Chương iii bài 1 giới hạn dãy số cánh diều thpt số 1 văn bàn phản biện thpt số 2 văn bàn

Đánh giá, nhận xét, tổng hợp - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất.. Động viên các học sinh còn lại tí

Trang 1

KẾ HOẠCH BÀI DẠY TÊN BÀI DẠY: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán; lớp: 11

Thời gian thực hiện: (03 tiết)

I Mục tiêu

1 Về kiến thức:

- Nhận biết được khái niệm giới hạn của dãy số

- Giải thích được một số giới hạn cơ bản như:

1

k

n



với c là hằng số

- Vận dụng được các phép toán giới hạn dãy số để tìm giới hạn của một số dãy số đơn giản

- Tính được tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng được kết quả đó để giải quyết một số tình huống thực tiễn giả định hoặc liên quan đến thực tiễn

2 Về năng lực:

- Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập; tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót

- Năng lực giải quyết vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc đặt ra câu

hỏi Phân tích được các tình huống trong học tập

- Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm vụ cụ thể cho từng thành

viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao

- Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động

nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp

- Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ Toán học

3 Về phẩm chất:

- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần trách

nhiệm hợp tác xây dựng cao

- Chăm chỉ tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV

- Năng động, trung thựcsáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen,

có tinh thần hợp tác xây dựng cao

- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ

II Thiết bị dạy học và học liệu

- Kế hoạch bài dạy, SGK, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu…

Trang 2

III Tiến trình dạy học

Tiết 1.

1 Hoạt động 1: Khởi động

a) Mục tiêu: Tạo tâm thế học tập cho học sinh, giúp các em ý thức được nhiệm vụ học tập,

sự cần thiết phải tìm hiểu về các vấn đề đã nêu ra, từ đó gây được hứng thú với việc học bài

mới

b) Nội dung: Zé non (Zê-nông, 496-429 trước công nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở

thành phố Edée đã phát biểu nghịch lý như sau: Achille(A-sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân chạy nhanh như gió” đuổi theo một con ruaftreen một đường thẳng Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm cách Achille một khoảng bằng a khác 0

Khi Achille chạy đến vị trí rùa xuất phát thì rùa chạy về phía trước khột khoảng ( Hình 1) Quá trình này tiếp tục vô hạn Vì thế, Achille không bao giờ đuổi kịp rùa

Trên thực tế, Achille không đuổi kịp rùa có đúng không?

c) Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh

d) Tổ chức thực hiện:

Thực hiện

- HS quan sát

- HS tìm câu trả lời

- Mong đợi: Kích thích sự tò mò của HS : + Huy động các kiến thức đã học để trả lời câu hỏi

Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận

Đánh giá, nhận xét,

tổng hợp

- GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời của học sinh, ghi nhận

và tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt nhất Động viên các học sinh còn lại tích cực, cố gắng hơn trong các hoạt động học tiếp theo

- Dẫn dắt vào bài mới Giới hạn hữu hạn của hàm số có thể giải thích

được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng Trong bài học ngày hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về điều đó

Trang 3

2 Hoạt động 2: Hình thành kiến thức mới

I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1.ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 2.1 Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn 0

a) Mục tiêu: Nhận biết được định nghĩa dãy số có giới hạn 0

b) Nội dung:

* HĐ.1- Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số u n với u n 1

n

 trên hệ trục tọa độ

Hình 2

a Nhận xét về sự thay đổi các giá trị u khi n n ngày càng lớn.

b Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng u nào của dãy số thì khoảng cách từ n u đến 0 nhỏ hơn 0,001?0,0001? n

Lời giải.

a) K/c từ u tới n 0 càng nhỏ khi n càng lớn

b) Từ số hạng thứ 101 trở đi

Từ số hạng thứ 1001 trở đi

*Định nghĩa 1: Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn 0 như sau:

Dãy số u n có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé

tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu nlimu n 0

  

*Chú ý: Ngoài kí hiệu nlimu n 0

  

, ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: limu  hay n 0 u  khi n 0

n  

Trang 4

+) ta có:

1

n  .

+) lim 0 0;

+)

1

n  .

c) Sản phẩm: Học sinh trả lời được câu hỏi hoạt động SGK.

d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đôi

Cho học sinh trả lời các câu hỏi của hoạt động 1

Thực hiện

- Tìm câu trả lời

- HS làm việc cặp đôi theo bàn

-Mong đợi

a) K/c từ u tới n 0 càng nhỏ khi n càng lớn b) Từ số hạng thứ 101 trở đi

Từ số hạng thứ 1001 trở đi

Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, các nhóm còn lại theo dõi thảo luận.

tổng hợp

- Chốt kiến thức dẫn dắt đến định nghĩa

Hoạt động 2.2 Tìm hiểu định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

a) Mục tiêu: Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn

b) Nội dung:

*HĐ 2 Cho dãy số u n , với u n 2 1

n

 

Tính lim n 2

  

Giải

Ta có: lim n 2 lim 1 0

n

      

.

Vì thế dãy u n tiến tới 2 khi n dần tới vô cực.

*Định nghĩa 2: Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn như sau:

Dãy số u n có giới hạn hữu hạn là akhi ndần tới dương vô cực nếu

   

, kí hiệu nlimu n a

  

*Chú ý:

Ngoài kí hiệu nlimu n a

  

ta cũng sử dụng các kí hiệu như sau: limu n  haya n

u  a khi n  

Trang 5

* Ví dụ 2 Chứng minh rằng:

a) lim c c , với c là hằng số;

b)

n





Lời giải.

a) Do limc c  lim 0 0

nên theo định nghĩa về dãy số có giới hạn hữu hạn, ta có:

lim c c

b) Do



n





*Luyện tập 2: Chứng minh rằng

n



Lời giải.

Do lim4 1  4 lim1 0

n



*Chú ý:

-Một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất

-Không phải dãy số nào cũng có giới hạn, chẳng hạn như dãy số u n với

 1n

n

u   .

2 Một số giới hạn cơ bản

Ta có thể chứng tỏ được các giới hạn sau :

a)

1

n  ;

1 lim k 0

n  với k là số nguyên dương cho trước;

b) lim 0

c

n  ; lim k 0

c

n  với clà hằng số, k là số nguyên dương cho trước;

c) Nếu q 1 thì lim n 0

q  ;

d) Dãy số u n với

1 1

n n

u

n

  

  có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e, 1

lim 1

n e

n

Một giá trị gần đúng của e là 2, 718281828459045

*Ví dụ 3 Chứng minh rằng

1

2

n

Lời giải.

Do

1

nên

1

2

n

*Luyện tập 3 Chứng minh rằng

n e



 



 

 

Trang 6

Lời giải.

Do

1

e e

nên

n e



 



 

 

c) Sản phẩm: Học sinh trả lời được câu hỏi hoạt động SGK.

Chuyển giao

+ GV: Cho dãy số u n, với u n 2 1

n

 

Tính lim  n 2

  

+ Gọi học sinh nêu định nghĩa và tính chất

+ Yêu cầu học sinh đọc ví dụ 2 và làm luyện tập 2

+Cho học sinh nêu chú ý và một số giới hạn cơ bản

+Yêu cầu học sinh đọc ví dụ 3 và làm luyện tập 3

tổng hợp

- Chốt kiến thức dẫn dắt đến định nghĩa

II ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Hoạt động 2.3 Hình thành định lí giới hạn hữu hạn.

a) Mục tiêu: Hình thành định lí giới hạn hữu hạn của dãy số:

b) Nội dung:

* HĐ.3 Cho hai dãy số    u n , v n

với

a) Tính lim , limu n v n

b) Tính limu n v n

và so sánh giá trị đó với tổng limu n limv n

c) Tính limu v n n và so sánh giá trị đó với tíchlimu n  limv n.

Giải a) Ta có : limu n 8,limv n 4.

b) Ta có :limu n v n 12 ; limu nlimv n 12 Suy ra:limu n v n limu nlimv n

c) Ta có : limu v n n 32 ; limu n  limv n 32 Suy ra: limu v n n  limu n  limv n

1 Định lí : Ta có định lí về giới hạn hữu hạn của một tổng, của một hiệu, của một tích, của một

thương và của một căn thức như sau :

a) Nếu limu n a,limv n  thì: b

Trang 7

limu n v n  a b;

limu n  v n  a b

limu v n n a b ;

lim n  0, 0

n n

u a

v b   .

b) Nếu u  với mọi n 0 n và limu n  thì a a  và lim0 u n  a

*Ví dụ 4 Tính các giới hạn sau:

1

n



b)

lim n ;

n



c)

4n

n

Lời giải.

b)

c)

4 4

n n

*Luyệ tập 4 Tính các giới hạn sau:

a)

2 2

8 lim n n;

n



b)

2 4

n



Lời giải

a)

2 2

8 lim n n8

n

b)

2 4 lim n 1

c) Sản phẩm: Kết quả của hoạt động.

Cho hai dãy số u n  , v n với u n 8 1;v n 4 2

a) Tính lim , limu n v n

Trang 8

b) Tính limu n v n

và so sánh giá trị đó với tổng limu n limv n

c) Tính limu v n n và so sánh giá trị đó với tổng

limu n  limv n. +; Yêu cầu học sinh nêu định lí

+; HS Đọc ví dụ 4 và làm câu hỏi luyện tập 4

tổng hợp

- Chốt kiến thức dẫn dắt đến định lí:

Tiết 2

III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Hoạt động 2.4: Hình thành công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

a) Mục tiêu: Nhận ra được cấp số nhân lùi vô hạn, nhớ được công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn, áp dụng tính được tổng cụ thể

b) Nội dung:

*HĐ.4 a)nhận xét gì về công bội q của các dãy số này, so sánh q với -1 và 1.

+ Dãy số

, , , , ,

2 4 8 2n

+ Dãy số

1

1, , , , ,( ) ,

n

b) Cho cấp số nhân:

, , , , ,

2 4 8 2n

TínhS n u1u2 u n Từ đó, hãy tính limS n

Giải

a)

+ Dãy số thứ nhất có công bội

1 2

q 

+ Dãy số thứ hai có công bội

1 3

q 

+ Cả hai dãy số đều có công bội q thoả : 1 q1

Trang 9

b)

1

1 2

1

2

  



  

   

n n

u q

q

 

  



  

n

S

* Ta nói  u n là cấp số nhân lùi vô hạn và lim S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó. n

Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Cấp số nhân vô hạnu u q1, 1 , ,u q1 n1,

có công bội q thỏa mãn q 1được gọi là cấp

số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là:

1 1 1

1

q



T       

Giải

Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân có  u n

, có u  , 1 1 q 13 nên

1

3

n



*Luyện tập 5 Tính tổng

1 2

n M



       

Giải

Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân có  u n , có u  , 1 1 q 12 nên

1 2

1

2



n M

*Ví dụ 6 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0, 3  dưới dạng phân số.

Giải

Ta có

3

1

10

n



Trang 10

*Luyện tập 6 Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng.

Chiếu vi deo: https://www.youtube.com/watch?v=e1vtZ9aj-cI (Nghịch Lý ZENO: Cuộc đua giữa A-sin và Rùa)

c) Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh (hoặc kết quả hoạt động nhóm của học sinh)

Chuyển giao

- GV: Chia nhóm và cho các nhóm trả lời câu hỏi

a) nhận xét gì về công bội q của các dãy số này

+ Dãy số

, , , , ,

2 4 8 2n

+ Dãy số

1



n

b) Cho cấp số nhân:

, , , , ,

2 4 8 2n

TínhS n u1u2 u n

Từ đó, hãy tính limS n

- GV: Cho học sinh nêu công thức tổng của cấp số nhân lùi

vô hạn

- Yêu cầu học sinh đọc ví dụ 5, ví dụ 6 thảo luận làm luyện tập 5, luyện tập 6

tổng hợp

- Chốt kiến thức dẫn dắt đến định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn

IV.Giới hạn vô cực

Hoạt động 2.5: Hình thành kiến thức giới hạn vô cực.

a) Mục tiêu: Nắm được công thức tính giới hạn vô cực

b) Nội dung:

*HD.5 Quan sát dãy số  u n với 2

n

u n và cho biết giá trị của u có thể lớn hơn số dương n

bất kỳ hay không kể từ số hạng nào đó trở đi ?

*khái niệm:

Ta thấy u có thể lớn hơn một só dương bất kỳ kể từ một số hạng nào đó n trở đi.

Ta nói dãy u n

có giới hạn  khi n  

Trang 11

● Ta nói dãy u n có giới hạn  khi n   , nếu u có thể lớn hơn một số dương n

bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu nlimu n

  

hay limu  n

hay u   khi n   n

● Ta nói dãy u n có giới hạn   khi n   , nếu lim n

   

Kí hiệu nlimu n

   

hay limu   n hay u    khi n   n

*Ví dụ 7 Chứng tỏ rằng lim n 2 dưới dạng phân số

Giải

Xét dãy số  u n ,u n n2

Với M là số dương bất kì, ta thấy : u n M  n2 M  n M

Vậy với các số tự nhiên n M thì u n M Do đó , lim n 2

*Luyện tập 7 Tính limn3

Giải

lim n  

*Nhận xét.

● limn  k với k là số nguyên dương cho trước.

● limq  với n q 1 là số thực cho trước.

● Nếu limu n  và lima v  (hoặc lim n v   ) thì n lim 0

n n

u

v 

● Nếu limu n a a,  và lim0 v n 0,v n  với mọi n thì 0 lim

n n

u

v .

● limu n   limu n  

*Ví dụ 8 Chứng tỏ rằng

lim 2

n e

 



 

Giải

Do 2 1

e

 nên

lim 2

n e

 



 

*Luyện tập 8 Chứng tỏ rằng 2

1

n





Giải

c) Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh (hoặc kết quả hoạt động nhóm của học sinh)

Trang 12

Chuyển giao

- GV: Chia nhóm và cho các nhóm trả lời câu hỏi

Quan sát dãy số  u n

với u n n2và cho biết giá trị của u có n

thể lớn hơn số dương bất kỳ hay không kể từ số hạng nào đó trở đi ?

- GV: Yêu cầu học sinh nêu khái niệm

- Yêu cầu học sinh đọc ví dụ 7, ví dụ 8 thảo luận làm luyện tập 7, luyện tập 8

- Nêu nhận xét? SGK

tổng hợp

- Chốt kiến thức

Tiết 3

Hoạt động 3: Luyện tập

a) Mục tiêu: Vận dụng kiến thức giới hạn dãy số giải được các dạng toán cơ bản SGK b) Nội dung:

Bài tập 1: Cho hai dãy số    u n , v n với 2

Tính các giới hạn sau : a) lim ,limu n v n

b) lim ,lim ,lim ,lim n

n

u

v

Giải

a) limu n3,limv n 5

b)

5

n

u

Bài tập 2: Tính các giới hạn sau :

a)

lim

2

n n



; b)

2 2

lim

n

 ; c)

2 5 3 lim

n

d)

1 lim 2

3n



  ; e)

lim 4.3

n n n



; g)

1 2 lim

3n n

;

Giải

a)

lim





n

n ; b)

2 2

lim





n ; c)

lim





Tiêu đề	Giới hạn của dãy số
Người hướng dẫn	Nguyễn Giang Biên
Trường học	Trường THPT số 1 Văn Bàn
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Kế hoạch bài dạy
Thành phố	Văn Bàn

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	0,98 MB