NGUYEN ĐỨC TẤN (Chủ Biên) NGUYÊN ANH HOÀNG - NGUYÊN ĐỨC HỊA HUỲNH DUY THỦY- NGUN ĐỒN VŨ ` ĐỖ QUANG THANH- NGUYỄN TẤN SIÊNG G MINE THANG HANG _ BA BIỂ (Sách dùng cho học sinh Op | 7,8 9) A ae XS —-.- ` “=N h- rt NGUYÊN ĐỨC TẤN (hủ Biên) NGUYÊN ANH HOÀNG - NGUN ĐỨC HỊA HUỲNH DUY THỦY- NGUN ĐỒN VŨ ĐỒ QUANG THANH- NGUYÊN TẤN SIÊNG "ÁP A DIEM mine HẰNG _ (Sach dung ¢cho hoc sinh ‹ lớp 7,8, 9) NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NHÀ XUẤT BẢN Đại HỌC QUỐC GIđ Hà NỘI ló Hàng Chuối - Hơi Bỏ Trưng - Hờ Nội Điện †hooi ; Biên tập - Chế bỏn: (04) 39714896; Hành chính: (04) 39714899; Tổng biên tộp: (04) 39714897 Fax: (04) 39714899 Chịu trách nhiệm xuất Giám đốc - Tổng biên tộp : TS PHAM TH] TRAM Biên tộp : Ché ban " Trình bày bìa -: THANH HOA CƠNG TY KHANG VIỆT CÔNG TY KHANG VIỆT Tổng phát hành oà đối tác liên bết xuất bản: CÔNG TY TNHHMTV _ DỊCH VỤ VĂN HÓA KHANG VIỆT El Socom - 'comivn - Website: www -nhasachkhangviet, vn: ĐI SÁCH LIÊN KẾT s CAM NANG CHUNG MINH BA ĐIỂM THANG HANG (Sach dùng cho học sinh 7, 8, 9) Ma sé: 1L-507DH2013 Ma s6 ISBN: 978-604-934-734-4 In 2.000 cuốn, khổ 19x27 cm Tai: Cty TNHH MTV IN ẤN MAI THỊNH ĐỨC | Dia chi: 71, Kha Vạn Cân, P Hiệp Bình Chánh, Q Thú Đức, TP Hồ Chí Minh Số xuất bản: 1861 ~ 2013/CXB/05~ 257/DHQGHN ngày 11/12/2013 Quyết định xuất số: 519LK- -TN/QDB- -NXBĐHQGHN, cấp ngày 24/12/2013 In xong nộp lưu chiếu Quý | nam 2014 LOI NOI DAY Chắc hẳn có bạn đọc nói rằng: “Chứng ba điểm thẳng hàng nhiều chủ đề chứng minh hình học, viết riêng chủ để có nên chăng? Chúng tơi nhận thấy điều này, nhiên bạn phải đồng ý đề giải toán chứng minh ba điểm thẳng hàng cần phải có thật nhiều công cụ hỗ trợ: Chứng minh nhau, chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh hai đường thẳng vng góc, chứng minh ba đường thẳng đồng quy, chứng minh tứ giác nội tiếp, Hơn nữa, em học sinh thường lúng tứng, e ngại với đạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng Từ lí trên, với niềm đam mê, u thích Hình học, cộng thêm động viên bạn đồng nghiệp, mạnh dạn sưu tâm, biên soạn toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, thêm cố gắng “Xoay chuyển” toán chứng minh nhau, chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh hai đường thẳng vuông góc, thẳng tốn chứng minh ba điểm thẳng hàng để giới thiệu đến _ quý bạn đọc sách “CẨM NANG CHỨNG MÌNH BA ĐIỀM THẲNG HÀNG? (Sách dùng cho học sinh lớp 7, 8, 9) Quyển sách gồm có bốn phan PHAN 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG SỬ DỤNG VA CÁC BÀI TOÁN A CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG SỬ DỤNG (Nguyễn Đức Tấn -~ Đỗ Quang Thanh — Nguyễn Đức Hịa Nguyễn Anh Hồng —- Nguyễn Đồn Vũ) Phương pháp sử dụng góc “bù” PO RFR waar NG2 Phuong pháp sử dụng tiên đề đường thẳng song song Phương pháp sử dụng tiên đề đường thẳng vng góc Phương pháp sử dụng hai tia trùng - Phương pháp sử dụng hình Phương pháp thêm điểm CÁC BÀI TOÁN (Nguyễn Đức Tấn) Các toán lớp Các toán lớp Các toán lớp Các toán thi PHAN 2: CAC BAI TOÁN NỔI TIẾNG (Nguyễn Đức Tấn — Huynh Duy Thay) PHAN 3: CAC BAI TOAN CHON LOC Chương I: 123 Bài toán chọn lọc nhà giáo NGUN ĐỨC HỊA Chương II: 36 Bài tốn chọn lọc nhà giáo NGUYÊN ANH HOÀNG nhà giáo NGUN ĐỒN VŨ Chương IH: 36 Bài tốn chọn lọc nhà giáo DO QUANG THANH nhà giáo NGUYÊN TẤN SIÊNG Chương IV: Các giải pháp toán chọn lọc chứng nhà giáo HƯỲNH DUY THỦY minh ba điểm thẳng hàng PHAN PHU LUC: TAN MAN HINH HOC (NGUYEN BUC TAN) Bài viết 1: Phát lời giải khác tốn hình học, sáng tạo tốn Bài viết 2: Tơi có ngớ ngẩn khơng? Bài viết 3: Chun để hình học Bài viết 4: Tìm kiếm ứng dụng tứ giác nội tiếp Bài viết 5: Hãy toán quen thuộc Bài viết 6: Cứ ngỡ có! Bài viết 7: Bài tốn thật khó! Bài viết 8: Thú vị từ toán Bài viết 9: Trao đổi hai tốn hình học thi Vơ địch tốn quốc tế năm 2012 năm 20183 Bài viết 10: Phát bồi dưỡng học sinh giỏi toán từ việc phát triển tập sách giáo khoa Bài viết 11: Giải toán kì thi chọn học sinh giỏi Tốn T.H.P.T' Quốc gia, năm học 2012 — 2018 kiến thức T.H.C.S Bài viết 12: Bài toán chứng minh ba số số đo cạnh tam giác Chúng thực tin sách tài liệu tốn thiết thực giúp ích cho em học sinh việc chỉnh phục toán chứng minh ba điểm thẳng hàng tốn chứng minh hình học Trong sách chứng tơi có tham Hồng Chúng, Vũ Dương Thụy, Đang, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Dương Bửu Lộc, Trần Nam Dũng, Thái, Nguyễn Hữu Điển, Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Quốc Hán, Lê Hải Hữu Chín, , khảo sách, tạp chí, báo tốn tác giả: Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Đăng Phất, Nguyễn Bá Trần Văn Tấn, Đỗ Thanh Sơn, Quách Tú Chương, Nguyễn Văn Nho, Lê Khắc Bảo, Nguyễn Đã, Đã Đức Việt Hải, Vũ Hoàng Lâm, Hồ Quang Vinh, Nguyễn Châu, Nguyễn Khánh Nguyên, Thái Nhật Phượng, Vũ Chúng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý tác giả Đây đề tài khó nên chắn sách cịn có sai sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp từ bạn đọc để lần in sách hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Các tác giả Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Phần Á CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP a) Phương pháp sử dụng góc “bù” Dé chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng (trên hình vẽ nhận B nằm A C), chang ta chứng minh ABC = 180° b) Một sơ ví dụ Ví dụ 1: (Lớp 7) Cho tam giác ABC vuông A D điểm cạnh BC (D khác B, C) Vẽ điểm M cho AB Ia tia phân giác góc DAM, vẽ điểm N cho AC tia phân giác góc DAN Chung minh rang ba điểm M, A, N thẳng hàng Gợi ý: Chúng ta đễ nhận MAN = DAM+DAN thêm từ giả thiết cho ta BAD - : MAN, GAD = = DAN, BAC = 90° Gidp dé ching minh due MAN= 180° Loti giải Ta có BAD = : DAM (tia AB tia phân giác góc DAM) GAD = DAN (tia AC tia phân giác góc DAN) Do = DAM + = DAN - BAD +GAD Wik = 90 => 5Listy (DAM + DAN) = DAM + BAN= 909.2 Nén MAN = DAM+DAN = 180° Vay ba diém M, A, N thang hang Vi du 2: (Lép 7) Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C dung diém D cho BAD = 2BCA Gợi ý: Tam giác ABC Chứng minh ba điểm C, A, D thẳng hàng - cân A có ABC = ACB Tir d6, cho ta DAC = BAC + BAD = 180° AABC có BAC + ABG + ACB = 180° -Đời giải AABC cdn tai A (gt)=> ABC = ACB Do d6 BAC +2BCA = 180° Ma BAD = 2BCA (gt) Nên BAC + BAD = 180° nén BAC +2BCA D A = 180° Cẩm nang chứng minh ba điểm thẳng hàng - Nguyễn Đức Tấn Ta có ĐAO = BAC + BAD = 1800 Vậy ba điểm C, A, D thang hang Vị dụ 3: (Lớp 7) Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng d song song với BC Gọi M trung điểm cạnh AC, D điểm cạnh BC, E điểm đường thẳng đ cho E nằm mặt phẳng bờ AB có chứa C AE = CD Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng Gợi ý: Rất nhận hai tam giác MAE, MDC góc-canh) nên có AME Xét AMAE va AMCD = €MDvà (trường hợp cạnh-— BIÚp có DME = CMD+EMD = 180°, có: MA = MC (M trung điểm AC) AE = CD (gt) MAE = MCD (so le va d// BC) Do AMAE = AMCD (c.g.c) => AME = CMD B Ma AME +EMC = 180° (hai géc kể bù) Nên CMD + EMC = 180° Do d6 DME = GMD + EMD = 180° D Cc Vay ba diém D, M, E thang hang Vi du 4: (Lép 8) Cho tam giác ABC xứng điểm M vuông A M điểm cạnh BC Gọi D điểm đối qua đường thẳng AB, E điểm đối xứng điểm M qua đường thẳng AC Chứng minh D, A, E thẳng hàng Gợi ý: Vì D M đối xứng qua đường thẳng AB, E M đối xứng qua đường thẳng AC nên cho ta tam giác cân ADM Do có DAM = 2BAM, EAM (tai A), AME (tai A) = 2CAM Mặt khác BA = 90° nên giúp có DABE = 180° M D đối xứng với qua đường thẳng AB = AB đường trung trực đoạn thẳng DM = AADM cân A D A | Nén AB la đường phân giác góc DAM P Do đó: DAM = 2BAM Chứng minh tương tự có EAM = 2CAM B Ma BAM + CAM = BAG = 90° Do DAE = DAM + EAM = 2BAM + 2GAM | CAM) = 2.90° = 180° = 2(B+AM Vay ba diém D, A, E thang hang C M Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Vi du 5: (Lép 8) Cho hình vng ABCD Về phía hình vng vẽ tam giác CDM, phía ngồi hình vng vẽ tam giác BƠN Chứng minh ba điểm A, M, N thắng hàng Gợi ý: Dễ thấy tam giác cân DAM tai D, CMN tai C va ADM = 30°, MEN = 90° nên có AMD = 75", GMN = 45° Do vay AMN = 180° Lai giải Tứ giác ABCD hình vudng (gt) = AB = BC = CD = DA, ADC = BCD = 90° Mà ACDM déu (gt) => DM = CM = CD, DMC = MDC = MCD ABCN déu (gt) = 60° = BC = CN, BCN = 60° Mặt khác ADM + MDC = ADG nén ADM+ 60° = 90°, ADM = 30° ADAM cé DA = DM => ADAM can tai D M (= CD) D Vi ADM = 30° C Nén AMD = (180° - ADM) : = 75” Ma MCB + MCD = BCD Nén MCB + 60° = 90" = MCB = 30° Do d6 MCN = MCB + BCN = 30° + 60° = 90° _ AƠMN có CM = CN (= CD = BC) = ACMN cân C Vì MCN = 90° : Nên GMN = (180° - MCN): = 45° Ta cé: AMN = AMD +DMC+GMN Vay ba diém A, M, N thang hang = 75° + 60° + 45°= 180° Ví dụ 6: (Lớp 8) Cho tam giác ABC có B Ơ nhọn, đường cao AH Về phía ngồi tam giác ABC, vẽ tam giác vuông cân, tam giác ABD vuông cân A, tam giác ACE vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn thẳng DE Chứng minh ba điểm H, A, M thẳng hàng Gợi ý: Để chứng minh MARN = 180°, vẽ thêm điểm N điểm đối xứng D qua A Từ cho ta DAM = ANE, AABC = AANE nên có DAM = ABC Lat gidé Trên tia đối tia AD lấy điểm N cho AN = AD.ADEN có A, M trung điểm DN, DE = AM đường trung bình tam giác DEN Cẩm nang chứng minh ba điểm thẳng hàng — Nguyễn Đức Tấn = AM // NE = DAM = ANE Xét AABC va AANE cé: AC = AE (AACE vuông cân tai A), BAC = NAE (cing bù véi géc DAE), AB = AN (= AD) Do dé AABC = AANE (c.g.c) => ABC = ANE Vay DAM = ABC (= ANE) D ABAH vuéng tai H > ABC + BAH = 90° Do d6 MAH = DAM M E A +BAH+BAD = ABC + BAH + BAD = 90° + 90° = 180° Vay ba diém H, A, M thang hang Vi du 7: (Lép 9) B H C Cho hai đường tròn (O), (O') cất A, B Vẽ đường kính AOC đường trịn (O), vẽ đường kính AO'D đường trịn (O') Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng Gợi ý: Vì AC, AD đường bán kính đường trịn (O), (O') có BAC= 90°; ABD= 90° nhu vay GBD= 180° Chúng ta có lời giải tốn ©2‡ giải => ABC = 90° AABD nội tiếp đường trịn (O'), đường kính AD => AABD vuông B = ABD = 90° Ta cé: CBD = ABC + ABD = 90° + 90° = 180° Cc -_ Vậy ba diém C, B, D thang hang Vi du 8: (Lép 9) oO = AABC vuông B ni AABC nội tiếp đường tròn (O), đường kính AC Cho tam giác nhọn ABC Đường trịn đường kính BC cắt cạnh AB, AC F, E Gọi H giao điểm BE CF, D giao điểm AH BC, M điểm đối xứng điểm F qua đường thắng BC Chứng minh ba điểm E, D, M thẳng hàng Gợi ý: Dã thấy H trực tâm tam giác ABC nên có tứ giác nội tiếp BEHF, BAED giúp có ẾDF -2FDH Mặt khác F, M đối xứng qua BC nên có MDF = 2BDF Do vay sé cho ta MDE= 180° Lot giải Ta có BEC = BEG = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) AABC có BE, CF hai đường cao cắt tai H H trực tâm tam giác ABC, => ÀH đường cao tam giác ABC => AH BC Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Tứ giác BFHD có BFH + BDH = 90° + 90° = 180° => Tứ giác BFHD nội tiếp — BH = FDH Ta có tứ giác BAED nội tiếp = FBH = ADE Tacé ADE = FDH =FBH Vay EDF = 2FDH Mặt khác F M đối xứng qua BC = ADEM cân D có DB đường phân giác => MDF=2BDF M Tacé MDE = MDF +EDF = 2(BDF + FDH) = 2BDA = 180° Vay ba diém E, D, M thang hang Vi du 9: (Lép 9) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M điểm cung BC Không chứa điểm A Ve MD AB tai D, ME L BC B, MP L ÁC tạiF Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng Gợi ý: Chúng ta nhận DEF = DEM + MEF tứ giác nội tiếp BDEM, = DEM + DBM MECF, ABMC giúp đến = 180° Đường thẳng DE gọi đường thẳng Sim — son điểm M Đời giải BDM = BEM = 90° = Tứ giác BDEM néi tiép > DEM + DBM = 180° Tứ giác MECEF có baat Ma MCF = ABM (tứ giác ABMC nội tiếp) SW ead bens = Tứ giác MECF nội tiếp> MEF = MCF ate MEC+ MFC= 90° + 90° = 180° Taco MEF = DBM (= MCF) Do dé DEF = DEM + MEF = DEM + DBM = 180° Vậy ba điểm D, E, F thẳng hàng Vi du 10: Cho diém S nim ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (0) (A, B tiếp điểm) G điểm đoạn thẳng AB (GA > GB) I trung điểm GA Vẽ GH | AS tai H, GH cat OB K Vẽ đường tròn (J) qua 5S, I Vẽ đường kính SM đường trịn (J) Chứng minh ba điểm M, I, K thang hang we tee ans be oe ba Gợi ý: Đề chứng minh MIK = 180, tìm cách chứng minh SIM = 90° SIK = 90° Do cần tìm cách chứng mỉnh S, H, I, K, B thuộc đường trịn Lai gidi AHAG vng H, HI đường trung tuyến = TH = 1A Cẩm nang chúng minh ba điểm thẳng hàng - Nguyễn Đức Tấn = AIHA can tail > THA = IAH Ma YAH = SBI (- = 8d AB) Nén IHA = SBI— Tứ giác SHIB nội tiếp Ma SHK = SBK = 90° => Tứ giác SHKB nội tiếp Do dé S, H, I, K, B thuộc đường tròn = SIK = SHK = 90° Mà SIM = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Ta có MIR = SIM +SIR = 1801 Vậy M, I, K thẳng hàng PHƯƠNG PHÁP a) Phương pháp sử dụng tiên đề đường thẳng song song Sử dụng tiên để Ở-clit đường thẳng song song: Qua điểm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, chứng minh AB //m va AC // m (hoặc AB // m BC /m AC //m BC // m) b) Một sồ ví dụ Ví dụ 1: (Lớp Cho tam giác chứa Ở AD cho ME = 7) ABC Vẽ tam giác ABD cho D nằm nửa mặt phẳng bờ AB không // BC Gọi M trung điểm cạnh AC: Trên tia đối tia MB lấy điểm E MB Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng Gợi $: Hai tam giác MAE, MOB (trường hợp cạnh — góc — cạnh) cho ta hai góc MAE, MCB nên có AE, BC song song Mà AD, BC song song Chúng ta có hai đường thẳng AB, AD trùng Lei giải Xét AMARE AMCB có: MA = MC (M trung điểm AC) ME = MB (gt) AME = CMB (đối đỉnh) D A E Đo AMAE = AMCB (c.g.c) => MAE = MCB Ma MAE Nên AE va MCB so le XM ¬ BC Ta có AR / BC, AD // BC (gt) Theo đề Ở-clit ta có hai đường thẳng AE, AD trùng Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng / CE // AB Mặt khác CD 1: AC (AACD vuông C) ⁄ C AB L ÁC (AABC vuông À) => CD // AB D Ta cé CE // AB, CD // AB Theo tién dé O-clit ta có hai đường thẳng CE, CD tring Vay ba diém D, C, E thang hang Vi du 3: (Lép 7) Cho tam giác ABC cân tai A Cac điểm D, E cạnh AB, AC cho AD = AE Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE Trên tia đối tia MB lấy F cho ME = MB Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng Goi ý: Các tam giác cân ABC (tam giác ADE cân A) cho ta ADE = ABC, nhu có DE va BC song song với Mặt khác, từ M trung điểm EC BF giúp ta có AMEF = AMCB (c.g.e) nên MEE = MCB Vì có EF BC song song với Theo tiên đề O-clit cho ta hai dutng thang DE, DF tring Lot giai AABC can tai A (gt) > ABC = ACB AABC cé6 BAC + ABC + ACB = 180° Do dé 2ABC + BAC = 180° A (1) AADE cé AD = AE (gt) > AADE can tai A Tương tự có 2ADE+ BAC =180° — (2) Tir (1) va (2) c6 ABC = ADE Ma ABC va ADE déng vi D E F M ; C Cam nang chứng minh ba điểm thẳng nàng - Nguyễn Đức Tấn Do dé DE // BC Xét AMEF va AMCB cé ME = MC (gt), MF = MB (gt), EMF = BMC (đối đỉnh) _Do dé AMEF = AMCB (c.g.c) => MEF = MCB Ma MEF va MCB so le => EF / BC Ta cé DE // BC va EF // BC Theo tién dé O-clit cé DE va EF tring Vay D, E, F thang hang Ví dụ 4: (Lớp 8) Cho hinh thang ABCD (AB // CD) Goi M, N, K lan lượt trung điểm đoạn thẳng AD, BC, AC Chitng minh rang ba diém M,N, K thang hang Gợi ý: Vì có MK đường trung bình cửa tam giác ADC, MN đường trưng bình hình thang ABCD, có MN // CD va MK // CD -Đdi giải AADC có M, K trung điểm AD, AC (gt) = MK đường trung bình tam giác ADC => MK / CD Hình thang ABCD (AB /⁄ CD) có M, N lân lượt trung điểm AD, BC (gt) K = MN đường trung bình hình thang ABCD => MN // CD D C Vi MN // CD, MK // CD Theo tiên đề Ơ-clít ta có M, N, K thang hang Vi du 5: (Lép 8) Cho tam giác ABC cân A Từ điểm D đáy BC vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt đường thẳng AB, AC E, F Vẽ hình chữ nhật BDEG, CDFH Chứng minh A, G, H thắng hàng | | Gợi §: Gọi I, K tâm hình chữ nhật BDEG, CDFH Từ tìm cách chứng minh GA // IK tương tự có AH / OK Do hai đường thắng GA, AH trùng Lai giác E H Goi I, K tâm hình chữ nhật BDEG, CDFH AABC cân A (gt)= ÄBC = ÁCB Hình chữ nhật BDEG, A tam I => IB = ID = AIBD can tail > IBD = IDB G | K Tuong tu KDC = KCD Do dé IBD = IDB = KDC = KCD IBD = KDC va vi tri déng vim AI // KD 10 | I SỐ Cc © Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt IDB = KCD va vi tri déng vim ID // AK Ta có AT / KD; ID / AK => Tứ giác AIDK hình bình hành = JD = AI ma GI = ID Nén GI = AK Ta cd GI = AK, GI // AK => Tứ giác IGAK hình bình hành > GA // IK Chứng minh tương tự có AH /IK Ta có GA /IK, AH // IK theo tiên để Ở-clit có hai đường thẳng GA, AH trùng Vậy ba điểm A, G, H thẳng hàng Ví dụ 6: (Lớp 8) Cho tam giác ABC, D điểm nằm B C Gọi E, F trung điểm đoạn thẳng BD, CD I điểm đoạn thẳng AE, M giao điểm BI AD, N giao điểm DI AB, K giao điểm CM AF, § giao điểm DK AC Chứng minh ba điểm M, N, S thang hang Gợi ý: Gọi J điểm đối xting via I qua E Giup ta có tứ giác BIDở hình bình hành => vay BI va JD song song với BJ ID song song với Vận dụng định lí Ta-lét, định lí Ta-lét đảo từ có MN, BD song song với Goi J 1a diém đối xứng I qua E Ta có tứ giác BIDd hình bình hành (vì E trung điểm BD va IJ) => BI // JD; BJ // ID AABở có BJ/NI ÂX _ AI AB Ad AADJ c6 ID / MI — AM _ Al AD AJ AABD có ` An st) AB AD\ AJ = MN // BD (định lí Ta-lét đảo) Chứng minh tương tự có MS // CD Ta có MN / BC MS // BC, theo tiên để DF Ơ-clít có M, N, S thẳng hàng Ví dụ 7: (Lớp 9) Cho hai đường trịn (O), (') cát A, B Vẽ hình bình hành OAƠC, AD đường kính đường tròn (O') Chứng minh C, B, D thẳng hang Gợi $: Gọi I, K giao điểm OOƠ' với AB, AC Chứng minh KI, KO đường trung bình tam giác ABC, ACD giúp có lời giải toán 6đ giải Goi I, K giao điểm OO' với AB, AC Tứ giác OAỚC hình bình hành (gt) = K trung điểm ÁC 11 Cẩm nang chứng minh ba điểm thẳng hàng ~ Nguyễn Đức Tấn (O), (O') cắt A, B = OƠ' đường trung trực đoạn thẳng AB =~ trung điểm AB AAB© có K, I trung điểm AC, AB = Ki đường trung bình tam giác ABC I = BC / KI AACD có K, Ở trung điểm AC, AD = KO’ la đường trung bình tam giác ACD => CD // KO’ Ta có CD / KO’, CB // KO’ Theo tiên đề Ơ_-clít có C, B, D thẳng hàng Ví dụ 8: (Lớp 9) Cho hai đường tròn (O), (O') cắt A, B Vẽ cát tuyến CAD, EBF (C, E thuộc (O), B, F thuéc (0°), C va D thuộc nửa mặt phẳng bờ EF) Vẽ hình bình hành EDEFG Chứng minh ba điểm C, E, G thẳng hàng Gợi ý: Chúng ta có EDFG hình bình hành nên có RE / DF, để có C, E,G thẳng hàng cân chứng minh thêm CE, DỀ song song với nhau, tứ giác nội tiếp ABEC, ABFD sé giúp có điều -02‡ giải Nối A với B Ta có ECA = ABF (ti gidc ABEC néi tiếp) Và ẤDF = ABE (tứ giác ABFD nội tiếp) Ma ABF + ABE = 180° (ké bu) / | E Do ECA + ADF = 180° = CE // DF C | A XÃ oo B ° |} : G Ta c6 CE // DF, EG // DF (tứ giác EDFG hình bình hành) Theo tiên dé O-clit c6 ba diém C, E, G thang hang Vi du 9: (Lép 9) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I.là tam đường tròn nội tiếp tam giác ABC AI cắt đường tròn (O)ở D Gọi E, F điểm cung AB (khơng chứa C), AC (không chứa B), M giao điểm DE AB, N giao điểm DF AC Chứng minh M, I, N thắng hàng Gợi ý: Dã nhận thấy DB = DI = DC, DM DN tia phân giác góc ADB, ADC Ty có tam giác cân MBI (tai M), NIC (tại N) Giúp có MI, NI song song với BC ‹Êz¿ giải tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC => BD=CD > BD=CD Taco DIB = ABI+ BAY DBI = CBI+ GBD 12 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Mà ABi - GBI, BAT = GBD( BD - GD) Do dé DIB = DBI => BD = Dĩ => ADBI cân taiD mm Vậy BD = BI = CD E = AE) Ta có BDM = ADM(B AĐBI cân D, DM E đường phân giác => DM đường trung trực — —— = MB = MI => AMBI can tai I = MIB = MBI Ta cé MIB = IBC (= MBD = MI / BC Chứng minh tương tự có IN / BC BÁC Cc ⁄ NN D 'Ta có Mi / BC IN / BC Theo tiên dé Ơ-clít có M, 1, Ví dụ 10: thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC, cạnh AC lấy điểm D Gọi O, O¡, O¿ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ABD, BCD Gọi M, N, K giao điểm cia OO, với AB, O¡Os; với BD, OO¿ với BC Chứng minh ba điểm M, N, K thẳng hàng Gợi ý: Tìm cách chứng minh MN, MK đường trung bình tam giác ABD, ABC Do vay cé MN, MK cing song song véi AC Đời giải Hai đường tròn (O) (O) cắt A, B = ©O); đường trung trực AB = M hà trung điểm AB A Tương tự có N trung điểm BD, K trung điểm Bế AABD có M, N trung điểm AB, BD => MN đường trung bình tam giác ABD => MN // AD Tương tự MK đường trung bình tam giác ABC => MK // AC B Ä í Ta cé MN // AC va MK / AC Theo tiên dé Ơ-clít ta có hai đường thắng MN, MK trùng Vay M, N, K thang hang PHUONG PHAP a) Phương pháp sử dựng tiên đề đường thẳng vng góc Sử dụng tiên đề đường thẳng vng góc Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước Dé chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, chứng minh AB L d AC d (hoặc AB d BC L d AC L d BC đ) 13 Cẩm nang chứng minh ba điểm thẳng hàng — Nguyễn Đức Tấn b) Một sồ ví dụ Ví dụ 1: (Lớp 7) Cho tam giác ABC cân A, AD đường trung tuyến Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tam giác DCE vuông D Chứng minh A, D, E thẳng hàng Gợi ý: Tam giác ABC cân A có AD đường trung tuyến nên đường cao nên AD LBC Mà có DE L BC Vì có hai đường thẳng AD, AE trùng Let giải AABC cân A (gt) A AD đường trung tuyến (gt) = AD đường cao tam giác ABC =ADLI BC - Ma DE BC (ADCE vuông D) Do hai đường thẳng AD, DE trùng Vay A, D, E thang hang | B | D c | E Lư Ví dụ 2: (Lớp 7) Cho tam giác ABC có AB = ð, AC = 12, BC = 13 Vẽ tam giác ACD CD = 20 Chứng minh B, A, D thẳng hàng cho AD = 16, Gợi ý: Từ số “ð, 12, 18”; “16, 20, 12” giúp ta nghĩ đến tam giác vuông ABC (tai A), ACD (tai A) từ định lí Py—ta-go đảo D LE“ gia Ta có AB + AC? = 5? + 12? = 169 BC’ = 137 = 169 Nén AB’ + AC? = BC? AABC có AB” + AC” = BC? = AABC vng Ấ (định lí Py-ta-go đảo) => AB L AC Tương tự: AACD cé: AC? + AD?= CD?= (400) = AACD vuông tai A (dinh li Py-ta—go dao) => AD + AC Ta có AB L AC AD ÁC C B = Hai đường thắng AB, AD trùng Vậy ba điểm B, A, D thẳng hang Vi du 3: (Lép 7) Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác ABC cắt cạnh AC D Trên cạnh BC lấy E cho BE = AB Đường thẳng qua C vng góc với BD cắt AB F Chứng minh D, E, F thẳng hàng Gợi ý: Dễ nhận thấy hai tam giác ABD, EBD (trường hợp cạnh — góc — canh) nén cé BAD = BED = 90° Suy DE vng góc BƠ Mặt khác D trực tâm tam giác FBC nên có DF vng góc với BƠ Ta có lời giải tốn Lat giải Xét AABD AEBD có AB = BE (gt), ABD = EBD (BD tia phân giác góc ABC), BD (cạnh chưng) 14 Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt Do AABD = AEBD (c.g.c) > BAD = BED Ma BAD = 90° (gt) L BC = 90° = DE Nên BED Ạ Mặt khác AFBC có CA, BD hai đường cao cắt D (BD L AC (gt), CA L AB (gt)) A Nân D trực tâm tam giác FBC D = DF ! BC Ta có DE L BC, DF ¡ BC => Hai đường thẳng DE, DF trùng C B Vậy ba điểm D, E, F thẳng hàng Ví dụ 4: (Lớp 8) Cho tam giác ABC cân A, đường cao BD CE cắt H Đường thẳng qua B song song với AC cắt đường thẳng qua C song song với AB F Chứng minh ba điểm A, H, F thẳng hàng Gợi ý: Chúng ta dé phát tứ giác ABFC hình thoi nên có AF' vng góc với BC Mà H trực tâm tam giác ABC nên cịn có AH vng góc với BC Chúng ta có lời giải toán LOE giải A Xét AABC có BD, CE hai đường cao cắt tai H (gt) => H trực tâm tam giác ABC > AH đường cao tam giác ABC => AH E D H BC Tứ giác ABFC có AB / CF (gt) va AC // BF (gt) nên ABFC hình bình hành Mà AB = AC (gt) Do ABFC hình thoi => AF BC, ° Tacé AF | BC, AH BC Vay A, H, F thang hang Vi du 5: (Lép 8) ' F Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE cắt H M điểm tia đối tia BC, N điểm nằm tia đối CB Đường thẳng qua M vng góc với AN cắt đường thẳng qua N vng góc với AM K Chứng minh K, A, H thẳng hàng Gợi ý: Dã phát H, A trực tâm tam giác ABC, KMN Xét AABC có: BD, CE hai đường cao cắt H (BD L ÁC, CE AB) = H trực tâm tam giác ABC =› AH đường cao tam giác ABC => AH LBC 15 Cẩm nang chứng minh ba điểm thẳng hàng - Nguyễn Đức Tấn Xét AKMN có MA, NA hai đường cao cắt A (MA KN, NA | KM) = A trực tâm tam giác KMN = KA đường cao tam giác KMN => KA1 BC Ta có KA | BC va AH i BC Vay ba diém K, A, H thang hang Ví dụ 6: (Lớp 8) Cho tam giác ABC Về phía ngồi tam giác ABC vẽ hình vng ABDE, ACFG hình bình hành EAKG Goi H giao điểm BF CD, I giao điểm KA BC Chứng minh K, H,I thẳng hang Gợi ý: Chúng ta cần tìm cách chứng minh KH I BC KI BC Các cặp tam giác (ABAK= AABC AAKC = ACBEF) giúp đến với lời giải toán Gọi M giao điểm BF va CK Ta có KEA + BAG = 180° (vi EK // AG), BAG + EAG = 180° Nén KEA = BAC Xét AEAK va AABC _ BA = AB, KEA = BAG, EK = AC (= AG) Do dé AEAK = AABC (c.g.c)> BAK = ABC, AK = BC Ta có: | ABG + BAI = EAK + BAI = 180° - BAE = 180°- 90°=90° Nén BIA = 90° = KI i BC Xét AAKC ACBF D Có AK = BC, AC = CF; KAG = BCF (= 90°+ ACB) Do dé AAKC = ACBF (c.g.c) > ACK = CFB Nén CFB + MCF = 90° => GMF = 90° = BM KC Tương tự có CD KB AKBC có BM, CD hai đường cao cắt H = H trực tâm tam giác KBC =› KH đường cao tam giác KBC Ta có KH L BC KI ! BC KH L BC Vay K, H, I thang hang Ví dụ 7: (Lớp 9) Cho tam giác nhọn ABC, đường cao BD CE cắt H Đường trịn đường kính BH cắt BC K (K khác B) Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Gợi ý: Từ đường trịn đường kính BH giúp có KH L BC 16 -