Phương trình vi phân với hệ số tuần hoàn

Ch ng 1: Lý thuy t Floquet cho ph ng trình vi phân th ng.. Ch ng 2: Lý thuy t Floquet trên thang th i gian... 1.2 Lý thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân th ng Xét h ph ng trình vi

M c l c……… 1

M u……… ……… 2

L i c m n……… 4

Ch ng 1 Lý thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân th ng

5 1.1 Các khái ni m c b n c a ph ng trình vi phân th ng………… 5

1.2 Lý thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân th ng 13

Ch ng 2 Lý thuy t Floquet trên thang th i gian … 17

2.1 M t s nh ngh a và tính ch t c b n v thang th i gian……… 17

2.2 H ng l c tuy n tính trên thang th i gian 27

2.3 Lý thuy t Floquet trên thang th i gian … 29

2.4 Nhân t Floquet, m Floquet … 42

2.5 Áp d ng c a lý thuy t Floquet… 50

K t lu n……… 57

Tài li u tham kh o……… 58

M U

Nhi u bài toán th c t nh các h c h c, các h th ng i n, h sinh thái, h

ng l c,…, th ng c mô t b i các ph ng trình vi phân M t l p quan

tr ng c a ph ng trình vi phân là l p các ph ng trình vi phân v i h s tu n hoàn nh lý Floquet là m t nh lý c b n nh t trong lý thuy t ph ng trình vi phân v i h s tu n hoàn

Nghiên c u các ph ng trình vi phân v i h s tu n hoàn nói chung và lý thuy t Floquet nói riêng là m t ch c các nhà nghiên c u quan tâm, vì

ây là mô hình hay g p trong th c t , thí d , h th ng các hành tinh trong h m t

tr i, các dao ng v t lý, , là các h tu n hoàn

Song hành v i ph ng trình vi phân, lý thuy t ph ng trình sai phân c ng

c nghiên c u và phát tri n, c bi t trong nh ng n m g n ây (xem [5])

Ph ng trình sai phân không ch là m t mô hình r i r c c a ph ng trình vi phân, mà còn là m t mô hình toán h c c l p, r t nhi u bài toán th c t (trong kinh t , trong k thu t, ) c ng có th mô t c b i h ph ng trình sai phân

N m 1988, nh!m th ng nh t nghiên c u các h r i r c và liên t c, Hilger [8]

ã a ra khái ni m thang th i gian Khái ni m thang th i gian c a Hilger

không nh ng ch có ý ngh a toán h c, mà còn có ý ngh a tri t h c sâu s"c Nó cho phép th ng nh t hai b n ch t c a chuy n ng, ó là tính liên t c và tính r i

r c Sau khi Hilger a ra khái ni m thang th i gian và nghiên c u h ng l c trên thang th i gian, m t s nhà toán h c ã quan tâm nghiên c u và xây d ng

lý thuy t Floquet i v i h ng l c tu n hoàn trên thang th i gian

Lu n v n Ph ng trình vi phân v i h s tu n hoàn có m c ích trình bày lý

thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân th ng tuy n tính v i h s tu n hoàn và h ng l c tuy n tính tu n hoàn trên thang th i gian tu n hoàn

Ngoài ph n m u, k t lu n, lu n v n g#m hai ch ng

Ch ng 1: Lý thuy t Floquet cho ph ng trình vi phân th ng

Ch ng này trình bày các nh ngh a và tính ch t c b n c a h ph ng trình vi phân th ng, phát bi u và ch ng minh nh lý Floquet i v i ph ng trình vi phân th ng Các ki n th c trình bày trong Ch ng này ch y u d a vào các tài li u [2], [3], [4]

Ch ng 2: Lý thuy t Floquet trên thang th i gian

Ch ng 2 trình bày m t s nh ngh a và tính ch t v thang th i gian, h

ng l c tuy n tính trên thang th i gian, lý thuy t Floquet i v i h ng l c tuy n tính tu n hoàn trên thang th i gian tu n hoàn và m t s ví d áp d ng N i dung c a Ch ng c trình bày theo các tài li u [6], [7], có tham kh o thêm tài

li u [1]

Do th i gian và kh n ng còn nhi u h n ch nên lu n v n này không th tránh kh$i nh ng thi u sót R t mong nh n c nh ng ý ki n óng góp quí báu

c a các th y cô và các b n #ng nghi p

L I C M N

Tác gi trân tr ng c m n Ban Giám hi u, Phòng ào t o sau i h c,

Tr ng i h c khoa h c, i h c Thái Nguyên ã quan tâm và t o i u ki n

t t nh t cho tác gi hoàn thành khóa h c sau i h c

Tác gi xin trân tr ng c m n cô giáo TS Nguy%n Th Thu Th y cùng các

th y cô giáo tham gia gi ng d y l p cao h c K4B khóa 2010-2012 ã em h t nhi t tình và tâm huy t c a mình trang b cho tác gi nh ng ki n th c c s

Tác gi xin trân tr ng c m n tr ng Ph& thông Hermann Gmeiner, H i Phòng ã t o nhi u i u ki n tác gi có th i gian v'a hoàn thành nhi m v

1 2

1

,,( , ) ( , ), , ( , )

,

n n

m i a t b< < trong ó , (t x0, 0) ( )∈ a b, × D, c g i là nghi m c a ph ng trình

vi phân (1.1.2), th$a mãn i u ki n ban u (1.1.3).

D i ây nh"c l i nh lý c b n v t#n t i và duy nh t nghi m, là c s nghiên c u tính ch t &n nh nghi m c a h ph ng trình vi phân th ng

Khi y v i m i ( , )t x0 0 ∈ tìm G c m t s d > sao cho trên kho ng 0

(t0 −d t, 0 +d), nghi m c a ph ng trình vi phân (1.1.2) tho mãn i u ki n ban

u (1.1.3) là t n t i và duy nh t

Chúng ta có khái ni m &n nh nghi m do Lyapunov a ra n m 1892 d i ây

ph i kéo dài c t i vô cùng, t c là m i nghi m ( ) x t có i u ki n ban u th$a

mãn (1.1.4) u xác nh trong kho ng t0 ≤ < +∞ hay ( )t , x t ∈ v i m i D

i u ki n (1.1.5) nói r!ng, các nghi m có i u ki n ban u x t g n ( )0 η( )t0

t i i m t ph i mãi mãi (v i m i 0 t t≥ ) trong 0 ε − ng có tr c là η( )t

nh ngh a 1.1.3 Nghi m η( ),t (t0 < < +∞ c a ph ng trình (1.1.2) t ) c g i

là n nh u theo t khi t0 → +∞ n u v i m i s d ng ε cho tr c, t#n t i s

d ng δ δ ε= ( ) không ph thu c vào t sao cho v i m i 0, t0∈(a;+∞ m i ),nghi m x t c a ph ng trình (1.1.2) th$a mãn i u ki n ban ( ) u

là không n nh theo Lyapunov khi t→ +∞ n u t#n t i m t s ε0 > và m t 0

th i i m t0∈ sao cho, v i m i s I+ δ > t#n t i ít nh t m t nghi m ( )0, x t c a

1 Nghi m η( ),t (t0< < +∞ là &n nh theo Lyapunov khi t t ) → +∞ và

2 V i m+i t0∈ t#n t i I+ ∆ = ∆( ) 0t0 > sao cho t t c các nghi m

ph ng trình d ng y t( )= f t y( ), , v i ( ,0) 0.f t ≡ Do ó ta luôn có th gi thi t

( ,0) 0

Các nh ngh a (1.1.2)-(1.1.5) có th phát bi u g n gàng h n cho nghi m ( ) 0.t

( ,0) 0

t#n t i ∆ = ∆( ) 0t0 > sao cho t t c các nghi m x t t( ),( 0≤ < +∞ th$a mãn i u t )

nh ti m c n khi t→ +∞ và m i nghi m x t( ), (t0 ≤ < +∞ u th$a mãn i u t )

ik k i k

dt = = + = (1.1.8) trong ó a ik( ) ( ) ,f i ∈C I( ),+ t c là các h s a ik( ) c a x và các s h ng t do k

( )

i

f c a h (1.1.8) là các hàm s liên t c trên kho ng I+ =(t;+∞ N u không )

có chú thích gì khác, ta luôn gi thi t các hàm s a t f t nh n giá tr th c ik( ) ( ), i

và x t i i( ), =1, ,n là các ,n hàm c n tìm c ng nh n các giá tr th c

N u a vào các kí hi u:

dx A t x f t( ) ( ),

dt = + (1.1.9) trong ó A t f t( ) ( ), ∈C I( )+ và gi s

Tính ch t 1 T t c các nghi m c a h ph ng trình vi phân tuy n tính u n

nh ho c không n nh theo Lyapunov khi t→ +∞

T' tính ch t này, thay vì nói m t nghi m c th c a h ph ng trình vi phân là

không n nh

Chú ý 1.1.1 Tính ch t trên không úng cho h ph ng trình vi phân phi tuy n

vì có ví d ch ra r!ng, h phi tuy n có th v'a có nghi m &n nh v'a có nghi m không &n nh

Tính ch t 2 H ph ng trình vi phân (1.1.9) n nh Lyapunov v i m i s h ng

t do ( ) f t khi và ch! khi nghi m t m th ng η( )t ≡ c a h thu n nh t t ng 0

"ng (1.1.10) là n nh Lyapunov khi t → +∞

H qu 1.1.1 H ph ng trình vi phân tuy n tính n nh n u ít nh t m t

nghi m c a h n nh, không n nh n u có m t nghi m không n nh

H qu 1.1.2 H ph ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t n nh khi

và ch! khi h tuy n tính thu n nh t t ng "ng n nh

V i h qu trên, nghiên c u tính &n nh c a m t h tuy n tính ta ch c n nghiên c u tính &n nh c a nghi m t m th ng c a h thu n nh t t ng ng

Chú ý 1.1.2 Dáng i u nghi m c a h tuy n tính không thu n nh t (1.1.9) v i

s h ng t do tùy ý ( )f t theo ngh a &n nh c ng t ng ng dáng i u c a nghi m c a h thu n nh t (1.1.10) t ng ng

Vì v y, sau này ta gi i h n vi c nghiên c u tính &n nh ch i v i h vi phân tuy n tính thu n nh t

Tính ch t 3 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n nh u khi và ch!

khi nghi m t m th ng η( )t ≡ c a h thu n nh t t ng "ng (1.1.10) là n 0

nh u khi t→ +∞

Tính ch t 4 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) là n nh ti m c n n u

nghi m t m th ng x t( )≡ c a h thu n nh t t ng "ng (1.1.10) n nh ti m 0

c n khi t → +∞

H qu 1.1.3 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) n nh ti m c n khi và

ch! khi h tuy n tính thu n nh t t ng "ng (1.1.10) n nh ti m c n

Tính ch t 5 H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.9) n nh ti m c n khi và

ch! khi m i nghi m x t( ), (t0 ≤ < +∞ c a h u d n n 0 khi t ) t → +∞ t"c là ,

H qu 1.1.5 N u h ph ng trình vi phân tuy n tính không thu n nh t n nh

thì m i nghi m c a nó ho c b ch n ho c không b ch n khi t → +∞

1.1.4 H kh quy

Lý thuy t v h ph ng trình vi phân tuy n tính v i h s h!ng ã c xây

d ng t ng i tr n v-n M t câu h$i t nhiên t ra là: Li u có th a m t h

ph ng trình vi phân tuy n tính v i h s bi n thiên v h ph ng trình vi phân tuy n tính v i h s h!ng hay không?- Các h nh v y c g i là h kh quy

Ta có

g i là kh quy theo Lyapunov n u nó th a c v h ph ng trình vi phân tuy n tính v i ma tr n h!ng

dt = (1.1.12)

nh m t phép bi n &i Lyapunov y L t x= ( )

nh lý 1.1.3 (Erugin, xem [2], [4]) H ph ng trình vi phân tuy n tính (1.1.10)

là kh quy khi và ch! khi m t ma tr n c b n ( ) X t nào ó c a nó có th bi u

di n c d ng ( ) X t =L t e( ) ,tB trong ó L t là ma tr n Lyapunov, B là ma ( )

tr n h#ng s

1.2 Lý thuy t Floquet cho h ph ng trình vi phân th ng

Xét h ph ng trình vi phân tuy n tính

Ta có nh lý Floquet n&i ti ng sau ây

nh lý 1.2.1 ( nh lý Floquet, xem [2], [4]) Ma tr n nghi m c b n, chu n hóa

Ma tr n X( )ω c g i là ma tr n mônô rômi c a h tu n hoàn (1.2.1)

Do ( )X t là ma tr n nghi m c b n nên detX( )ω ≠ t 0

det[ ( )X ω ρ− I] 0= (1.2.10)

c g i là các nhân t c a h (1.2.1)

nh lý 1.2.2 & i v i m i nhân t ,ρ t n t i m t nghi m không t m th ng

( )t

ξ(t+ω)=ρξ( ).t (1.2.11)

Ng c l i, n u i u ki n (1.2.11) th a mãn i v i m t nghi m không t m

th ng ( )ξ t nào ó thì ρ là nhân t c a h ã cho

H qu 1.2.1 H tuy n tính tu n hoàn (1.2.1) có nghi m không t m th ng tu n

hoàn v i chu kì ω khi và ch! khi h có ít nh t m t nhân t b#ng 1

nh lý 1.2.3 H tuy n tính v i ma tr n tu n hoàn, liên t c là kh quy

nh lý 1.2.4 1) H tuy n tính thu n nh t tu n hoàn (1.2.1) là n nh khi và ch!

khi m i nhân t ρj c a nó u n#m trong hình tròn n v óng ρ ≤ trong 1,

c xem nh nh ng giá tr riêng c a ma tr n mônô rômi t ng "ng

2) &i u ki n c n và h tu n hoàn n nh ti m c n là m i nhân t c a nó

n#m trong hình tròn n v ρ <1

CH NG 2

LÝ THUY T FLOQUET TRÊN THANG TH I GIAN

Nh!m th ng nh t nghiên c u các h r i r c và liên t c, Hilger (1988, [8]) ã a

ra khái ni m thang th i gian Ông và m t s ng i khác ã nghiên c u và phát

tri n gi i tích (phép toán vi phân và tích phân) và h ng l c trên thang th i gian Sau khi Hilger a ra khái ni m thang th i gian và nghiên c u h ng l c trên thang th i gian, m t s nhà toán h c ã quan tâm nghiên c u và xây d ng

lý thuy t Floquet i v i h ng l c tu n hoàn trên thang th i gian

Ch ng này trình bày các k t qu c a DaCunha [7] v h ng

l c tu n hoàn trên thang th i gian

T p

( ) ( )

, 0

a b k

Các t p , \ , , 0;1 không ph i là thang th i gian [ )

Ta luôn gi s r!ng, thang th i gian c trang b m t tôpô c m sinh t' tôpô thông th ng trên t p các s th c

nh ngh a 2.1.2 Cho là m t thang th i gian V i m+i t ∈ ta nh ngh a

toán t nh y ti n (forward jump) và toán t nh y lùi (backward jump) nh sau:

1 Toán t nh y ti n: σ : → σ( )t : inf= {s∈ :s t> }

2 Toán t nh y lùi: ρ: → , ( ) : supρ t = {s∈ :s t< }

( )t t;

l p trái (left-scattered) n u ρ( )t < i m trù m t trái (left-dense) n u t; t >inf

và ρ( )t = t

i m v'a là cô l p ph i v'a là cô l p trái c g i là i m cô l p (isolated);

i m v'a là trù m t ph i v'a là trù m t trái g i là i m trù m t (dense)

g i là hàm h t (graininess) c a thang th i gian

Hàm h t c tr ng s thay &i c a thang th i gian t i th i i m .t

a b k

ho c ph n t l n nh t M không ph i là i m cô l p trái) thì ta t k =

th c hi n ch ng minh các nh lý trên thang th i gian, ta c n

Nguyên lý quy n p trên thang th i gian

S t là úng

Khi ó, ( )S t là úng v i m i t∈[t0;+∞)

2.1.2 Tính liên t c

nh ngh a 2.1.5 1 Hàm :f → c g i là chính quy (regulated) n u t#n

t i gi i h n bên ph i (h u h n) t i t t c các i m trù m t ph i trong và t#n

t i gi i h n bên trái (h u h n) t i t t c các i m trù m t trái trong

2 Hàm f : → c g i là rd - liên t c (right-dense continuous) n u nó liên

t c t i các i m trù m t ph i và gi i h n bên trái là t#n t i (h u h n) t i các i m trù m t trái trong

3 M t m n× − ma tr n A hàm xác nh trên thang th i gian ( ) c g i là rd

- liên t c n u m+i ph n t c a A là rd - liên t c ( )

4 Cho X là m t không gian Banach, ánh x

( ) ( )

g i là rd - liên t c n u các i u ki n sau c th$a mãn:

a) f liên t c t i m+i i m ( ),t x v i t là trù m t ph i hay t =max

nh ngh a 2.1.6 Xét hàm s :f → & o hàm Hilger hay ∆ − o hàm .

c a f t i t∈ k là m t s (n u nó t#n t i), c kí hi u là f t∆( ), n u v i m i 0

Trong tr ng h p này ta có ( ) lim ( ) ( ) ( ).

( ) : ( ) ( ),

s r

nh ngh a 2.1.9 Cho a∈ sup, = ∞ và f là rd - liên t c trên [a,∞ Tích )

phân suy r ng c a hàm f trên [a,∞ ) c nh ngh a nh sau:

1

1

,0,

,

b h a k h b

h b k h

n u a < b,

n u a = b,

n u a > b

nh b i

ℜ = ℜ+ +( , )={p∈ℜ +:1 µ( ) ( ) 0t p t > ,v i m i t∈ k}, là m t nhóm con c a ℜ( , )

Nh n xét r!ng, n u ,p q∈ℜ thì p q p q p q, , ⊕ , ∈ℜ

nh lý 2.2.1 Cho A( ) là hàm m m× -ma tr n rd-liên t c Khi ó v i m+i

A s s ∆ ( c bi t khi A là ma tr n

h!ng thì i u này c th$a mãn) thì ta ký hi u e t t thay vì A( ), 0 ΦA( )t t, 0

Nghi m x c a ph ng trình (2.2.3) có th bi u di%n qua toán t Cauchy d i ( )

2.3 Lý thuy t Floquet trên thang th i gian

2.3.1 Thang th i gian tu n hoàn

T' ây tr i ta gi s r!ng thang th i gian là p− tu n hoàn

2.3.2 nh lý Floquet th ng nh t cho h ng l"c trên thang th i gian

Xét bài toán giá tr ban u

x t∆( )=A t x t( ) ( ), x t( )0 =x0, (2.3.1) trong ó A( ) ∈ℜ( , n n× ) và là p− tu n hoàn

L u ý, trong h (2.3.1) không nh t thi t chu kì c a A t( ) ph i b!ng chu kì c a thang th i gian Tuy nhiên, n gi n, ta gi thi t r!ng, chu k/ c a thang th i gian và c a hàm A t là b!ng nhau ( )

H ng l"c tuy n tính thu n nh t

nghi m c a bài toán giá tr ban u

nh lý ti p theo th ng nh t và m r ng nh lý Floquet trong lý thuy t ph ng

trình vi phân sang cho h ng l c tuy n tính p−tu n hoàn trên thang th i gian

nh lý 2.3.1 ( nh lý Floquet cho h ng l c trên thang th i gian)

Chúng ta coi (2.3.3) nh m t phân tích Floquet cho Φ A.

ΦA( ) ( ) ( ) ( )t,τ =L t e t R ,τ L− 1 τ

Nh v y (2.3.3) c ch ng minh

Ta còn ph i ch ng minh L t( )là p−tu n hoàn Th t v y, t' (2.3.4) và B&

2.3.1 ta có