Chuyên đề 2 tìm x, tính chất dãy tỉ số, toán dãy tỉ số

Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.. giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa... CA

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 7 Chuyên đề2 : TỈ LỆ THỨC - TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

A CƠ SỞ LÍ THUYẾT

I TỈ LỆ THỨC

1 Định nghĩa:

Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số a b dc (hoặc a : b = c : d)

Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ

2 Tính chất:

Tính chất 1: Nếu b d ac thì ad bc (Tích trung tỉ = Tích ngoại tỉ)

Tính chất 2: Nếu ad bc và a, b, c, d  0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

b d ac , a c d b, d b c a , d c b a

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.

II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

-Tính chất: Từ a b dc suy ra: b d a c b d a c b d a c

-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:

a b d c e f suy ra: a b d c e f b d a b c f b d a b c f 

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)

* Nâng cao.

1 Nếu

a c e

b d f =k thì

2 Từ a b d => +) c

+)

(Tính chất này gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ lệ)

* Chú ý: Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c =>

Ta còn viết x:y:z = a:b:c

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết trong tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau

Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức

Dạng 4: Ứng dụng tính chất của tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau vào giải bài toán

chia tỉ lệ

I/ DẠNG 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ

SỐ BẰNG NHAU.

Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết 2 3x y và x y 20

Giải Cách 1: (Đặt ẩn phụ)

Đặt 2 3x  y k , suy ra: x2k , y3k

Theo giả thiết: x y 20 2k3k20 5k 20 k 4

Do đó: x 2.4 8

y 3.4 12

KL: x8 ,y12

Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

20 4

2 3 2 3 5

x y x y



Do đó: 2x  4 x8

4 12

3

KL: x8 , y12

Cách 3: (phương pháp thế)

x y x y

3

y

x y    y  y  y

Do đó: 2.12 8

3

x   KL: x8 , y12

Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: 3 4x y , 3 5y z và 2x 3y z 6

Giải

2

Cách 1: Từ giả thiết: 3 4x  y 9 12x y (1)

3 5y  z 12 20y  z (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 9 12 20x y  z (*)

9 12 20 18 36 20 18 36 20 2

x y z x y z x y z

9

12y  3 y36

3 60

20

KL: x27 ,y36 ,z60

Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt 9 12 20x y  z k ( sau đó giải như cách 1 của VD1)

Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết: 3 5y  z y35z

3 3

z

Suy ra: 3.60 36

5

y   , 9.60 27

20

KL: x27 ,y36 ,z60

Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: 2 5x y và x y  40

Giải Cách 1: (đặt ẩn phụ): Đặt 2 5x  y k , suy ra x2k ; y5k

Theo giả thiết: x y 40 2 5k k 40 10k240 k2 4 k 2

+ Với k 2 ta có: x 2.2 4

y 5.2 10

+ Với k 2 ta có: x  2.( 2)4

y  5.( 2)10

KL: x4 ,y10 hoặc x4 , y10

Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

Vì x.y = 40 => x 0

Nên nhân cả hai vế của 2 5x y với x ta được:

40 8

x xy

    x2 16  x4

+ Với x  4 ta có 4 4.5 10

y y

+ Với x 4 ta có 4 4.5 10

KL: x4 ,y10 hoặc x4 , y10

Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.

Ví dụ 4 : Tìm x biết:

a)

b)

Giải

a) Từ => 7(x-3) = 5(x+5) Giải ra x = 23

b) Cách 1 Từ => (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2)

(x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2

- x + 3x – 3 = + 2x – 2x – 4

Đưa về 2x = -1 => x =

Cách 2: 21





x

x

+1= 32





x

x

+1

2 21





x

x

=2 31





x x

 2x+1=0  x= -21 (Do x+2 x+3)

BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 Tìm các số x, y, z biết rằng

4

a 2 4



  b 10 6x  y 21z và 5x y  2z28

c 4x3y ; 7y5z và 2x 3y z 6 d x y z : : 12:9:5 và xyz 20

e x105y69z1421

   và xyz 6720 f x916y16 25z259 và 2x  3 1 15

Bài 2 Tìm các số x,y,z biết rằng

a) x y z : : 3: 4:5 và 5z2 3x2 2y2 594

b) 3x1 2y 2 ; 4 y 2 3z 3 và 2x3y z 50

c) 12 15 20 12 15 20

Bài 3 Tìm các số x,y,z biết :

a) x y 32 ; y z 57 và 2x 3y5z 1 b) 1 4 1 6 1 8

x

x

  d) 1 2 1 4 1 6

x

  e) 1 2 1 4 1 6

x

Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 10 6 21x  y z và 5x y  2z28 b) 3 4x y , 5 7y z và 2x3y z 124 c) 23x 34y 45z và x y z  49 d) 2 3x y và xy 54 e) 5 3x y và x2 y2 4 f) y z x 1z x y 1x y z 2  x y z

Bài 5: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x2 , 7y y5z và x y z  32 b) x21y3 2 z4 3 và 2x 3y z 50

c) 2x3y5z và x y z  95 d) 2 3 5x  y z và xyz 810

e) y z x 1z x y 2x y z 3x y z1

  f) 10x6y và 2x2 y2 28

Bài 6: Tìm các số x; y; z biết rằng:

a) x 7y 3 và 5x – 2y = 87; b) 19 21x y và 2x – y = 34;

b) x3 y3 z3

8 64 216 và x

2 + y2 + z2 = 14 c) 2x 1 3y 2 2x 3y 15  7  6x 

Bài 7: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.

Bài 8: Tìm các số x, y, z biết :

a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;

b) x + y = x : y = 3.(x – y)

Hướng dẫn:

a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.

b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y

Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3

Bài 9 Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và

bằng hai lần tổng của a và b ?

Hướng dẫn: Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.

Bài 10: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b   Biết a + b + c  0.Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

II/ DẠNG 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC

Để chứng minh tỉ lệ thức: B A D C ta thường dùng một số phương pháp sau:

Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A D = B.C

Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số B A và D C có cùng giá trị

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.

(*) Một số kiến thức cần chú ý:

+) a na (n 0)

b nb 

+)

+) a.b + a.c = a( b+ c) hoặc a.b - a.c = a( b - c)

(*) Một số ví dụ : ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức a b dc .Chứng minh rằng: a b c d

a b c d



Giải:

Cách 1: (Phương pháp 1)

Ta có: (a b c d )(  )ac ad bc bd   (1)

(a b c d )(  )ac ad bc bd   (2)

Từ giả thiết: a b d c ad bc (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: (a b c d )(  ) ( a b c d )(  )

 a b c d a b c d  

  (đpcm)

Cách 2: (Phương pháp 2)

Đặt a c k

b d  , suy ra a bk , c dk

6

Ta có: a b kb b b k a b kb b b k    (( 1)1)k k11

c d c d kd d kd d d k d k(( 1)1)k k11

Từ (1) và (2) suy ra: a b c d

a b c d



  (đpcm)

Cách 3: (phương pháp 3)

Từ giả thiết: a c a b

b d  c d

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a c  d b c d a b c d a b

   a b c d

a b c d



  (đpcm)

Hỏi: Đảo lại có đúng không ?

Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức a b dc Chứng minh rằng: ab a22 b22

cd c d







Giải:

Cách 1: Từ giả thiết: a b d c ad bc (1)

Ta có: ab c 2 d2 abc2 abd2 acbc adbd (2)

cd a 2 b2 a cd b cd acad bc bd2  2   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: ab c  2 d2  cd a  2 b2 ab a22 b22

cd c d



 (đpcm)

Cách 2: Đặt a c k

b d  , suy ra a bk ,c dk

Ta có: +) . 22 22

ab bk b kb b

cd dk d kd d (1)

2 2

1 ( )

b k



Từ (1) và (2) suy ra: ab a22 b22

cd c d





 (đpcm)

Cách 3: Từ giả thiết: 2 2 2 2

2 2 2 2

a c a b

b d c d

ab a b a b

cd c d c d





ab a22 b22

cd c d



 (đpcm)

Ví dụ 3: Cho tỉ lệ thức : a22 b22 ab





 Chứng minh rằng: ab dc

Giải

Ta có :







2

2

cd c cd d c d cd c d c d c d

1

dpcm

b d

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1 Cho tỉ lệ thức a b dc Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức sau ( với giả thiết các

tỉ số đều có nghĩa )

3 4 3 4



  c)

2 2 2

2 2



  d)

2

2 3

2 3





 e) 7 22 5 7 22 5



Bài 2 Cho a c 2b và 2bd c b d    ; b d , 0 Chứng minh rằng: a c

b d

Bài 3 Cho dãy tỉ số bằng nhau : 1 2 3 2014

2 3 4 2015

a a a a Chứng minh rằng :

2014

1 2 3 2014 1

2015 2 3 4 2015

a

   



   





a a

a a

a a  a a và a a1 2  a9 0 CMR: a1a2   a9

Bài 5 Cho a b dc các số , , ,x y z t thỏa mãn axyb0và zc td 0

Chứng minh rằng : xa yb xc yd

za tb zc td



Bài 6 Cho tỉ lệ thức 23a a137b b 23c c137d d

  Chứng minh rằng : a b dc

8

Bài 7: Cho tỉ lệ thức: a b dc Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)

1) 33a a55b b 33c c55d d

  2)

2 2 2

2 2

a b a b

c d c d



3) a b c d

a b c d



  4)  

2 2

a b ab

cd c d





 5) 23a a45b b23c c45d d

  6) 20062005c a 20072006d b 20052006c a 20062007d b

7) a b c d a  c

  8) 7 22 5 7 22 5



9) 7a22 3ab2 7c22 3cd2



Bài 8: Cho a b c

b c d  Chứng minh rằng:

3

a b c a

b c d d

 



 

Bài 9: Cho 2003 2004 2005a  b  c Chứng minh rằng: 4(a b b c )(  ) ( c a)2

Bài 10: Chứng minh rằng nếu : a b

b d thì

2 2

2 2

a b a

b d d







Bài 11: CMR: Nếu a2  bc thì a b c a

a b c a



  Đảo lại có đúng không?

Bài 12: Cho a b c d

a b c d



  Chứng minh rằng a b dc

Bài 13: Chứng minh rằng nếu: u u22v v33

  thì 2 3u v

Bài 14: Chứng minh rằng nếu (a y z )b z x(  )c x y(  ),trong đó a, b,c khác nhau

và khác 0 thì : ( ) ( ) ( )

a b c b c a c a b

Bài 15: Cho a b dc Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa yb 0 và zc td 0

Chứng minh rằng: xa yb xc yd

za tb zc td



Bài 16: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b2 ac c; 2 bd và b3c3d3 0 Chứng minh rằng: a33 b33 c33 a

b c d d



Bài 17: Cho

2 2

1 1 1

ax bx c P

a x b x c



  Chứng minh rằng nếu

1 1 1

a b c

a b c thì giá trị của P

không phụ thuộc vào x

Bài 18: Cho biết : a b' 1 ; b c' 1

a ' b   b' c   Chứng minh rằng: abc + a’b’c’ = 0.

Bài 19: Cho tỉ lệ thức: 2a 13b3a 7b 2c 13d3c 7d

  ; Chứng minh rằng: a c

b d .

Bài 20: Cho dãy tỉ số : bz cy cx az ay bx

a b c .

III/ DẠNG 3 : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

(*) Một số kiến thức cần chú ý:

- Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

- Tính chất của phân số

- Các công thức về lũy thừa

(*) Một số ví dụ :

Ví dụ 1 : Cho tỉ lệ thức 3x y x y 34

 Tính giá trị của tỉ số x y

Bài giải:

Cách 1 :

Từ 3x y x y 34

  4(3x – y) = 3(x+y)  12x – 4y = 3x + 3y

 12x – 3y = 3(x+y) 9x = 7y

Vậy x y  79

Cách 2: Từ 3x y x y 34



3 4 1

x y x y





10

Đặt x a

y   3a a11 34



7

9

Vậy x y 79

Ví dụ 2: Cho 2 3 4x  y z Tính giá trị của biểu thức Px y z y z x 

 

Cách 1:

Đặt 2 3 4x  y z = k  x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k  0)

P

 

 

Vậy P 53

Cách 2 :

Có 2 3 4x   y z

y z x  y z x  x y z  x y z 

5

y z x x y z y z x

x y z

  Vậy P 53

Ví dụ 3 : Cho dãy tỉ số bằng nhau b c d a a c d b a b d c b c a d

trị của biểu thức M a b b c c d d a

c d a d a b b c

Bài giải:

Từ b c d a a c d b a b d c b c a d

           

+) Xét a b c d    0 a b (c d b c );  (a d )

4

M

 

+) Xét a b c d   0 Từ (*) ta có :

b c d a c d a b d b c a          

4

a b c d

M

Ví dụ 4: Cho a , b ,c đôi một khác nhau và thỏa mãn a b b c c a

  Tính giá trị của biểu thức P 1 a b1 b c1 a c

Bài giải:

Từ a b b c c a

  a b 1 b c 1 c a 1

a b c a b c a b c

+) Xét a b c   0 a b c; a c b; b c a

1

P

+) Xét a b c  0 Từ (*) ta có :

8

a b c   P

Ví dụ 5 : Cho các số a;b;c khác 0 thỏa mãn a b b c c a ab  bc  ca

   Tính giá trị của biểu thức P ab23 bc32 ca3 2

a b c



Bài giải :

Với a b c , , 0 ta có : ab bc ca

a b b c c a    

1 1 1 1 1 1

a b b c c a

a b c

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

n

a a a a a (với a a1 2a n 0) Tính :

1 1

2

1 2

n

n

A





 ;

1 2

9

1 2

n

n

B







Bµi 2: Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ kh¸c 0 sao cho: a+b-c a-b+c -a+b+c= =

T×m gi¸ b»ng sè cña biÓu thøc: M (a+b)(b+c)(c+a)

abc



Bài 3: Cho 2008 số thoả mãn a1+a2+…+a2008  0 và 1 2 2007 2008

2 3 2008 1

a a

= = = =

Hãy tính giá trị của biểu thức:

1 2 2007 2008

2

1 2 2007 2008

a +a + a +a N=

(a +a + +a +a )

12

Bài 4: Cho 2 2

ax + bx + c

a x + b x + c Chứng minh rằng nếu

a b c

= =

a b c Thì giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của x

Bài 5: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d

TÝnh M a b b c c d d a

c d d a a b b c

Bài 6: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :

y z t nx  x z t x ny t x y nz  y    z x y z nt  t ( n là số tự nhiên)

và x + y + z + t = 2012 Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t

IV/ DẠNG 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ

BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TOÁN CHIA TỈ LỆ

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số

của nó chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3

Lời giải

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là abc , ( ĐK :a b c N, ,  *,1 a 9,0b c,  )9

1 a b c 27

    

9

abc abc

abc









 ( do 18=2.9 và ƯCLN(2;9)=1 ) +) Các chữ số của số cần tìm tỉ lệ với 1; 2; 3

Mà abc2 c2

=> a; b; c tỉ lệ với 1; 3; 2 hoặc a; b; c tỉ lệ với 3; 1; 2

1 2 3 1 2 3 6

a b c a b c a b c    a b c

Lại có abc ⋮ 9  a + b + c ⋮ 9

Mà 1   a b c 27 Nên a + b + c = 18

3

1 3 2

a b c

   

3 9 6

a b c













 (Thỏa mãn điều kiện)

+) Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; 2

9 3 6

a b c













 (Thỏa mãn điiều kiện) Vậy số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là 396; 936

Ví dụ 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh Nếu rút ở lớp 7A đi 14 số học sinh, rút ở lớp 7B đi 17 số học sinh, rút ở lớp 7C đi 13 học sinh thì số học sinh còn lại của cả

3 lớp bằng nhau Tính số học sinh mỗi lớp ban đầu

Lời giải

Gọi số học sinh ban đầu của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là x, y, z (học sinh)

ĐK:x y z N x y z, ,  *, , , 144

+) Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 144 học sinh  x y z  144

+) Nếu rút ở lớp 7A đi 1

4 học sinh, rút ở lớp 7B đi 1

7 học sinh, rút ở lớp 7C đi1

3

học sinh thì số học sinh còn lại của 3 lớp bằng nhau

Nên ta có 3 6 2

4x7 y3z

x y z x y z

z

 

  48

42 54

x

y

z













 

 (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh lúc đầu của các lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 48 học sinh, 42 học sinh,

54 học sinh

Ví dụ 3: Lớp 7A có 52 học sinh được chia làm ba tổ Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ

hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì số học sinh tổ một , hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2 Tìm số học sinh mỗi tổ

Lời giải

Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là x, y, z.(học sinh)

ĐK: x y z N x y z, ,  *, , , 52

+) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52

+) Nếu tổ một bớt đi 1 học sinh, tổ hai bớt đi 2 học sinh, tổ ba thêm vào 3 học sinh thì

số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; 2

Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3)

3 – 1 4 –

2 2 z

12

3

 – 1 – 2   

z 3

y-2

x z x y z 

14

1 16 17

    

(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba của lớp 7A lần lượt là 17 học sinh, 14 học sinh,

21 học sinh

Ví dụ 4: Tìm ba phân số có tổng bằng 3 3

70

 Biết tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 còn mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2

Lời giải

Gọi ba phân số cần tìm là a b , d c , g với e a b c d e g Z b d g, , , , ,  ; , , 0

Theo đầu bài ta có

a : c : e = 3:4 :5; b : d : g = 5: 1: 2 và b d g a c e 3703

+) a: c : e = 3 : 4 : 5 => a c e k3 4 5   với k Z

 a = 3k ,c = 4k , e = 5k

+) b : d : g = 5 : 1 : 2 => 5 1b d  g t2 với t Z t , 0

 b= 5t, d = t, g = 2t

+) a c b d g  e 3703 =>3 4 5 213

k k k

t t t



71 213

k

t

 =>k t 73

9

35

a

b



  , d c 127 , e g 1415

Vậy ba phân số cần tìm là 9

35

 , 12

7

 , 15 14



Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4 Ba chiều cao tương ứng với

ba cạnh tỉ lệ với ba số nào?

Lời giải

Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và , lần lượt là các chiều cao tương ứng

Diện tích của tam giác đó là: a h.2a b h.2b c h.2c

  => a = b = c (1) +) có a, b, c tỉ lệ với 2; 3; 4

=>

2 3 4

a b c k   (k o )

=> a = 2k, b = 3k v à c = 4k

(1) =>2k = 3k = 4k