Chuyên đề tứ giác nọi tiếp phung thao hoa hồng

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện bằng 180° thì tứ giác đó nội �ếp được đường tròn.. 2.Góc nội �ếp chắn nửa đường tròn đường kính thì có số đo bằng 900 3.Đường kính đi qua t

1 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

CHUYÊN ĐỀ 6 CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Định nghĩa

Tứ giác nội �ếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội �ếp (O) và (O) ngoại �ếp tứ giác ABCD

2 Định lí

Trong một tứ giác nội �ếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện bằng 180° thì tứ giác đó nội

�ếp được đường tròn

3 Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội �ếp

Tứ giác có tổng hai góc đổi bằng 180°

Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện

Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại �ếp tứ giác

Tứ giác có hai đinh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc

α

Chú ý:

1.Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội �ếp được đường tròn

2.Góc nội �ếp chắn nửa đường tròn đường kính thì có số đo bằng 900

3.Đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây

4.Nếu hai �ếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì:

+ Điểm đó cách đều hai �ếp điểm + Đường thẳng nối từ điểm đó đến tâm là phân giác của góc tạo bởi hai

�ếp tuyến

+ Đường thẳng nối từ tâm đến điểm đó là phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua �ếp điểm

B.CÁC DẠNG BÀI TOÁN

2 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

Dạng 1.Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 180°

I.Phương pháp giải

Định lí: Trong một tứ giác nội �ếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°

Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc bằng 180° thì tứ giác đó nội �ếp đường tròn

Dạng 2: Tứ giác có góc trong bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện

I.Phương pháp giải

II Bài tập mẫu

Bài 1: Cho tam giác ABC, 2 đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp

Lời giải:

Ta có: BB’ ⊥AC (giả thiết) ⇒BB'A 90= 0

’

CC ⊥AB(giả thiết)⇒CC'A 90  = 0

Xét ∆AB B′ và ∆AC C′ có  AB B AC C′ = ′ = 90 0 và BACchung

Vậy ∆AB B′ ∆AC C′ (g-g) '

'

⇒ = AB' AC'

Xét ∆AB C′ ′ và ∆ABCta có AB' AC'

AB = AC và BACchung Vậy ∆AB C′ ′  ∆ABC(c-g-c)

 'C' ABC

AB

⇒ = Tứ giác BC B C' ' có góc ngoài tại đỉnh B' bằng góc trong tại đỉnh B Vậy tứ giác BC B C' ' nội �ếp

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD AB CD AB CD( > , / / ) nội �ếp trong đường tròn ( )O

Kẻ các �ếp tuyến với đường tròn ( )O tại A và D chúng cắt nhau ở E Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

a) Chứng minh tứ giác AEDM nội �ếp được trong một đường tròn

Lời giải:

3 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

a) Ta có: EAC=12sđ AC (góc tạo bởi �a �ếp tuyến AE và dây

AC của đường tròn ( )O )

Tương tự: xDB=12sđ DB (Dx là �a đối của �a �ếp tuyến DE

)

Mà AC BD= (do ABCD là hình thang cân) nên  AC BD=

Do đó  EAC xDB=

Vậy tứ giác AEDM nội �ếp đươc trong một đường tròn

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A và nội �ếp trong đường tròn tâm O, đường kính

AI Gọi E là trung điểm của AB, K là trung điểm của OI, H là trung điểm của EB a) Chứng minh HK EB⊥

b) Chứng minh tứ giác AEKC nội �ếp được trong một đường tròn

Phân �ch đề bài

 // //

HK OE IB



HK là đường trung bình của hình thang OEBI

b) Tứ giác AEKC nội �ếp được trong một đường tròn

 có BEK KBE ABK ACK   = , =

 =

Lời giải:

a) Tam giác ABI nội �ếp đường tròn đường kính AI nên

tam giác ABI vuông tại B

IB AB

⇒ ⊥

Lại có OE AB⊥ (quan hệ đường kính và dây cung) Do đó OE IB// Suy ra OEBI là hình thang

Mà HK là đường trung bình của hình thang OEBI ⇒HK OE IB// // ⇒HK EB⊥

b) ∆EB cân tại K vì có KH vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao ⇒ BEK KBE=

(1)

ABC

∆ cân và có AI là đường kính của đường tròn ( )O nên AK là đường trung trực của đoạn BC

 

ABK ACK

Từ (1) và (2) suy ra  BEK ACK= Mà  là góc ngoài tại đỉnh E của tứ giác AEKC

nên tứ giác AEKC nội �ếp

4 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm I , đường kính MN Kẻ �ếp tuyến Nx và lấy điểm P

chính giữa của nửa đường tròn Trên cung PN, lấy điểm Q (không trùng với P N, ) Các �a MP và MQ cắt �ếp tuyến Nx theo thứ tự tại S và T

a) Chứng minh NS MN=

b) Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT

c) Chứng minh tứ giác PQTS nội �ếp được trong một đường tròn

Lời giải:

a) Tam giác MPI có: PI MN⊥ (vì P là điểm chính

giữa của đường tròn ( )O );

IP IM= (bán kính đường tròn ( )O

)

Suy ra ∆MPI vuông cân tại I nên MPI IMP  45 = = °

Tam giác vuông SMN có  45SMN = ° nên ∆SMN vuông

cân tại N Do đó MN SN=

b) Xét ∆MNT và ∆NQT có:

  90

MNT NQT= = ° (giả thiết);



MTN chung

Suy ra ∆MNT  ∆NQT( )g.g

c) Ta có T S M  1 = 1+ 1 (góc ngoài của ∆TMS) (1)

Kẻ �ếp tuyến PH P Nx( ∈ ) Ta có PH MN// (vì cùng vuông góc với PI), suy ra ∆PHS

vuông cân tại H ⇒ S1=P2

M =P (góc nội �ếp và góc tạo bởi �a �ếp tuyến và dây cung cùng chắn



PQ)

Từ (1) và (2) suy ra T SPQ 1=

Mà T1 là góc ngoài tại đỉnh đối diện với đỉnh P nên tứ giác PQTS nội �ếp

Bài 6:Cho nữa đường tròn tâm O đường kínhAB, kẻ �ếp tuyến Bx và lấy hai điểm C

và D thuộc nửa đường tròn Các �a AC và ADcắt Bx lần lượt ở E,F (F ở giữa B

và E)

a) Chứng minh:  =

b) Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội �ếp

Lời giải:

5 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

a)∆ADBcóADB =90 o ( nội �ếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ ABD BAD+ = 90 o (vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180 o)(1)

ABF

∆ cóABF =90 o ( BF là �ếp tuyến ).⇒ AFB BAF+ = 90 o(vì tổng ba góc của một tam giác bằng 180 o) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ABD DFB=

b) Tứ giác ACDB nội �ếp ( )O ⇒ ABD ACD+  180 = o

màECD ACD+  180 = o ( Vì là hai góc kề bù) ⇒ECD DBA =

Theo trên  = , ECD DBA= ⇒ECD DFB = Mà  EFD DFB+ 180 = o( Vì là hai góc kề bù) nên

  180 o

ECD AEFD

Bài 7:Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ

AH BC⊥ Nửa đường tròn đường kínhBH, CH lần lượt có tâm O1; O2 cắt AB và CA

thứ tự tại D và E

a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó �nh DE biết R =25 và

10

BH =

b) Chứng minh tứ giác BDEC nội �ếp đường tròn

Lời giải:

a)Ta có BAC = 90o(vì góc nội �ếpchắn nửa đường tròn)

Tương tự có BDH CEH  90 = = o

Xét tứ giác ADHE có    90A ADH AEH= = = ohay ADHE là hình chữ nhật

Từ đó DE AH= mà AH BH CH2 = (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

6 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

b) Ta có:BAH= C (góc có cạnh tương ứng vuông góc) mà DAH ADE = (1)

(Vì ADHE là hình chữ nhật) =>C ADE = do C BDE  + = 180 o nên tứ giác BDEC

nội �ếp đường tròn

Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh một cách sử dụng hệ thức lượng và tam giác đồng dạng như sau:

Tam giác AHB vuông tại H, đường cao AH Ta có AH2 =AD AB.

Tam giác AHC vuông tại H, đường cao AE Ta có AH2 = AE AC.

AC AB

Xét tam giác ADE và tam giác ACB có AD AE AC AB= , BAC DAE = = 90 0 (góc chung)

⇒ ∆ ” ∆ ⇒ = mà ADE EDB+ = 180 0nên  ADE ECB+ = 180 0

Tứ giác BDEC có  ADE ECB+ = 180 0 nên tứ giác BDEC nội �ếp đường tròn

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A và nội �ếp trong đường tròn tâm O, đường kính

AI Gọi E là trung điểm của AB, K là trung điểm của OI, H là trung điểm của EB a) Chứng minh HK EB⊥

b) Chứng minh tứ giác AEKC nội �ếp được trong một đường tròn

Lời giải:

a) Tam giác ABI nội �ếp đường tròn đường kính AI nên tam giác ABI vuông tại B

IB AB

⇒ ⊥

Lại có OE AB⊥ (quan hệ đường kính và dây cung) Do đó OE IB// Suy ra OEBI

là hình thang

Mà HK là đường trung bình của hình thang OEBI ⇒HK OE IB// // ⇒HK EB⊥ b) ∆EB cân tại K vì có KH vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao ⇒ BEK KBE=

(1) ∆ABC cân và có AI là đường kính của đường tròn ( )O nên AK là đường trung trực của đoạn BC

 

ABK ACK

7 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

Từ (1) và (2) suy ra  = Mà  là góc ngoài tại đỉnh E của tứ giác

AEKC nên tứ giác AEKC nội �ếp

2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm I , đường kính MN Kẻ �ếp tuyến Nx và lấy điểm P

chính giữa của nửa đường tròn Trên cung PN, lấy điểm Q (không trùng với P N, ) Các �a MP và MQ cắt �ếp tuyến Nx theo thứ tự tại S và T

a) Chứng minh NS MN=

b) Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT

c) Chứng minh tứ giác PQTS nội �ếp được trong một đường tròn

Lời giải:

a) Tam giác MPI có: PI MN⊥ (vì P là điểm chính giữa của đường tròn ( )O );

IP IM= (bán kính đường tròn ( )O )

Suy ra ∆MPI vuông cân tại I nên MPI IMP  45 = = °

Tam giác vuông SMN có  45SMN = ° nên ∆SMN vuông cân tại N Do đó

MN SN=

b) Xét ∆MNT và ∆NQT có:

  90

MNT NQT= = ° (giả thiết);

Suy ra ∆MNT  ∆NQT( )g.g

c) Ta có   

T S M= + (góc ngoài của ∆TMS) (1)

Kẻ �ếp tuyến PH P Nx( ∈ ) Ta có PH MN// (vì cùng vuông góc với PI),

suy ra ∆PHS vuông cân tại H  

Mặt khác M 1=P1 (góc nội �ếp và góc tạo bởi �a �ếp tuyến và dây cung cùng chắn PQ)

8 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

Từ (1) và (2) suy ra T SPQ 1=

Mà 

1

T là góc ngoài tại đỉnh đối diện với đỉnh P nên tứ giác PQTS nội �ếp

Dạng 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại một góc bằng nhau

I Phương pháp giải

II Bài tập mẫu

Bài 7: Trên các cạnh BC BD, của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm M N, sao cho MAN = ° 45 Đường thẳng BD cắt các đường thẳng AM AN, tương ứng tại các điểm P Q,

a) Chứng minh rằng các tứ giác ABMQ và ADNP nội �ếp

b) Chứng minh rằng các điểm M N Q P C, , , , nằm trên cùng một đường tròn

Lời giải:

a) Các đỉnh A và B cùng nhìn đoạn thẳng MQ dưới một

góc 45°

Vì vậy tứ giác ABMQ nội �ếp

Tương tự ta suy ra tứ giác ADNP nội �ếp

b) Do ABMQ là tứ giác nội �ếp nên

 AQM ABM+ =180° ⇒AQM =90°

Tương tự tứ giác ADNP nội �ếp suy ra  90APN = °

Tứ giác MNQP là tứ giác nội �ếp vì có hai đỉnh Q và P cùng

nhìn cạnh MN dưới một góc 90°

Suy ra bốn điểm M N Q P, , , cùng thuộc một đường tròn (1)

Tứ giác MCNP là tứ giác nội �ếp vì MCN MPN  90 90 180 + = ° + ° = °

Suy ra bốn điểm M C N P, , , cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm M N Q P C, , , , cùng nằm trên một đường tròn

9 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

Bài 8: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E Lấy I thuộc cạnh

AB, M thuộc cạnh BC sao cho  90IEM = ° (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông)

a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội �ếp

b) Tính số đo của góc IME

c) Gọi N là giao điểm của �a AM và �a DC; K là giao điểm của BN và �a EM Chứng minh BKCE là tứ giác nội �ếp

Giải chi �ết:

a) Theo giả thiết có:

IBM IEM= = ° ⇒IBM IEM+ = °

Vậy tứ giác BIEM nội �ếp đường tròn

đường kính IM

b) Tứ giác BIEM nội �ếp suy ra:

  45

IME IBE= = ° (hai đỉnh cùng nhìn cạnh

IE và ABCD là hình vuông)

c) Xét ∆EBI và ∆ECM có:   45IBE MCE= = ° (do ABCD là hình vuông);

BE CE= (do ABCD là hình vuông);

 

BEI CEM= (do cùng phụ với BEM)

(g.c.g)

Vì CN BA// nên theo định lí Ta-lét, ta có: MA MB IA

MN MC IB= = Suy ra IM BN// (định lí Ta-lét đảo)

  45

BKE IME

⇒ = = ° Lại có  45BCE = ° (do ABCD là hình vuông)

Suy ra  BKE BCE= Tứ giác BKCE có hai đỉnh K và C kề nhau và cùng nhìn cạnh BE

dưới một góc bằng nhau nên BKCE là tứ giác nội �ếp

Bài 9: Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C D, nằm trên đường tròn đó sao cho C D, nằm khác phía đối với đường thẳng AB, đồng thời AD AC> Gọi điểm chính giữa của các cung nhỏ AC AD, lần lượt là M N, ; giao điểm của MN với AC AD,

lần lượt là H I, ; giao điểm của MD và CN là K

a) Chứng minh  ACN DMN= Từ đó suy ra tứ giác MCKH

b) Chứng minh KH song song với AD

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa sđ AC và sđ AD để AK song song với ND

Giải chi �ết:

a) Vì N là điểm chính giữa của cung AD⇒ AN DN=

 

ACN DMN

⇒ = (hai góc nội �ếp chắn hai cung bằng nhau  AN DN, )

10 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

Khi đó tứ giác CMHK có hai đỉnh M và C cùng nhìn

cạnh HK dưới một góc bằng nhau nên CMHK là tứ giác

nội �ếp

b) Theo câu a) có CMHK là tứ giác nội �ếp nên

 

CHK CMK= (cùng chắn cung CK) (1)

Xét đường tròn đường kính AB có

 

CMK CAD= (cùng chắn CD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra CHK CAD = Mà hai góc này ở vị trí

đồng vị, suy ra HK AD// (đpcm)

c) AK ND// ⇔KAD ADN KMI  = = ⇔MAIK là tứ giác nội

�ếp

ADN ACN AMI AKI= = = ⇒KAI AKI= ⇒ ∆AKI cân tại I

Mà IM là phân giác của góc AIK ⇒MI AK⊥

Lại có AK ND// ⇒MI ND⊥ hay MN ND⊥ ⇒MND 90 = °

MD

⇒ là đường kính của đường tròn đường kính AB

2

AC

Bài 10: Cho đường tròn (O R; ) và dây BC cố định, A là điểm di động trên cung lớn

BC (A khác B C, ) sao cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H Kẻ đường kính AF của đường tròn ( )O , AF cắt BC

tại điểm N

a) Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội �ếp

b) Chứng minh AE AB AD AC =

c) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành

d) Đường tròn ngoại �ếp tam giác ADE cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ hai K (K khác O) Chứng minh ba điểm K H F, , thẳng hàng

Giải chi �ết:

a) Tứ giác BEDC có BEC BDC  90 = = ° (giả thiết) Suy ra tứ giác BEDC là tứ giác nội

�ếp (hai góc kề cùng nhìn cạnh BC dưới một góc bằng nhau)

b) Tứ giác BEDC nội �ếp suy ra  = (góc ngoài của tứ giác nội �ếp)

11 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

Xét ∆AED và ∆ACB có:  AED ACB= (chứng minh trên);

và BAC chung

( )g.g AE AC

AD AB

AE AB AD AC

c) Ta có: BD CF// (vì cùng vuông góc với AC)

//

BF EC (vì cùng vuông góc với AB)

Do đó BHCF là hình bình hành

d) Ta thấy tứ giác ADHE nội �ếp đường tròn đường kính

 90

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm K H F, , thẳng hàng

2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB= 2R và �a �ếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB Từ điểm M trên Ax kẻ �ếp tuyến thứ hai MC

với nửa đường tròn (C là �ếp điểm).ACcắtOM tại E; MB cắt nửa đường tròn ( )O

tại D (D khác B )

a) Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội �ếp đường tròn

b) Chứng minh MBCD là tứ giác nội �ếp

Lời giải:

Vì MA MC, là �ếp tuyến nên: MAO MCO 90   = = 0 Tứ giác AMCO có

MAO MCO 180 + = ⇒ AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO

ADB 90 = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒ ADM 90= 0(1)

Lại có: OA OC R= = ; MA MC= (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra OM là đường trung trực của AC

x N

I H E

D M

C

A

12 | Nhóm làm tài liệu Toán THCS Tiên Phong

AEM 90

Từ (1) và (2) suy ra  ADM AEM= = 90 0 Tứ giácAMDEcó hai đỉnh A, E kề nhau cùng nhìn cạnh MA dưới một góc không đổi Vậy là tứ giác AMDEnội �ếp đường tròn đường kính MA

Bài 7: Trên các cạnh BC BD, của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm M N, sao cho MAN = ° 45 Đường thẳng BD cắt các đường thẳng AM AN, tương ứng tại các điểm P Q,

a) Chứng minh rằng các tứ giác ABMQ và ADNP nội �ếp

b) Chứng minh rằng các điểm M N Q P C, , , , nằm trên cùng một đường tròn Lời giải:

a) Các đỉnh A và B cùng nhìn đoạn thẳng MQ dưới một góc 45°

Vì vậy tứ giác ABMQ nội �ếp

Tương tự ta suy ra tứ giác ADNP nội �ếp

b) Do ABMQ là tứ giác nội �ếp nên  AQM ABM+ =180° ⇒AQM =90°

Tương tự tứ giác ADNP nội �ếp suy ra  90APN = °

Tứ giác MNQP là tứ giác nội �ếp vì có hai đỉnh Q và P cùng nhìn cạnh MN

dưới một góc 90°

Suy ra bốn điểm M N Q P, , , cùng thuộc một đường tròn (1)

Tứ giác MCNP là tứ giác nội �ếp vì MCN MPN  90 90 180 + = ° + ° = °

Suy ra bốn điểm M C N P, , , cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ (1) và (2) suy ra các điểm M N Q P C, , , , cùng nằm trên một đường tròn

Bài 8: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E Lấy I thuộc cạnh

AB, M thuộc cạnh BC sao cho  90IEM = ° (I và M không trùng với các đỉnh của hình vuông)

a) Chứng minh rằng BIEM là tứ giác nội �ếp

b) Tính số đo của góc IME

c) Gọi N là giao điểm của �a AM và �a DC; K là giao điểm của BN và �a

EM Chứng minh BKCE là tứ giác nội �ếp