Hh9 cđ6 chứng minh tiếp tuyến đường tròn 1

Tiếp tuyến của đường tròn a Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn... Chứng minh rằng: a AB là tiếp tuyến của đường tròn I IO; b MO là

Chuyên đề: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

ĐẾN TIẾP TUYẾN

A Kiến thức cần nhớ

1 Tiếp tuyến của đường tròn

a) Định nghĩa: Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn

b) Tính chất: d là tiếp tuyến tại A của (O R; ) ⇒ ⊥d OA OA R, =

c) Dấu hiệu nhận biết: Ta có d OA OA R⊥ , = ⇒d là tiếp tuyến tại A của (O R; )

2) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau:

Xét ( ; )O R có AB và AC là hai tiếp tuyến tại B và C

d

O A

C B

B Các dạng toán

Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, chứng minh các quan hệ hình học (hai

góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, song song, )

Bài 1:

Cho nửa đường tròn tâmOđường kính

2

MN = R Kẻ tiếp tuyến Nx tại N Gọi Klà

điểm bất kỳ thuộc Nx, MK cắt nửa đường

tròn tâmO tại .I Tính MI MK. theo R

Ta có tiếp tuyếnNxtại N ⇒NK MN O MN K Nx⊥ ( ∈ , ∈ )

Xét ∆NMK vuông tại N (do NK MN⊥ ) mà NI MK⊥ (cmt)

Cho(O R; ) bán kính AO R= , dây BC vuông

góc với OAtại trung điểm Mcủa sao OA

a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với (O R; ) tại B, cắt đường

thẳng OA tại E Tính độ dài BE theo R.

B

M

a) Xét (O R; ) có: BC OA⊥ tại M (gt) ⇒MB MC= (định lí quan hệ …)

mà MO MA gt= ( ); BC AO∩ ={ }M

⇒Tứ giác OCAB là hình thoi

b) Xét (O R; ) có BE là tiếp tuyến tại B (gt) ⇒BE OB t c⊥ ( / )

Cho đường tròn ( )O Từ một điểm M ở

ngoài ( )O , vẽ hai tiếp tuyến MAvà MBsao

cho góc AMB =60 0 Biết chu vi tam giác MAB

là 18cm, tính độ dài dâyAB

Lời giải

+ Vì MA và MBlà hai tiếp tuyến tại A và Bcủa ( )O nên MA MB= (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ MAB∆ cân tại Mmà AMB =60 0

⇒ MAB∆ là tam giác đều, MA MB AB= =

Mặt khác, chu vi ∆MAB là 18cm, nên MA MB AB+ + = 18

Bài 4:

Cho đường tròn ( ; )O R và một điểm A ở

ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến ACvà

AB Chứng minh BAC =60 0 khi và chỉ khi

+ OC AC⊥ tại C (AClà tiếp tuyến tại Ccủa ( )O )

⇒ ∆AOCvuông tại C ⇒sinOAC OC

OA

R OAC

+ OC AC⊥ tại C (AClà tiếp tuyến tại ACcủa ( )O )

⇒ ∆AOCvuông tại C ⇒sinOAC OC

Cho đường tròn ( )O và điểm A nằm bên

ngoài ( )O Kẻ các tiếp tuyến AB, ACvới

đường tròn (B , C là các tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng AO vuông góc với BC;

+ Vì B và C thuộc ( )O nên OB OC= ⇒O nằm trên đường trung trực của BC

+ Vì ABvà AClà hai tiếp tuyến tại B và Ccủa ( )O nên AB AC= (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ A thuộc đường trung trực của BC

Suy ra đường thẳng AO là đường trung trực của BC ⇒ AO BC⊥

⇒ ⊥ mà AO BC⊥ , suy ra BD song song với AO

c) Tính độ dài các cạnh của ∆ABC biết OB= 2cm,AO= 4cm

+ Vì ACvà AB là hai tiếp tuyến tại C và Bcủa ( )O nênAB AC= là phân giác của BAC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ OB AB⊥ tại B (ABlà tiếp tuyến tại Bcủa ( )O )

⇒ ∆AOBvuông tại B

Bài 6:

Cho nửa đường tròn ( )O đường kính AB Vẽ

các tiếp tuyến Ax By, về nửa mặt phẳng bờ

AB chứa nửa đường tròn Trên Ax và By

theo thứ tự lấy M và N sao cho  90MON = °

Gọi I là trung điểm của MN Chứng minh

rằng:

a) AB là tiếp tuyến của đường tròn (I IO; )

b) MO là tia phân giác của góc MAN

c) MN là tiếp tuyến của đường tròn đường

Lại có: I là trung điểm của MN và ∆MON vuông tại O (gt) nên ∆MIO cân tại I

Hay OMN = MOI (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AMO =OMN Vây MO là tia phân giác của AMN

c Kẻ OH MN H MN⊥ ( ∈ ) (3)

Xét ∆OAM và ∆OHM có: OAM = OHM = ° 90

AMO =OMN (chứng minh trên)

 

y x

Bài 7:

Cho đường tròn ( )O đường kính AB, E

thuộc đoạn AO (E khác A O, và AE EO> )

Gọi H là trung điểm của AE, kẻ dây CD

vuông góc với AE tại H

a) Tính góc ACB;

b) Tứ giác ACED là hình gì, chứng minh?

c) Gọi I là giao điểm của DE và BC Chứng

minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường

kính EB

Lời giải

a) Chỉ ra được tam giác ACB nội tiếp (O) nhận AB là đường kính

nên tam giác ACB vuông tại C ⇒ góc ACB = 900

b) Chứng minh được tứ giác ACDE là hình bình hành

Chỉ ra được hình bình hành ACDE là hình thoi

c) Chứng minh được I thuộc đường tròn tâm O' đường kính EB

Chứng minh được tại I

Bài 8:

Cho đường tròn ( )O đường kính AB Ax By,

là 2 tia tiếp tuyến của ( )O ( cùng nửa

Ta có:

Tam giác có vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên là tam giác cân Khi đó DO

cũng là đường phân giác

Ta có ⇒ CD là tiếp xúc với tại

Bài 9:

Cho tam giác ABC vuông tại , đường cao

AH Đường tròn đường kính BH cắt tại

, đường tròn đường kính cắt tại

Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến chung

Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có

⇒ cân tại ⇔∠ODH = ∠OHD

Ta cũng có cân tại ⇔∠IDH = ∠IHO

Ta có: IDH OHD IHD IHA    90 + = + = ° ⇔ IDO = ° 90 ⇔

Ta có ID DE D⊥ , ∈( )I ⇒ DE tiếp xúc với ( )I tại

Chứng minh tương tự ta cũng có DE tiếp xúc với ( )J tại

DOE = °90,

E

tam giác ABC nhọn, đường cao và

cắt nhau tại Gọi là trung điểm của

Chứng minh rằng , là tiếp tuyến của

đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Lời giải

Gọi O là trung điểm của AH

Tam giác vuông tại D có là trung tuyến nên ta có:

2

AH

DO= =OA OH=Tam giác vuông tại E có là trung tuyến nên ta có:

2

AH

EO= =OA OH=

⇒ , do đó là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Tam giác OAD cân tại O) ⇒ (1)

∆BDC vuông tại D có DI là trung tuyến ⇒

Ta có OD DI D O⊥ , ∈( ) ⇒ ID tiếp xúc với (O) tại D

Chứng minh tương tự ta cũng có IE tiếp xúc với tại E

Bài 11:

Cho đường tròn (O R; ) đường kính Một

điểm nằm trên đường tròn (M khác

) Gọi là điểm đối xứng của điểm A qua

điểm M Gọi là giao điểm của đường

thẳng với tiếp tuyến tại của đường

D E

2) Gọi là trung điểm Chứng minh

là tiếp tuyến của đường tròn

=

=

H E

O

N M

C B

A

Suy ra BMC BNC  = = 90 0 Do đó: BN AC⊥ , CM ⊥AB,

Tam giác ABC có hai đường cao BN , CM cắt nhau tại H

Do đó H là trực tâm tam giác Vậy AH BC⊥

2) Gọi E là trung điểm AH Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O)

OB = OM (bán kính đường tròn (O)) ⇒ ΔBOM cân ở M

Do đó:  = (1)

ΔAMH vuông ở M , E là trung điểm AH nên AE = HE = 1

2AH Vậy ΔAME cân ở E

Do đó:  AME MAE= (2)

Từ (1) và (2) suy ra:    + = + Mà MBO MAH  + = 90 0(vì AH ⊥ BC ) nên OMB AME  + = 90 0 Do đó EMO =90 0 Vậy ME là tiếp tuyến của đường tròn (O) 3) Chứng minh MN OE = 2.ME MO.

và nên là đường trung trực

Suy ra MN OE = 2.ME MO.

4) Giả sử AH BC= Tính tan BAC

ΔBNC và ΔANH vuông ở N có BC = AH và  NBC NAH= (cùng phụ góc )

ΔBNC = ΔANH (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ BN = AN

Cho đường tròn (O R; ) và điểm nằm bên

ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến

với đường tròn ( là các tiếp điểm) Gọi

là giao điểm của BC và OA

a) Chứng minh: vuông góc với OA

b) Chứng minh: OE OA R = 2

c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O R; )

lấy điểm K bất kỳ ( khác B C, ) Tiếp tuyến

tại K của đường tròn (O R; ) cắt AB AC, theo

thứ tự tại Chứng minh tam giác

có chu vi không đổi khi K chuyển động trên

OE OA OB= =R (theo hệ thức lượng trong tam giác vuông)

c) Ta có PB PK, là 2 tiếp tuyến kẻ từ P đến ( )O nên PB PK= (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau),

QK QC là 2 tiếp tuyến kẻ từ Q đến ( )O nên QK QC= (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

BE

K

,

Cho tam giác ABC có AB= 6 ,cm AC= 8 ,cm

AH BK cắt nhau tại I Chứng minh:

a) Đường tròn đường kính AI đi qua K

b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường

Vậy đường tròn đường kính AI đi qua K

b) Ta có ∆ABC cân tại A (gt) mà AH là đường cao (gt)

  ⇒ ∆OKA cân tại O ⇒   (2)AKO KAO=

Mà OAK HCA  + = 90 (3) 0 (do AHC = 90 ) 0

Từ (1);(2);(3) ⇒ OKA CKH + = 90 0 mà OKA OKH CKH  + + = 180 0

Cho∆ABC vuông ở A có đường cao AH Lấy

D đối xứng với B qua H Vẽ đường tròn

H

B

Mà Flà trung điểm AE ⇒ ∆AHE cân tại H ⇒HEA HAE  (1) =

Ta có OE OC R= = ⇒ ∆ECOcân tại O ⇒CEO CEO  (2) =

Mà  HAE HCA+ = 90 (3) 0 (doAHC = 90 ) 0

Cho đường tròn ( )O , đường kính AB, điểm

M thuộc đường tròn Vẽ điểm N đối xứng

với A qua M BN cắt đường tròn ở C Gọi

E là giao điểm của ACvà BM , Fđối xứng

với E qua M.

a) Chứng minh: FA là tiếp tuyến của ( )O

b) Chứng minh:FN là tiếp tuyến của đường

⇒ ⊥ ⇒ ⊥ mà BO R gt= ( ) ⇒FA là tiếp tuyến của ( )O

b) Vì AENF là hình thoi ( cmt) ⇒FN FA FE= , là tia phân giác của NFA (t/c)

Chứng minh được∆FAB= ∆FNB c g c( − − )

BAC = Trên tia đối tia BA lấy điểm M

sao cho BM R= Chứng minh:

a) MC là tiếp tuyến của ( )O

2

MO

CB = (1)

Mà CB là đường trung tuyến của ∆COM (2) (doBO BM R B OM= = , ∈ )

Từ (1;2) ⇒ ∆CMO vuông tại C

CO CM

mà C∈(O R gt; )( ) ⇒MC là tiếp tuyến của ( )O

b) Xét ∆CMO vuông tại C

C

(M A B≠ , ) Kẻ hai tiếp tuyến Ax By, với nửa

đường tròn (Ax By, và nửa đường tròn cùng

nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua

M kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn cắt

Ax và By tại C và D

a) Chứng minh: CD AC BD= + và tam giác

COD vuông tại O

a) CA CM= (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau)

DB DM= (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ CD CM MD AC BD= + = +

OC là tia phân giác của góc AOM

OD là tia phân giác của góc BOM

Mà góc AOM và góc BOM là hai góc kề bù nên COD = ° 90

Vậy tam giác COD vuông tại O

b).Tam giác COD vuông tại O có OM CD⊥

⇒OM2 =CM MD. suy ra AC BD R = 2

c)Tam giác BMD đều nên SBMD = 3 2 3

4

R đvdt d) Chứng minh MN song song với AC bằng Ta-let đảo

Bài 7:

Cho đường tròn ( )O , đường kính AB và dây

cung CD vuông góc với AB (AC CB< ) Hai

tia BC và DA cắt nhau tại E Gọi H là chân

đường vuông góc hạ từ E tới đường thẳng

Nên ECA +  90 90 180EHA = ° + ° = °

Suy ra tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn đường kính AE

b)

Ta có ∆ACD cân tại A ⇒  = 

Ta có EF CD// (EF AB⊥ , CD AB⊥ )

⇒ FEA =  (So le trong) và AFE =  (so le trong)

mà HCA = FEA (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)

Do đó AFE = ACH ⇒ ∆CHF cân tại H ⇒ HC HF=

c)

Ta có : OBC = OCB (do ∆COB cân tại O)

 = OBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) ⇒  = OCB

Mà ACH =  nên ACH = OCB

Suy ra ACH +  = OCB +  = 90°

Vậy HC là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

H

D O

E

C

F

Bài 8:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao

AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH

cắt AB và AC lần lượt tại I và K Chứng

minh:

1) Tứ giác AIHK là hình chữ nhật

2) IK2 =HB HC.

3) Tứ giác BIKC nội tiếp

3) IK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

tam giác HKC

Lời giải

1) Ta có AIH, AKH là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Suy ra  90AIH = ° ,  90AKH = °

 90

IAK = ° (tam giác ABC vuông tại A)

Vậy tứ giác AIHK là hình chữ nhật

2) Trong tam giác vuông ABC tại A có AH vuông góc BC nên AH2 =HB HC. (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà AH IK= (hai đường chéo của hình chữ nhật)

Vậy tứ giác BIKC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

4) Tam giác HKC vuông tại K nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của HC Nên MK MC= ⇒Tam giác MKC cân tại M ⇒ MKC = C

A

B

đi qua tâm O, cắt ( )O tại B và C (B nằm

giữa A và C) Các tiếp tuyến với đường tròn

( )O tại B và C cắt nhau tại D Từ D kẻ DH

vuông góc với AO, DH cắt cung nhỏ BC tại

M Gọi I là giao điểm của DO và BC

a) Chứng minh OHDC là tứ giác nội tiếp

b) Ta có: OB=OC=R; DC=DB (t/c của hai tt cắt nhau )

suy ra OD là đường trung trực của BC

OD⊥BC

Xét ∆OHD và ∆OIA có

AOD chung H I= = 

Xét ∆OHD ~ ∆OIA nên OH.OA=OI.OD

c) ∆ODC vuông tại C có CI là đường cao OC2 = OI.OD (*)

Suy ra AM vuông góc với OM tại M

AM là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

Bài 10:

Cho đường tròn (O r, ) đường kính AB và dây

cung CD vuông góc với AB

(AC CB< ) Hai tia BC và DA cắt nhau tại E

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ E

a) ∆ACB nội tiếp nửa đường tròn đường

kính AB nên vuông tại C

Suy ra tứ giác AHEC có   1AHE ACE= = v nên nội

tiếp được trong đường tròn đường kính AE

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

AHEC là trung điểm của AE, bán kính là .

ADC AEF= (so le trong)

Lại có:  AEF ACH= (cùng chắn cung AH của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC)

Do đó:  AFE ACH= ⇒ ∆CHF cân tại H ⇒HC HF= (đpcm)

c) Trong chứng minh ở câu b, ta cũng có  =

Lại do: OBC OCB = (do OB=OC),

 

OBC ADC= (cùng chắn cung)

Nên:  ACH OCB= ⇒     90ACH ACO OCB ACO+ = + = ° ⇒HC CO⊥

Bài 11:

Cho tam giác ABC cân tại A,các đường cao

AD và BE cắt nhau tại H Gọi O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE

a) Chứng minh: 1

2

DE= BC b) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của

AHE OEH= (vì OE=OH)

Mà   90DBH BHD+ = ° nên   90DEH OEH+ = °

⇒DE ⊥OE ⇒ DE là tiếp tuyến của ( )O

Bài 12:

Từ một điểm ở ngoài đường tròn ( )O kẻ tiếp

tuyến AB với đường tròn ( )O (B là tiếp

điểm) Gọi I là trung điểm của đoạn AB, kẻ

tiếp tuyến IM với đường tròn ( )O (M là tiếp

a) Theo giả thiết IM IB, là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

⇒ IM IB= (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà IA IB= (gt) suy ra 1

2

MI = AB

Vậy tam giác ABM vuông tại M

b) Trong tam giác BMC ta có OM OB OC= = ( Bán kính đường tròn ( )O ) ⇒ 1

2

MO= BC

⇒ tam giác BMC vuông tại M

Ta có   90 90 180AMB BMC+ = ° + ° = °

Vậy  180AMC = ° nên ba điểm A M C, , thẳng hàng

c) Ta có AB là tiếp tuyến của đường tròn ( )O ) ⇒ AB OB⊥ (t/c tiếp tuyến)

Trong tam giác ABC vuông tại B ta có BM AC⊥

⇒ AB2 = AM AC. ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

B I

M