối ưu cục bộ) của bài toán bất đẳng thức biến phân, và x ∈ Sol(V I).
Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số trong một không gian bậc n thực hiện biến phân, tồn tại một số ε > 0 thỏa mãn điều kiện (1.4) Đối với mỗi y ∈ K, tồn tại t ∈ (0, 1) sao cho z t := (1−t)x + ty = x + t(y − x) thuộc tập K Rõ ràng rằng z t cũng thuộc vào.
B(x, ε) cho thấy rằng ||z_t − x|| = t||y − x|| < ε Khi t < ||y − εx||, ta suy ra z_t ∈ B(x, ε) và z_t ∈ K ∩ B(x, ε) Với x là nghiệm của bài toán VI, ta có 0 ≤ hF(x), z_t − x_i = t(hF(x), y − x_i) Do t > 0, suy ra hF(x), y − x_i ≥ 0 với mọi y ∈ K, dẫn đến x ∈ Sol(VI) Hệ quả là Hartman - Stampacchia cho rằng x là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.
Náu K khĂc rộng, lỗi, compact v F : K −→ R n l liản tửc thẳ b i toĂn V I cõ nghiằm.
Vợi iãu kiằn phũ hủp, chúng ta cõ ành lẵ tỗn tÔi nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn cho trữớng hủp têp K l khổng compact Ảnh lẵ ữủc phĂt biºu nhữ sau: Ảnh lþ 1.5 (xem [2], trang 14).
GiÊ sỷ K l mởt têp lỗi, õng, khĂc rộng, v F : K −→ R n l liản tửc Náu tỗn tÔi x 0 ∈ K sao cho
Nhên x²t 1.6 Biºu thực (1.5) cõ nghắa l : Vợi γ > 0 cho trữợc cõ thº tẳm ữủc mởt số ρ > 0 sao cho:
||y − x 0 || ≥ γ úng vợi mồi y ∈ K thọa mÂn ||y|| > ρ
Điều kiện cưỡng bức (coercivity condition) là một yếu tố quan trọng trong nghiên cứu biến phân, đặc biệt trong trường hợp không gian compact Nó đảm bảo rằng các nghiệm tồn tại và duy nhất cho bài toán tối ưu trong không gian này Việc thỏa mãn điều kiện cưỡng bức giúp đảm bảo tính ổn định và khả năng hội tụ của các nghiệm trong quá trình giải quyết các bài toán biến phân.
Náu tỗn tÔi x 0 ∈ K v α > 0 sao cho
F (y ) − F (x 0 ), y − x 0 ≥ α||y − x 0 || 2 , ∀y ∈ K, (1.6) thẳ (1.5) ữủc thọa mÂn Thêt vêy, náu (1.6) ữủc thọa mÂn thẳ ta câ F (y) − ||y F − (x x 0 ), y 0 || − x 0 ≥ α||y − x 0 || −→ +∞, ∀y ∈ K, ||y || −→
Nếu tồn tại một số α > 0 sao cho hF(y) − F(x), y − x ≥ α||y − x||² với mọi x, y thuộc K, thì (1.6) sẽ thỏa mãn Điều này dẫn đến việc (1.5) cũng thỏa mãn Định nghĩa 1.7 nêu rõ rằng nếu tồn tại α > 0 thỏa mãn (1.7), thì F được gọi là hàm mạnh đơn điệu trên K và tương ứng với bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu.
F ữủc gồi l ỡn iằu (monotone) trản K náu hF (y) − F (x), y − xi ≥ 0, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K (1.8)
F ữủc gồi l ỡn iằu ch°t (strictly monotone) trản K náu hF (y) − F (x), y − xi > 0, ∀x ∈ K, ∀y ∈ K, x 6= y (1.9)
Nhữ vêy, náu F l ỡn iằu ch°t thẳ F l ỡn iằu iãu ngữủc lÔi khổng úng.
Bờ ã 1.8 (Bờ ã Minty, xem [3], trang 89).
Náu K ⊂ R n v F : K −→ R n l mởt Ănh xÔ liản tửc, ỡn iằu thẳ x ∈ Sol(V I ) khi v ch¿ khi x ∈ K v hF (y), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K (1.10)
BĐt ¯ng thực (1.10) cỏn ữủc gồi l bĐt ¯ng thực bián phƠn Minty.
Hằ quÊ 1.9 CĂc kh¯ng ành sau l úng:
(1) Náu F l ỡn iằu ch°t trản K thẳ b i toĂn V I khổng thº cõ nhiãu hỡn mởt nghiằm.
(2) Náu F l liản tửc v ỡn iằu trản K thẳ têp nghiằm cừa b i toĂn
V I l õng v lỗi (cõ thº bơng rộng).
(1) GiÊ thiát phÊn chựng rơng F ỡn iằu ch°t trản K những b i toĂn V I cõ hai nghiằm phƠn biằt l x v y Khi õ hF (x), y − xi ≥ 0
⇒ h−F (x), y − xi ≤ 0 v hF (y), x − yi ≥ 0 ⇒ hF (y), y − xi ≤ 0
Kát hủp hai bĐt ¯ng thực n y ta ữủc hF (y) − F (x), y − xi ≤ 0, cho thấy những bĐt ¯ng thực n y mƠu thuăn vợi tẵnh ỡn iằu ch°t cừa F l hF (y) − F (x), y − xi > 0 Điều này chỉ ra rằng b i toĂn V I khổng thº cõ nhiãu hỡn mởt nghiằm.
(2) GiÊ sỷ F l liản tửc v ỡn iằu trản K Vợi mội y ∈ K ta kẵ hiằu
Ω(y) l têp tĐt cÊ x ∈ K thọa mÂn bĐt ¯ng thực hF (y), y − xi ≥ 0
Do F l liản tửc trản têp lỗi K nản Ω(y) l têp lỗi v õng Tứ Bờ ã
Do õ Sol(V I ) l mởt têp lỗi, õng (cõ thº rộng).
Chú ỵ rơng têp K ð hằ quÊ n y khổng nhĐt thiát phÊi compact.
BĐt ¯ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu
BĐt ¯ng thực bián phƠn vectỡ hai mửc tiảu 11
GiÊ sỷ F i : K −→ R n vợi i = 1, 2 l cĂc h m giĂ trà vectỡ. °t F = (F 1 , F 2 ) v vợi mồi x ∈ K , v ∈ R n , ta ành nghắa
Ta cõ cĂc ành nghắa sau ành nghắa 1.10 B i toĂn tẳm x ∈ K sao cho
(hF 1 (x), y − xi , hF 2 (x), y − xi) ∈ − / R 2 + \ {0} , ∀y ∈ K, (1.11) ữủc gồi l b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn vectỡ hai mửc tiảu (bi- criteria vector variational inequality problem), viát tưt l V V I
Têp nghiằm Sol (V V I ) cừa b i toĂn V V I l têp tĐt cÊ cĂc x ∈ K thọa mÂn (1.11) ành nghắa 1.11 B i toĂn tẳm iºm x ∈ K sao cho
(hF 1 (x), y − xi , hF 2 (x), y − xi) ∈ −int / R 2 + , ∀y ∈ K, (1.12) ữủc gồi l b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn vectỡ hai mửc tiảu yáu (bicriteria weakly vector variational inequality problem), viát gồn l
Têp nghiằm Sol w (V V I ) cừa b i toĂn V V I w l têp tĐt cÊ cĂc x ∈ K thọa mÂn (1.12)
GiÊi b i toĂn V V I v b i toĂn V V I w l i tẳm cĂc têp nghiằm
Sol (V V I ) v Sol w (V V I ) ành nghắa 1.12 Vợi mội ξ = (ξ 1 , ξ 2 ) ∈ Σ , b i toĂn tẳm iºm x ∈ K sao cho
≥ 0, ∀y ∈ K, (1.13) ữủc gồi l b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn hai mửc tiảu phử thuởc tham số (parametric variational inequality problem) v ữủc kẵ hiằu l
Têp nghiằm Sol(V I) ξ cừa b i toĂn V I ξ l têp tĐt cÊ cĂc x ∈ K thọa mÂn (1.13) Dữ liệu này cho thấy mối quan hệ giữa các têp nghiằm của các b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn.
2, Náu K l mởt têp a diằn thẳ
Sol(V I ) ξ = Sol(V V I ) (1.15) ành lỵ 1.13 văn úng cho b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn vectỡ vợi F = (F 1 , , F p ) Xem [4].
BĐt ¯ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu
ành nghắa 1.14 B i toĂn tẳm x ∈ K sao cho hM x + q, y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K, (1.16) trong õ M l mởt ma trên cĐp m ì n , ữủc gồi l b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn affine (affine variational inequality problem), kẵ hiằu l AV I
Têp nghiằm Sol(AV I ) cừa b i toĂn AV I l têp tĐt cÊ cĂc x ∈ K thọa mÂn (1.16)
Dữợi Ơy, ta x²t b i toĂn V V I v V V I w hai mửc tiảu vợi
. ành nghắa 1.15 B i toĂn tẳm x ∈ K sao cho
The bicriteria affine vector variational inequality problem (AVVI) is defined by the equation (1.17), where the solution set Sol(AVVI) consists of points x ∈ K that satisfy the conditions outlined in the problem This framework establishes the necessary criteria for identifying solutions within the defined set K.
(hM 1 x + q 1 , y − xi , hM 2 x + q 2 , y − xi) ∈ −int / R 2 + , ∀y ∈ K, (1.18) ữủc gồi l b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn vectỡ affine hai mửc tiảu yáu (bicriteria weakly affine vector variational inequality problem), kẵ hiằu l AV V I w
Têp nghiằm Sol w (AV V I) cừa b i toĂn AV V I w l têp tĐt cÊ cĂc x ∈ K thọa mÂn (1.18)
. ành nghắa 1.17 Vợi mồi ξ ∈ Σ , b i toĂn tẳm iºm x ∈ K sao cho
≥ 0, ∀y ∈ K (1.19) ữủc gồi l b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn vectỡ affine phử thuởc tham số (parametric affine vector variational inequality problem), kẵ hiằu l AV I ξ
Têp nghiằm Sol(AV I ) ξ cừa b i toĂn AV I ξ l têp tĐt cÊ cĂc x ∈ K thọa mÂn (1.19)
Chú ỵ: BĐt ¯ng thực (1.19) cõ thº viát tữỡng ữỡng nhữ sau:
Tứ ành lỵ 1.13 ta cõ hằ quÊ sau
Sol(AV I ) ξ = Sol(AV V I) ⊆ Sol(AV V I) w = [ ξ∈Σ
Vợi b i toĂn AV I ta cõ iãu kiằn cƯn v ừ º x ∈ K l nghiằm nh÷ sau: ành lþ 1.19 (xem [3], trang 92).
Gi£ sû K = {x ∈ R n : Ax ≤ b} trong â A ∈ R p×n v b ∈ R p Khi §y x ∈ K l nghiằm cừa b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn affine AV I náu v ch¿ náu tỗn tÔi λ = (λ 1 , , λ p ) ∈ R p sao cho
Mành ãn y tọ ra rất hiệu quả tĩnh tiếp nghiằm của các bài toán bậc ống thực biến phân affine trong các vấn đề sử dụng thời, bởi vì nó cho phép chuyển vận tĩnh tiếp nghiằm của bài toán AVV và việc giải hằng phương trình bậc phương trình.
Ta ữa v o khĂi niằm thự tỹ trong R n theo nõn R n + nhữ sau:
Cho hai vectỡ x ∈ R n , y ∈ R n , ta nõi rơng x ≥ y náu v ch¿ náu x i ≥ y i ∀i = 1, , n.
Dữợi Ơy trẳnh b y b i toĂn tối ữu a mửc tiảu phƠn thực tuyán tẵnh. Cho ϕ i : R n −→ R , (i = 1, 2) l h m phƠn thực tuyán tẵnh xĂc ành bði: ϕ i (x) = a T i x + α i b T i x + β i vợi a i ∈ R n , b i ∈ R n , α i ∈ R v β i ∈ R , trong õ kẵ hiằu a T i , b T i tữỡng ùng l chuyºn và cõa a i v b i
GiÊ sỷ rơng b T i x + β i > 0 vợi mồi x ∈ K v vợi mồi i ∈ {1, 2}
X²t b i toĂn tối ữu vectỡ phƠn thực tuyán tẵnh hai mửc tiảu sau:
M inϕ(x) = M in(ϕ 1 (x), ϕ 2 (x)) vợi mồi x ∈ K (P ) ành nghắa 1.20 Vectỡ x ∈ K ữủc gồi l mởt nghiằm hỳu hiằu (hay mởt nghiằm Pareto) cừa b i toĂn (P ) náu khổng tỗn tÔi y ∈ K sao cho ϕ(y) ≤ ϕ(x) v ϕ(y) 6= ϕ(x)
Náu khổng tỗn tÔi y ∈ K sao cho ϕ(y) < ϕ(x) thẳ vectỡ x ∈ K ữủc gồi l mởt nghiằm hỳu hiằu yáu (hay mởt nghiằm Pareto yáu) cừa b i to¡n (P )
Kẵ hiằu têp nghiằm hỳu hiằu v têp nghiằm hỳu hiằu yáu cừa b i toĂn (P ) lƯn lữủt l Sol(P ) v Sol w (P )
Người ta chứng minh được rằng, tập nghiệm hữu hạn của bài toán tối ưu vectơ trong với tập nghiệm Pareto của bài toán AVI ẩn chứa được xác định bởi K và hàm affine F_i(x) = M_i x + q_i (i = 1, 2).
Mở bài toán (P) có thể chuyển về giải bài toán bậc nhất thực biến phân affine phụ thuộc tham số tương ứng Điều này cho phép ta nhận được một số kết quả của bài toán bậc nhất thực biến phân affine từ bài toán tối ưu phân thực tuyến tính và ngữ cảnh lồi.
Dữợi Ơy l Bờ ã Farkas, ữủc sỷ dửng trong chựng minh ð Chữỡng 2.
Bờ ã 1.21 (Bờ ã Farkas, xem [12] trang 200).
Cho a i ∈ R n , x ∈ R n vợi i = 1, , m khi õ ha 0 , xi ≤ 0 l hằ quÊ cừa hằ ha i , xi ≤ 0 náu v ch¿ náu tỗn tÔi nhỳng số thỹc khổng Ơm λ 1 , , λ m sao cho m
Cổng thực Ănh giĂ số th nh phƯn liản thổng cừa têp nghiằm b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu
Nhưc lÔi mởt số ành nghắa
ành nghắa 2.1 Cho X l mởt têp hủp, T l hồ cĂc têp con cừa X
T ữủc gồi l tổpổ trản X náu thọa mÂn
3) τ α ∈ T , S α∈Γ τ α ∈ T , trong õ Γ l têp ch¿ số bĐt kẳ.
Náu X là một không gian topo, với T là một họ các tập mở Định nghĩa 2.2 cho thấy rằng X là một không gian topo nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của các tập mở U và V, trong đó U và V là những tập mở khác nhau của X và giao của chúng là tập rỗng (U ∩ V = ∅) Định nghĩa 2.3 chỉ ra rằng A là một tập con mở của X, và tập A được gọi là một thành phần liên thông của X nếu nó là một tập mở khác của X.
A l liản thổng trong tổpổ v nõ khổng l têp con thỹc sỹ cừa têp liản thổng n o cừa X
Một tập hợp X được gọi là liên thông nếu với mọi cặp x, y ∈ X có thể tìm thấy một đường đi liên tục γ : [0, 1] → X sao cho γ(0) = x và γ(1) = y Khi đó, ta nói rằng X là liên thông theo hướng (arcwise connected).
X gồi l co rút ữủc náu tỗn tÔi Ănh xÔ liản tửc ψ : X ì [0, 1] −→ X v mởt iºm a ∈ X sao cho vợi mồi x ∈ X ta cõ ψ(x, 0) = x, ψ(x, 1) = a
C¡c ành lþ cì b£n
Trong phƯn n y, ta x²t b i toĂn V V I v V V I w hai mửc tiảu vợi
Têp K ữủc xĂc ành bði
Vợi mội têp ch¿ số khĂc rộng α ⊂ {1, , p} ta ành nghắa ma trên:
Z α (`) = (z ki (`) ) k∈α,i∈α , (` = 1, 2), trong â z ki (`) = A k (A (`) rs ) T A T i vợi
Một ma trận \( A \) có thể được biểu diễn dưới dạng \( A_{rs} = (-1)^{r+s} \det(M_{rs}) \), trong đó \( M_{rs} \) là định thức của ma trận con được tạo ra bằng cách xóa hàng \( r \) và cột \( s \) từ ma trận \( A \) Các yếu tố \( A_{rs} \) là phần bù của định thức trong ma trận, phản ánh sự tương tác giữa các phần tử của ma trận ban đầu.
* Vợi ` = 1 ta cõ Z α (1) = (z ki (1) ) k∈α,i∈α , trong õ z ki (1) = A k (A (1) rs ) T A T i v A (1) = (a 1 rs ), a 1 rs = (−1) r+s det(M rs 1 ),
l ma trên cĐp(n−1)ì(n−1) Khi õ A (1) = (a 1 rs ) =
Ta câ z ki (1) = A k (A (1) rs ) T A T i = (a k1 a kn ).
*Ho n to n tữỡng tỹ, vợi ` = 2 ta cõ Z α (2) = (z ki (2) ) k∈α,i∈α , vợi z ki (2) = a k1 n
P j=1 a 2 jn a ij ành lþ 2.5 (xem [4])
Náu F i (x) = M i x + q i , (i = 1, 2) l cĂc h m affine, v vợi mội têp ch¿ sè kh¡c réng α ⊂ (1, , p) , gi£ sû detZ α (1) 6= 0 ho°c detZ α (2) 6= 0 , khi Đy têp nghiằm Pareto Sol(V V I) cõ hỳu hÔn th nh phƯn liản thổng.
Cho têp ch¿ số α ⊂ I vợi I := {1, , p} Gồi F α l giÊ m°t (pseudo- face) cừa K ữủc ành nghắa bði:
F α = {x ∈ R n : A i x = b i ∀i ∈ α, A i x < b i ∀i / ∈ α} , trong â b i l th nh ph¦n thù i cõa b
Tứ cổng thực (1.3) ta thĐy rơng x ∈ Sol(V I ) ξ tữỡng ữỡng vợi
Trữợc tiản, vợi α = ỉ khi õ F ỉ = {x ∈ R n : A i x < b i ∀i ∈ I } = intK Kh¯ng ành 1: Têp Sol(V V I ) ∩ F ỉ l têp cõ hỳu hÔn th nh phƯn liản thổng.
Ta thĐy x ∈ F ỉ thẳ N k (x) = 0 Thêt vêy, x ∈ F ỉ ∩ Sol(V V I ) khi v ch¿ khi A i x < b i ∀i ∈ I ⇔ b i − A i x > 0 ∀i = 1, , p Chồn ε = min {b i − A i x} > 0 ∀i = 1, , p suy ra b i − A i x > ε ∀i = 1, , p.
Ta câ ∀v ∈ R n , ∃λ 6= 0 º A i (x + λv) < b i ⇔ A i + λA i v < b i ⇔ b i −A i x−λA i v > 0 °t λ = 2||A ε i v|| khi â ta câ b i −A i x− 2||A ε i v|| A i v
2 > 0 Tứ õ suy ra x λ = x + λv ∈ F ỉ Ta x²t x λ ∈ K thẳ: hx ∗ , x λ − xi = hx ∗ , λvi = λ hx ∗ , vi ≤ 0 ⇒ hx ∗ , vi ≤ 0 (1).
M°t khĂc vợi x −λ ∈ K thẳ hx ∗ , x −λ − xi = hx ∗ , −λvi = −λ hx ∗ , vi ≤ 0 ⇒ hx∗, vi ≥ 0 (2).
Tứ (1) v (2) ta suy ra hx ∗ , vi = 0 ∀v ∈ R n ⇒ x ∗ = 0 Vêy N K x = 0
Vẳ vêy náu x ∈ F ỉ thẳ (2.1) tữỡng ữỡng vợi:
Vợi ξ cố ành thẳ (2.2) l mởt hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh nản têp nghiằm G(ξ ) (cõ thº bơng rộng) l mởt têp affine ∀ξ ∈ Σ
Tứ cổng thực (1.15) cừa ành lỵ 1.13 , ta cõ:
l mởt ma trên vuổng cĐp nìn v phử thuởc v o tham số ξ 1 ∈ (0, 1)
Do õ ành thực cừa M (ξ ) l mởt a thực bián ξ 1 m ta kẵ hiằu l
P (ξ 1 ) Bêc cừa a thực P (ξ 1 ) khổng lợn hỡn n , tực l degP (ξ 1 ) ≤ n
Náu P (ξ 1 ) 6= 0 thẳ (2.2) cõ duy nhĐt mởt nghiằm x(ξ 1 ) = −M (ξ 1 ) −1 q (ξ 1 ), (2.4) trong â q(ξ 1 ) := q(ξ) = ξ 1 q 1 + (1 − ξ 1 )q 2 v ,
P (ξ 1 ) ) T é Ơy (A rs (ξ 1 )) l ma trên cĐp n ì n vợi cĂc hằ số l phƯn bũ Ôi số cừa phƯn tỷ cõ dỏng r v cởt s cừa ma trên M (ξ 1 ) Ró r ng mội biºu thùc A P rs (ξ (ξ 1 )
Để mở rộng hàm hình học với biến số ξ1, điều kiện cần thiết là degA(ξ1) ≤ n - 1 và degP(ξ1) ≤ n Các thành phần của M(ξ1) - 1 là những hàm liên quan đến trật tự xác định với P(ξ1) ≠ 0 Hơn nữa, chúng cũng là những hàm khả vi liên quan đến trật tự n.
Vẳ 0 < ξ < 1 nản ta ch¿ x²t P (ξ) trản (0, 1)
Cho τ 1 < τ 2 < < τ k l nghiằm khĂc nhau cừa P (ξ 1 ) trản khoÊng
(0, 1), k ≤ n. °t τ 0 = 0, τ k+1 = 1 Vợi mội ξ 1 ∈ (0, 1) \ {τ 1 , τ 2 , , τ k } ta nhên thĐy rơng (2.2) cõ nghiằm duy nhĐt l x(ξ 1 ) ữủc tẵnh theo (2.4) Tứ degP (ξ 1 ) ≤ n v têp (0, 1) \ {τ 1 , τ 2 , , τ k } gỗm cõ nhiãu nhĐt (k + 1) khoÊng mð trản trửc số thỹc Ta thĐy rơng :
Tứ Sol(V I ) τ ` ∩ F ỉ = G(τ ` ) ∩ F ỉ , trong õ G(τ ` ) l têp nghiằm cừa
Trong bài viết này, chúng ta xem xét vợi ξ = (τ ` , 1 − τ ` ) v vẳ F ỉ l mởt têp lỗi, nơi mà th nh phƯn thự hai cừa hủp trong và phÊi cừa (2.5) l hủp cừa k têp lỗi Điều này cho thấy rằng mọi têp l têp liản thổng ữớng đều thuộc về hủp cừa k têp liản thổng ữớng, cụ thể là các tập hợp kết nối theo đường cung.
Chúng ta s³ ch¿ ra rơng:
Vợi mội ` ∈ {0, , k}, giao cừa Γ ` = {x(ξ 1 ) : τ ` < ξ 1 < τ `+1 } vợi F ỉ l hủp cừa hỳu hÔn th nh phƯn liản thổng.
Cố ành mội ` ∈ {0, , k}nhợ lÔi rơng F ỉ = {x ∈ R n : A i x < b i , ∀i ∈ I }
Cố ành ch¿ số i ∈ I v quan tƠm tợi iãu kiằn:
BƠy giớ ta ch¿ ra rơng số nghiằm x thọa mÂn (2.6) l hỳu hÔn.
Chú ỵ rơng x thọa mÂn (2.6) náu v ch¿ náu cõ tỗn tÔi ξ 1 ∈ (τ ` , τ `+1 ) sao cho A i x(ξ 1 ) = b i
Thay (2.4) v o biºu thực trản ta ữủc biºu thực tữỡng ữỡng sau:
= b i Nhữ vêy ta cõ thº viát nhữ sau:
Bêc cừa a thực ð vá trĂi cừa (2.7) nhọ hỡn ho°c bơng n, nản ho°c a thực ð vá trĂi ỗng nhĐt bơng khổng ho°c phữỡng trẳnh (2.7) khổng cõ quĂ n nghiằm ξ 1 trản (τ ` , τ `+1 ) Từ Ơy ta suy ra rơng mội ữớng cong Γ ` ho°c nơm ho n to n trong siảu ph¯ng {x : A i x = b i } ho°c giao cừa siảu ph¯ng Đy vợi ữớng cong cõ khổng quĂ n iºm Kết quả têp Γ ` ∩ F ỉ = {x ∈ Γ ` : A i x < b i } cõ khổng quĂ (n + 1) th nh phƯn liản thổng Cho i = 1, , p chúng ta cõ thº kh¯ng ành rơng Γ ` ∩ F ỉ cõ khổng quĂ (n + 1) p th nh phƯn liản thổng Từ kát cĂc phƠn tẵch trản v sỷ dửng (2.5), số th nh phƯn liản thổng cừa têp Sol(V V I ) ∩ F ỉ khổng vữủt quĂ χ 0 := (k + 1)(n + 1) p + k ≤ (n + 1) p+1 + n.
Ta kát thúc chựng minh kh¯ng ành 1
X²t trữớng hủp vợi α 6= ỉ ta cõ
Kh¯ng ành 2: Vợi mội têp α 6= ỉ, α ⊂ I , têp Sol(V V I ) ∩ F α l têp cõ hỳu hÔn th nh phƯn liản thổng.
Ta giÊ sỷ rơng detZ α (2) 6= 0 (trong trữớng hủp detZ α (2) = 0 , detZ α (1) 6= 0 x²t tữỡng tỹ, vợi iãu kiằn tham số ξ 1 ∈ (0, 1) thay bơng ξ 2 = 1 − ξ 1 ). Vợi α Â x²t, º chựng minh kh¯ng ành trản ta °t: Λ = −pos A T i : i ∈ α = −
Dạ thĐy Λ l nõn Thêt vêy, giÊ sỷ náu γ ∈ Λ thẳ ∃λ 0 i ≥ 0 sao cho γ = P i∈α λ 0 i A T i Vợi mồi λ ≥ 0 ta x²t λγ = P i∈α λλ 0 i A T i = P i∈α λ i A T i ∈ Λ vợi mồi λ i ≥ 0 Suy ra Λ l nõn.
Vợi mội x ∈ F α , sỷ dửng bờ ã Farkas chúng ta cõ thº thĐy rơng:
Nhợ lÔi rơng x ∈ F α ∩ Sol(V V I )) náu v ch¿ náu tỗn tÔi 0 < ξ 1 < 1 sao cho (2.1) thọa mÂn.
Vẳ thá, x ∈ F α ∩ Sol(V V I ) náu v ch¿ náu cõ tỗn tÔi ξ 1 ∈ (0, 1) sao cho:
Ta kẵ hiằu G(ξ 1 ) = {x ∈ R n : M (ξ 1 )x ∈ −q(ξ 1 ) + Λ} l têp nghiằm cừa (2.10) Dạ thĐy rơng G(ξ 1 ) l mởt têp lỗi.
Thêt vêy, vợi x 1 ∈ G(ξ 1 ) suy ra tỗn tÔi λ 1 1 , , λ 1 p sao cho
M (ξ 1 )x 1 = −q (ξ 1 ) − P i∈α λ 1 i A T i , vợi x 2 ∈ G(ξ 1 ) suy ra tỗn tÔi λ 2 1 , , λ 2 p sao cho
Vợi mồi t ∈ [0, 1] : x = tx 1 + (1 − t)x 2 ta phÊi chựng minh x ∈ G(ξ 1 ) tùc ∃λ 1 , , λ p sao cho M (ξ 1 )x = −q(ξ 1 ) − P i∈α λ i A T i
Nhữ chựng minh Kh¯ng ành 1, giÊ sỷ τ 1 < τ 2 < < τ k l nghiằm khĂc nhau cừa P (ξ 1 ) trản khoÊng (0, 1) °t: Γ e ` = {G(ξ 1 ) : τ ` < ξ 1 < τ `+1 } = S ξ 1 ∈(τ ` ,τ `+1 )
Do tẵnh lỗi cừa G(τ ` ) v F α , th nh phƯn thự hai cừa hủp trong vá phÊi vá phÊi cừa (2.11) l hủp cừa k l têp lỗi Do vêy nõ l hủp cừa k têp liản thổng.
BƠy giớ ta ch¿ ra rơng: Vợi mội ` ∈ {0, 1, , k} thẳ Γ e ` ∩ F α cõ hỳu hÔn th nh phƯn liản thổng ữớng.
GiÊ sỷ ` ∈ {0, 1, , k} ữủc chồn vợi mội ξ 1 ∈ (τ ` , τ `+1 ) v tứ P (ξ 1 ) 6=
0, khi õ (2.10) tữỡng ữỡng vợi: x ∈ −M (ξ 1 ) −1 q(ξ 1 ) + M (ξ 1 ) −1 Λ (2.12) Theo (2.9) , x thọa mÂn (2.12) náu v ch¿ náu cõ mởt têp nhƠn tỷ
{à i ≥ 0 : i ∈ α}, sao cho: x = −M (ξ 1 ) −1 q(ξ 1 ) + M (ξ 1 ) −1 ν, (2.13) vợi ν = − X i∈α à i A T i (2.14) °t vá phÊi cừa (2.13) l x(ξ 1 , ν) Ró r ng, x(ξ 1 , ν) ∈ F α náu v ch¿ náu
Thay x(ξ 1 , ν) = x , trong õ x ữủc cho bði (2.13) v o (2.15) v nhợ lÔi rơng:
R k (ξ 1 ) = b k P (ξ 1 ) + A k (A rs (ξ 1 )) T q(ξ 1 ) (k ∈ α). Khi â (2.16) trð th nh
Kẵ hiằu |α| l số phƯn tỷ cừa α (lỹc lữủng cừa α ) X²t ma trên vuổng
S(ξ 1 ) := (S ki (ξ 1 )) k∈α,i∈α c§p |α| v R(ξ 1 ) := (R k (ξ 1 )) k∈α l vectì theo cởt cõ |α| th nh phƯn.
Bði vẳ vectỡ cởt à := (à i ) i∈α cõ cĂc tồa ở khổng Ơm v tứ (2.17) ta cõ:
S(ξ 1 )à = R(ξ 1 ), à ≥ 0 (2.18) Ơy l hằ cĂc phữỡng trẳnh tuyán tẵnh v bĐt phữỡng trẳnh tuyán tẵnh º tẳm à vectỡ.
Vẳ P (ξ 1 ) l h m liản tửc, khĂc khổng vợi mồi ξ 1 ∈ (τ ` , τ `+1 ) nản ch¿ xÊy ra mởt trong hai trữớng hủp:
Trong trữớng hủp (a) tứ bĐt ¯ng thực ch°t (2.15) ta cõ thº viát lÔi t÷ìng ÷ìng sau:
Trong trữớng hủp (b) cĂc bĐt ¯ng thực ch°t n y cõ thº viát lÔi tữỡng ÷ìng nh÷ sau:
Vẳ giÊi (2.20) cụng tữỡng tỹ nhữ (2.19) nản ta ch¿ x²t trữớng hủp (a) , tực l bĐt ¯ng thực (2.19) Ta  biát S(ξ 1 ) l ma trên vuổng cĐp
|α| m méi ph¦n tû S ki (ξ 1 ) = −A k (A rs (ξ 1 )) T A T i , (k ∈ α, i ∈ α) cõa nõ l mởt a thực bêc khổng quĂ (n − 1) do A rs (ξ 1 ) cõ bêc khổng quĂ (n − 1) , nản detS (ξ 1 ) l a thực cõ bêc khổng quĂ (n − 1) |α| hay deg(detS(ξ 1 )) ≤ (n − 1) |α|
Do õ cõ nhiãu nhĐt (n − 1) |α| iºm ξ 1 ∈ (τ ` , τ `+1 ) vợi detS(ξ 1 ) = 0 Vẳ vêy ta cõ thº chia (τ ` , τ `+1 ) th nh q khoÊng v t 0 < t 1 < < t q−1 < t q , trong õ t 0 = τ ` , t q = τ `+1 , q ≤ (n − 1) |α| + 1 sao cho: detS(ξ 1 ) 6= 0 vợi mồi ξ 1 ∈ (t j , t j+1 ) vợi j ∈ {0, , q − 1}.
Náu ξ 1 = t j , j ∈ {1, , q − 1} thẳ (2.18) v (2.19) lƯn lữủt trð th nh:
Ta thĐy têp à ∈ R |α| thọa mÂn (2.21) v (2.22) l têp lỗi.
Kát hủp iãu kiằn n y vợi cổng thực (2.13) v (2.14) ta thĐy x ∈
G(t j ) ∩ F α iãu n y kh¯ng ành G(t j ) ∩ F α l mởt têp lỗi.
S(ξ 1 )à = R(ξ 1 ) (2.23) cõ nghiằm duy nhĐt à = S(ξ 1 ) −1 R(ξ 1 ) (2.24) vợi mồi ξ 1 ∈ (t j , t j+1 ) Ró r ng vá phÊi cừa (2.24) l h m liản tửc trản
(t j , t j+1 ) Vợi mội i ∈ α , vectỡ à = S(ξ 1 ) −1 R(ξ 1 ) l m cho à i = 0 náu v ch¿ náu (S(ξ 1 ) −1 R(ξ 1 )) i = 0 iãu n y cõ thº viát lÔi l :
= 0, (2.25) trong õ (C rs (ξ 1 )) l ma trên cĐp |α| ì |α| vợi cĂc hằ số l phƯn bũ Ôi số cừa phƯn tỷ dỏng r cởt s cừa ma trên cừa S (ξ 1 ) (2.25) tữỡng ÷ìng nh÷ sau:
Bêc cừa vá trĂi a thực khổng quĂ n h (n − 1) |α| − 1 i , nản ho°c mội ÷íng cong à(ξ 1 ) = S(ξ 1 ) −1 R(ξ 1 ) : ξ 1 ∈ (t j , t j+1 ) , nơm to n bở trong siảu ph¯ng
H i là một không gian con trong R với |α|, trong đó à i = 0 H i có số giao điểm với hướng cong của một mặt phẳng khổng lồ là (n − 1)|α| − 1 Do đó, từ (2.18), chúng ta có thể kết luận rằng không gian này không rỗng.
[ ξ 1 ∈(t j ,t j+1 ) n à ∈ R |α| : S(ξ 1 )à = R(ξ 1 ), à ≥ 0 o , (2.26) cõ nhiãu nhĐt (n h (n − 1) |α| − 1 i + 1) |α| th nh phƯn liản thổng.
Cho F l mởt th nh phƯn liản thổng Vectỡ à(ξ 1 ) = S(ξ 1 ) −1 R(ξ 1 ) cừa F thọa mÂn bĐt ¯ng thực (2.19) vợi ch¿ số k ∈ I \ α náu v ch¿ náu:
S ki (ξ 1 )(S(ξ 1 ) −1 R(ξ 1 )) i < R k (ξ 1 ). BĐt ¯ng thực trản tữỡng ữỡng sau:
C ir (ξ 1 ) detS (ξ 1 ) R r (ξ 1 )) < R k (ξ 1 ) (2.27) Vẳ detS(ξ 1 ) 6= 0 vợi mội ξ 1 ∈ (t j , t j+1 ) , nản ho°c l detS (ξ 1 ) > 0 ∀ξ 1 ∈ (t j , t j+1 ) ho°c l detS (ξ 1 ) < 0 ∀ξ 1 ∈
GiÊ sỷ trữớng hủp 1 xÊy ra Tứ (2.27) tữỡng ữỡng vợi
Ta thĐy bêc cao nhĐt cừa cĂc a thực trong hai vá cừa bĐt ¯ng thực trản khổng vữủt quĂ γ α := max {γ 1 , γ 2 }, vợi γ 1 := (n − 1) + n h (n − 1) |α| − 1 i v γ 2 := n + (n − 1) |α|
S ki (ξ 1 )C ir (ξ 1 )R r (ξ 1 ) = R k (ξ 1 )detS(ξ 1 ), vợi mồi ξ 1 ∈ (t j , t j+1 ) ho°c l cõ nhiãu nhĐt γ α iºm ξ 1 ∈ (t j , t j+1 ) thọa mÂn (2.27)
Trong trường hợp Ưu khổng, số thành phần liên quan tổng của giao các tập nghiệm biểu diễn theo (2.26) cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2.19) Cụ thể, khối lượng χ 1 (α) được xác định bởi công thức χ 1 (α) := (n (n − 1) |α| − 1 + 1) |α| (γ α + 1) |α| Bên cạnh đó, mọi phần tỷ à cho ta x ∈ Γ e ` ∩ F α theo cổng thực (2.13) cũng cần được xem xét.
Tứ (2.11) ta cõ kát luên rơng Γ e ` ∩ F α cõ nhiãu nhĐt qχ 1 (α) + (q − 1) + k ≤ (n − 1) |α| + 1 χ 1 (α) + (n − 1) |α| + k =: χ 2 (α) th nh phƯn liản thổng.
Suy ra Kh¯ng ành 2 Â ữủc chựng minh.
Tứ Kh¯ng ành 2 cũng vợi ữợc lữủng (2.8) cho ta cổng thực giợi hÔn trản vã số th nh phƯn liản thổng cừa Sol(V V I ) : χ = χ 0 + X α⊂I,α6=ỉ χ 2 (α) (2.28)
Nhữ vêy ành lỵ (2.5) ữủc chựng minh ho n to n. ành lþ 2.6 (xem [4]).
Náu F i (x) = M i x + q i , (i = 1, 2) l h m affine, v vợi mội têp ch¿ số kh¡c réng α ⊂ (1, , p) , gi£ sû detZ α (1) 6= 0 ho°c detZ α (2) 6= 0 khi §y têp nghiằm Pareto yáu Sol w (V V I ) cõ hỳu hÔn th nh phƯn liản thổng.
Chựng minh ành lỵ n y, ta sỷ dửng kát quÊ ành lỵ 1.13 trong phƯn
Thay ξ 1 ∈ (0, 1) bơng ξ 1 ∈ [0, 1] , v dỹa theo chựng minh cừa ành lỵ
2.5 ta cụng cõ cổng thực Ănh giĂ trản vã số th nh phƯn liản thổng cừa têp nghiằm Sol w (V V I ) nhữ (2.29)
Vêy ành lỵ 2.6 Â ữủc chựng minh.
Từ các định lý 2.5 và 2.6, chúng ta suy ra rằng các thành phần liên thông của bài toán (AV V I) và (AV V I) có thể là các đường cong thực hoặc các tập hợp lỗi liên thông Chứng minh cho thấy mỗi thành phần liên thông đều là tập hợp liên thông hướng, có thể là đường cong thực hoặc một phần của đường thẳng.
Cổng thực Ănh giĂ số th nh phƯn liản thổng cừa têp nghiằm b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu trong R 2
3.1 Ănh giĂ số th nh phƯn liản thổng cừa têp nghiằm b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu trong R 2
Trong phƯn n y, ta x²t b i toĂn V V I v V V I w hai mửc tiảu trong R 2 vợi F i (x) = M i x + q i , x ∈ R 2 , M i ∈ R 2ì2 , q i ∈ R 2 (i = 1, 2) l cĂc h m affin v têp K ữủc xĂc ành bði
Gồi F α l giÊ m°t cừa K v ữủc ành nghắa bði:
, v q(ξ) = (ξ 1 q 1 1 + ξ 2 q 2 1 , ξ 1 q 2 1 + ξ 2 q 2 2 ), trong õ ξ ∈ Σ , vợi Σ = ξ = (ξ 1 , ξ 2 ) ∈ R 2 : ξ 1 + ξ 2 = 1, ξ 1 ≥ 0, ξ 2 ≥ 0 Tứ õ ta cõ
* Vợi ` = 1 ta cõ Z α (1) = (z ki (1) ) k∈α,i∈α , α ⊂ {1, , p} = I trong õ z ki (1) = A k (A (1) rs ) T A T i v A (1) rs = a 1 rs = (−1) r+s det(M rs ) v
* Vợi ` = 2 ho n to n tữỡng tỹ nhữ trản ta cõ:
BƠy giớ ta Ănh giĂ số th nh phƯn liản thổng cừa tƠp nghiằm b i toĂn bĐt ¯ng thực bián phƠn affine hai mửc tiảu trong R 2
X²t têp Sol(V V I ) ∩ F ỉ Dạ thĐy náu x ∈ Sol(V V I ξ ) thẳ
Vợi x ∈ F ỉ ta cõ N K (x) = {0} thẳ (3.1) tữỡng ữỡng vợi:
Vợi ξ cố ành thẳ (3.2) l mởt hằ phữỡng trẳnh bêc nhĐt hai ân.
Khổng mĐt tẵnh tờng qoĂt ta °t ξ 1 = ξ Ta cõ
, l mởt ma trên vuổng cĐp 2 v phử thuởc v o tham số ξ ∈ (0, 1)
= det(M (ξ)) = P (ξ) = aξ 2 + bξ + c, trong õ P (ξ ) l mởt a thực bêc khổng quĂ 2, vợi a = det(M 1 − M 2 ), b = detM 1 − detM 2 − det(M 1 − M 2 ), c = detM 2. v
Ta x²t cĂc trữớng hủp sau:
Náu D = 0 tực l P (ξ) = 0 cõ tối a 2 nghiằm τ 1 và τ 2 phƠn biằt Khi ξ = τ 1 hoặc ξ = τ 2, thẳ (3.2) vổ nghiằm hoặc cõ vổ số nghiằm nơm trản mởt ữớng th¯ng Mỗi nghiằm cừa P (ξ) thẳ cõ tối a mởt th nh phƯn liản thổng.
* Náu D = 0 , D x 1 = 0 ho°c D x 2 = 0 thẳ phữỡng trẳnh (3.2) vổ nghiằm.
* Náu D 6= 0 thẳ phữỡng trẳnh (3.2) cõ nghiằm duy nhĐt x(ξ) = (x 1 (ξ), x 2 (ξ )), vợi x 1 (ξ) = D x 1
D = a 2 ξ 2 + b 2 ξ + c 2 aξ 2 + bξ + c º Ănh giĂ số th nh phƯn liản thổng lợn nhĐt cõ thº cõ ta x²t trữớng hủp P (ξ) cõ tối ta hai nghiằm khĂc nhau 0 < τ 1 < τ 2 < 1 trản khoÊng
(0, 1) Têp (0, 1) \ {τ 1 , τ 2 } gỗm cõ nhiãu nhĐt 3 khoÊng mð v vợi mội ξ ∈ (0, 1) \ {τ 1 , τ 2 } ta thĐy (3.2) cõ nghiằm duy nhĐt l x(ξ )
Tứ cổng thực (1.15) cừa ành lỵ (1.13) ta thĐy rơng:
Cè ành méi ` ∈ {0, 1, 2} , ta °t Γ ` = {x(ξ) : τ ` < ξ < τ `+1 } Γ ` l ữớng cong liản tửc v khÊ vi Theo ành Lỵ 2.5 thẳ Γ ` giao vợi ữớng th¯ng A i x = b i (i ∈ I ) khổng quĂ 2 iºm.
Thêt vêy, cố ành ch¿ số i ∈ I , x²t A i x = b i vợi x ∈ Γ ` suy ra
Với bài toán tối ưu hóa, ta có thể áp dụng lý thuyết về không gian giải pháp, trong đó các hàm mục tiêu và ràng buộc được định nghĩa rõ ràng Mỗi phương trình trong hệ thống có thể được biểu diễn dưới dạng các biến số, cho phép tìm ra các giá trị tối ưu cho các tham số Điều này dẫn đến việc xây dựng các đường cong hoặc mặt phẳng trong không gian đa chiều, từ đó xác định các điểm cực trị trong bài toán Hệ thống phương trình tuyến tính có thể được giải quyết bằng các phương pháp như phương pháp đơn hình hoặc phương pháp nội suy, nhằm tối ưu hóa giá trị mục tiêu trong các điều kiện cho trước.
Chú ỵ rơng mội ữớng A i x = b i chia m°t ph¯ng th nh 2 phƯn v têp
K nơm ho n to n vã mởt phẵa nản ta °t x 1 , , x t cưt biản cừa K khi ξ tông tứ τ ` −→ τ `+1
Gi£ sû x(ξ j ) = x j v ξ 0 = τ ` , ξ t+1 = τ `+1 suy ra: {x(ξ)| ξ ∈ (ξ j , ξ j+1 )} ho°c nơm ho n to n trong F ỉ ho°c nơm ho n to n ngo i F ỉ ( chú ỵ cõ thº xÊy ra trữớng hủp ξ j = ξ j+1 ).
Náu {x(ξ)| ξ ∈ (ξ 0 , ξ 1 )} nơm trong F ỉ thẳ ta gĂn cho x j dĐu dữỡng náu {x(ξ)| ξ ∈ (ξ j , ξ j+1 )} nơm trong F ỉ Tứ tẵnh liản tửc cừa x(ξ) v số giao iºm x(ξ) vợi tĐt cÊ cĂc cÔnh cừa a diằn K l khổng quĂ 2p Suy ra cõ tối a p iºm ữủc Ănh dĐu dữỡng v mội dĐu dữỡng tữỡng ữỡng vợi mởt th nh phƯn liản thổng Vêy trong trữớc hủp n y cõ tối a l p th nh phƯn liản thổng (xem hẳnh 3.1).
Náu {x(ξ)| ξ ∈ (ξ 0 , ξ 1 )} nằm trong F ỉ, thỏa mãn điều kiện x j dĐu dữỡng náu {x(ξ)| ξ ∈ (ξ j−1 , ξ j )} nằm trong F ỉ Cụng tứ tẵnh liản tửc của x(ξ) và số giao iºm x(ξ) vợi tĐt cÊ cĂc cÔnh cừa a diằn K l khổng quĂ 2p cho thấy có tối a p + 1 ữủc Ănh dĐu dữỡng, và như vậy có tối a p + 1 th nh phƯn liản thổng trong trữớng hợp n y.
Tõm lÔi trong trữớng hủp Sol(V V I ) ∩ F ỉ ta cõ tối a l χ 0 = 3(p + 1) + 2 = 3p + 5 th nh phƯn liản thổng.
Trữớng hủp 2: Vợi mội têp α ⊂ {I = 1, 2, , p} , α 6= ỉ , ta x²t
Vợi têp α cố ành,khổng mĐt tẵnh tờng quĂt ta x²t b i toĂn trong trữớng hủp:
Vợi x ∈ F α theo bờ ã Farkas ta cõ:
Suy ra x ∈ F α ∩ Sol(V V I ) khi v ch¿ khi :
, trong õ A rs (ξ ) l ma trên cĐp 2 ì 2 vợi cĂc hằ số l phƯn bũ Ôi số cừa phƯn tỷ cõ dỏng r cởt s cừa ma trên M (ξ)
Ta cõ detM(ξ) = P (ξ) = aξ 2 + bξ + c l a thực bƠc khổng quĂ 2 ối vợi ξ
* P (ξ) = aξ 2 + bξ + c = 0 thẳ tối a cõ 2 nghiằm phƠn biằt τ 1 , τ 2 nơm trong khoÊng (0, 1)
Náu ξ = τ 1 ho°c ξ = τ 2 thẳ (3.7) vổ nghiằm ho°c cõ vổ số nghiằm nơm trản mởt ữớng th¯ng, vợi mội nghiằm cừa P (ξ) thẳ cõ tối a mởt th nh phƯn liản thổng.
* Vợi mồi ξ ∈ (0, 1) \ τ 1 , τ 2 suy ra P (ξ) 6= 0 thẳ (3.7) cõ nghiằm duy nh§t l x = −M (ξ 1 ) −1 q(ξ 1 ) + M (ξ 1 ) −1 v = x(ξ 1 , v), (3.8) º Ănh giĂ số th nh phƯn liản thổng lợn nhĐt cõ thº cõ ta giÊ sỷ
P (ξ) cõ hai nghiảm phƠn biằt khĂc nhau 0 < τ 1 < τ 2 < 1
Ta kẵ hiằu G(ξ ) l têp nghiằm cừa (3.7) °t: Γ e ` =
Ta thĐy th nh phƯn thự hai cừa hủp trong vá phÊi (3.10) l hủp cừa
= a 0 ξ + b 0 l a thực bêc khổng quĂ 1 ối vợi ξ , v
= a 00 ξ 2 + b 00 ξ + c 00 l mởt a thực bêc khổng quĂ 2 ối vợi ξ
Nhữ vêy (3.12) l mởt phữỡng trẳnh bêc nhĐt ối vợi à vợi iãu kiằn à ≥ 0.
(a) P (ξ) > 0, vợi mồi ξ ∈ (τ ` , τ `+1 ) Khi õ (2) tữỡng ữỡng:
(b) P (ξ) < 0, vợi mồi ξ ∈ (τ ` , τ `+1 ) Khi õ (2) tữỡng ữỡng:
Ta ch¿ x²t trữớng hủp (a) (trữớng hủp b ữủc l m ho n to n tữỡng tỹ) Nhên thĐy rơng
( degS 1 (ξ) ≤ 1 degR 1 (ξ) ≤ 2 nản suy ra cõ nhiãu nhĐt mởt iºm ξ ∈ (τ l , τ l+1 ) l m cho S 1 (ξ ) = 0 , giÊ sỷ ξ = t 0 thẳ S 1 (t 0 ) = 0
Náu S 1 (ξ) = 0 thỏa mãn phương trình (3.12) hoặc là vỏ nghiêm ngặt với điều kiện là vỏ số nghiêm ngặt đối với mọi nản luôn thỏa mãn với mọi nản ≥ 0, nản trong trường hợp này ta có tối a mởt thành phần liển tổng.
S k (ξ )à < R k (ξ) (3.16) Vợi S 1 (ξ 6= 0) phữỡng trẳnh (3.15) cõ nghiằm duy nhĐt à = R 1 (ξ)
S 1 (ξ) = a 00 ξ² + b 00 ξ + c 00 a 0 ξ + b 0 vợi mồi ξ ∈ (τ l , t 0 ) ∪ (t o , τ l+1) Để đảm bảo phương trình có giá trị lớn hơn hoặc bằng 0, cần xác định tối ưu hóa hai khoảng rời nhau trong mỗi khoảng ξ ∈ (τ l , τ l+1) Do đó, có tối thiểu hai nghiệm phân liên tục trong khoảng (τ l , τ l+1) Vì vậy, phương trình có tối đa sáu nghiệm phân liên tục Do vậy, tổng số nghiệm của K có tối đa sáu nghiệm phân liên tục.
Với |α| = 2 khi ô F2 là tập các điểm lý thuyết của a giặc (giao của hai cạnh a giặc liên kết), như vậy a giặc có tối đa p cạnh nản có tối đa điểm Ta xét tất cả điểm của a giặc, khi ô tập nghiằm của b là toán bất đẳng thức biến phân có thể vẽ nghiằm hoặc có tối đa một thằng phân liễn tổng Như vậy tường chúng ta có tối đa p thằng phân liễn tổng trong trường hợp F2 Tóm lược trong trường hợp Fα số thằng phân liễn tổng khổng vượt quá χ α = 7p.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ khám phá các khái niệm liên quan đến hai trường hợp hợp F và F α, đồng thời phân tích các thành phần của bài toán biến đổi affine trong R² Cụ thể, chúng ta sẽ xem xét mối quan hệ giữa các biến số và cách chúng tương tác trong không gian hai chiều, với một ví dụ minh họa cụ thể là biểu thức χ = χ₀ + χα = 10p + 5.
3.2 Mởt số vẵ dử vã b i toĂn bĐt ¯ng thực bián ph¥n