02 02 03 01 b3 he thuc luong trong tam giac tu luan hdg chi tiet

R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nột tiếp của tam giác ABC.. Tính độ dài đường trung tuyến MA, với M là trung điểm của BC.. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giá

BÀI 1 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ

GIẢI TAM GIÁC.

Cho tam giác ABC BC a CA b AB c ,  ,  ,  , S là diện tích tam giác Giả sử h h h a, ,b c lần

lượt là độ dài các đường cao đi qua ba đỉnh A B C, , ; m m m a, b, c lần lượt là các đường trung tuyến đi qua ba đỉnh A B C, , R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nột tiếp của

tam giác ABC Ta có kết quả sau đây:

1 Định lí côsin

2 2 2 2 cos ,

a b c  bc A b2 c2a2 2 cos ,ca B c2  a2 b2 2 cos ab C

*Hệ quả của định lí côsin

2 Định lí sin trong tam giác: sin sin sinC 2

R

3 Công thức trung tuyến

4 Công thức diện tích:

a)

2 a 2 b 2 c

b)

c) 4

abc S

R



d) S pr với 1 

2

p a b c 

C

H

Ư

Ơ

N

G

II

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ

ỨNG DỤNG

LÝ THUYẾT.

I

=

=

=

I

e) Công thức Hê- Rông S p p a p b p c        

DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC

{Tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.}

+ Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, công thức tính độ dài đường trung tuyến, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài

Câu 1 Cho tam giác ABC có AB4,AC 6,A120 0 Tính độ dài cạnh BC

Lời giải

2 2 2 2 cosA 62 42 2.6.4.cos1200



Câu 2 Cho tam giác ABC có a7;b8;c5 Tính  , , , A S h R a

Lời giải

+

2 2 2 82 52 72 1 cos

A

bc

+

.sin 8.5.sin 60 10 3

+ Ta có:

S

a

+ Ta có:

7.8.5 7 3

Câu 3 Cho tam giác ABCcó độ dài ba cạnh là AB 2, BC 5, CA 6 Tính độ dài đường trung tuyến

MA, với M là trung điểm của BC.

Lời giải

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

II

=

=

=I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

Áp dụng công thức tình độ dài trung tuyến ta có:

2 2 2



Câu 4 Tam giác ABC vuông tại A có AC 6 cm, BC 10 cm Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam

giác ABC

Lời giải

Do tam giác ABC vuông tại A có AC 6 cm, BC 10 cm nên

Diện tích tam giác ABC là

1 2

ABC

S  AB AC

24



Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

2S ABC r

AB BC CA





 

2.24

6 8 10



  2

Câu 5 Cho tam giác ABC có b 7, c 5,

3 cos

5

A 

Tính độ dài đường cao h của tam giác a ABC.

Lời giải

a

H

A

Theo định lí hàm cos ta có a2 b2c2 2 cosbc A

3

49 25 2.7.5

5

  

32

  a4 2

Ta lại có:

3 cos

5

5

A

Diện tích tam giác ABC là

1 sin 2

ABC

.7.5



14



Vì

1 2

ABC a

S  a h

nên

2 ABC

a

S h

a



4 2

2



Vậy

7 2 2

a

h 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3

=

=

=

I

Câu 1 [0H2-3.4-1] Cho ABC có BC a , BAC 120 Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là

A

3 2

a

R 

a

R 

3 3

a

R 

D R a

Lời giải Chọn D

Theo định lý sin trong tam giác ta có 2 sin

BC R

BAC

2 sin120 3

R

Câu 2 [0H2-3.4-1] Tam giác ABC có a 8, c 3, B   Độ dài cạnh 60 b bằng bao nhiêu?

A 49 B 97 C 7 D 61

Lời giải Chọn C

2 2 2 2 cos

b a c  ac B 8232 2.8.3cos 60 49  b7

Câu 3 [0H2-3.4-1] Cho ABC có a 4, c 5, B  150 Tính diện tích tam giác ABC

A S 10 B S 10 3. C . S 5. D S 5 3.

Lời giải Chọn C

Diện tích tam giác ABClà

 1

sin 2

.4.5sin150 2

5



Câu 4 [0H2-3.4-2] Một tam giác có ba cạnh là 52, 56, 60 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

đó là

A

65

Lời giải Chọn C

Ta có:

52 56 60 2

84



Áp dụng hệ thức Hê – rông ta có: S  84 84 52 84 56 84 60         1344

Mặt khác 4

abc S R



4

abc R S

  52.56.60

4.1344



32,5

Câu 5 [0H2-3.4-2] Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy.

Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 60. Biết CA 200 m 

, CB 180 m 

Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?

A 228 m 

B 20 91 m 

C 112 m 

D 168 m 

Lời giải Chọn B

2 2 2 2 cos 60 36400

Câu 6 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có góc A nhọn, AB  , 5 AC  , diện tích bằng 12 Tính độ dài8

cạnh BC

Lời giải Chọn C

Ta có:



S

2 2 2 2 .cos 52 82 2.5.8.cos 36 52 12 25 5

Câu 7 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có AB 4, AC  và trung tuyến6 BM  Tính độ dài cạnh3

BC

Lời giải Chọn B

4 6

3

M

B

Ta có:

2

2

4

AC

2

2 6 2

Câu 8 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có AB 4, AC  và đường trung tuyến10 AM  Tính độ dài6

cạnh BC

Lời giải Chọn D

6

M

A

Ta có:

2

Câu 9 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC cóA75 , B 45 ,AC  Tính cạnh 2 AB

A

2

6

6

3

Lời giải Chọn B

Ta có:

.sin sin 2.sin(180 75 45 )

6

AB c

 

  



Câu 10 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có B   ,  60 C   ,45 AB  Tính cạnh AC 3

A

3 6

3 2

2 6

3

Lời giải Chọn A

Ta có:

.sin sin 3.sin 60 3 6

AC b





Câu 11 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có các góc A75 , B 45 Tính tỉ số

AB

AC .

A

6

6

2 D 1, 2

Lời giải Chọn C

Ta có:

sin sin(180 75 45 ) 6

    

Câu 12 [0H2-3.4-3] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB c và

os( ) 1

c

3

A B 

A

2 2

c

3 2 8

c

9 2 8

c

3 2

c

Lời giải Chọn B

Ta có

1 cos cos( )

3

C A B 

Do đó

2

1 2 2 sin 1

C    

3 2 2

Câu 13 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có các gócA 105 , B   Tính tỉ số45

AB

AC .

A

2

2

6

3

Lời giải

Chọn A

Ta có:

sin sin(180 105 45 ) 2

    

Câu 14 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB 4, AC  ,5 BC  Tính6 cos(B C )

A

1

1 4

 C –0,125 D 0, 75

Lời giải

Chọn C

Ta có c= AB=4 , b=AC=5 , a=BC=6 .

Tính cos A= b2+c2−a2

2 b c =

1

8 .

Để ý cos(B+C )=−cos A=−1

8=−0 , 125 .

Câu 15 [0H2-3.1-3] Tam giác có ba cạnh lần lượt là 2,3, 4 Góc bé nhất của tam giác có sin bằng bao

nhiêu?

A

15

7

1

14

8

Lời giải

Chọn A

Góc bé nhất ứng với cạnh có số đo bé nhất

Giả sử a=2 ,b=3, c=4 Ta có

2 2 2 7 cos

2 8

A

b c

 

Do đó

sin A= √ 1− ( 7 8 )2= √ 15

8 .

Câu 16 [0H2-3.1-3] Tam giác có ba cạnh lần lượt là 3 , 8 , 9 Góc lớn nhất của tam giác có cosin bằng

bao nhiêu?

A

1

1 6



17

4 25



Lời giải

Chọn B

Góc lớn nhất tương ứng với cạnh lớn nhất:

2 2 2

cos

2.3.8 6

    

Câu 17 [0H2-3.1-3] Hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E là trung điểm cạnh BC , F là trung

điểm cạnhAE Tìm độ dài đoạn thẳngDF

A

13 4

a

5 4

a

3 2

a

3 4

a

Lời giải

Chọn A

E

C D

Ta có:

2

AE DE  a   

  Dùng công thức độ dài trung tuyến:

2 2

2

5

5 13 4

a a

DF





4

a DF

Câu 18 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có BC  ,12 CA  ,9 AB  Trên cạnh BC lấy điểm 6 M sao cho

4

BM  Tính độ dài đoạn thẳng AM

A 2 5. B 3 2. C 20. D 19

Lời giải

Chọn D

2 2 2 62 122 92 11 cos

B

AB BC

2 cosB 6 4 2.6.4 19

16

.

Câu 19 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC vuông tại A có AB AC a  Điểm M nằm trên cạnh BC sao

BC

BM 

Độ dài AMbằng bao nhiêu?

A

17 3

a

5 3

a

2 2 3

a

2 3

a

Lời giải

Chọn B

M

2 3

a BM

2

Câu 20 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có cos A B  1

8

 

, AC  , 4 BC  Tính cạnh 5 AB

A 46 B 11 C 5 2. D 6

Lời giải

Chọn A

Vì trong tam giác ABC ta có A B bù với góc C nên cos  1 cos 1

A B   C

2 cos 4 5 2.4.5 6

8

Câu 21 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB  ,7 AC  và 5  

1 cos

5

B C 

Tính BC

A 2 15 B 4 22. C 4 15. D 2 22

Lời giải

Chọn A

Vì trong tam giác ABC ta có B C bù với góc A nên  

1 cos B C

5

1 cos

5

A

2 cosA 7 5 2.7.5 2 15

5

Câu 22 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có BC  5, AC  và cot3 C  Tính cạnh 2 AB

A 6. B 2 C

9

Lời giải

Chọn B

Từ giả thiết cotC  , ta suy ra C là góc nhọn2

2

2 2

1 2

C

  

 

2

2 cos 3 5 2.3 5 2

5

Câu 23 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB  , 3 AC  và 4 tanA 2 2 Tính cạnh BC

A 3 2 B 4 3. C. 33. D 7

Lời giải

Chọn C

Từ giả thiết tanA 2 2, ta suy ra A là góc tù

2

A

3

BC AB AC  AB AC      

Câu 24 [0H2-3.1-2] Cho tam giác ABC có cạnh BC a  , cạnh CA b  Tam giác ABC có diện tích

lớn nhất khi góc C bằng:

A.60o B 90o C.150o D.120o

Lờigiải

Chọn B

Diện tích của tam giác ABC là:

1 sin 2

S a b C

S lớn nhất khi sin C lớn nhất, hay sin C   1 C   90o.

Câu 25 [0H2-3.1-4] Cho tam giác MPQ vuông tại P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E F, sao cho các

góc MPE, EPF, FPQ bằng nhau Đặt MPq PQ, m PE, x PF, y Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?

A.MEEF FQ B.

ME   q x  xq.

Lờigiải

Chọn C

m

x y M

E

F

Từ giả thiết, suy ra

3

o MPQ MPE EPF FPQ   

Tam giác MPF có MPF MPE EPF       60o;



2 2 2 2 .cos

MF  MP  PF  MP PF MPF

2

q y y q q y yq

Câu 26 [0H2-3.1-3] Tính góc C của tam giác ABC biết a b và a a 2 c2b b 2 c2

Lời giải

Chọn C

Ta có: a a 2 c2 b b 2 c2  a3 b3 c a b2  0

a b a  2 ab b2 c a b2  0

a ab b c

2 2 2 cos

2

C

ab

 

2



Do đó: C 120

Câu 27 [0H2-3.1-3] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB  12 và

1

3

A B 

9 10

Lời giải Chọn A

Ta có:

1

3

A B 

nên

1 cot

3

C 

, suy ra3cosCsinC

Mà sin2Ccos2C1

3 3 10 sin

10 10

C

AB R R AB

C    C 

Câu 28 [0H2-3.1-3] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB  và10

1

3

A B 

A

5 10

10

10

5 . D 5 10.

Lời giải Chọn D

Ta có:

1

3

A B 

nên

1 tan

3

C 

Do đó 3sinC cosC, mà sin2Ccos2C1

sin

10 10

C

AB R R AB

C    C 

Câu 29 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC cóAB  4, AC  , 6

1 cos

8

B 

,

3 cos

4

C 

.Tính cạnh BC

A 7. B 5. C 3 3. D 2.

Lời giải

Chọn B

sin B= √ 1−cos2B= √ 63

8 , sin C= √ 1−cos2C= √ 7

4 .

cos A=−cos(B+C )=sin B sin C−cos B cosC= 9

16

Do đó BC= √ AB2+ AC2−2 AB AC cos A=5 .

Câu 30 [0H2-3.1-4] Cho tam giác cân ABC có A  1200và AB AC a  Lấy điểm Mtrên cạnh BC

sao cho

2 5

BC

BM 

Tính độ dài AM

A

3 3

a

11 5

a

7 5

a

6 4

a

Lời giải

Chọn C

30

a a A

B

C M

2 2 0 2 2 1

2

BC AB AC  ABAC  a a  a a  a

2 3 5

a BM

2

AM  AB BM  AB BM  a    a 

DẠNG 2: HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Câu 1 Cho tam giác ABC thỏa

sin

B  Tam giác ABC là tam giác gì?

Lời giải

Ta có:

sin

b

2 2 2

2 cos 2

2

ab

 

2 2 2 2

a a b c b c

Tam giác ABC cân tại A.

Câu 2 Chứng minh trong tam giác ABC ta có: ha  2 sin sin R B C

Lời giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có: sin 2 2 sin

b

R R B b

Do đó: ha  2 sin sin R B C  h ba  sin C ( đúng)

Câu 3 Cho tam giác ABC Chứng minh S R r sin AsinBsinC

Lời giải

Ta có :

 

Câu 4 Cho tam giác ABC thỏa

3 3 3

2

2 cos

a

b c a

  





 



 

 Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải

Ta có:

3 3 3

2

2 2 2

2

a

  





 



2 2 2

0

a

a









PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

=

=

=

I

2 2

1

2





Vì tam giác ABC cân có 1 góc bằng 60 

nên tam giác ABC là tam giác đều.

Câu 5 Chứng minh trong tam giác ABC ta có: sin cos B Csin cosC BsinA

Lời giải

VT

2 2 2 2 2 2 2 2

sin

A

Câu 1 [0H2-3.2-1] Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A

2 2 2 2

a

2 2 2 2

a

C

2 2 2

2 2 2

4

a

2 2 2 2

a

Lời giải Chọn C

Theo công thức đường trung tuyến ta có

a

Câu 2 [0H2-3.2-1] Trong tam giác ABC , câu nào sau đây đúng?

C.

2 2 2 cos

a b c bc A D.a2 b2c2 bc.cosA

Lời giải

Chọn B

Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: a2 b2 c2  2 cosbc A

Câu 3 [0H2-3.3-1] Nếu tam giác ABC có a2b2c2 thì:

A A là góc tù. B A là góc vuông. C . A là góc nhọn. D A là góc nhỏ nhất.

Lời giải Chọn C

Ta có a2 b2c2 2bccosA

2 2 2 cos

2

A

bc

 

do a2 b2c2 nên cosA 0

Câu 4 [0H2-3.2-2] Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện a b c a b c      3ab

Khi đó

số đo của C là

A 120 B 30 C 45 D 60

Lời giải

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3

=

=

=

I

Chọn D

Ta có: a b c a b c       3ab a b 2 c2 3ab a2b2 c2 ab

Theo hệ quả của định lí hàm cosin:

 

Câu 5 [0H2-3.2-2] Cho tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là đúng?

A 2 2 2 2  2 2 2

3

m  m  m  a  b  c

B 2 2 2 4  2 2 2

3

m  m  m  a  b  c

.

C 2 2 2 1  2 2 2

3

m  m  m  a  b  c

D 2 2 2 3  2 2 2

4

m  m  m  a  b  c

.

Lời giải

Sử dụng công thức trung tuyến, ta có:

Câu 6 [0H2-3.3-2] Cho tam giác ABC thỏa mãn c a cosB Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC là tam giác cân. B Tam giác ABC là tam giác nhọn.

C Tam giác ABC là tam giác vuông. D Tam giác ABC là tam giác tù

Lời giải

Ta có: c a cosB

2 2 2

c b a

Theo định lí pi ta go tam giác ABC vuông tại A

Câu 7 [0H2-3.2-2] Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây?

I S2p p a p b p c        

II 16S2a b c a b c a b c             a b c

A Chỉ I B Chỉ II C Cả I và II D Không có.

Lời giải

Chọn C

Ta có: I đúng vì là công thức Hê-rông tính diện tích tam giác.

Khi đó:

a b c a b c a b c a b c

S          

2

Do đó II đúng

Câu 8 [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC , các đường cao h h ha, ,b c thỏa mãn hệ thức 3 ha  2 h hb c Tìm

hệ thức giữa a b c, ,

A

a  b c B 3a2b c C 3a 2b c D

a  b c

Lời giải

Chọn D

Kí hiệu S S  ABC.

Ta có: 3 ha  2 h hb c 3.2a S 2.2b S 2c S 3 2 1

a b c

Câu 9 [0H2-3.2-2] Trong tam giác ABC , hệ thức nào sau đây sai?

A

.sin sin

b A a

B



B

.sin

a



C a2 sinR A D b R tanB

Lời giải

Chọn D

Theo định lí hàm số sin ta có: sin sinB sinC 2

R

A   

Suy ra:

+

.sin

a

A   B

+

.sin sin

C

A   a

a

R a R A

A  

Câu 10 [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b c 2a Trong các mệnh đề sau, mệnh

đề nào đúng?

A cosBcosC2cosA B sinBsinC 2sinA

C

1

2

B C A

D sinBcosC2sinA

Lời giải Chọn B

Ta có

2 sin

sin sin sin

2 sin







 

Mà b c 2a 2 sinR B2 sinR C 4 sinR A sinBsinC2sinA

Câu 11 [0H2-3.2-2] Tam giác ABC có A 120 thì câu nào sau đây đúng?

A a2 b2c2 3bc B a2 b2c2bc

C

2 2 2 3

a b c  bc D a2 b2c2 bc

Lời giải

Chọn B

Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: a2 b2 c2  2 cosbc A

a b c bc c

Câu 12 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , điều kiện để hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với

nhau là:

A. 2a2 2b2 5c2 B 3a2 3b2  5c2 C 2a2 2b2 3c2 D a2b2  5c2

Lời giải

Chọn D

Vì hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau nên ABG vuông tại G với G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó: c2 GA2GB2

2 4

b c a a c b

2 2

2 4 2

a b

Câu 13 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , nếu có a2 b c. thì :

A. 2

h h  h . B . ha2  h hb. c C. 2

h h h .

Lời giải

Chọn B

Ta có : a2 b c.

2

.

1 1 1

a b c

.

Câu 14 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , nếu có 2 ha   h hb c

thì :

A

sinAsinBsinC B.

2sinAsinBsinC

C.sinA2sinB2sinC D.

Lời giải

Chọn A

Ta có :

2 ha   h hb c  2.2a S 2b S 2c S 2 1 1

a b c

Câu 15 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , câu nào sâu đây đúng?

A. a 2

b c

m  

b c

m  

b c

m  

D. m b ca   .

Lời giải

Chọn C

Ta có:

2 2 2 2

a

4



Vì b c a b c 2 a2

 2

2 4

a

b c

2

a

b c

m 

Câu 16 [0H2-3.2-3]Tam giác ABC có các cạnh a, b , c thỏa mãn điều kiện a b c a b c      3ab

Tính số đo của góc C

A 45 B 60 C 120 D 30

Lời giải Chọn B

Ta có: a b c a b c       3ab a b 2 c2 3ab

 a2b2 c2 ab

Mà

2 2 2 1 cos

C

ab

 

 C    60

Câu 17 [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC , xét các bất đẳng thức sau:

I a b  c

II a b c 

III m am b m c    a b c

Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

A Chỉ I, II B Chỉ II, III

C Chỉ I, III D Cả I, II, III.

Lời giải

Chọn D

Ta có I và II đúng vì đây là bất đẳng thức tam giác

Ta có :

2 2 2 2

a

4



Vì b c a b c 2 a2

 2

2 4

a

b c

2

a

b c

Tương tự ta có : b 2

a c

m  

; c 2

a c

m  

Do đó : m am bm c   a b c

Vậy III Đúng.

Câu 18 [0H2-3.2-3] Tam giác ABC có các cạnh a , b , c thỏa mãn điều kiện b2c2 a2  3bc Tính

số đo của góc A.

A 45 B 60 C 120 D 30

Lời giải Chọn D

Ta có: b2c2 a2  3bc  2 cosbc A 3bc 

3

2

Mà

2 2 2 1 cos

C

ab

 

 C    60

Câu 19 [0H2-3.3-3] Tam giác ABC a.cosB b .cosA Tam giác ABC là tam giác gì?

A.Tam giác vuông B Tam giác đều C Tám giác vuông cânD Tam giác cân

Lời giải