01 06 01 01 đs10 c6 b1 cung goc luong giac tu luan hdg

Đường tròn định hướng và cung lượng giác Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.. Một điểm M di độ

Trang 1

BÀI 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1 Đường tròn định hướng và cung lượng giác

Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một

chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là

chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của

kim đồng hồ làm chiều dương

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di

động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B

tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B

Với hai điểm A B, đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung

lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí

hiệu là ABÐ

2 Góc lượng giác

Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD

Ð Một điểm M chuyển động trên

đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác CD

Ð

nói trên Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD Kí hiệu góc lượng giác đó là OC OD, .

3 Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán

kính R 1.

Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm

1;0 ,

A A ' 1;0 ,  B0;1 , B' 0; 1   

Ta lấy A1;0

làm điểm gốc của đường tròn đó.

Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A

).

C

H

Ư

Ơ

N

G

LÝ THUYẾT.

I

=

I

-+

A

D

M

C O

+

O

Trang 2

II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1 Độ và radian

a) Đơn vị radian

Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad

b) Quan hệ giữa độ và radian

0

180





và

0 180



c) Độ dài của một cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là rad và có độ dài là R Vậy cung có số đo  rad của đường tròn bán kính R có độ dài: R

2 Số đo của một cung lượng giác

Số đo của một cung lượng giác AM

Ð (A M ) là một số thực âm hay dương

Kí hiệu số đo của cung AM

Ð

là sđ AM

Ð

Ghi nhớ

Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2 

Ta viết

sđ A M  k2 ,  k . Ð

trong đó  là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A, điểm cuối là M

3 Số đo của một góc lượng giác

Số đo của góc lượng giác OA OC, 

là số đo của cung lượng giác  tương ứng

Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của

các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại

4 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Chọn điểm gốc A1;0

làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđAM  .

Ð

DẠNG 1: ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO

180



1Rad





Câu 1 Đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ

HỆ THỐNG BÀI TẬP.

II

=

I

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

1

=

I

Trang 3

(rad) 180o

( ) 60

3

o

rad





( ) 18

10

o

rad





22

( ) 1320 3

o

rad





5

( ) 100 9

o

rad



Câu 2 Đổi số đo độ của cung tròn sang radian

17

18

o

rad





50

9

o

rad





155

9

o   rad

2

o  rad

 

4

3

o  rad

Câu 3 Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12 Đến khi kim

phút và kim giờ gặp nhau lần đầu tiên, tính số đo góc lượng giác mà kim phút quét được

Khi kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 thì sđ (OG OP, ) là 2

2 k





Trong 1 giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2 , kim giờ quét được góc 6





Thời gian từ lúc 3h đến lúc hai kim trùng nhau lần đầu tiên là

3 : 2

    

Kim phút đã quét được một góc có số đo là

2

11 11



Vậy số đo góc lượng giác mà kim phút quét được là

6 2

11 k







BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

2

=

I

Trang 4

Câu 1: [0D6-1.5-1] Góc lượng giác có số đo  (rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối

với nó có số đo dạng:

A k180 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k)

B k360 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k)

C  k2  (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).

D  k (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).

Lời giải Chọn B

Câu 2: [0D6-1.1-1] Kết quả nào sau đây là đúng

A 1(rad  ) 1 . B

180 1( )

o

rad



  C 1(rad ) 180 D 1(rad ) 100.

Câu 3: [0D6-1.1-1] Kết quả nào sau đây là đúng

A (rad) 360  B (rad) 180  C (rad) 1  D (rad) 360 

Câu 4: [0D6-1.3-1] Trên đường tròn lượng giác, mệnh đề nào sau đây là đúng

A Cung lượng giác có điểm đâu là A, điểm cuối là B chỉ có một số đo

B Cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B chỉ có hai số đo sao cho tổng của chúng bằng 2

C Cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B chỉ có hai số đo hơn kém nhau 2

D Cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B chỉ có vô số số đo hơn kém nhau k2

Lời giải Chọn D

Câu 5: [0D6-1.3-2] Góc lượng giác Ox Ot, 

có một số đo là 2017

2





, số đo tổng quát của góc lượng giác Ox Ot, 

là

2 k









3 2





3





Lời giải Chọn C

3

Trang 5

Câu 6: [0D6-1.3-2] Cho góc 2 ,



có bao nhiêu giá trị k để 19;27

3 k



5



Trong các góc lượng giác sau, góc nào có tia đầu và tia cuối lần lượt trùng với OA, OB

A

6 5



B

11 5





31 5



9 5



31

6 3.2

Câu 8: [0D6-1.1-2] Cho số đo cung Ou,Ov 25 k360k   với giá trị nào của k thì

Ou,Ov 1055

Ou,Ov 25 k360 1055  k3

Câu 9: [0D6-1.1-2] Cho số đo cung Ou,Ov   12 k360 với giá trị nào của k thì số đo

59 ( , )

15

Ou Ov  

5

Ou Ov  

thì số đo góc hình học uOv

A 5



4 5



6 5



9 5



Trang 6

 ,  2006 6 400  6

Câu 11:

[0D6-1.3-2] Chọn khẳng định đúng

A Nếu hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì chúng có số đo bằng nhau

B Nếu hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì chúng có số đo hơn kém nhau 

(rad)

C Nếu sđ (Ou,Ov) 2

2 k



 

, Ow là phân giác góc hình học uOv thì (O w,Ov)

4 k



D Nếu Ou, Ov theo thứ tự là tia đối của Ou, Ov thì sđ (Ou Ov, ) =sđ (Ou,Ov )

Câu 12: [0D6-1.3-2] Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ou Ov Ox , , Xét các hệ thức sau:



Z Z Z

Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc:

A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ III D Chỉ I và III

Lời giải Chọn A

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

Một cung tròn có số đo a (hoặc  rad) có độ dài là 180

a R

l 

(hoặc lR )

Câu 1. Một đường tròn có bán kính 10 (cm) Tính độ dài cung tròn có số đo 30o

Lời giải

Độ dài cung tròn có số đo 30 là

.30 30 10 5, 26( )

180 180

l R  cm

Câu 2. Một bánh xe máy có đường kính (kể cả lốp xe) 60 (cm) Nếu xe chạy với vận tốc 50(km h/ ) thì

trong 5 giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng

Lời giải

Trong một phút bánh xe quay được:

50.1000

: (0,6 ) 5 36,9

BÀI TẬP TỰ LUẬN.

1

=

I

Trang 7

Câu 1: [0D6-1.2-1] Một đường tròn có bán kính 15 cm  Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng

30 là:

A

5 2



5 3



2 5



.30.15 5

a R

l   

Câu 2: [0D6-1.2-1] Một đường tròn có bán kính 10 (cm), độ dài cung tròn 40 trên đường tròn gần

bằng

.40.10 20

7

a R

l    

Câu 3: [0D6-1.2-1] Một đường tròn có bán kính

10

R



 (cm), độ dài cung tròn 2



là

5

 (cm)

10

2

l  R 



Câu 4: [0D6-1.2-2] Chọn khẳng định sai

A Cung tròn có bán kính R5cm và có số đo 1,5(rad) thì có độ dài là 7,5 cm

B. Cung tròn có bán kính R8cm và có độ dài 8cm thi có số đo độ là

180





 

C Độ dài cung tròn phụ thuộc vào bán kính của nó

D Góc lượng giác Ou Ov,  có số đo dương thì mọi góc lượng giác Ou Ov,  có số đo âm (S).

Câu góc lượng giác Ou Ov,  330 ; Ov Ou,  30

Câu 5: [0D6-1.2-2] Cho đường tròn có bán kính 6 cm Tìm số đo (rad) của cung có độ dài là3cm :

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

2

=

I

Trang 8

A 0,5 B

0,5

3

6

l

R

Câu 6: [0D6-1.2-2] Cung tròn bán kính bằng 8, 43 cm 

có số đo 3,85 rad 

có độ dài là (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A 32, 46cm B 32, 45cm C 32, 47cm D 32,5cm

3,85.8, 43 32, 46

l R 

Câu 7: [0D6-1.2-3] Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch

lên cung tròn có độ dài là (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Trong 30 phút mũi kim giờ quét được một góc là

2 0,5

12 12



.10,57 2, 77 12

l R 

Câu 8: [0D6-1.3-1] Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A, cung lượng giác có số đo 30o có

điểm đầu A, có bao nhiêu điểm cuối N?

A Có duy nhất một điểm N B Có hai điểm N

C Có 4 điểm N D Có vô số điểm N

Câu 9: [0D6-1.3-2] Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:

I 4



II

7 4



 III

13 4



IV

71 4



 Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?

A Chỉ I và II B Chỉ I, II và III C Chỉ II,III và IV D Chỉ I, II và IV

Ta có

7 2



  

  nên cung I và II trùng nhau

71

18 9.2

  nên cung I và IV trùng nhau

Trang 9

Câu 10: [0D6-1.3-2] Lục giác ABCDEF nội tiếp trong đường tròn tâm O, điểm A cố định, điểm B, C

có tung độ dương Khi đó số đo lượng giác của cung OA OC, 

là

A 120 B 240 C 120hoặc 240 D 120 k360

ABCDEF là lục giác đều AOC 120 Điểm B và C có tung độ dương nên lục giác ABCDEF

có thứ tự đỉnh ngược chiều kim đồng hồ Vậy số đo lượng giác cung OA OC, 

là 120 k360

Câu 11: [0D6-1.3-3] Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là điểm A, điểm M thuộc đường tròn sao

cho cung lượng giác AM có số đo bằng 45 Điểm N đối xứng với M qua trục Ox, số đo cung

AN là?

A 45 B 45hoặc 315 C 45 k360 D 315 k360

Điểm N đổi xứng với M qua trục Ox NOA   , cung lượng giác  45 OA ON, ngược chiều dương nên số đo lượng giác cung OA ON,  45 k360 315 k360

cho cung lượng giác AM có số đo bằng 60 Điểm N đối xứng với M qua trục Oy, số đo cung

NA là?

A 120 k180 B 120 hoặc 240 C 240 k360 D 120 k360

Điểm N đổi xứng với M qua trục Oy nên AON 180  60 120 , cung lượng giác OA ON,  cùng chiều dương nên số đo lượng giác cung OA ON, 120 k360

cho cung lượng giác AM có số đo bằng 75 Điểm N đối xứng với M qua gốc tọa độ, số đo cung AN là?

A 105 k360. B 105 hoặc 255. C -255 k360 . D 105

Điểm N đổi xứng với M qua gốc tọa độ O nên AON 180  75 115 , cung lượng giác

OA ON, ngược chiều dương nên số đo lượng giác cung OA ON,  115 k360

Câu 14:

[0D6-1.3-3] Cho hình vuông ABCD tâm O, đường thẳng a qua O và trung điểm AB. Xác định góc tạo bởi đường thẳng a và tia OA

A 45 k300 B 15 k360 C 135 D 155

Trang 10

Gọi I là trung điểm của AB, ta có  AOI   45 , vậy góc tạo bởi tia OA và đường thẳng a bằng 45 hoặc 135

răng là

Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 12 răng là

360 10 50

72  

Câu 16: [0D6-1.4-2] Sau một quãng thời gian 3 giờ thì kim giây sẽ quay được một góc có số đo là:

A 12960 B 32400 . C 324000 D 64800

Trong 1 phút kim giây quay được góc: 360

Trong 3 giờ kim giây quay được góc: 360.3.60 64800 

Câu 17: Sau quãng thời gian 4 giờ kim giờ sẽ quay được một góc là

A 3



2 3



3 4



Sau 1 giờ kim giờ sẽ quay được một góc là 6



Sau 4 giờ kim giờ sẽ quay được một góc là

2 4

6 3



Câu 18: [0D6-1.4-2] Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12

Lúc đó sđ OP OG; 

là

A

2



 



 



   



   

Ta có



2

POG

,

OP OG; 

ngược chiều dương nên số đo lượng giác cung

2

OP OG   k 

Trang 11

Câu 19:

Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giây ON chỉ số 5, kim phút OP chỉ số 6 Lúc đó sđ

ON OG, 

là

A

12



 



 



   



   

Ta có



12

NOG

, cung ON OG, 

ngược chiều dương nên số đo lượng giác cung

12

ON OG   k 

Câu 20:

[0D6-1.4-4]Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12 Đến khi kim phút và kim giờ gặp nhau lần đầu tiên, tính số đo góc lượng giác mà kim giờ quét được



   



   



   

Khi kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 thì sđ (OG OP, ) là 2 k2





Trong 1 giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2 , kim giờ quét được góc 6





Thời gian từ lúc 3h đến lúc hai kim trùng nhau lần đầu tiên là

3 : 2

    

Kim giờ đã quét được một góc có số đo là

3

6 11 22

 

Vậy số đo góc lượng giác mà kim phút quét được là 22 k2











,

số đo cung AN  Lấy điểm P trên đường tròn sao cho tam giác MNP cân tại P, tìm số đo

cung AP

A

2

3 k





2 2

3 k













Trang 12

Xét trường hợp sđ

 2

3

MN  

Tam giác MNP cân tại P

MN

3 3 3

đ OA OP sđ OA OM đ OM OP sđ AM sđ M

Số đo lượng giác  

2

3

OA OP   k 

Lập lượng tương tự với trường hợp xét sđ

 4

3

MN  

ta được số đo lượng giác

3

OA OP   k 

Vậy Số đo lượng giác  

2 ,

3

OA OP   k





,

số đo cung

3 4

AN  

Lấy điểm P trên đường tròn sao cho tam giác MNP cân tại N, tìm số đo cung AP

A

7

6 k





7 2

6 k













Ta có sđ

 5 12

MN  

Tam giác MNP cân tại N

  5

12

NM NP s NM đ s NP đ 

4 12 6

đ OA OP sđ OA ON đ ON OP sđ A s NP

Số đo lượng giác  

7

6

OA OP   k 

Câu 23: [0D6-1.3-3] Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho

 5

sđ AM 

, số đo cung

 80

s AN  

, tìm k để M trùng với N

A 15(1 20 ), m m  B 15(1 10 ), m m  C 16(1 10 ), m m .D 16(1 20 ), m m 

Trang 13

Để M trùng với N thì tồn tại một số nguyên l sao cho s AN s AM l đ   đ   2 

2 16 160 16(1 10 ),

80 5

k

 



         

Câu 24: [0D6-1.3-3] Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho

 6

sđ AM 

,



798

k đ

s AN  

, tìm k để M đối xứng với N qua gốc tọa độ

A 133(7 12 ), m m .B 133(5 12 ), m m 

C 133(7 16 ), m m 

.D 133(5 12 ), m m .

Để M đối xứng với N thì tồn tại một số nguyên m sao cho s AN s A đ  đ M 2m1

2 1 133 1596 798 133(7 12 ),

798 6

k

 



           

Câu 25: Trên đường tròn định hướng, điểm gốc A Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn số đo cung

2 5

k

AM  

Trên đường tròn định hướng ta có

5

k AOM  

, mà

5

k

        

có 5 giá trị của k Vây có 5 vị trí của M trên

đường tròn

Câu 26: [0D6-1.3-2] Trên đường tròn định hướng, điểm gốc A Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn số đo

k

AM   

Trên đường tròn định hướng ta có



4 2

k AOM   

, mà

k

          

có 4 giá trị của k Vây có 4 vị trí của M

trên đường tròn

Tiêu đề	Cung và góc lượng giác
Trường học	Trường Đại Học
Thể loại	Bài tập

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	726,65 KB