Đường tròn định hướng và cung lượng giác Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm.. Với hai điểm A B,
Trang 1BÀI 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1 Đường tròn định hướng và cung lượng giác
Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một
chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là
chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của
kim đồng hồ làm chiều dương
Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di
động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B
tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B
Với hai điểm A B, đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung
lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí
hiệu là ABÐ
2 Góc lượng giác
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD
Ð
Một điểm M chuyển động trên
đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác CD
Ð
nói trên Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD Kí hiệu góc lượng giác đó là OC OD, .
3 Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán
kính R 1.
Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm
1;0 ,
A A ' 1;0 , B0;1 , B' 0; 1
Ta lấy A1;0
làm điểm gốc của đường tròn đó.
Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A
).
C
H
Ư
Ơ
N
G
LÝ THUYẾT.
I
=
=
=
I
-+
A
D
M
C O
+
O
Trang 2II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1 Độ và radian
a) Đơn vị radian
Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad
b) Quan hệ giữa độ và radian
0
180
và
0
180
c) Độ dài của một cung tròn
Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là rad và có độ dài là R Vậy cung có số đo rad của đường tròn bán kính R có độ dài: R
2 Số đo của một cung lượng giác
Số đo của một cung lượng giác AM
Ð
(A M ) là một số thực âm hay dương
Kí hiệu số đo của cung AM
Ð
là sđ AM
Ð
Ghi nhớ
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2
Ta viết
sđ A M k2 , k .
Ð
trong đó là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A, điểm cuối là M
3 Số đo của một góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác OA OC,
là số đo của cung lượng giác tương ứng
Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của
các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại
4 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A1;0
làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác có số đo trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđAM .
Ð
DẠNG 1: ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO
180
1Rad
Câu 1 Đổi số đo radian của cung tròn sang số đo độ
HỆ THỐNG BÀI TẬP.
II
=
=
=
I
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
1
=
=
=
I
Trang 3(rad) 180o
( ) 60
3
o
rad
( ) 18
10
o
rad
22
( ) 1320 3
o
rad
5
( ) 100 9
o
rad
Câu 2 Đổi số đo độ của cung tròn sang radian
17
18
o
rad
50
9
o
rad
155
9
2
4
3
Câu 3 Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12 Đến khi kim
phút và kim giờ gặp nhau lần đầu tiên, tính số đo góc lượng giác mà kim phút quét được
Câu 1: Góc lượng giác có số đo (rad) thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số
đo dạng:
A k180 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k)
B k360 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k)
C k2 (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).
D k (k là số nguyên, mỗi góc ứng với một giá trị của k).
Câu 2: Kết quả nào sau đây là đúng
A 1(rad ) 1 . B
180 1( )
o
rad
C 1(rad ) 180 D 1(rad ) 100. Câu 3: Kết quả nào sau đây là đúng
A (rad) 360 B (rad) 180 C (rad) 1 D (rad) 360
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
2
=
=
=
I
Trang 4Câu 4: Trên đường tròn lượng giác, mệnh đề nào sau đây là đúng
A Cung lượng giác có điểm đâu là A, điểm cuối là B chỉ có một số đo
B Cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B chỉ có hai số đo sao cho tổng của chúng bằng 2
C Cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B chỉ có hai số đo hơn kém nhau 2
D Cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B chỉ có vô số số đo hơn kém nhau k2
Câu 5: Góc lượng giác Ox Ot, có một số đo là 2017
2
, số đo tổng quát của góc lượng giác
Ox Ot, là
A 2
2 k
2 k
3
2 k
Câu 6: Cho góc 2 ,
có bao nhiêu giá trị k để 19; 27
A k 2,k 3 B k3,k 4 C k4,k 5 D k4,k 5
Câu 7: Cho góc lượng giác (OA;OB)
5
Trong các góc lượng giác sau, góc nào có tia đầu và tia cuối lần lượt trùng với OA, OB
A
6 5
B
11 5
31 5
9 5
Câu 8: Cho số đo cung Ou,Ov 25 k360k với giá trị nào của k thì Ou,Ov 1055
A k 1 B k 2 C k 3 D k 4
Câu 9: Cho số đo cung Ou,Ov 12 k360 với giá trị nào của k thì số đo
59 ( , )
15
A k 1 B k 2 C k 3 D k 4
Câu 10: Nếu số đo góc lượng giác , 2006
5
thì số đo góc hình học uOv
A 5
4 5
6 5
9 5
Câu 11:
Chọn khẳng định đúng
A Nếu hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì chúng có số đo bằng nhau
B Nếu hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì chúng có số đo hơn kém nhau (rad)
C Nếu sđ (Ou,Ov) 2
2 k
, Ow là phân giác góc hình học uOv thì (O w,Ov)
4 k
Trang 5
D Nếu Ou, Ov theo thứ tự là tia đối của Ou, Ov thì sđ (Ou Ov, ) =sđ (Ou,Ov )
Câu 12: Trong mặt phẳng định hướng cho ba tia Ou Ov Ox , , Xét các hệ thức sau:
Z Z Z
Ou Ov Ou Ox Ox Ov k k
Ou Ov Ox Ov Ox Ou k k
Ou Ov O
sđ sđ v Ox sđ Ox Ou k k
Hệ thức nào là hệ thức Sa- lơ về số đo các góc:
A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ III D Chỉ I và III
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
Một cung tròn có số đo a (hoặc rad) có độ dài là 180
a R
l
(hoặc lR )
Câu 1. Một đường tròn có bán kính 10 (cm) Tính độ dài cung tròn có số đo 30o
Câu 2. Một bánh xe máy có đường kính (kể cả lốp xe) 60 (cm) Nếu xe chạy với vận tốc 50(km h/ ) thì
trong 5 giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng
Câu 1: Một đường tròn có bán kính 15 cm
Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng 30 là:
A
5 2
5 3
2 5
Câu 2: Một đường tròn có bán kính 10 (cm), độ dài cung tròn 40 trên đường tròn gần bằng
A 7 (cm) B 9 (cm) C 11 (cm) D 13 (cm)
Câu 3: Một đường tròn có bán kính
10
R
(cm), độ dài cung tròn 2
là
A 5 (cm) B 5 (cm) C
5
(cm) D 5
(cm)
Câu 4: Chọn khẳng định sai
A Cung tròn có bán kính R5cm và có số đo 1,5(rad) thì có độ dài là 7,5 cm
B. Cung tròn có bán kính R8cm và có độ dài 8cm thi có số đo độ là
180
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
1
=
=
=
I
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
2
=
=
=
I
Trang 6C Độ dài cung tròn phụ thuộc vào bán kính của nó.
D Góc lượng giác Ou Ov,
có số đo dương thì mọi góc lượng giác Ou Ov,
có số đo âm (S)
Câu 5: Cho đường tròn có bán kính 6 cm Tìm số đo (rad) của cung có độ dài là3cm :
0,5
Câu 6: Cung tròn bán kính bằng 8, 43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là (làm tròn đến chữ số thập
phân thứ hai)
A 32, 46cm B 32, 45cm C 32, 47cm D 32,5cm
Câu 7: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57cm.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn
có độ dài là (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
Câu 8: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A, cung lượng giác có số đo 30o có điểm đầu A, có
bao nhiêu điểm cuối N?
A Có duy nhất một điểm N B Có hai điểm N
C Có 4 điểm N D Có vô số điểm N
Câu 9: Trên đường tròn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:
I 4
II
7 4
III
13 4
IV
71 4
Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A Chỉ I và II B Chỉ I, II và III C Chỉ II,III và IV D Chỉ I, II và IV
Câu 10: Lục giác ABCDEF nội tiếp trong đường tròn tâm O, điểm A cố định, điểm B, C có tung độ
dương Khi đó số đo lượng giác của cung OA OC,
là
A 120 B 240 C 120hoặc 240 D 120 k360
Câu 11: Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là điểm A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung
lượng giác AM có số đo bằng 45 Điểm N đối xứng với M qua trục Ox, số đo cung AN là?
A 45 B 45hoặc 315 C 45 k360 D 315 k360
Câu 12: Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là điểm A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung
lượng giác AM có số đo bằng 60 Điểm N đối xứng với M qua trục Oy, số đo cung NA là?
A 120 k180 B 120 hoặc 240 C 240 k360 D 120 k360
Câu 13: Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là điểm A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung
lượng giác AM có số đo bằng 75 Điểm N đối xứng với M qua gốc tọa độ, số đo cung AN là?
A 105 k360. B 105 hoặc 255. C -255 k360 . D 105
Trang 7Câu 14:
Cho hình vuông ABCD tâm O, đường thẳng a qua O và trung điểm AB. Xác định góc tạo bởi đường thẳng a và tia OA
A 45 k300 B 15 k360 C 135 D 155
Câu 15: Một bánh xe có 72 răng, số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là
A 50o. B 60o. C 120o. D 70o
Câu 16: Sau một quãng thời gian 3 giờ thì kim giây sẽ quay được một góc có số đo là:
A 12960 B 32400 . C 324000 D 64800
Câu 17: Sau quãng thời gian 4 giờ kim giờ sẽ quay được một góc là
A 3
2 3
3 4
Câu 18: Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12 Lúc đó sđ
OP OG; là
A
2
2 k
2 k
Câu 19:
Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giây ON chỉ số 5, kim phút OP chỉ số 6 Lúc đó sđ
ON OG,
là
A
12
12 k
12 k
Câu 20:
Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12 Đến khi kim phút và kim giờ gặp nhau lần đầu tiên, tính số đo góc lượng giác mà kim giờ quét được
22 k
22 k
Câu 21: Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho số đo cung AM 3
, số đo cung
AN Lấy điểm P trên đường tròn sao cho tam giác MNP cân tại P, tìm số đo cung AP
A
2
3 k
2 2
3 k
Trang 8Câu 22: Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho số đo cung AM 3
, số đo cung 3
4
AN
Lấy điểm P trên đường tròn sao cho tam giác MNP cân tại N, tìm số đo cung AP
A
7
6 k
7 2
6 k
Câu 23: Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho
5
sđ AM
, số đo cung
80
, tìm k để M trùng với N
A 15(1 20 ), m m B 15(1 10 ), m m C 16(1 10 ), m m D 16(1 20 ), m m
Câu 24: Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho
6
sđ AM
,
798
k đ
, tìm k
để M đối xứng với N qua gốc tọa độ
A 133(7 12 ), m m B 133(5 12 ), m m
C 133(7 16 ), m m . D 133(5 12 ), m m
Câu 25: Trên đường tròn định hướng, điểm gốc A Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn số đo cung
2 5
k
Câu 26: Trên đường tròn định hướng, điểm gốc A Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn số đo cung
4 2
k
AM
Câu 27: Trên đường tròn định hướng góc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ
AM = °+k ° Î ¢ ?k
Câu 28: Cho hai góc lượng giác có sđOx Ou, 45 m360 , mZ và sđ
Ox Ov, 135 n360 , nZ Ta có hai tia Ou và Ov
A Tạo với nhau góc 450.B Trùng nhau
C Đối nhau D Vuông góc
Câu 29: Cho hai góc lượng giác có sđ , 2 ,
4
Ox Ou m mZ
và sđ , 2 ,
4
Ox Ov n nZ
Ta
có hai tia Ou và Ov
A Tạo với nhau góc 450.B Trùng nhau
Trang 9C Đối nhau D Vuông góc.
Câu 30: Cho hai góc lượng giác có sđOx Ou, 45 m360 , mZ
và sđ
Ox Ov, 315 n360 , nZ
Ta có hai tia Ou và Ov
A Tạo với nhau góc 450.B Trùng nhau
C Đối nhau D Vuông góc
Câu 31: Cho hai góc lượng giác có sđ , 5 2 ,
2
và sđ
, 2 ,
2
Khẳng định nào sau đây đúng?
A Ou và Ov trùng nhau B Ou và Ov đối nhau
C Ou và Ov vuông góc D Tạo với nhau một góc 4
Câu 32: Biết góc lượng giác Ou Ov,
có số đo là
137
5
thì góc Ou Ov,
có số đo dương nhỏ nhất là:
A 0, 6 B 27, 4 C 1, 4 D 0, 4
Câu 33: Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ
3 3
k Z
?
Câu 34: Hai góc lượng giác 3
và 12
m
có cùng tia đầu và tia cuối khi m có giá trị là
A m 4 24k B m 4 14k C m 4 20k D m 4 22k
Câu 35: Cho lục giác đều A A A A A A , 1 2 3 4 5 6 A là điểm gốc, thứ tự các điểm sắp xếp ngược chiều kim1
đồng hồ Số đo cung A A là2 4
A 240 k360 B 240 k360 C 240 k180 D 240 k180
Câu 36: Cho góc lượng giác (Ou,Ov) 4 12
k
, tìm k để Ou vuông góc với Ov
A k 3 12l B k 4 12l C k 3 6l D k 4 6l