14 2 hh12 chuong i the tich khoi da dien hdg

Thể tích củakhối lăng trụ đã cho bằng: Gọi M là trung điểm của BC.. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng A.. Thể tích của khối hộpchữ B A Gọi Olà tâm của hình vuông ABCD, từ giả thiế

CHUYÊN ĐỀ V – HÌNH HỌC 12 – KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

BÀI 3 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1 Khái niệm về thể tích khối đa diện

Cho khối đa diện  H

, khi đó thể tích khối đa diện  H

là số dương V( )H

thỏa mãn :a) Nếu  H

là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V ( )H 1

.b) Nếu hai khối đa diện H1

và H2

bằng nhau thì V(H1 )  V(H2 )

.c) Nếu khối đa diện  H

được phân chia thành hai khối đa diện H1

Trong đó : B là diện tích đa giác đáy

h : là chiều cao của khối chóp

3 Thể tích khối lăng trụ

+ Thể tích khối lăng trụ V B h

Trong đó : B là diện tích đa giác đáy

h : là chiều cao của khối lăng trụ

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao là độ dài cạnh bên.

4 Tỉ số thể tích.

Cho hình chóp S ABC Trên các đoạn thẳng SA SB SC, , lần

lượt lấy ba điểm M N K, , khác với S , khi đó ta có:

B

A

C H

H A1

B

C A

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Câu 1: (MĐ 101-2022) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy 3a2 và chiều cao 2 a Thể tích khối lăng trụ

đã cho bằng

Lời giải Chọn B

Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V B h. 3 2a2 a6 a3

Thể tích khối chóp S ABC bằng

Lời giải Chọn C

Ta có thể tích khối chóp S ABC. là:

1.5.6 103

Tam giác B BC vuông cân tại Bnên B BC 45o

nhau và có thể tích lần lượt là V , 1 V Tỉ số 2

1 2

Ta có

1 2

nhau và có thể tích lần lượt là V V Tỉ số 1, 2

1 2

Ta có: 1

13

và V2 Bh Suy ra

1 2

13

Câu 10: (MĐ 102-2022) Cho khối lăng trụ ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,

AB a Góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ACC A  bằng  30 Thể tích của khốilăng trụ đã cho bằng

A

31

C'

A' B'

C

A B

Thể tích khối lăng trụ đã cho là

Câu 11: (MĐ 103-2022) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

A , cạnh bên AA 2a, góc giữa hai mặt phẳng A BC 

và ABC bằng 0

30 Thể tích củakhối lăng trụ đã cho bằng:

Gọi M là trung điểm của BC Khi đó, AM BC mà BCAA' nên BCA AM' 

Câu 12: (MĐ 104-2022) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác ABC vuông cân tại ' ' '

A, cạnh bên A ' 2aA  , góc giữa hai mặt phẳng A BC' 

và ABC

bằng 60 Thể tích khối0lăng trụ đã cho bằng

B'

C'

G A

C

B A'

Đặt ABAC 2 ,x x  Gọi G là trung điểm cạnh BC0

Ta có ABC vuông cân tại A nên BC 2x 2 và AG x 2 và AGBC

Do ABC A B C là lăng trụ đứng nên ' ' ' AA 'ABC

Suy ra AG là hình chiếu của ' A G lên mặt phẳng ABC

Câu 14: (TK 2020-2021)Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước 2;3;7 bằng

V  rh

D

21.3

Lời giải

Ta có:

21.3

35

35

Câu 17: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B=3a2 và chiều cao h a= .

Thể tích của khối chóp đã cho bằng

.3

Lời giải

Ta có: V 4a364a3

Câu 19: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B7a2 và chiều cao ha

Thể tích của khối chóp đã cho bằng

A

37

37

37

Câu 22: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B8a2 và chiều cao h a

Thể tích của khối chóp đã cho bằng

34

38

3a .

Lời giải

Thể tích của khối chóp có diện tích đáyB8a2và chiều cao h a là:

3 2

1

1.3

8

Câu 23: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2)Cho khối trụ có diện tích đáy B2a2 và chiều cao h a Thể

tích của khối trụ đã cho bằng

A

3 2

Câu 24: (MĐ 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B4a2 và chiều cao h a

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A

32

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng V B h 4 a a2 4a3

Câu 25: (TK 2020-2021) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữu SA và mặt phẳng SBC

bằng 45 (tham khảo hìnhbên) Thể tích của khối chóp S ABC bằng

A

3

.8

a

B

3

3.8

a

C

3

3.12

a

D

3

.4

a

Lời giải

Gọi M là trung điểm BC thì AM ^BC và SA^BC nên BC^(SAM). Từ đây dễ thấy góc

cần tìm là a =·ASM =45° Do đó, SAM vuông cân ở A và

3.2

Ta có đáy ABCD là hình vuông có BD  2 a  ABADa 2.

a



.Vậy thể tích khối hộp chữ nhật ABCD A B C D     là:

3 2

Câu 27: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' 'có đáy là hình

vuông, BD4a, góc giữa 2 mặt phẳng A BD'  , ABCD bằng 30 Thể tích của khối hộpchữ

B A

Gọi Olà tâm của hình vuông ABCD, từ giả thiết ta có

Câu 29: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 1)Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có đáy là hình vuông,

Gọi M là trung điểm của BC Khi đó  A BC'  ; ABC  A MA' 300

.Trong tam giác vuông A MA' có:

Câu 31: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C có cạnh bên bằng   

2a , góc giữa hai mặt phẳng  A BC  và ABC

bằng 60 Thể tích của khối lăng trụ đã chobằng

M C A

Câu 32: (MĐ 104 2020-2021 – ĐỢT 2)Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có cạnh bên bằng

C'

B

C A

Ta có công thức thể tích khối chóp

Câu 34: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B 6 và chiều cao h 2 Thể tích

của khối chóp đã cho bằng:

Lời giải Chọn C

Thể tích của khối chóp

1

43

cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2 Tính thể tích V của khối chóp

a

V 

Lời giải Chọn D

Ta có SAABCD SA là đường cao của hình chóp

Thể tích khối chóp S ABCD :

3 2

Câu 38: (Mã 105 2017) Cho khối chóp S ABC có SA vuông góc với đáy, SA4, AB6, BC10

và CA8 Tính thể tích V của khối chóp S ABC

Lời giải Chọn A

Ta có BC2 AB2AC suy ra ABC vuông tại A 2 S ABC 24,  

1

3 ABC

2a Tính thể tích V của khối chóp S ABC .

A

3116

a

V 

B

3114

a

V 

C

31312

a

V 

D

31112

a

V 

Lời giải Chọn D

O I

B S

Do đáy là tam giác đều nên gọi I là trung điểm cạnh BC , khi đó AI là đường cao của tam

giác đáy Theo định lý Pitago ta có

Câu 40: (Dề Tham Khảo 2019) Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a Thể tích của

khối chóp đã cho bằng

A

3

2 23

a

D

3

4 23

a

Lời giải Chọn D

Gọi hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a là S ABCD và I tâm của đáy ta có:

Câu 41: (Mã 123 2017) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a ,cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy.

Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

3

22

a V

3

142

a V

3

26

a V

3

146

a V

Lời giải Chọn D

I A

D S

Chiều cao của khối chóp:

Câu 43: (Mã 110 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3,

SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60o Tính thể tích

V của khối chóp S ABCD

3

3a

Lời giải Chọn.C

Câu 44: (Mã 123 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,

SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 Tính thể tích khối chóp 0 S ABCD

A

3

23

a

B

3

23

a

C

3

63

a

D 2a3

Lời giải Chọn B

+) Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: S ABCD a2

+) Chứng minh được BCSAB

SB

Ta được: SB BC 3 x2a2 a 3 x a 2

3 2

đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giác SAD cân tại S và mặt bên SAD vuông góc với

mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD bằng

3

4

3a Tính khoảng cách h từ B đến mặtphẳng SCD

A

34

B

23

C

43

D

83

Lời giải Chọn C

Gọi I là trung điểm của AD Tam giác SAD cân tại S

 là đường cao của hình chóp

Theo giả thiết

Xét tam giác SID vuông tại 2 2 2 2 2

với nhau; AB6a , AC7a vàAD4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh

BC,CD, DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP

3

283

D

3

72

Lời giải Chọn A

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là: V B h.

phương đã cho bằng

Lời giải Chọn A

Thể tích khối lập phương có cạnh bằng 6 là V  63 216.

A 6 B 8 C 4 D 2

Lời giải Chọn B

Thể tích khối lập phương cạnh a là V a3

Vậy thể tích khối lập phương cạnh 2 là: V   23 8

Câu 50: (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước 3; 4;5 Thể tích của khối hộp

đã cho bằng?

Lời giải Chọn D

Thể tích của khối hộp đã cho bằng V 3.4.5 60

Câu 51: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2; 4; 6 Thể tích của

khối hộp đã cho bằng

Lời giải Chọn C

Thể tích của khối hộp đã cho bằng 2.4.6 48.

Câu 52: (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B 3 và chiều cao h 2 Thể tích

của khối lăng trụ đã cho bằng

Lời giải Chọn D

 Thể tích khối lăng trụ là V B h. 3.2 6

tích của khối lăng trụ đã cho bằng

day

tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Chọn C

Ta có: V langtru S day.h a2.2a 2a3

Câu 55: (Mã 102 -2019) Cho khối lăng trụ đứngABC A B C. ¢ ¢ ¢ có đáy là tam giác đều cạnh a và

2

AA  a (minh họa như hình vẽ bên)

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A

3

32

a

3

36

a

3

33

a

Lời giải Chọn A

Tam giác ABC đều cạnh a nên

2 34

Lời giải

Giả sử khối lập phương có cạnh bằng x x ; 0

Xét tam giác ' ' 'A B C vuông cân tại ' B ta có:

Thể tích của khối lập phương ABCD A B C D.     là V a3

Lời giải Chọn A

Thể tích của khối lập phương cạnh 2a bằng: V 2a3 8a3

Câu 58: (Mã 104 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có đáy là tam giác đều cạnh a và

AA  a (minh họa như hình vẽ bên dưới)

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A

3

62

a

3

64

a

3

66

a

3

612

a

Lời giải

Ta có:

2 34

ABC

a

.Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là

a

V 

B

3 32

a

V 

C

3 34

a

V 

D

3 36

a

V 

Lời giải Chọn C

Câu 60: (Mã 110 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C.    có BB   , đáy ABC là tam giác vuông a

cân tại B và AC a 2 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Tam giác ABC vuông cân tại B 2

A' C' B'

B

C A

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Lời giải Chọn B

Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác đều có diện tích là

2

(2 ) 34

a

Câu 62: (Mã 101 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều

cạnh a và AA' 3a(minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A' C' B'

B

C A

A

34

a

332

a

Lời giải Chọn C

Ta có

2 34

a

Câu 63: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lăng trụ đứng ABCD A B C D.     có đáy là hình thoi cạnh

a , BD a 3 và AA 4a (minh họa như hình bên) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A 2 3a 3 B 4 3a 3 C

3

2 33

a

3

4 33

a

Lời giải Chọn A

Gọi I ACBD Ta có:

3,

Câu 64: (Mã 104 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác cân với

AB AC a  , BAC 120 Mặt phẳng (AB C  tạo với đáy một góc ) 60 Tính thể tích V của

khối lăng trụ đã cho

A

3

38

a

V 

Lời giải Chọn A

Gọi H là trung điểm của B C , khi đó góc giữa mp AB C 

Câu 65: (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C.   , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB bằng

2 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C    là trung điểm M của B C   và

2 33

A M 

Thểtích của khối lăng trụ đã cho bằng

2 33

Lời giải Chọn A

Cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta được thiết diện là tam giác

1 1

A B C có các cạnh A B 1  ; 1 A C 1  3; B C  1 1 2

Suy ra tam giác A B C 1 1 vuông tại A và trung tuyến A H của tam giác đó bằng 1

Gọi giao điểm của AM và A H là T

Ta có:

2 33

A M 

; A H 1

13

A M AA

A B C

Câu 66: (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C , khoảng cách từ C đến đường thẳng ' ' ' BB'

bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và ' CC lần lượt bằng 1 và 3 , hình'

chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( ' ' ') A B C là trung điểm M của ' ' B C và ' A M  2Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A

2 3

Lời giải Chọn D

Gọi A A lần lượt là hình chiếu của A trên '1, 2 BB , CC Theo đề ra'

1 1; 2 3; 1 2 2

Do AA12AA22 A A1 22 nên tam giác AA A vuông tại A 1 2

Gọi H là trung điểm A A thì 1 2 1 22 1

A A

.Lại có MH BB ' MH (AA A1 2) MH AH suy ra MH  AM2 AH2  3

S S

Thể tích lăng trụ là V AM S ABC  2

Nhận xét Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu 'S Scos

Câu 67: (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến . BB là 5 , khoảng'

cách từ A đến BB và ' CC lần lượt là 1; 2 Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng'' ' '

A B C là trung điểm M của ' ' B C ,

15'

Lời giải

Vì CC'BB' d C BB( , ') d K BB IK( , ')  5  AIK vuông tại A

Gọi E là trung điểm của IK  EF BB  '  EF AIK  EF AE



32

  FAE 30 .

Hình chiếu vuông góc của tam giác ABC lên mặt phẳng AIK là AIK nên ta có:

cos

 AM 

5

Vậy ' ' '

25

Câu 68: (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC A B C.    Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB

bằng 5 , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC lần lượt bằng 1 và 2 , hình

chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A B C    là trung điểm M của  B C  và A M  5.Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Lời giải Chọn D

Gọi J , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BB và CC , H là hình chiếu vuông

Gọi F là trung điểm JK khi đó ta có

52

.Gọi N là trung điểm BC, xét tam giác vuông ANF ta có:

cosNAF AF

AN



525

AJK

.1.2 12

   SAJK SABC.cos 60

121cos 60

2

AJK ABC

Xét tam giác AMA vuông tại M ta có MAA AMF30 hay AM A M tan 30

153



Vậy thể tích khối lăng trụ là V AM S. ABC

Câu 69: (Đề tham khảo 2017) Cho khối tứ diện có thể tích bằng V Gọi V  là thể tích của khối đa

diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số

V V



A

12

V V





23

V V





58

V V





Lời giải Chọn A

Cách 1 Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện đều cạnh a Hình đa diện cần tính có được bằng

cách cắt 4 góc của tứ diện, mỗi góc cũng là một tứ diện đều có cạnh bằng 2

Cách 2 Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có cùng đáy là hình bình hành úp

D

C B

A

Câu 70: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và DA đôi một vuông

góc với nhau; AB6a , AC7a vàAD4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh

BC,CD, DB Tính thể tích V của tứ diện AMNP

A

372

3283

D V 7a3

Lời giải Chọn D