Khóa luận tốt nghiệp một số thế tán xạ cơ bản trong cơ học lượng tử

Nguyễn Huy Thảo ƣờ đã ú đỡ đị ƣ ng nghiên cứu, cung cấp cho em những tài liệu quý báu, tậ ƣ ng dẫn, chỉ bảo, tạo đ ều kiện tốt nhất trong quá trình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp... Chí

LỜI CẢM ƠN

T ƣ ậ ố ệ bày tỏ lòng biế ơ sâ sắc t i TS Nguyễn Huy Thảo ƣờ đã ú đỡ đị ƣ ng nghiên cứu, cung cấp cho em những tài liệu quý báu, tậ ƣ ng dẫn, chỉ bảo, tạo đ ều kiện tốt nhất trong quá trình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp

c a thầy cô và bạ è để khoá luậ đƣợc hoàn thiệ ơ

Tôi xin chân thành cảm ơ !

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Sinh Viên

Vũ Thị Hằng

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp c e o ƣ i s ƣ ng dẫn tận tình c a thầy giáo TS Nguyễn Huy Thảo Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận em có tham khảo m t số tài liệu c a m t số tác giả đã o ần tài liệu tham khảo

E đo ững kết quả nghiên cứu trong khoá luận hoàn toàn là trung th ƣ ừ đƣợc công bố bởi bấ ơ o á ọi ngu n tài liệu tham khảo đề đƣợc trích dẫn m t cách rõ ràng

Hà Nội, tháng 05 năm 2018

Sinh Viên

Vũ Thị Hằng

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

PHỤ LỤC

Hình 1.1: Mô tả mối liên hệ giữa hai vector sóng và góc tán xạ

Hình 1.2: Mô tả s va chạm vào nhau c a hai hạt n và p

Hình 1.3: So sánh thế Yukawa khi g=1 v i các giá trị m khác nhau

Hình 1.4: Hiệu ứng Ramsauer-Townsend

Hình 1.5: Mậ đ xác suất 10 r( ) có c đại tại r = a, 10 r( )0 tại r = 0

và giảm nhanh theo hàm số r ă

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ẦU 1

1 Lý do chọ đề tài: 1

2 Mụ đ ứu: 1

3 ối ƣợng và phạm vi nghiên cứu: 1

4 Nhiệm vụ c đề tài: 1

5 P ƣơ á ứu: 1

6 Cấu trúc c đề tài: 2

PHẦN 2: NỘI DUNG 3

C ƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ T UYẾT 3

I.1: Lý thuyế ơ ản tán xạ: 3

I.2: Hệ hạt chuyể đ ng m t chiều: 8

I 3: ịnh lý quang học: 11

I.4: Thế Yukawa: 12

I.6: Hiệu ứng Ramsauer- Townsend: 14

I.7: Thế đối xứng cầu: 15

C ƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG CƠ ỌC LƢỢNG TỬ: 19

II 1: B oá ề T ế Y w : 19

II.2: Bài toán về Hiệu ứng Ramsauer-Townsend: 25

II.3: Bài toán về Thế đối xứng cầu: 26

II.4 Bài toán về ịnh lý quang học: 29

PHẦN 3: KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO: 33

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

Cơ ọ ượng tử là m t nhánh c a vật lý nghiên cứu về chuyể đ ng c a các vật thể á đạ ượng vậ q ư ă ượ e Cơ ọ ượng

tử được coi là nâng cao ơ ơ ọc Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và

đú đắn rất nhiều các hiệ ượng vậ ơ ọc Newton không thể giải thích được Các hiệ ượng này bao g m các hiệ ượng ở quy mô nguyên tử hay nhỏ

ơ Cơ ọc Newton không thể lý giải tại sao các nguyên tử lại có thể bền vững đến thế, hoặc không thể giả được m t số hiệ ượ ĩ ư s ẫn, siêu chả T o á ường hợp nhấ đị á định luật c ơ ọ ượng tử

á định luật c ơ ọc cổ đ ển ở mứ đ á o ơ

T o đ các thế tán xạ ơ ản là phần quan trọ o ơ ọ ượng tử, giúp nghiên cứu về hệ th c và các hệ ưởng

Chính vì vậy tôi đã chọ đề tài “ Một số thế tán xạ cơ bản trong cơ học lượng tử ” đề tài khóa luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu:

Gi i thiệu m t số thế tán xạ ơ ả o ơ ọ ượng tử

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Lý thuyết tán xạ, m t số khái niệ ươ á q

4 Nhiệm vụ của đề tài:

Tìm hiểu m t số thế tán xạ ơ ản

5 Phương pháp nghiên cứu:

P ươ á Vật lý lý thuyết, Vật lý toán

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

2

6 Cấu trúc của đề tài:

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: N i dung

C ƣơ I: Cơ sở lý thuyết

C ƣơ II: M t số bài toán về tán xạ ơ ả o Cơ ọ ƣợng tử Phần 3: Kết luận chung

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

Trong vật lí hạt nhân, các tâm tán xạ ƣ c dài cỡ 10121013

cm, các tiết diện tán xạ hiệu dụng ƣờ đƣợ đo ằ đơ ị barn hay milibarn: 1barn1024cm2, 1mbarn1027cm2

V i bài toán tán xạ chúng ta chỉ xét các quá trình xảy ra do va chạ đ

h i, tức là các va chạm không dẫ đến s chuyển hoá các hạt hay là không làm cho các trạng thái n i tại c a các hạ đổi, mà q â đến các tâm tán xạ ƣ ấu trúc c a hạt

Tác dụng c a các tâm tán xạ có thể o ƣ á ụng c a m t tâm l c mà

o ƣờng c a nó các hạt tán xạ chuyể đ ng Kí hiệu ( )V r là thế ă a hạt bị tán xạ o ƣờng c a tâm tán xạ đ é r là bán kính vector c a hạt

    Hàm ( )A  đƣợc gọ đ tán xạ

I.1.3: Phép gần đúng của Born:

ể tìm tiết diện tán xạ hiệu dụng cần phả đ tán xạ Trong phép

gầ đú Bo đ đƣợc tính nhờ lý thuyết nhiễu loạ T o đ ễu loạ đƣợc lấy là thế ă a hạt tán xạ o ƣờng c a tâm tán xạ [2]

6

T o đ dV là yếu tố thể tích lấ â o q đ ểm có bán kính vector r

7

( )2

I.1.4: Phân biệt hệ tọa độ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm:

Trong hệ tọ đ khối tâm, xung lƣợng c a hai hạ ƣợc chiề đâ o nhau: p p1 p2 và p' p3 p4 [3]

Tiết diện tán xạ vi phân có dạng:

2 '264

p

M fi d

Hình 1.2: Mô tả s va chạm vào nhau c a hai hạt n và p [1]

Trong hệ phòng thí nghiệm: xét hạt thứ đứng yên p2m2,0,0

Ta có:

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

T là thời gian chạy máy (m ă 10 s ) 7

I.2: Hệ hạt chuyển động một chiều:

P ươ s o e o t hạt [2]

Phươ o e c chấ ă ượng, là m ươ

ơ ản c a vậ ượng tử mô tả s biế đổi trạ á ượng tử c a m t hệ vật

lý theo thời gian, thay thế o á định luật Newton và biế đổ G eo o ơ học cổ đ ển

I.2.1: Thiết lập phương trình Schrodinger tổng quát:

Giả xử Hamilton c a m t hạ đượ o ư i dạng [2]:

T o đ W là m t hàm l o đ ụ thu c vào ⃗ ⃗̇… ời gian t

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

I.2.2: Phương trình schrodinger cho một hạt chuyển động trong trường thế

̂ ⃗ ] Trong đ

đ ă ̂ ⃗ là thế ă

Vậy suy ra E ă ượng trong trạng thái chuyể đ ng ⃗ c a hạt

T o ường hợp hạt chuyể đ ng m t chiều U( ⃗) = U(x) ươ

trên trở thành:

ψ”(x) + [E - U(x)]ψ(x) = 0

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

E U q q k

M t số định luật bảo toàn:

Từ ƣơ S o e có thể suy ra m t số định luật bảo toàn đƣợc biểu diễ q ƣơ ục:

⃗

 ịnh luật bảo toàn khố ượng:

Nhân và ⃗ v i khố ượng m c a hạ được và ⃗

Suy ra ươ ục:

⃗

 ịnh luật bảo o đ ện tích:

Tươ ư â đ ện tích e

Suy ra ươ ục:

⃗

C ú : định luật bảo toàn khố ượ định luật bảo o đ ện tích không nghiệ đú ố ượng phụ thu c vào vận tốc và s sinh hay h y c đ ện tích

12

P ƣơ s đ đƣợc mở r ng cho lý thuyết tán xạ ƣợng tử bởi

m t số á â đƣợc biế đế ƣ ối liên hệ Bohr-Peierls-Placzek sau m t

áo ƣ đƣợc công bố ă 1939 ịnh lý này đƣợc gọ "định lý quang

họ " o ă 1955 ởi Hans Bethe và Frederic de Hoffmann, sau m t thời gian

đã đƣợc biế đế ƣ "định lý nổi tiếng về quang học"

Trong vật lý định lý quang học là tổng quát chung c a lý thuyết sóng tán

xạ, mà liên quan t đ tán xạ c a tổng tiết diện tán xạ ƣợ á định bởi biểu thức:

= Imf(0)

T o đ f(0) đ tán xạ, im là phần ảo c a f(0)

V i góc bằng 0 đ c a sóng tán xạ là trung tâm c a m t màn hình, và

k là vector chỉ ƣơ

V á định lý quang họ đƣợc tạo ra từ sử dụng bảo o ă ƣợng, hay

o ơ ọ ƣợng tử từ bảo toàn c a xác suấ ịnh lý quang họ đƣợc áp dụng

r ã o ơ ọ ƣợng tử, bao g m cả s tán xạ đ i và không

đ i We e e se e đã á đề tổ q á ơ q đến việc đƣ đƣợc tham số chỉ ƣơ :

Hideki Yukawa (1907-1981) sinh ra tại Tokyo, Nhật Bản Ô đã ừng học

tạ ƣờ ại họ Os đạ đƣợc nhiều giả ƣở á ƣ ải Nobel

Vậ ă 1949 ƣơ Lo o oso ă 1964 …

Hideki Yukawa cho thấy rằng m t hạt phát sinh từ s o đổi c a m t hạt

l ƣ ƣ ạt c a m t boson l n Từ đ ạt trung gian là l đ ng vị l n

có m t miền biến thiên nhấ đị đ ỉ lệ nghịch v i khố ƣợng trung gian m

Vì miền biến thiên xấp xỉ c a hạ â đã ế T o ƣờng l c c a l c hạt

nhân, khố ƣợ đã đƣợc d đoá ơ o oảng 200 lần khố ƣợng

electron, và nhỏ ơ é o đoá a s t n tại c o đƣợc phát hiện

ă 1947 [5]

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

13

Trong hạt nhân và vật lý nguyên tử, thế Y w đƣợ á định bởi công thức:

2( )r g e kmr

V Coulomb  r

T o ƣơng tác giữa m t hạt meson và hạt fermion, hằng số g bằng hằng

số ƣơ á ữa các hạ T o ƣờng hợp l c nguyên tử, fermion sẽ g m

m t proton và m t proton khác hoặc m t neutron

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

14

Hình 1.3: So sánh thế Yukawa khi g=1 v i các giá trị m khác nhau

I.6: Hiệu ứng Ramsauer- Townsend:

Hiệu ứng Ramsauer-Tow se đ ò đƣợc gọi là hiệu ứng Ramsauer hay hiệu ứng Townsend, là m t hiệ ƣợng vậ q đến s tán xạ các

đ ện tử ă ƣợng thấp bởi các nguyên tử c a m t khí quyển Kể từ khi giải thích c a hiệu ứ đò ỏi lý thuyết sóng c ơ ọ ƣợng tử, từ đ ứng tỏ s cần thiết cho lý thuyết vậ ơ so i các vật lý Newton [5]

Hiệu ứ đƣợ đặt tên theo Carl Ramsauer (1879-1955) và John Sealy Townsend (1868-1957), nhữ ƣời từng nghiên cứ đ c lập s va chạm giữa các nguyên tử á đ ện tử ă ƣợng thấ o đầu thập niên 1920

Nế ƣời ta cố gắ để d đoá á s ất va chạm v i m t mô hình cổ

đ ển ƣ i dạng coi electron và nguyên tử ƣ quả cầu cứng, ƣời ta thấy rằng xác suất va chạm phả đ c lập v ă ƣợng electron t i Tuy nhiên, Ramsauer

và Townsend quan sát thấy rằ đối v i electron chuyể đ ng chậm trong argon, krypton, hoặc xenon, xác suất va chạm giữa các electron và các nguyên tử khí có giá trị nhỏ nhấ o á đ ện tử v i m ƣợ đ ă ấ định (khoảng 1

e e o o o e o ) â ệu ứng Ramsauer-Townsend

Không có giải thích nào tốt cho hiệ ƣợ o đến khi ơ ọ ƣợng

tử xuất hiệ đ ều này giải thích rằng hiệu ứng này xuất phát từ các tính chất giố ƣ s a electron M đơ ản về va chạm làm cho việc sử dụng lý thuyết sóng có thể d đoá s t n tại c a hiệu ứng Ramsauer-Townsend

là tối thiểu

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

15

Hình 1.4: Hiệu ứng Ramsauer- Townsend

I.7: Thế đối xứng cầu:

I.7.1: Các tính chất tổng quát của chuyển động trong trường thế đối xưng cầu:

I.7.1.1: Hàm đối xứng cầu:

Trong m ường, xét thế ă ỉ phụ thu c vào khoảng cách

2

r  x  y z đến m đ ểm cố đị T ườ đ ọ ường thế đối xứng cầu [2]

đ ều hòa c a hai toán tử ˆLz và ˆL 2

T đƣợ đ ều hòa cầu:

I.7.2.2: Thế năng hiệu dụng:

Về mặt hình thức, hàm xuyên tâm có thể coi giố ƣ ƣơ schodinger cho chuyể đ ng m t chiề o ƣờng thế:

2( 1)( ) ( )

22

Nếu U(r) > 0 ở khắ ơ à U(r) → 0 ở ∞ E0 ở tất cả các trạng thái chuyể đ ng, vì U 0 còn giá trị trung bình c đ ă o ờ ƣơ

Hạt có thể đ ỏi tâm t i ∞, ở đ ạt chuyể đ ng t do v i phổ ă ƣợng là

liên tục

Nếu U(r) < 0 và U(∞) = 0 thì hạt có thể chuyể đ ng trong m t thể tích hữu hạn v i các giá trị ă ƣợ á đoạn E < 0

I.7.2: Nguyên tử Hidro:

Nă ƣợng ở mức n c a electron trong nguyên tử Hydro [2]:

4

2 22

18

Trong miền E < 0 ă ƣợng bị ƣợng tử hoá Khi n ă á ức sát lại gần nhau, và khi n → ∞, E0

Trong miền E > 0 phổ ă ƣợng là liên tục

Nă ƣợ đƣ e e o ừ trạng thái E1 lên miền có phổ liên tục gọi là

ă ƣợng ion hoá nguyên tử Nă ƣợng này ít nhất phải bằng thế ion hoá

413,6

gọi là hằng số R e ă 1913 ầ đầ đã đƣợc N Bohr tính toán bằng

lý thuyết Kết quả tính toán phù hợp v i kết quả th c nghiệm

Tập hợp các tần số do nguyên tử phát ra gọi là quang phổ c a nó

Ta gọi dãy là tập hợp mọi tần số ν ứng v i s chuyển từ các mức n khác nhau về cùng m t mức m (n > m)

Nă 1885 ơ sở phân tích các kết quả nghiên cứu quang phổ nguyên

tử Hydro, Balmer tìm ra dãy Balmer ứng v i m = 2, nằm trong vùng ánh sáng

khả kiến và vùng tử ngoại gầ Nă 1906 L á ệ ã ƣơ ứng v i

m = 1 nằm trong vùng tử ngoại xa Trong vùng h ng ngoạ ƣời ta phát hiện thêm ba dãy ứng v i m = 3, 4 và 5

Trạ á ơ ản (n = 1) c a electron trong nguyên tử o đƣợc diễn tả

bởi hàm sóng:

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

19

100

1, ,

3

r a

T o đ a là bán kính quỹ đạo Bohr thứ nhất

Xác suất tìm thấy toạ đ c a hạt giữa hai l p cầu r và r + dr quanh gốc toạ

Hình 1.5: Mậ đ xác suất 10 r( ) có c đại tại r = a, 10 r( )0 tại r =

0 và giảm nhanh theo hàm số r ă [2]

CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÁN XẠ CƠ BẢN TRONG

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ:

II.1: Bài toán về Thế Yukawa:

Bài toán 1 [4]:

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

20

Xét s tán xạ c a m t hạt từ thế V(r) Giả sử rằng, v i m ƣơ moment o ƣ c, m t c c xảy ra tại ki k rib ( b>0, k r  2m E r / 2)

a, Chứng minh rằng ma trận S đơ để chỉ ra rằng S l có thể viết

b, Sử dụng biểu thức trên c a ma trận S ( v i e i k( ) 1 ) để á định biên

đ tán xạ f l( , )k  , tiết diện tán xạ tổng c ng tot k( )

l

 cho k k r và chứng

minh bằng sóng l c ƣởng k k r

T đ trễ pha c a t c ƣờ đ c ƣởng Cái gì là hình ảnh c a ( )k

tot k l

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

( Trong cả ƣờng hợp: thế Yukawa và thế đối xứng cầu, có thể tính

đ tán xạ bằng cách lấy x2kasin( 2) là biến c a tích phân Ở mứ ă ƣợng cao, tiết diện tán xạ tổng c ng c a thế đối xứng cầu là:

 

(0)9

( )

28

tot V tot k

24

1 2

24

( )q 4 ( )q

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2

1 ( / ) tan

i k k k a ika

ƣơ á định vị trí c a các c c c a S k trên trục ảo 0 

c, D a vào các biểu thức trên c a ma trận tán xạ S, đƣ ểu thứ ă

( )0

k i k

b, Tính xác suất tìm thấy giá trị ƣợng c a electron nằm trong khoảng

từ p đến p + dp trong trạng thái này

c p

p a

31

   tan(ka k ) k  tanha

Khóa luận đã ổng hợ đƣợc m t số lý thuyế ơ ản tán xạ, Hệ hạt chuyển

đ ng m t chiều, thế Y w ịnh lý quang học, Hiệu ứng Townsend, thế ối xứng cầu

Ramsauer-Khóa luận đã ổng hợ đƣợc m t số bài toán ơ ản liên quan t i thế Yukawa, Hiệu ứng Ramsauer-Townsend, thế ối xứng cầu

M i thế tán xạ khác nhau ƣơ ứng v i m oá ơ ọ ƣợng tử khác nhau, kiến thức Vật lý là vô hạn và có rất nhiều thế khác nhau trong th c tế Chính vì vậy khóa luận sẽ hoàn thiệ ơ số ƣợ oá ƣơ ứng v i các thế á đƣợc bổ sung nhiề ơ

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HN 2