Hh9 cđ6 chứng minh tiếp tuyến đường tròn 2

a Vì B và C thuộc O nên OB OC= ⇒Onằm trên đường trung trực của BC + Vì ABvà AClà hai tiếp tuyến tại B và Ccủa O nênAB AC= tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau Suy ra A thuộc đường trung t

Dạng 3: Bài toán tổng hợp: chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, tiếp tuyến, đẳng thức tích,

a) Vì B và C thuộc ( )O nên OB OC= ⇒Onằm trên đường trung trực của BC

+ Vì ABvà AClà hai tiếp tuyến tại B và Ccủa ( )O nênAB AC= (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC

Suy ra đường thẳng AO là đường trung trực của BC ⇒ AO BC⊥

Cho đường tròn tâm O bán kính Rvà một

điểm Mnằm ngoài đường tròn Qua M kẻ

tiếp tuyến MA với đường tròn (Mlà tiếp

điểm) Tia Mx nằm giữa MA vàMO cắt

đường tròn (O R; ) tại hai điểm C và D(C

nằm giữa M và ) Gọi I là trung điểm của dây

CD, kẻ AHvuông góc với MOtại H

A

O M

D

b) Chứng minh: Bốn điểm M A I O, , , cùng

thuộc một đường tròn

c) Gọi K là giao điểm của OIvới HA Chứng

minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O R; )

⇒ thuộc đường tròn đường kính OM

Hay bốn điểm M A I O, , , cùng thuộc một đường tròn ( đpcm)

Cho nửa đường tròn tâm ( )O , đường kính AB

Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn

cùng phía đối vớiAB Từ M trên nửa đường

tròn (M khác A B, ) vẽ tiếp tuyến với nửa

đường tròn, cắt Ax và By lần lượt tại C và D

M

b) Chứng minh MC MD OM =

c) Cho biết OC BA= = 2R Tính AC và

BD theo R

Lời giải

a) Chứng minh COD là tam giác vuông

+ Vì CA và CM là hai tiếp tuyến tại A và Mcủa ( )O nên OClà tia phân giác của AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Vì DB và DM là hai tiếp tuyến tạiBvàM của ( )O nên OD là tia phân giác của DOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Mà AOM và DOM là hai góc kề bù nên OC và OD vuông góc với nhau

b) Chứng minh MC MD OM = 2

+ Vì OC và OD vuông góc với nhau nên ∆COD vuông tại O

+ Vì CDlà tiếp tuyến tạiM của ( )O nên OM CD⊥

+ Xét ∆CODvuông tại O, OM CD⊥ tại M ta có: MC MD OM = 2 (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)

c) Cho biết OC BA= = 2R Tính AC và BD theo R

+Vì CA là hai tiếp tuyến tạiAcủa ( )O nên OA AC⊥ tại A Suy ra, ∆COAvuông tạiA, theo Pytago ta có:

Cho đường tròn ( )O có dây AB Qua Okẻ

đường thẳng vuông góc với AB, cắt tiếp

tuyến tại A của ( )O ở điểm C

O

A

a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của đường

a) Xét ∆ABO có OA OB R gt= = ( ) ⇒ ∆ABOcân tạiO

Mà OC AB⊥ (gt) ⇒OC là tia phân giác BOA (t/c) ⇒ =

Vậy BC là tiếp tuyến của (O R; ) (theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến )

b) Ta có OC AB⊥ (gt) mà OC là một đường kính; AB là dây cung

Gọi OCcắt AB tại I ⇒IA IB= (định lí quan hệ vuông góc đường kính và dây )

Cho nửa đường tròn ( )O đường kính AB=2R

Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By (Ax,By nằm

cùng phía đối với nửa đường tròn) Gọi M là

một điểm thuộc nửa đường tròn (C khác A

và B) Tiếp tuyến tại M với nửa đường tròn

cắt Ax, By theo thứ tự ở C và D

a) Chứng minh COD = ° 90

b) Chứng minh 4 điểm B,D,M , Onằm trên

một đường tròn Chỉ ra bán kính của đường

tròn đó

c) Chứng minh CD AC BD= +

d) Chứng minh tích AC BD. không đổi khi M

thay đổi trên ( )O

e) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường

tròn đường kính CD

g) Gọi giao điểm của AD và BC là N Chứng

minh MN và AC song song

h) Gọi BN′ là tia phân giác của ABD� (N′

thuộc OD) Chứng minh: 1 1 2

BO BD BN+ = ′

Lời giải

a) Chứng minh COD là tam giác vuông

+Vì CAvà CM là hai tiếp tuyến tạiA và M của ( )O nênOClà tia phân giác của AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+VìDBvàDM là hai tiếp tuyến tạiBvàM của ( )O nên OD là tia phân giác củaDOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Mà AOM và DOMlà hai góc kề bù nên OC và OD vuông góc với nhau

b) Chứng minh 4 điểm B, D, M , Onằm trên một đường tròn Chỉ ra bán kính của đường tròn đó

+ Ta có ∆BODvuông tại B(DB là tiếp tuyến tại Bcủa( )O nênOB BD⊥ ) ⇒ B,D,O nằm trên đường tròn đường kính OD

+ Ta có ∆MODvuông tại M (DM là tiếp tuyến tại Mcủa ( )O nênOM MD⊥ )

⇒ M,D,O nằm trên đường tròn đường kính OD

Vậy 4 điểm B, D, M, Onằm trên đường tròn đường kính OD

c) Chứng minh CD AC BD= +

x

y D C

A

M

d) Chứng minh AC BD. không đổi khi M thay đổi trên ( )O

+ Vì OC và OD vuông góc với nhau nên ∆CODvuông tại O

+ Vì là tiếp tuyến tại của nên

+ Xét vuông tại , tại ta có:

(hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông) Mặt khác,

mà không đổi Suy ra không đổi khi thay đổi trên

e) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính

+ Ta có tứ giác là hình thang ( vì cùng vuông góc với )

+ Gọi là trung điểm của

+ Mà là trung điểm của

Suy ra là đường trung bình của hình thang Mà

Suy ra mà thuộc đường tròn tâm đường kính

nên là tiếp tuyến của tròn tâm đường kính

g) Gọi giao điểm của và là Chứng minh và song song

D C

+ Xét có song song với , theo Ta-lét ta có:

h) Gọi là tia phân giác của ( thuộc ) Chứng minh:

+ Gọi là giao điểm của và

+ Ta có: mà OK BD/ / (Hệ quả Talet)

Bài 6:

Cho nửa đường tròn ( ; )O R có đường kính AB

Dựng dây AC R= và tiếp tuyến Bx với nửa

đường tròn Tia phân giác của góc BAC cắt

OC tại M, cắt tia Bx tại P và cắt nửa đường

tròn tâm O tại Q

a) Chứng minh: BP2 =PA PQ.

b) Chứng minh: bốn điểm B P M O, , , cùng

thuộc đường tròn tìm tâm

c) Đường thẳng AC cắt tia Bx tại K Chứng

a) Ta có ∆AQB nội tiếp đường tròn đường kính AB ⇒ ∆AQB vuông tại Q => BQ AP⊥Xét ∆ABP vuông đường cao BQ ⇒ BP2 =PA PQ.

b) AC AO R= = ⇒ cân tại mà là phân giác ⇒ là đường cao

Cho cân tại nội tiếp Gọi là

trung điểm của ; tiếp tuyến của tại

cắt tia tại Tia cắt tại điểm thứ

hai

a) Chứng minh đường thẳng song song

với tiếp tuyến tại của

b) Chứng minh tứ giác là hình bình

hành

c) Gọi là trung điểm của và là giao

điểm của các tia và So sánh các

và

Lời giải

a) Vì cân tại (gt) thuộc đường trung trực của

Vì (gt) thuộc đường trung trực của

nên là đường trung trực của

mà là tiếp tuyến của tại

F

E D

A O

C B

Cho nửa đường tròn tâm đường kính

Qua thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến

d với đường tròn Gọi lần lượt là chân

đường vuông góc kẻ từ đến và là

chân đường vuông góc kẻ từ đến

a) Chứng minh

b) Chứng minh không phụ thuộc

vào vị trí của trên nửa đường tròn

c) Chứng minh là phân giác của

d) Chứng minh đường tròn đường kính

⇒  BAC ⇒BAC =2.BAH(3)

ABH BAH+ =900  BGO ICG+ =900

O C

;

2

AB O

là đường trung bình hình thang

Vậy không phụ thuộc vào vị trí của M trên nửa đường tròn

Vậy là tiếp tuyến của đường tròn tâm đường kinh

Hay đường tròn đường kính tiếp xúc với

e) Cách 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cô –si ta được

Chứng minh tương tự được

( )// //

AE OC cmt ⇒EAC ACO slt= ( ) (1)

(1);(2) ⇒  CAO CAE= ⇒ AC BAE

Dấu bằng xảy ra trùng

là điểm chính giữa của nửa đường tròn tâm đường kính Vậy đạt giá trị lớn nhất là điểm chính giữa của nửa đường tròn tâm đường kính

Bài 9:

2 2

4

Cho đường tròn Từ một điểm ở

ngoài đường tròn , vẽ hai tiếp tuyến

và sao cho EMO� = 300 Biết chu vi

Cho tam giác cân tại là tâm

đường tròn nội tiếp, là tâm đường tròn

bàng tiếp trong góc Gọi là trung điểm

a) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

+ Vì là đường tròn nội tiếp nên , , là tiếp tuyến của

C

B

I H A

; ; ;

+ Gọi tia đối của tia và tia lần lượt là và

+ Vì là đường tròn bàng tiếp trong góc của nên , , là tiếp tuyến của

+ Vì và là hai tiếp tuyến cắt nhau tại của nên tia là tia phân giác của

(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Vì và là hai tiếp tuyến cắt nhau tại của nên tia là tia phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ Mà và là hai góc kề bù

Suy ra, vuông tại , là trung điểm của cùng thuộc một đường tròn

+ Tương tự, ta có cùng thuộc một đường tròn

Vậy cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn

+ Ta có là tia phân giác của nên

Gọi là giao điểm của và

vuông tại có là đường cao

Bài 11:

Từ điểm ở ngoài đường tròn kẻ hai

tiếp tuyến (với và là các tiếp

điểm) Kẻ và

, và cắt nhau tại

a) Chứng minh tứ giác là hình thoi

a) Chứng minh tứ giác là hình thoi

+ Vì là hai tiếp tuyến tại và của nên

+ Mặt khác: và

là hình bình hành, mà

là hình thoi

b) Chứng minh ba điểm , , thẳng hàng

là hình thoi là tia phân giác của

Mà là tia phân giác của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

E C

Cho tam giác cân , các đường cao

, cắt nhau tại Gọi là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác

1) Bốn điểm cùng nằm trên một đường

Lấy là trung điểm của

Vậy bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn đường kính

2) Vì tam giác cân cân tại nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến

là trung điểm của

Xét vuông tại có là trung điểm của

3) Vì nên tam giác DEB cân tại D

Xét (O) có

là tiếp tuyến của đường tròn (O)

4) Theo giả thiết = 6cm

BE ⇒ BE AC⊥ ⇒ BEC = 90 0D

Bài 13:

Từ một điểm nằm ngoài đường tròn

vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn (

là tiếp điểm) Qua vẽ đường thẳng vuông

góc với , nó cắt tại Chứng minh :

a) Tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Tam giác cân

(tính chất của tiếp tuyến) (1)

( tính chất của tiếp tuyến ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Do đó tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn đường kình OA

b) Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AB OB

Mà OM OB (gt)

Do đó OM // AB ( so le trong ) (3)

Mặc khác theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: (4)

Từ (3) và (4) suy ra cân tại M

c) Gọi I là giao điểm của AO và BC

Ta có OBC cân tại O

OI là đường ohân giác cũng là đường cao OA BC tại I

23

=

A BC

IBO vuông tại I ta có: (cm)

Thể tích hình nón là: (cm3)

HỆ THỐNG BÀI TOÁN TỔNG HỢP TRONG ĐỀ THI CÁC NĂM QUA TỪ 2016-2021

Bài 1:

Cho nửa đường tròn đường kính

, dây cung Gọi M là điểm

chính giữa cung Đường thẳng kẻ từ

song song với cắt tia ở K và cắt tia

ở , cắt tại

1 Chứng minh tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh và

3 Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn

để là tiếp tuyến của nửa đường tròn

4 Trong trường hợp là tiếp tuyến cửa

nửa đường tròn , tính diện tích phần tam

giác ở ngoài đường tròn theo

Lời giải

1 Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) Mà CD // BM (gt) nên AM CD Vậy

trong một đường tròn

2 Chứng minh CD = MB và DM = CB

Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hình 2

Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB là hình bình hành Suy ra: CD = MB

K D

C

B A

3 Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn

AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) có AK CD và DH AC nên M

là trực tâm tam giác Suy ra: CM AD

4 Tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài (O) theo R:

Gọi S là diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O); S1 là diện tích tứ giác AOCD;

S2 là diện tích hình quạt góc ở tâm AOC

R −π

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB.Gọi C

là điểm bất kỳ thuộc đường tròn đó (C≠

A&B) M, N lần lượt là điểm chính giữa của

các cung nhỏ AC và BC Các đường thẳng

BN và AC cắt nhau tại I, các dây cung AN và

BC cắt nhau ở P Chứng minh:

a) Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K của

đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó

b) KN là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

c) Chứng minh rằng khi C di động trên đường

tròn (O;R) thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc

với một đường tròn cố định

Lời giải

a) Chứng minh tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó:

Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

Tứ giác ICPN có nên nội tiếp được trong một đường tròn Tâm K của đường tròn ngoại tiếp tứ giác là trung điểm của đoạn thẳng IP

b) Chứng minh KN là tiếp tuyến của đường tròn

Tam giác vuông tại N, K là trung điểm IP nên Vậy tam giác cân ở

K Do đó (1)

Mặt khác (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PN đường tròn (K)) (2)

N là trung điểm cung CB nên Vậy cân tại N

Từ (1), (2) và (3) suy ra , hai góc này ở vị trí đồng vị nên

Mặt khác ON BC nên KN ON Vậy KN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

=

=

P O

K I

N M

C

B A

Ta có (gt) nên Vậy OM là phân giác của

Tương tự ON là phân giác của , mà và kề bù nên

Vậy tam giác vuông cân ở

Vậy khi C di động trên đường tròn thì đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

Bài 3:

Cho đường tròn có đường kính

Trên đường tròn lấy điểm sao cho

Vẽ đường tròn cắt đường

tròn tại điểm thứ hai là

a) Chứng minh và là các tiếp tuyến

a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn(O))

Điểm M và N thuộc ; AM MB và AN NB nên ; là các tiếp tuyến của

AMB ANB= =

(B BM, )

Ta có (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O và tâm B) Nên IN

MN và JN MN Vậy ba điểm , và thẳng hàng

Tam giác có BO là đường trung bình nên Tam giác cân ở O (vì

OM = OA), nên tam giác đều

AB MN tại H (tính chất dây chung của hai đường tròn (O) và (B) cắt nhau)

Vậy

c) Gọi S là diện tích phần hình tròn nằm (B; BM) nằm bên ngoài hình tròn (O; R) S1 là diện tích hình tròn tâm (B; BM) S2 là diện tích hình quạt MBN S3 ; S4 là diện tích hai viên phân cung MB và NB của đường tròn (O; R)

R

2 3

Cho đường tròn đường kính AB bằng

cm Gọi làđiểm nằm giữa và sao

cho cm Qua vẽ đường thẳng

vuông góc với , đường thẳng này cắt

đường tròn tại và Hai đường

d) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt

ở Chứng minh đường thẳng đi

qua trung điểm của đoạn thẳng

Lời giải

a) Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra Tứ giác có nên nội tiếp được trong một đường tròn b) Ta có AB = 6 (cm) ; AH = 1 (cm) HB = 5 (cm)

N M

D

C

B A

Cho tam giác vuông tại Vẽ đường tròn tâm

đường kính Đường tròn cắt tại điểm

c) Từ kẻ tại Gọi là trung điểm của

Tiếp tuyến tại của cắt tại Chứng

minh : ba điểm , , thẳng hàng

d) Chứng minh: là tiếp tuyến của đường tròn ngoại

tiếp

Lời giải

a) Ta có chắn nửa đường tròn nên hay

vuông tại có là đường cao nên theo hệ thức về cạnh và đường cao ta có (đpcm)

AM =

C K P OI

Mà O là trung điểm của AC, OM // AI nên M là trung điểm của IC, do đó IM = CM

Cho đường tròn đường kính là điểm

trên đường tròn (O) sao cho Vẽ

a) Chứng minh vuông Tính độ dài và số đo

b) Tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại

Chứng minh

c) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt BC tại

Chứng minh

d) Gọi là trung điểm của Tia cắt tại

Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn

Lời giải

a) Góc ACB là góc nội tiếp chắn nữa đường tròn nên Do đó vuông

b) Theo tích nhất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có

c) Tam giác BEA có CH // AE (vì cùng vuông góc với AB)

Bài 7:

Cho đường tròn đường kính và điểm bất

kì thuộc đường tròn( khác và ) kẻ tiếp tuyến tại

của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia ở

C

đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại cắt ở

a Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một

đường tròn

b Chứng minh và song song với

c Đương thẳng kẻ qua và vuông góc với tại

cắt tia ở Chứng minh là tiếp tuyến của

đường tròn

d Gọi là hình chiếu của trên , là giao điểm

của và Chứng minh rằng khi điểm di động

trên đường tròn và thỏa mãn yêu cầu đề bài thì

đường tròn ngoại tiếp tam giác luôn đi qua một

điểm cố định

Lời giải

a.Vì EC và EA là tiếp tuyến của nên

Suy ra tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính hay bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

b Xét tam giác vuông tại A có AC là đường cao

( hệ thức lượng trong tam giác vuông) c.Vì là đường trung trực của BC

vuông tại F

Mà cân tại O

d Vì lần lượt là trung điểm của là đường trung bình của tam giác

Mà EC và EA là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn nên (2)