Bài 4 bất phương trình bậc hai một ẩn đáp án

Tập hợp các nghiệm x như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho.0 Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được định nghĩa tươn

- Đối vối bất phương trình bậc hai có dạng ax2bx c  , mỗi số 0 x   sao cho 0 2

ax bx  c được gọi là một nghiệm của bất phương trình đó

Tập hợp các nghiệm x như thế còn được gọi là tập nghiệm của bất phương trình bậc hai đã cho.0

Nghiệm và tập nghiệm của các dạng bất phương trình bậc hai ẩn x còn lại được định nghĩa tương tự

Ví dụ 1 Cho bất phương trình bậc hai một ẩn x2  4x  (1) Trong các giá trị sau đây của 3 0 x, giá trị nào

là nghiệm của bất phương trình (1)?

a) x 2

b) x  ;0

c) x  3

Giải

a) Với x  , ta có: 2 22 4.2 3   Vậy 1 0 x  là nghiệm của bất phương trình (1).2

b) Với x  , ta có: 0 02 4.0 3 3 0   Vậy x  không phải là nghiệm của bất phương trình (1) 0

c) Với x  , ta có: 3 32  4 3 3 0   Vậy x  không phải là nghiệm của bất phương trình (1).3

Chú ý: Giải bất phương trình bậc hai ẩn x là đi tìm tập nghiệm của bất phương trình đó

II Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

1 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách xét dấu của tam thức bậc hai

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng f x( ) 0  f x( )ax2bx c 

, ta chuyển việc giải bất phương trình đó về việc tìm tập hợp những giá trị của x sao cho ( )f x mang dấu "+" Cụ thể, ta làm

như sau:

Bước 1 Xác định dấu của hệ số a và tìm nghiệm của ( )f x (nếu có).

Bước 2 Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai để tìm tập hợp những giá trị của x sao cho ( )f x mang

dấu "+"

Chú ý: Các bất phương trình bậc hai có dạng ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 f x  f x  f x  được giải bằng cách tương tự

Ví dụ 2 Giải các bất phương trình bậc hai sau:

2 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng đồ thị

Nhận xét

- Giải bất phương trình bậc hai ax2bx c  là tìm tập hợp những giá trị của 0 x ứng với phần parabol2

y ax bx c nằm phía trên trục hoành

- Tương tự, giải bất phương trình bậc hai ax2bx c  là tìm tập hợp những giá trị của 0 x ứng vối phần parabol y ax 2bx c nằm phía dưới trục hoành

Như vậy, để giải bất phương trình bậc hai (một ẩn) có dạng f x( ) 0  f x( )ax2bx c 

bằng cách sử dụng đồ thị, ta có thể làm như sau: Dựa vào parabol y ax 2bx c , ta tìm tập hợp những giá trị của x ứng

với phần parabol đó nằm phía trên trục hoành Đối với các bất phương trình bậc hai có dạng

Vậy tập nghiệm của bất phương trình x2 5x  là khoảng (1;4) 4 0

b) Quan sát đồ thị ở b , ta thấy: x23x biểu diễn phần parabol 0 yx23x nằm phía trên trục hoành, tương ứng với 0  Vậy tập nghiệm của bất phương trình x 3 x23x là khoảng (0;3) 0

III Ứng dụng của bất phương trình bậc hai một ẩn

Bất phương trình bậc hai một ẩn có nhiều ứng dụng, chẳng hạn: giải một số hệ bất phương trình; ứng dụng vào tính toán lợi nhuận trong kinh doanh; tính toán điểm rơi trong pháo binh;

Chúng ta sẽ làm quen với những ứng dụng đó qua một số ví dụ sau đây

Ví dụ 4 Bác Dũng muốn uốn tấm tôn phẳng có dạng hình chữ nhật ( như hình) với bề ngang 32 cm thành

một rãnh dẫn nước bằng cách chia tấm tôn đó thành ba phần rồi gấp hai bên lại theo một góc vuông Để đảmbảo kĩ thuật, diện tích mặt cắt ngang của rãnh dẫn nước phải lớn hơn hoặc bằng 120 cm 2

Hỏi rãnh nước phải có độ cao ít nhất là bao nhiêu xăng-ti-mét?

Tam thức 2x232x120 có hai nghiệm x1 6,x2 10 và hệ số a   Sử dụng định lí về dấu của 2 0

tam thức bậc hai, ta thấy tập hợp những giá trị của x sao cho tam thức 2x232x120 mang dấu "+" là(6;10) Do đó tập nghiệm của bất phương trình 2x2 32x120 0 là [6;10]

Vậy rãnh dẫn nước phải có độ cao ít nhất là 6 cm

Ví dụ 5 Tìm giao các tập nghiệm của hai bất phương trình sau:

2 2 8 0(3)

x  x  và x  2 9 0 (4)

Giải

Ta có: (3)     Tập nghiệm của bất phương trình (3) là 4 x 2 S  3 ( 4;2);

(4)     Tập nghiệm của bất phương trình (4) là 3 x 3 S  4 ( 3;3).

Giao các tập nghiệm của hai bất phương trình trên là:

S S S      

Ví dụ 6 Một tình huống trong huấn luyện pháo binh được mô tả như sau: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,

khẩu đại bác được biểu thị bằng điểm (0;0)O và bia mục tiêu được biểu thị bằng đoạn thẳng MN với

(2100; 25)

M và (2100;15)N

Xạ thủ cần xác định parabol ya x2 210ax (a 0) mô tả quỹ đạo chuyển động của viên đạn sao cho viên đạn bắn ra từ khẩu đại bác phải chạm vào bia mục tiêu Tìm giá trị lớn nhất của a để xạ thủ đạt được mục đích trên

Giải

Tại vị trí x 2100, độ cao của viên đạn là:

2.21002 10 2100 4410000 2 21000

Viên đạn chạm được vào bia mục tiêu khi và chỉ khi a thoả mãn các bất phương trình sau:

210

Vì a  nên 0

10;

là một tam thức bậc hai

2 Cách giải Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai

3 Ứng dụng Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xétdấu của chúng

Câu 1. Giải các bất phương trình sau

a) 3x22x 1 0.b) x2 x 12 0

Lời giải.

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

201

2

201

Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình là

3

2 3

x

x x

x x

Dạng 2 Bài toán tham số liên quan đến tam thức bậc hai

Câu 1. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm

Vậy với m     ; 2  6;  thì phương trình có nghiệm

b) Với m  , phương trình trở thành 21 x 2 0  x Suy ra 1 m  thỏa mãn yêu cầu bài1

Vậy với 2   thì phương trình có nghiệm.m 0

Câu 2. Giải và biện luận bất phương trình m1x2 2 2 m1x 4m 2 0

-Nếu m 1, ta có

00

, ta co

02

m 

hoặc

11

Do đó pt đã cho luôn vô nghiệm với mọi m

Câu 4. Tìm m để biểu thức sau luôn dương

12

m 

thỏa mãn

b) Với m 2, tam thức bậc hai trở thành 1 0 : luôn đúng với mọi x

Với m 2, yêu cầu bài toán  (m2)x22(m2)x m  3 0,  x

Câu 5. Tìm m để biểu thức sau luôn âm

a) ( )f x mx  x1 b) ( ) (g x  m 4)x (2m 8)x m  5

Lời giải

a) Với m 0, ta có ( )f x x  1 0 x 1:không thỏa mãn

Với m 0, yêu cầu bài toán  mx2  x 1 0,  x

0

01

b) Với m 4, ta có ( ) -1 0g x   : đúng với mọi x.

Với m 4, yêu cầu bài toán (m 4)x2(2m 8)x m  5 0,   x

Câu 6. Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương

2 2

1,1,

m 

thì biểu thức đã cho luôn dương

Câu 7. Tìm các giá trị của m để các bpt sau được nghiệm đúng với mọi x

a) 2m  3m 2 x 2(m 2)x1 0 b ) („ m4)x 2(mx m 3)

Lời giải

: Không nghiệm đúng với mọi x.

Khi m 2 thì bpt nghiệm đúng với mọi x

Khi

122

m m

12

Khi m 4 thì yêu cầu bài toán  (m4)x2 2mx2m 6 0,   x

64

m m

Câu 8. Chứng minh hàm số sau có tập xác định là  với mọi m

Với m 0, ta có

   

a m    m  m m  m m  

Suy ra với mọi m, ta có g x( )m x2 2 2mx m 2 2 0,   (2)x

Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì

Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bpt m21x m x ( 3) 1 0 

nghiệm đúng với mọi[ 1; 2]

x   .

Lời giải

Bpt tương đương m2 m1x3m 1 0

2 2

m S

- Nếu   thì  0 (m1)x2 2x m 1 0,„   x Suy ra bpt vô nghiệm: không thỏa mãn

- Nếu   thì bpt tương đương  0

Vậy m  2 thỏa mãn

-Nếu    0 2 m2 0  2m 2 thì bpt tương đương

m m x

Không thỏa mãn Vậy m1,m 2 là giá trị cần tìm

Câu 11 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bpt x2  2x 1 m2„0 nghiệm đúng với mọi x 1; 2

Lời giải

Ta có   m2…0 Phương trình có hai nghiệm x1 1 m và x2  1 m

-Nếu m 0 thì bpt trở thành x2 2x1 0„  (x1)2„0 x1không thỏa mãn.

-Nếu m 0 thì x11-m x 2  1 m Suy ra tập nghiệm của bpt là S[1- ; 1m m]

Để bpt nghiệm đúng với mọi x 1; 2

-Nếu m 0 thì x11-m x 2  1 m Suy ra tập nghiệm của bpt là S [1 m ; 1 m]

Để bpt nghiệm đúng với mọi x 1; 2

Câu 12 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bpt

suy ra tập nghiệm của bpt là S   ( ;1) (1; )

Vậy m=1 thỏa mãn.

-Nếu 3m 2 1  m1 Suy ra tập nghiệm của bpt là S   ( ;3m 2) (1; )

Bpt nghiệm đúng với mọi x mà x 2 khi và chỉ khi 3m 2 2 m0

Vậy 0m1 thỏa mãn

Nếu 3m 2 1  m1 Suy ra tập nghiệm của bpt là S   ( ;1) (3 m 2;)

Bpt nghiệm đúng với mọi x mà x 2 khi và chỉ khi

m m

m  

là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

2 Cách giải Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

3 Ứng dụng Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xétdấu của chúng

Câu 1. Cho tam thức bậc hai f x  x2 4x5 Tìm tất cả giá trị của x để f x   0

Bất phương trình x 2 25 0  5x5

Vậy S   5;5

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình x 2 3x 2 0 là

A 1; 2

B  ;1  2;   C  ;1 D 2; 

Lời giải Chọn A

Hàm số đã cho xác định khi

2 2

x x

x x

* Tập nghiệm của bất phương trình là S     ; 2  2;

Câu 13 Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x2 4x 4 0

Do đó bất phương trình có 6 nghiệm nguyên là 2 , 1 , 0, 1, 2 , 3.

Câu 15 Tập nghiệm của bất phương trình: x2 9 6x là

S   

Lời giải Chọn C.

Ta có 2x2 3x 2 0

12

Ta có:

2 2

Lời giải Chọn D

Ta có x4  5x2 4 x2 1 x2 4 0

2 2

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy tập nghiệm của bất phương trình f x   0là 2; 1   1; 2

Câu 19 Giải bất phương trình x x 5 2x22 

 

2

0 11

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T     ; 11; 4

Câu 25 Tập nghiệm của bất phương trình

2 2

04

Xét  

2 2

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S   2; 23; 4.

Câu 26 Tập nghiệm của bất phương trình

12

21

x

x x



  

Lời giải Chọn C

+

2 0

2 +

314

x x x

3

1 04

x x x

 

704

x x

23

       

Vậy có chỉ có duy nhất một giá trị nguyên dương của x x 1

thỏa mãn yêu cầu

Chọn C.

Câu 30 Tập nghiệm S của bất phương trình

2 2

C Hai khoảng và một đoạn D Ba khoảng.

Dạng 2 Bài toán tham số liên quan đến tam thức bậc hai

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2mx  có nghiệm4 0

A 4m4 B m4 hay m 4

C m2 hay m D 2 2m2

Lời giải Chọn B

Phương trình x2mx  có nghiệm 4 0   0  m216 0  m4 hay m4

Câu 2. Tìm m để phương trình  x22m1x m  3 0 có hai nghiệm phân biệt

A 1; 2 B   ; 1  2; C 1; 2 D   ; 1  2;

Lời giải Chọn B

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 3. Giá trị nào của m thì phương trình m 3x2m3x m1 0  1

có hai nghiệm phânbiệt?

m   

3

;5

m x x

m 

3.5

Vậy phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m  . Chọn A.

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

m 2x22 2 m 3x5m 6 0 vô nghiệm?

3.1

m m

m m

Suy ra với m 2 thì phương trình   có nghiệm duy nhất x  2

Do đó m 2 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2 Với m 2 0  m khi đó để phương trình 2,   vô nghiệm   x 0

m m

m m

A 0m4. B

0.4

m m

TH1 Với m 0, khi đó phương trình    4 0 (vô lý)

Suy ra với m 0 thì phương trình   vô nghiệm

TH2 Với m 0, khi đó để phương trình   vô nghiệm   x 0

m m

m m

m m

m m

m m

m m

m m

Kết hợp với m, ta được m   3; 2; 1   là các giá trị cần tìm Chọn A.

Câu 13 Tìm các giá trị của m để phương trình m 5x2 4mx m  2 0 có nghiệm

m m

m m

Do đó, với

103

m m

m m

Do đó, với m 1 thì phương trình   luôn có hai nghiệm phân biệt

Kết hợp hai TH, ta được m   là giá trị cần tìm Chọn B.

Câu 15 Các giá trị m để tam thức f x  x2 m2x8m1 đổi dấu 2 lần là

Câu 16 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2  1 1 0

3

x  m x m  

cónghiệm?

m  

Lời giải

Câu 17 Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình

m1x23m 2 x 3 2m0có hai nghiệm phân biệt?

m m

m m

Dễ thấy m 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m 0, phương trình đã cho là phương trình bậc hai

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

m m

m 

Lời giải Chọn A

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 2 khi

2

00

Theo định lí Vi ét ta có:

1 2

1 2

1 224

Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì

m m

m

x x m





 Theo đề ta có: x1x2x x1 2 1

m m



 1m3.Vậy 1m3 là giá trị cần tìm

Câu 23 Cho phương trình m 5x22m1x m 0  1

Với giá trị nào của m thì  1

có 2 nghiệm1

x , x thỏa 2 x1 2 x2?

83

m m

m

x x

m m

x x m

m m

Câu 24 Tìm giá trị của tham số m để phương trình x2 m 2x m 2 4m0 có hai nghiệm trái dấu.

A 0m4 B m 0 hoặc m 4 C m 2 D m 2

Lời giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi m2 4m 0  0m4

Câu 25 Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình m1x2 2mx m 0

có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1?

01

m m

Để phương trình  1 có hai nghiệm phân biệt thì:   0  m0

Giả sử x , 1 x là hai nghiệm của 2  1

m

x x

m m

m





  m1.Vậy với m 1 thỏa mãn điều kiện bài toán

Câu 26 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x2 2mx m  2 0 có hai nghiệm x , 1 x2

m m

m 

72

m m m

196

Câu 29 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình m 2x2 2mx m  3 0 có

hai nghiệm dương phân biệt

02

m

m m

m m

Câu 34 Giá trị thực của tham số m để phương trình x2 2m1x m 2 2m0 có hai nghiệm trái dấu

trong đó nghiệm âm có trị tuyệt đối lớn hơn là

A 0m2. B 0m1. C 1m2. D

1.0

m m

0,0

x x

21

m

x x

m m

x x m

Câu 36 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2 m1x m  2 0 có hai nghiệm

phân biệt x x khác 1, 2 0 thỏa mãn 12 22

Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m22 4 8 m1 0  m2 28m0 0m28

Câu 39 Tam thức f x x22m1x m 2 3m4 không âm với mọi giá trị của x khi

Lời giải Chọn D

Yêu cầu bài toán  f x    0, x  x22m1x m 2 3m    4 0, x

Vậy m 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 40 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để với mọi x   biểu thức

f x x  m x m luôn nhận giá trị dương

Lời giải Chọn A

Vậy có 27 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 41 Tìm các giá trị của m để biểu thức f x( )x2(m1)x2m 7 0   x

A m 2;6

B m ( 3;9). C m   ( ;2) (5; ) D m ( 9;3).

Lời giải Chọn B

Ta có :

 

1 00

Câu 44 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai f x 

sau đây thỏa mãn

TH1: m 0: f x( ) 2 x đổi dấu (loại m 0)

TH2: m 0; Yêu cầu bài toán

0' 0

01

Ta có x22x 5 x12 4 0,    x

Nên

2 2

0,1

1 0,

4 02;2

m m

m m

m m

BPT nghiệm đúng  x  '

00

m 

14

m 

15

m 

125

m 

Lời giải Chọn A

Trường hợp 1 m 0 Khi đó bất phương trình trở thành:

Trường hợp 2 m 0 Bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

0' 00

15

m

m m m

Chọn D

2 2 1 0

mx  mx  (1)

+) m 0 thì bất phương trình (1) trở thành:  1 0 (vô lí) Vậy m 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

+) m 0, bất phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi  2  

Vậy bất phương trình mx2 2mx  vô nghiệm khi 1 0  1 m0

Câu 51 Gọi S là tập các giá trị của m để bất phương trình x2 2mx5m 8 0 có tập nghiệm là a b; 

sao cho b a 4 Tổng tất cả các phần tử của S là

Lời giải Chọn C

Câu 52 Tìm các giá trị của tham số m để x2 2x m 0,   x 0

A m 0 B m  1 C m 1 D m 0

Lời giải Chọn C

Ta có x2 2x m  0 x2 2x m

Xét hàm số f x  x2 2x là hàm số bậc hai có hệ số a  1 0, hoành độ đỉnh của parabol

12

I

b x

a



Do đó có bảng biến thiên

Dựa vào bbt ta có x2 2x m ,  x 0 khi và chỉ khi m 1

Câu 53 Tìm tập hợp các giá trị của m để hàm số y m10x2 2m 2x1

Chọn A