02 02 03 00 b3 he thuc luong trong tam giac de full bai

CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀGIẢI TAM GIÁC.. R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nột tiếp của tam giác ABC.. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.. Tính

BÀI 1 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ

GIẢI TAM GIÁC.

Cho tam giác ABC BC a CA b AB c ,  ,  ,  , S là diện tích tam giác Giả sử h h h a, ,b c lần

lượt là độ dài các đường cao đi qua ba đỉnh A B C, , ; m m m a, b, c lần lượt là các đường trung tuyến đi qua ba đỉnh A B C, , R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nột tiếp của

tam giác ABC Ta có kết quả sau đây:

1 Định lí côsin

2 2 2 2 cos ,

a b c  bc A b2 c2a2 2 cos ,ca B c2  a2 b2 2 cos ab C

*Hệ quả của định lí côsin

2 Định lí sin trong tam giác: sin sin sinC 2

R

A B 

3 Công thức trung tuyến

4 Công thức diện tích:

a)

S  ah  bh  ch

b)

c) 4

abc S

R



d) S pr với 1 

2

p a b c 

C

H

Ư

Ơ

N

G

II

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ

ỨNG DỤNG

LÝ THUYẾT.

I

=

=

=

I

e) Công thức Hê- Rông S p p a p b p c        

DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC

{Tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.}

+ Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, công thức tính độ dài đường trung tuyến, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài

Câu 1 Cho tam giác ABC có AB4,AC 6,A120 0 Tính độ dài cạnh BC

Câu 2 Cho tam giác ABC có a7;b8;c5 Tính  , , , A S h R a

Câu 3 Cho tam giác ABCcó độ dài ba cạnh là AB 2, BC 5, CA 6 Tính độ dài đường trung tuyến

MA, với M là trung điểm của BC.

Câu 4 Tam giác ABC vuông tại A có AC 6 cm, BC 10 cm Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam

giác ABC

Câu 5 Cho tam giác ABC có b 7, c 5,

3 cos

5

A 

Tính độ dài đường cao h của tam giác a ABC.

Câu 1 [0H2-3.4-1] Cho ABC có BC a , BAC 120 Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là

A

3 2

a

R 

a

R 

3 3

a

R 

D R a

Câu 2 [0H2-3.4-1] Tam giác ABC có a 8, c 3, B   Độ dài cạnh 60 b bằng bao nhiêu?

A 49 B 97 C 7 D 61

Câu 3 [0H2-3.4-1] Cho ABC có a 4, c 5, B  150 Tính diện tích tam giác ABC

A S 10 B S 10 3. C S 5. D S 5 3.

Câu 4 [0H2-3.4-2] Một tam giác có ba cạnh là 52, 56, 60 Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

đó là

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

II

=

=

=I

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3

=

=

=

I

A

65

4 . B 40. C 32,5 D 65,8

Câu 5 [0H2-3.4-2] Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy.

Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 60.

Biết CA 200 m 

, CB 180 m 

Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?

A 228 m 

B 20 91 m 

C 112 m 

D 168 m 

Câu 6. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có góc A nhọn, AB  , 5 AC  , diện tích bằng 12 Tính độ dài8

cạnh BC

A 2 3 B 4 C 5 D 3 2

Câu 7. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có AB 4, AC  và trung tuyến6 BM  Tính độ dài cạnh3

BC

A 17 B 2 5 C 4 D 8

Câu 8. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có AB 4, AC  và đường trung tuyến10 AM  Tính độ dài6

cạnh BC

A 2 6 B 5 C 22 D 2 22

Câu 9. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC cóA75 , B 45 ,AC  Tính cạnh 2 AB

A

2

6

6

3

Câu 10 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có B   ,  60 C   ,45 AB  Tính cạnh AC 3

A

3 6

3 2

2 6

3

Câu 11 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có các góc A75 , B 45 Tính tỉ số

AB

AC .

A

6

6

Câu 12 [0H2-3.4-3] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB c và

c

3

A B 

A

2 2

c

8

c

8

c

3 2

c

Câu 13 [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có các gócA 105 , B   Tính tỉ số45

AB

AC .

A

2

2

6

3

Câu 14 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB 4, AC  ,5 BC  Tính6 cos(B C ).

A

1

1 4



C –0,125 D 0, 75.

Câu 15 [0H2-3.1-3] Tam giác có ba cạnh lần lượt là 2, 3, 4 Góc bé nhất của tam giác có sin bằng bao

nhiêu?

A

15

7

1

14

8

Câu 16 [0H2-3.1-3] Tam giác có ba cạnh lần lượt là 3 , 8 , 9 Góc lớn nhất của tam giác có cosin bằng

bao nhiêu?

A

1

1 6



17

4 25



Câu 17 [0H2-3.1-3] Hình vuông ABCD có cạnh bằng a Gọi E là trung điểm cạnh BC , F là trung

điểm cạnhAE Tìm độ dài đoạn thẳngDF

A

13 4

a

5 4

a

3 2

a

3 4

a

Câu 18 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có BC  ,12 CA  ,9 AB  Trên cạnh BC lấy điểm 6 M sao cho

4

BM  Tính độ dài đoạn thẳng AM

Câu 19 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC vuông tại A có AB AC a  Điểm M nằm trên cạnh BC sao

BC

BM 

Độ dài AMbằng bao nhiêu?

A

17 3

a

5 3

a

3

a

2 3

a

Câu 20 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có cos A B  1

8

, AC  , 4 BC  Tính cạnh 5 AB

A 46 B 11 C 5 2 D 6

Câu 21 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB  ,7 AC  và 5  

1 cos

5

B C 

Tính BC

A 2 15 B 4 22 C 4 15 D 2 22

Câu 22 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có BC  5, AC  và cot3 C  Tính cạnh 2 AB

9

Câu 23 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB  , 3 AC  và 4 tanA 2 2 Tính cạnh BC

A 3 2 B 4 3. C 33. D 7

Câu 24 [0H2-3.1-2] Cho tam giác ABC có cạnh BC a  , cạnh CA b  Tam giác ABC có diện tích

lớn nhất khi góc C bằng:

A.60o B.90o C.150o D.120o

Câu 25 [0H2-3.1-4] Cho tam giác MPQ vuông tại P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E F, sao cho các

góc MPE , EPF , FPQ bằng nhau Đặt MP q PQ m PE ,  , x PF, y Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?

A.MEEF FQ B.ME2 q2x2 xq

C.MF2 q2y2 yq D.MQ2 q2m2 2qm

Câu 26 [0H2-3.1-3] Tính góc C của tam giác ABC biết a b và a a 2 c2b b 2 c2

A C 150 B C 120 C C   60 D C   30

Câu 27 [0H2-3.1-3] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB  12 và

1

3

A B 

A 2 10. B 9 105 . C 5 10. D 3 2.

Câu 28 [0H2-3.1-3] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB  và10

1

3

A B 

A

5 10

10

10

Câu 29 [0H2-3.1-3] Tam giác ABC cóAB  4, AC  , 6

1 cos

8

B 

,

3 cos

4

C 

.Tính cạnh BC

A 7. B 5. C 3 3. D 2.

Câu 30 [0H2-3.1-4] Cho tam giác cân ABC có A  1200và AB AC a  Lấy điểm Mtrên cạnh BC

sao cho

2 5

BC

BM 

Tính độ dài AM

A

3 3

a

11 5

a

7 5

a

6 4

a

DẠNG 2: HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, NHẬN DẠNG TAM GIÁC

PHƯƠNG PHÁP.

1

=

=

=

I

Câu 1 Cho tam giác ABC thỏa

sin

2 cos sin

A

C

B  Tam giác ABC là tam giác gì?

Câu 2 Chứng minh trong tam giác ABC ta có: ha  2 sin sin R B C

Câu 3 Cho tam giác ABC Chứng minh S R r sin AsinBsinC

Câu 4 Cho tam giác ABC thỏa

3 3 3

2

2 cos

b c a

a

b c a





 



 

 Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Câu 5 Chứng minh trong tam giác ABC ta có: sin cos B Csin cosC BsinA

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

2

=

=

=

I

Câu 1. [0H2-3.2-1] Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A

2 2 2 2

a

2 2 2 2

a

C

2 2 2

4

a

2 2 2 2

a

Câu 2. [0H2-3.2-1] Trong tam giác ABC , câu nào sau đây đúng?

A.a2 b2c2  2 cosbc A B.a2 b2c2 2 cosbc A

C.

a b c bc A D.a2 b2c2 bc.cosA

Câu 3. [0H2-3.3-1] Nếu tam giác ABC có a2b2c2 thì:

A A là góc tù. B A là góc vuông. C A là góc nhọn. D A là góc nhỏ nhất.

Câu 4. [0H2-3.2-2] Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện a b c a b c      3ab

Khi đó

số đo của C là

A 120 B 30 C 45 D 60

Câu 5. [0H2-3.2-2] Cho tam giác ABC Khẳng định nào sau đây là đúng?

A 2 2 2 2  2 2 2

3

m  m  m  a  b  c

B 2 2 2 4  2 2 2

3

m  m  m  a  b  c

.

C 2 2 2 1  2 2 2

3

m  m  m  a  b  c

D 2 2 2 3  2 2 2

4

m  m  m  a  b  c

Câu 6. [0H2-3.3-2] Cho tam giác ABC thỏa mãn c a cosB Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tam giác ABC là tam giác cân B Tam giác ABC là tam giác nhọn.

C Tam giác ABC là tam giác vuông D Tam giác ABC là tam giác tù

Câu 7. [0H2-3.2-2] Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây?

I S2p p a p b p c        

II 16S2a b c a b c a b c             a b c

A Chỉ I B Chỉ II C Cả I và II D Không có.

Câu 8. [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC , các đường cao h h ha, ,b c

thỏa mãn hệ thức 3 ha  2 h hb c Tìm

hệ thức giữa a b c, ,

A

a  b c B 3a2b c C 3a 2b c D

a  b c

Câu 9. [0H2-3.2-2] Trong tam giác ABC , hệ thức nào sau đây sai?

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

3

=

=

=

I

A

.sin

sin

b A

a

B



B

.sin

a



C a2 sinR A D b R tanB

Câu 10 [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b c 2a Trong các mệnh đề sau, mệnh

đề nào đúng?

A cosBcosC2cosA B sinBsinC 2sinA

C

1

2

B C A

D sinBcosC2sinA

Câu 11 [0H2-3.2-2] Tam giác ABC có A 120 thì câu nào sau đây đúng?

A a2 b2c2 3bc B a2 b2c2bc

C

a b c  bc D a2 b2c2 bc

Câu 12 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , điều kiện để hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với

nhau là:

A 2a2 2b2 5c2 B 3a2 3b2  5c2 C 2a2 2b2 3c2 D a2b2  5c2

Câu 13 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , nếu có a2 b c. thì :

A 2

a b c

h h  h . B ha2  h hb. c C. 2

a b c

h h h . D 2

a b c

h h h .

Câu 14 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , nếu có 2 ha   h hb c thì :

A

sinAsinBsinC B 2sinAsinBsinC

C sinA2sinB2sinC D

sinAsinB sinC

Câu 15 [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , câu nào sâu đây đúng?

A a 2

b c

m  

b c

m  

b c

m  

Câu 16 [0H2-3.2-3]Tam giác ABC có các cạnh a, b , c thỏa mãn điều kiện a b c a b c      3ab

Tính số đo của góc C

A 45 B 60 C 120 D 30

Câu 17 [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC , xét các bất đẳng thức sau:

I a b c 

II a b c 

III m m m a b ca b c   

Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

A Chỉ I, II B Chỉ II, III

C Chỉ I, III D Cả I, II, III.

Câu 18 [0H2-3.2-3] Tam giác ABC có các cạnh a, b , c thỏa mãn điều kiện b c a2 2 2  3 bc Tính

số đo của góc A.

A 45 B 60 C 120 D 30

Câu 19 [0H2-3.3-3] Tam giác ABC .cos a B b cosA Tam giác ABC là tam giác gì?

A.Tam giác vuông B Tam giác đều C Tám giác vuông cânD Tam giác cân.

Câu 20 [0H2-3.2-4] Cho tam giác ABC vuông tạiA, AC b  , AB c Lấy điểm M trên cạnh BC

sao cho góc BAM    30 Tính tỉ sốMB MC.

A

3 3

b

3 3

c

3c

b c

b c



Câu 21 [0H2-3.3-3] Mệnh đề nào sau đây sai?

A Nếu a2 b2c2 thì A là góc tù

B Nếu tam giác ABC có một góc tù thì a2 b2c2

C Nếu a2 b2c2 thì A là góc nhọn

D Nếu a2 b2c2 thì A là góc vuông.

BÀI 3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

DẠNG 1 ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN

A a2 b2c22 cosbc A B a2 b2c2 2 cosbc A

C a2 b2c2 2 cosbc C D a2 b2c2 2 cosbc B

Câu 2: Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh là BC a AC b AB c ,  ,  Gọi m là độ dài đường a

trung tuyến kẻ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam

giác đó Mệnh đề nào sau đây sai?

A

2 2 2 2

a

b c a

m   

B a2 b2c22 cosbc A

abc S

R



R

A B  C  .

Câu 3: Cho tam giác ABC có a8,b10, góc C bằng 600 Độ dài cạnh clà?

Câu 4: Cho ABC có b6,c8,A600 Độ dài cạnh a là:

Câu 5: Cho ABC có B60 ,0 a8,c5. Độ dài cạnh b bằng:

Câu 6: Cho ABC có AB 9;BC 8;B 60  0 Tính độ dài AC

Câu 7: Cho tam giác ABC có AB2,AC 1 và A 60 0 Tính độ dài cạnh BC

C

H

Ư

Ơ

N

G

II

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ

ỨNG DỤNG

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

III

=

=

=I

A BC  2 B BC 1 C BC  3 D BC 2.

Câu 8: Tam giác ABC có a8,c3,B 60 0 Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu?

Câu 9: Tam giác ABCcó C 150 ,0 BC 3,AC2. Tính cạnh AB?

Câu 10: Cho ; ;ca b là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC Biết b7;c5;

4 cos

5

A 

Tính độ dài của

a

7 2

23

Câu 11: Cho xOy   Gọi  30 A B, là 2 điểm di động lần lượt trên Ox Oy, sao cho AB 2 Độ dài lớn

nhất của OB bằng bao nhiêu?

Câu 12: Cho ; ;ca b là độ dài 3cạnh của một tam giác Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A a2 ab ac B a2c2 b22ac C b2c2 a22bc D ab bc b  2

Câu 13: Cho tam giác ABC có AB 4cm, BC 7 cm, AC 9cm Tính cos A.

A

2 cos

3

A 

1 cos

2

A 

1 cos

3

A 

2 cos

3

A 

Câu 14: Cho tam giác ABC có a2b2 c20 Khi đó:

C Góc C 900 D Không thể kết luận được gì về góc C.

Câu 15: Cho tam giác ABC thoả mãn: b2c2 a2  3bc Khi đó:

Câu 16: Cho các điểm A(1;1), (2;4), (10; 2).B C  Góc BAC bằng bao nhiêu?

Câu 17: Cho tam giác ABC, biết a24,b13,c15. Tính góc A?

Câu 18: Cho tam giác ABC, biết a13,b14,c15. Tính góc B?

A 59 49'.0 B 53 7'.0 C 59 29'.0 D 62 22'.0

Câu 19: Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC CA AB, , lần lượt là a b c, , và thỏa mãn hệ thức

 2 2  2 2

b b  a c c  a

với b c Khi đó, góc BAC bằng

Câu 20: Tam giác ABC có AB c BC a CA b ,  ,  Các cạnh a b c, , liên hệ với nhau bởi đẳng thức

b b  a c a  c

Khi đó góc BAC bằng bao nhiêu độ.

Câu 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho

: : 1: 2 : 3

MA MB MC  khi đó góc AMB bằng bao nhiêu?

Câu 22: Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A

2 2 2

a

b c a

m   

B

2 2 2

a

a c b

m   

C

2 2 2

a

a b c

m   

D

4

a

c b a

m   

tam giác có độ dài là

Câu 24: Cho tam giác ABC có AB3,BC5 và độ dài đường trung tuyến BM  13 Tính độ dài

AC.

9

Câu 25: Cho ABC vuông ở A, biết C    30 , AB 3. Tính độ dài trung tuyến AM?

5

7 2

Câu 26: Tam giác ABC có a6,b4 2,c2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 3 Độ dài đoạn

AM bằng bao nhiêu?

1

108 2

Câu 27: Gọi S m a2m b2m c2 là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC Trong các

mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A

3

4

S  a b c

C

2 2 2

3

2

S  a b c

D S3(a2b2c2)

Câu 28: Cho ABCcó AB 2;AC 3;A 60  0 Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam

giác ABC

A

12

6 2

6 3

6

5.

DẠNG 2 ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN

a

R

A B sin 2 .

a A R



sin sinC c A

a



Câu 30: Cho ABC với các cạnh AB c AC , b BC, a Gọi R r S, , lần lượt là bán kính đường tròn

ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

abc S

R



a R

A



C

1 sin 2

S  ab C

Câu 31: Cho tam giác ABC có góc BAC   và cạnh 60 BC  3 Tính bán kính của đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC

A R 4 B R 1 C R 2 D R  3

Câu 32: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC 4 cm, góc A   , 60 B   Độ dài cạnh 45 BC

là

Câu 33: Cho ABC có AB 5;A 40  ;B 60  Độ dài BC gần nhất với kết quả nào?

Câu 34: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c  2a Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A cosB cosC 2cos A B sinB sinC 2sin A

C

1

2

B C A

D sinB cosC 2sin A

Câu 35: Tam giác ABC có a 16,8; B 56 13'0 ; C  710 Cạnh cbằng bao nhiêu?

Câu 36: Tam giác ABC có A 68 12 '0 , B  34 44'0 , AB 117. Tính AC?

DẠNG 3 DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN

Câu 37: Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A

1 sin 2

S  bc A

B

1 sin 2

S  ac A

C

1 sin 2

S  bc B

D

1 sin 2

S  bc B

Câu 38: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a Góc BAD   Diện tích hình thoi  30 ABCD là

A

2 4

a

2 2

a

2 3 2

a

Câu 39: Tính diện tích tam giác ABC biết AB3,BC5,CA6

Câu 40: Cho ABC có a6,b8,c10. Diện tích S của tam giác trên là:

Câu 41: Cho ABC có a4,c5,B150 0 Diện tích của tam giác là:

Câu 42: Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?

Câu 43: Cho các điểm A(1; 2), ( 2;3), (0;4). B  C Diện tích ABC bằng bao nhiêu?

A

13.

13. 4

Câu 44: Cho tam giác ABC có A(1; 1), (3; 3), (6;0). B  C Diện tích ABC là

Câu 45: Cho tam giác ABC có a4,b6,c8 Khi đó diện tích của tam giác là:

2 15.

3

Câu 46: Cho tam giác ABC Biết AB 2; BC 3 và ABC   Tính chu vi và diện tích tam giác60

ABC.

A 5 7và

3

2. B 5 7và

3 3

2 C 5 7 và

3 3

2 D 5 19và

3

2.

Câu 47: Tam giácABC có các trung tuyến m  , a 15 m  , b 12 m  Diện tích S của tam giác c 9 ABC bằng

3 7; 5;cos

5

b c A

Độ dài đường cao h của tam giác ABC a  là