Bài 2 hàm số bậc hai đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng đáp án p1

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số y ax 2bx c... Hình minh họa quỹ đạo của quả bóng là một phần cung parabol trong mặt phẳng tọa độ Oth , trong

b) Hàm số y2x2021 không phải là hàm số bậc hai.



Nhận xét: Cho hàm số f x( )ax2bx c a ( 0), ta có: 4 2

b f



;

- Xác định một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: giao điểm với trục tung (có tọa độ (0; )c ) và trục hoành (nếu

có), điểm đối xứng với điểm có tọa độ (0; )c qua trục đối xứng 2

b x a



- Vẽ đường parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số y ax 2bx c

Chú ý: Nếu a  thì parabol có bề lõm quay lên trên, nếu bậc hai sau: 0 a  thì parabol có bề lõm quay 0xuống dưới

- Giao điểm của parabol với trục tung là (0; 3)A 

- Giao điểm của parabol với trục hoành là ( 1;0)B  và (3;0)C

- Điểm đối xứng vối điểm (0; 3)A  qua trục đối xứng x  là (2; 3)1 D 

Vẽ parabol đi qua các điểm được xác định ở trên, ta nhận được đồ thị hàm số y x 2 2x 3 như hình

Nhận xét: Cho hàm số bậc hai y ax 2bx c a ( 0).

- Nếu a  thì hàm số nghịch biến trên khoảng 0 ; 2

b a

b a

b a

 

Ta có bảng biến thiên của hàm số bậc hai như sau:

Ví dụ 3 Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến của mỗi hàm số sau:

5

;6

3

;4

Ví dụ 4 Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống Hình minh họa quỹ đạo

của quả bóng là một phần cung parabol trong mặt phẳng tọa độ Oth , trong đó t là thời gian (tính bằng giây)

kể từ khi quả bóng được đá lên và h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng Giả thiết rằng quả bóng được

đá từ mặt đất Sau khoảng 2s, quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 8m

a) Tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống này.

b) Tính độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 3s

c) Sau bao nhiêu giây thì quả bóng chạm đất kẻ từ khi đá lên?

Giải

a) Gọi hàm số bậc hai biểu thị độ cao h m 

theo thời gian t s 

là hf t  at2bt c a  0

Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ mặt đất, nghĩa là f  0  do đó c, f t  at2bt

.Sau 2s, quả bóng lên đến vị trí cao nhất là 8m nên

b) Độ cao của quả bóng sau khi đá lên được 3 s là: hf(3)    2 32 8 3 6( )m

c) Cách 1 Quả bóng chạm đất (trở lại) khi độ cao h  , tức là: 0 2

Vì thế sau 4 s quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên

Cách 2 Quỹ đạo chuyển động của quả bóng là một phần của cung parabol có trục đối xứng là đường thẳng2

t  Điểm xuất phát và điểm quả bóng chạm đất (trở lại) đối xứng nhau qua đường thẳng t  Vì thế sau2

4 s quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên.

d) Tìm các khoảng của tập xác định để đồ thị ( )P nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng y =8.e) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [- 2;1].

Lời giải

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( )P

• Tọa độ đỉnh I(2;- 1).

• Trục đối xứng x = 2

• Hệ số a = > : bề lõm quay lên trên.1 0

• Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;2) và đồng biến trên khoảng (2;+¥ )

• Bảng biến thiên

• Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A( )0; 3

, cắt trục hoành tại hai điểm B( )1; 0

và C(3; 0)

b) Ta có (0; 3) (= 0; 2) { } (È 2 È 2; 3)

.Trên khoảng (0; 2 hàm số nghịch biến, tại ) x = thì hàm số đạt giá trị bằng 2 - 1, trên khoảng

(2; 3 hàm số đồng biến.)

c) Dựa vào đồ thị, ta thấy tập hợp các giá trị của x để y £0 (đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành) là 1£ £ x 3

d) Ta thấy đồ thị ( )P cắt đường thẳng y =8 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là - 1 và 5

Do đó để đồ thị ( )P nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng y =8 thì x Î - ¥ -( ; 1) hoặc

;(5 )

x Î +¥

e) Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 1; 2) nên nghịch biến trên đoạn [- 2;1] Do đó

• Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [- 2;1] đạt tạix =- 2, khi đóymax= -y( 2)=15.

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [- 2;1] đạt tạix = , khi đó1 ymin =y( )1 =0

và không tồn tại giá trị lớn nhất.

b) Hàm số y=- 2x2- x+ có 1 a =- 2< nên y đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.0

và không tồn tại giá trị nhỏ nhất

Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (nếu có) của các hàm số sau

Hoành độ đỉnh I 2 2 0; 4

b x

Theo yêu cầu bài toán

a - a+ = Û a - a+ = Û = ±a

Vì a > nên ta chọn 4 a = +5 10

Vậy a = -1 2 hoặc a = +5 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau

a) y=x x( +1)(x- 2 () x- 3).

b)

2(2 1) 4 2 1 3

Hàm số y= -tt2 5 + có 4 a = > nên bề lõm hướng lên.1 0

I

b a

b) Đặt t=2x- 1³ 0

thì y= -tt2 4t+3, ³ 0.Hàm số y= -tt2 4 + có 3 a = > nên bề lõm hướng lên.1 0

2

I

b x

x =

.Hàm số không có giá trị lớn nhất

x =

• Hệ số a =- < : bề lõm quay xuống dưới.1 0

• Hàm số đồng biến trên khoảng

5

;2

• Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0; 4- )

, cắt trục hoành tại hai điểm B( )1; 0

vàC(4; 0)

b) Ta có x2- 5x+ +7 2m= Û -0 x2+5x- 4=2m+3 (∗).

Phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) P và đường thẳng y=2m+3

(song song với Ox ) Do đó số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị và

<-: phương trình có hai nghiệm phân biệt

c) Ta có bảng biến thiên của hàm số trên é ù1; 5

ë û như sau

Dựa vào bảng biến ta thấy x Î é ùë û thì1; 5

94;

Câu 7. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x2+2x- 3 Từ đó suy ra đồ thị của các hàm số sau

a)

y= x + x

-.b) y=x2+2 x- 3

• Hệ số a = > : bề lõm quay lên trên.1 0

• Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ -; 1) và đồng biến trên khoảng(- 1;+¥ )

• Đồ thị hàm số y=f x( ) phần phía trên trục hoành ta giữ nguyên.

• Đồ thị hàm số y=f x( ) phần phía dưới trục hoành ta lấy đối xứng qua trục hoành

Câu 8. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x2+2x- 3 Từ đó suy ra đồ thị của các hàm số sau

x y

4 -

3

- - 1 1

3 - 4 -

 Hệ số a = > : bề lõm quay lên trên.1 0

 Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ -; 1)

và đồng biến trên khoảng (- 1;+¥ )

 Bảng biến thiên

 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0 ; 3- )

, cắt trục hoành tại hai điểm B(1; 0)

phần phía trên trục hoành ta giữ nguyên

- 1

x y

1 -

b) Ta có y=h x( )=x2+2 x- 3

2 2

Do đó từ đồ thị hàm số y= f x( )=x2+2x- 3

suy ra đồ thị hàm số y=h x( )=x2+2 x- 3như sau :

 Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y= f x( )

phần bên phải trục tung

 Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên ở trên qua trục tung, ta được toàn bộ đồ thị hàm số

- 1

Câu 9. Cho hàm số y=x2- 6x+ có đồ thị là 8 ( )P

.a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( )P

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (x- 4) x- 2+ =m 0

 Hệ số a = > : bề lõm quay lên trên.1 0

 Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ ; 3)

và đồng biến trên khoảng (3; +¥ )

 Bảng biến thiên

 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0 ; 8)

, cắt trục hoành tại hai điểm B(4 ; 0)

và C(2 ; 0)

x y

-1

8

4

32

phần bên phải đường x = ta giữ nguyên.2  Đồ thị hàm số y= f x( )

phần bên trái đường x = ta lấy đối xứng qua trục hoành.2

x y

-8-1

8

432

O

m m

m m

é =ê

.Khi x ³ 1 thì y=x2- 4x+ 3

Tọa độ đỉnh I(2 ; 1- )

Hệ số a =- 1< : bề lõm quay lên trên.0

Cho x= Þ1 y=0 ta được điểm M( )1; 0

.Cho x= Þ3 y=0 ta được điểm N( )3; 0

x

y

43

1

Câu 11 Không vẽ đồ thị Hãy tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của mỗi parabol sau đây Tìm

giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của mỗi hàm số tương ứng

suy ra y =2 2.Tọa độ đỉnh I( 2 ; 2 2)

Trục đối xứng đường thẳng x = 2

Hệ số a =- 2< : bề lõm quay xuống dưới nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại tung độ đỉnh và0bằng 2 2

Câu 12 Cho Parabol ( )P : y=ax2+ + bx c (a ¹ 0)

Xét dấu hệ số a và biệt thức D khia) ( )P

hoàn toàn nằm phía trên trục hoành

a a

a a

DẠNG 2 XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Để xác định hàm số bậc hai yf x  ax2bx c (đồng nghĩa với xác định các tham số , ,a b c ) ta

cần dựa vào giả thiết để lập nên các phương trình (hệ phương trình) ẩn là , ,a b c Từ đó tìm được

, ,

a b c Việc lập nên các phương trình nêu ở trên thường sử dụng đến các kết quả sau:

- Đồ thị hàm số đi qua điểm M x y 0; 0  y0 f x 0

I x y

y a

Câu 1. Xác định parabol y=ax2+3x- 2, biết rằng parabol đó

a) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

P y=- x + x

-.b) Vì ( )P

ìïï- ïïï

Û íï D =ïî

Û íï + =

Vậy ( )P y: =3x2+3x- 2

.d) Vì ( )P đạt cực tiểu tại x = nên suy ra1

012

a b a

ì >

ïïïí

ï - =ïïî

0312

a a

ì >

ïïï

Û í

ï - =ïïî

032

a a

ì >

ïïï

Û í

ï ïïî (vô nghiệm).

=-Vậy không có ( )P

nào thỏa yêu cầu bài toán

Câu 2. Xác định parabol y=ax2+ + , biết rằng parabol đóbx 2

a) Đi qua hai điểm M(1; 5)

và N -( 2 ; 8)

.b) Có đỉnh I(2 ; 2- )

c) Đi qua điểm A(3; 4- )

và có trục đối xứng

34

íï - + =ïî

21

a b

ì =ïï

Û íï =

ïî .Vậy ( )P y: =2x2+ +x 2

b) Vì ( )P có đỉnh I(2 ; 2- )

nên ta có

22

24

b a a

ìïï- =ïïï

=-Û íï

ïî0

4

a b

a b

ì =ïï

íï

Do ( )P là parabol nên a ¹ 0 nên ta chọn

14

a b

ì =ïï

=-ïïïí

ï - ïïî

32

a b

ì + ïï

=-ï

Û í

ï =ïïî

4923

a b

ìïï ïïï

=-Û í

ïï ïïïî .Vậy ( ) 4 2 2

nên ta có

-2 61

a b

ì - =ïï

Û íï

ïî16

12

a b

a b

ì =ïï

íï

 Với

1612

a b

ì =ïï

a b

ì =ïï

Câu 3. Xác định parabol y=2x2+ + , biết rằng parabol đóbx c

a) Có trục đối xứng x = và cắt 1 Oy tại điểm M(0 ; 4)

.b) Có đỉnh I -( 1; 2- )

.c) Đi qua hai điểm A(0 ; 1- )

và B(4 ; 0)

.d) Có hoành độ đỉnh - 2 và đi qua điểm N(1; 2- )

2

Û =- Û =- b 4Hơn nữa ( )P

cắt trục Oy tại điểm M(0 ; 4)

nên 2.0+b.0+ = c 4 Û = c 4Vậy ( ) 2

.b) Vì ( )P

có đỉnh I -( 1; 2- )

nên suy ra1

2

24

b a a

ìïï- ïïï

ì =ïï

Û íï - =ïî

40

b c

ì =ïï

Û íï =

ïî .Vậy ( )P y: =2x2+4x

1314

c b

ì ïïï

=-4

Û = Û = b 8Hơn nữa ( )P đi qua điểm N(1; 2- )

nên 2+ + =- 2 8b c 2 Û + + =- c 2 Û =-c 12.Vậy ( )P y: =2x2+8x- 12

Câu 4. Xác định parabol y=ax2+ , biết rẳng parabol đóc

a) Đi qua hai điểm M( )1;1

, B(2 ; 2- )

íï + ïî

=-12

a c

ì ïï

íï + =ïî

334

c a

ì =ïïï

Câu 5. Xác định parabol y=ax2- 4x+ , biết rằng parabol đóc

a) Có hoành độ đỉnh là 3- và đi qua điểm M -( 2 ;1)

.b) Có trục đối xứng là đường thẳng x = và cắt trục hoành tại điểm 2 A(3 ; 0)

Lời giải

a) Vì ( )P có hoành độ đỉnh bằng 3- và đi qua M -( 2;1)

nên suy ra

32

b a

ìïï- ïí

=-ïï + + =ïî

Û íï + ïî

=-23133

a c

ìïï ïïï

=-Û í

ïï ïïïî .

nên suy ra2

2

b a

ìïï- =ïí

ïï - + =ïî

=-Û íï + =ïî

13

a c

ì =ïï

Û íï =

ïî .Vậy ( )P y: =x2- 4x+3

Câu 6. Xác định parabol y=ax2+ + , biết rằng parabol đóbx c

a) Đi qua ba điểm A( )1;1

c) Đi qua điểm M(4; 6- )

, cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 3

Lời giải

a) Vì ( )P đi qua ba điểm A( )1;1

, B -( 1; 3- )

, O(0 ; 0)

nên suy ra

130

a b c

a b c c

ì + + =ïï

ïï - + íï

=-ï =ïïî

120

a b c

ì ïïïï

ì - + =ïï

ïï + + =íï

ï ïïî

=-112

a b c

ì =ïïïï

( )1; 0

E

, F(3 ; 0)

.Theo giả thiết ( )P đi qua ba điểm M , E, F nên ta có

a b c

ì ïïïï

, N(2 ;1)

.d) Trục đối xứng là đường thẳng x = , qua 3 M -( 5; 6)

và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng2

14

b a a

ìïï- =ïïï

Û íï

Gọi A là giao điểm của ( )P

với trục tung tại điểm có tung độ bằng 3- Suy ra A(0 ; 3- )

Theo giả thiết A(0 ; 3- )

thuộc ( )P

nên 0a +b.0+ =- c 3 Û =- c 3 ( )2

ï ïïî

=-003

a b c

ì =ïïïï

Û íï =

ï ïïî hoặc

=-1223

a b c

ìïï ïïïïï =-íï

ï ïïïïïî .

2

P y=- x - x

-.b) Vì ( )P

cắt trục hoành tại hai điểm A(1; 0)

43

=-Û íï =

ïî

000

a b c

ì =ïïïï

Û íï =

ï =ïïî hoặc

143

a b c

ì =ïï

ïï íï

Û íïï =

12

ïî

001

a b c

ì =ïïïï

Û íïï ==ïïî hoặc

121

a b c

ì =ïï

ïï íï

b a

6

Û =- ( )1Hơn nữa ( )P qua M -( 5 ; 6)

nên ta có 6=25a- 5b+ c ( )2Lại có ( )P cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 2 nên 2- =a.0+b.0+ c Û =- c 2 ( )3

ï ïïî

=-85548552

a b c

ìïï =ïïïïïï

Û íïïï

ï ïï

Câu 8. Xác định parabol y=ax2+ + , biết rằng parabol đóbx c

a) Đạt cực tiểu bằng 4 tại x = và đồ thị hàm số đi qua điểm 2 A(0 ; 6)

.b) Đạt cực đại bằng 3 tại x = và đồ thị hàm số đi qua điểm 2 B(0 ; 1- )

b a

a c

ìïï- =ïï

ïï

ï D

ï - =íï

ïï

ï =ïïïïî

=-ï =ïïî

ï =ïïî

006

a b c

ì =ïïïï

Û íïï ==ïïî hoặc

1226

a b c

ìïï =ïïïïï =-íï

ï =ïïïïïî .

Do ( )P

là parabol nên a ¹ 0 nên ta chọn

12

nên ta có

22341

b a

a c

ìïï- =ïï

ïï

ï D

ï - =íï

ïï

ï ïïïïî

=-Û íïï =-- ïïî

=-Û íïï =-+ =ïïî

001

a b c

ì =ïïïï

Û íïï =-=ïïî hoặc

141

a b c

ì ïï

=-ïï =íï

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10- .

Lời giải

a) Đồ thị hàm số đi qua điểm A -( 2 ; 3)

nên ta có 4m+4m- 3m- 2= 3 Û m= 1Vậy m = thỏa mãn yêu cầu bài toán.1

b) Ta có

21

4m 2 3.1 1

- - = - Û m=- 1Vậy m =- 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

c) Theo câu )b ta có tung độ đỉnh y 4a 4m 2

a a

ì >

ïï

Û íï - -

Vậy m = thỏa mãn yêu cầu bài toán.2

Câu 10 Tìm các tham số , ,a b c sao cho hàm số y ax 2bx c đạt giá trị nhỏ nhất là 4 tại x 2 và đồ

thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ là 6

m  

 

DẠNG 3 SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VỚI ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ KHÁC

Dạng 1 Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai

1 Số giao điểm của  P

và d bằng số nghiệm của hệ phương trình (1) và cũng bằng số nghiệm

của phương trình (2)

2 Nếu phương trình (2) vô nghiệm thì ta nói d và  P không giao nhau.

3 Nếu phương trình (2) có nghiệm kép thì ta nói d và  P

tiếp xúc với nhau Lúc này ta nói d là

tiếp tuyến của  P

Để giải hệ (1) ta cần giải phương trình f x g x 

(2), phương trình (2) được gọi là phươngtrình hoành độ giao điểm của  P1 và  P2 .



qua với mọi giá trị của m , ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giả sử điểm M x y 0; 0 là điểm cố định mà P m luôn đi qua.

Tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình f x m  ;  0.

Bước 2: Chuyển phương trình về phương trình ẩn m dạng Am B 0

(hoặc Am2Bm C  ) Phương trình nghiệm đúng với mọi m 0

Khi đó ta có

00

A B

A B C

-Û íï

ïî

45

x y

ì =ïï

Û íï =

ïî hoặc

33

x y

ì =ïï

íï =

ïî .Vậy hai giao điểm có tọa độ là (4; 5)

và (3 ; 3)

.b) Tọa độ gaio điểm của y=2x2+ -x 3 và y=- x2+3x+ là nghiệm của hệ sau2

2 2

Û íï

ïî

12

x y

ì ïï

=-Û íï

=-ïî hoặc

53349

x y

ìïï =ïïïíï

ï =ïïïî .

Vậy hai giao điểm có tọa độ là (- 1; 2- )

Câu 2. Cho parabol y=- x2+4x- 2 và đường thẳng d y: =- 2x+m Tìm các giá trị m để

a) d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A, B tìm tọa độ trung điểm của AB

b) d và ( )P có một điểm chung duy nhất Tìm tọa độ điểm chung này.

tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình ( )*

có hai nghiệm phân

biệt Û D = -¢ 9 (3m+ >2) 0 Û -7 3m> 0

73

m

.Với

73

m =

phương trình ( )*

có nghiệm kép (nghiệm duy nhất) 2 3

b x

a

.Thay x = vào hàm số 3 y=- x2+4x- 2, ta được y =1

Vậy tọa độ điểm chung là (3 ;1 )

c) d không cắt ( )P khi và chỉ khi phương trình ( )* vô nghiệm

m

Û >

.d) Gọi M x( M;y M)

là giao điểm của d và ( )P Giao điểm này nằm trên đường thẳng y =- 2suy ra y =- M 2

 Với M(0 ; 2- )

, vì M cũng thuộc d nên ta có 2.0 3- + m=- 2

23

m

=-  Với M(4 ; 2- )

, vì M cũng thuộc d nên ta có 2.4 3- + m=- 2 Û m= 2Vậy

23

m

hoặc m = thỏa mãn yêu cầu bài toán.2

Câu 3. Cho parabol ( )P y: =x2- 4x+3

và đường thẳng d y: =mx+3. Tìm các giá trị của mđể

x

é =ê

92

b) Giả sử x =1 0 và x2= +4 m Theo gải thiết, ta có

Cách 2 Áp dụng cho trường hợp không tìm cụ thể x x1, 2

Ta có x13+x32 =8 ( )3 ( )

Do x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2- (4+m x) =0

nên theo định lý Viet, ta có

1 2

1 2

4.0

ïî Thay vào ( )* , ta được (4+m)3- 3 0 4( +m)=8 Û m=- 2

Câu 4. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị của mỗi hàm số sau luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân

biệt và đỉnh I của đồ thị luôn chạy trên một đường thẳng cố định

Lời giải.

a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P

và trục hoành là

2 2

1 04

Vì y =- I 1 nên đỉnh I luôn chạy trên đường thẳng cố định y =- 1

b) Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P

Vì y =- I 1 nên đỉnh I luôn chạy trên đường thẳng cố định y =- 1

Câu 5. Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số y=mx2+2(m- 2)x- 3m+1

luôn đi qua hai điểm

13

x y

313

x y

=-ïï

Û íï

=ïîVậy đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định là A1(1; 3- )

hoặc A -2( 3;13)

với mọi giá trị m

Câu 6. Chứng minh rằng các parabol sau luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

a) y=2x2- 4 2( m- 1)x+8m2- 3

.b) y=mx2- (4m- 1)x+4m- 1(m ¹ 0)

Lời giải.

a) Gọi y=ax+b là đường thẳng mà parabol luôn tiếp xúc.

Phương trình hoành độ giao điểm 2x2- 4 2( m- 1)x+8m2- 3=ax+b

, với mọi m