Ôi số tuyán tẵnh
Vectơ \( v \in \mathbb{R}^n \), với \( v \neq 0 \), gọi là vectơ riêng của ma trận \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) nếu tồn tại một số \( \lambda \) (có thể là số thực hoặc số phức) sao cho \( Av = \lambda v \) Số \( \lambda \) được gọi là giá trị riêng của \( A \) ứng với vectơ riêng \( v \), và tập hợp các giá trị riêng của \( A \ được ký hiệu là \( \lambda(A) \) Các giá trị riêng của \( A \) xác định nghiệm của phương trình đặc trưng thực của \( A \): \( \text{det}(\lambda I - A) = 0 \) hay \( p(\lambda) = \lambda^n + a_1 \lambda^{n-1} + a_2 \lambda^{n-2} + + a_{n-1} \lambda + a_n = 0 \) Định lý Cayley-Hamilton khẳng định rằng mọi ma trận \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \ đều thỏa mãn nghiệm của phương trình đặc trưng của nó: \( p(A) = A^n + a_1 A^{n-1} + a_2 A^{n-2} + + a_{n-1} A + a_n I = 0 \).
• Cho ma trên A ∈ R nìn , A = (a ij ), i, j = 1, 2, , n Chuân cừa ma trên
X k=0 c k λ k , náu n = ∞ thẳ chuội giÊ thiát l hởi tử H m cừa ma trên A ữủc xĂc ành bði f (A) = n
X k=0 c k A k ành lỵ 1.1.2 (Cổng thực Sylvester) Cho A ∈ R nìn vợi cĂc giĂ trà riảng λ 1 , λ 2 , , λ n khĂc nhau Cho f (λ) l h m a thực bêc n n o õ dÔng (1.1). Khi â f (A) = n
• Ma trên A gồi l xĂc ành dữỡng náu i) hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ R n ii) hAx, xi > 0, x 6= 0 trong õ hx, yi kỵ hiằu tẵch vổ hữợng cừa hai vectì x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) x¡c ành bði hx, yi = n
• Náu A = A T , thẳ A gồi l ma trên ối xựng Ta luổn cõ AA T l ma trên ối xựng v (AB) T = B T A T Náu A l khổng suy bián, tực l det A 6= 0, thẳ s³ tỗn tÔi ma trên nghàch Êo A −1 :
Náu A l ma trên xĂc ành dữỡng thẳ luổn tỗn tÔi ma trên nghàch Êo
Để xác định điều kiện của ma trận A là dương xác định, cần thỏa mãn hai điều kiện: Thứ nhất, A phải là ma trận trên không Thứ hai, tồn tại một hằng số c > 0 sao cho hAx, xi ≥ c||x||² với mọi x ∈ Rⁿ Theo điều kiện Sylvester, ma trận A ∈ Rⁿ là dương xác định nếu định thức của tất cả các định thức con D_i đều lớn hơn 0, với i = 1, 2, , n.
Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn
X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn
(1.2) trong õ f : R + ì R n −→ R n Nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn (1.2) s³ l h m số x(t) khÊ vi liản tửc thọa mÂn: i) (t, x(t)) ∈ R + × R n ii) x(t) thọa mÂn hằ phữỡng trẳnh vi phƠn (1.2).
Nghiằm x(t) cho bði dÔng tẵch phƠn sau: x(t) = x 0 +
Náu vá phÊi cừa (1.1) khổng phử thuởc t thẳ ta nõi hằ (1.2) l hằ ổtổnổm, ngữủc lÔi ta nõi hằ l khổng ổtổnổm.
Trữớng hủp f l h m liản tửc x²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh ổtổnổm
(1.3) trong õ A l ma trên hơng số cĐp n ì n v g : [0, +∞) −→ R n l h m liản tửc Khi õ hằ phữỡng trẳnh (1.3) luổn cõ nghiằm (duy nhĐt) xĂc ành trản [0, +∞) cho bði cổng thực Cauchy x(t) = x 0 e A(t−t 0 ) +
Z t t 0 e A(t−s) g(s)ds. ối vợi hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh khổng ổtổnổm dÔng
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét hàm số liệu tử A(t) là một hàm liên tục từ R+ đến Rn Hàm này biểu diễn sự thay đổi của hệ thống qua ma trận φ(t, s), với phương trình vi phân x(t) = A(t)x(t) cho t ≥ 0 Đặc biệt, chúng ta sẽ phân tích cách mà x(t) được xác định thông qua ma trận chuyển giao Φ(t, t0) và điều kiện ban đầu x0.
Z t t 0 Φ(t, s)g(s)ds. trong õ Φ(t, s) l ma trên nghiằm cỡ bÊn cừa hằ tuyán tẵnh thuƯn nhĐt
B i toĂn ờn ành hằ phữỡng trẳnh vi phƠn
X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình Cauchy (1.5) với điều kiện ban đầu x(t₀) = x₀, t ≥ 0, trong không gian Rⁿ Hàm f: R⁺ × Rⁿ → Rⁿ được định nghĩa sao cho nghiệm x(t) tồn tại và duy nhất Định nghĩa 1.3.1 nêu rõ rằng, với mỗi số ε > 0 và t₀ ≥ 0, tồn tại một số δ > 0 phụ thuộc vào ε và t₀, sao cho nếu nghiệm y(t) với y(t₀) = y₀ thỏa mãn ||y₀ - x₀|| ≤ δ, thì nghiệm x(t) sẽ tồn tại trong khoảng thời gian nhất định.
Nói cách khác, nghiệm x(t) sẽ tồn tại khi nghiệm khác của hàm có giá trị gần với giá trị ban đầu của x(t) trong suốt thời gian t ≥ t0 Cụ thể, nghiệm x(t) của hàm (1.5) sẽ dẫn đến tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu ||y0 − x0|| ≤ δ thì lim t→∞ ||y(t) − x(t)|| = 0.
Nghĩa là, giá trị của hàm x(t) sẽ tăng lên khi giá trị của hàm y(t) khác với giá trị trung bình của nó Điều này xảy ra khi x(t) tiến gần đến giá trị trung bình x0, trong khi y(t) tiến gần đến giá trị trung bình y0.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét phương trình vi phân (1.5) và cách mà nó liên quan đến biến đổi (x − y) 7→ z và (t− t 0 ) 7→ τ Phương trình vi phân này cho phép chúng ta xác định mối quan hệ giữa z và τ thông qua hàm F (τ, z), với điều kiện F (τ, 0) = 0 Khi phân tích sự chuyển động của một hệ thống, chúng ta sẽ áp dụng phương trình (1.5) và điều kiện của nó để hiểu rõ hơn về các biến số liên quan Cuối cùng, chúng ta sẽ thay thế vào phương trình (1.6) để hoàn thiện mô hình nghiên cứu.
0 cừa hằ l ờn ành Do õ tứ bƠy giớ ta x²t hằ (1.5) vợi giÊ thiát hằ cõ nghiằm 0 tực l f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 v ta cõ cĂc ành nghắa sau: ành nghắa 1.3.4.
Hằ (1.5) gồi l ờn ành náu vợi mồi số ε > 0 , t ≥ 0 s³ tỗn tÔi số δ > 0 phử thuởc ε v t 0 sao cho bĐt ký nghiằm x(t), x(t 0 ) = x 0 cừa hằ thọa mÂn
||x 0 || < δ thẳ nghiằm úng bĐt ¯ng thực ||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t 0
Hằ (1.5) gồi l ờn ành tiằm cên náu nõ l ờn ành v tỗn tÔi số δ > 0 sao cho ||x 0 || < δ thẳ lim t→∞ ||x(t)|| = 0.
Chú ỵ rơng náu số δ > 0 trong các ảnh nghĩa trản khổng phử thuộc vào thời gian ban Ưu t 0 thẳng tắn ờn ảnh (hay ờn ảnh tiằm cên) được gọi là ảnh ãu Hằng (1.5) là ảnh mụ náu tốn tÔi các số M > 0 và δ > 0 sao cho mọi nghiệm cừa hằng (1.5) với x(t0) = x0 thỏa mãn.
Tực l , khổng nhỳng nghiằm 0 cừa hằ ờn ành tiằm cên m mồi nghiằm cừa nõ tián tợi 0 nhanh vợi tốc ở theo h m số mụ.
Vẵ dử 1.3.6 X²t phữỡng trẳnh vi phƠn sau trong R ˙ x(t) = ax(t), t ≥ 0.
Nghiằm x(t) , vợi x(t 0 ) = x 0 ữủc cho bði cổng thực x(t) = x 0 e at , t ≥ 0.
• Náu a < 0 : Theo ành nghắa náu ||x 0 || ≤ δ thẳ ta cõ ||x(t)|| ≤
||x 0 e at || ≤ ||x 0 ||e at Chồn δ = ε v e at ≤ 1 ta cõ ||x(t)|| < ε , vẳ
||x(t)|| → 0 khi t → +∞ Vêy khi a < 0 thẳ hằ ờn ành tiằm cên.
• Náu a = 0 thẳ hằ l ờn ành, khổng ờn ành tiằm cên vẳ ||x(t)|| = ||x 0 ||
• Náu a > 0 hiºn nhiản hằ khổng ờn ành.
Trản Ơy ta ành nghắa tẵnh ờn ành cho cĂc hằ vợi thới gian liản tửc CĂc ành nghắa õ ho n to n ữủc ành nghắa tữỡng tỹ cho cĂc hằ vợi thíi gian ríi r¤c, với công thức x(k + 1) = f(k, x(k)), k ∈ Z +, trong đó f(.) : Z + → X là hàm cho trữợc.
Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov
Có nhiều phương pháp để xác định ổn định của hệ phương trình vi phân Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét cách xác định ổn định của hệ phương trình vi phân theo phương pháp thứ hai của Lyapunov, còn được gọi là phương pháp hàm Lyapunov.
X²t hằ phữỡng trẳnh ổtổnổm dÔng ˙ x = f (x), f (0) = 0, t ≥ 0 (1.8) ành nghắa 1.4.1 H m khÊ vi liản tửc V (x) : R n −→ R gồi l h m Lyapunov cừa hằ (1.8) náu: i) V (x) khÊ vi liản tửc trản R n ii) V (x) l h m x¡c ành d÷ìng tùc l : V (x) ≥ 0, ∀x ∈ R n ; V (x) = 0 khi v ch¿ khi x = 0 iii) D f V (x) := ∂V ∂x f (x) ≤ 0, ∀x ∈ R n
H m V (x) gồi l h m Lyapunov ch°t náu nõ l h m Lyapunov v thảm v o õ bĐt ¯ng thực trong iãu kiằn iii) l thỹc sỹ Ơm, vợi mồi x nơm ngo i mởt lƠn cên 0 n o õ, nõi cĂch khĂc:
∃c > 0 : D f V (x) ≤ −c||x||, x ∈ R n \{0}. ành lỵ 1.4.2 Náu hằ (1.8) cõ h m Lyapunov thẳ hằ l ờn ành.
Vẵ dử 1.4.3 X²t tẵnh ờn ành cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn
Vêy hằ Â cho ờn ành. ành lỵ 1.4.4 Náu hằ (1.8) cõ h m Lyapunov ch°t thẳ hằ l ờn ành tiằm cên.
Vẵ dử 1.4.5 X²t tẵnh ờn ành tiằm cên cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn
Vêy hằ Â cho ờn ành tiằm cên.
Hệ phương trình vi phân không ổn định có dạng x' = f(t, x(t)), với điều kiện f(0) = 0 và t ≥ 0 Trong bối cảnh này, hàm Lyapunov được sử dụng để đánh giá sự ổn định của hệ hai biến V(t, x) Để bắt đầu, ta định nghĩa hàm K liên tục từ R+ đến R+ với K(0) = 0 Định nghĩa 1.4.6 cho biết hàm khả vi liên tục V(t, x): R+ × R^n → R là hàm Lyapunov cho hệ (1.9) nếu V(t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa.
Hàm Lyapunov được sử dụng để kiểm tra tính ổn định của hệ thống động lực học, với các điều kiện như sau: tồn tại hàm b(.) thuộc K sao cho V(t, x) ≤ b(||x||) cho mọi (t, x) thuộc R+ × Rn, và tồn tại hàm γ(.) thuộc K sao cho DfV(t, x) ≤ γ(||x||) cho mọi t thuộc R+ và x thuộc Rn \{0} Nếu điều kiện (1.9) thỏa mãn, hàm Lyapunov sẽ đảm bảo tính ổn định của hệ thống.
Vẵ dử 1.4.8 X²t tẵnh ờn ành cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn khổng ổtổnổm ˙ x = xsin2t − 1
Lới giÊi Chồn h m V (t, x) = x 2 e cos 2 t Ta cõ
= −2x 2 sin2te cos 2 t + 2xe cos 2 t (xsin2t − 1 2 xe −cos 2 t+t )
Vêy hằ Â cho ờn ành tiằm cên.
Mởt số bờ ã bờ trủ
Bờ ã 1.5.1 (BĐt ¯ng thực Gronwall) GiÊ sỷ u(t), v(t) l hai h m liản tửc khổng Ơm xĂc ành trản [t 0 , ∞) Náu cõ mởt C ≥ 0 sao cho u(t) ≤ C +
Z t t 0 v(s)u(s)ds thẳ nghiằm úng bĐt ¯ng thực sau: u(t) ≤ Ce
Chựng minh Trữợc hát ta chựng minh cho C > 0 Ta cõ: u(t)
NhƠn cÊ hai vá cừa bĐt ¯ng thực trản vợi v(t) ≥ 0 ta ữủc v(t)u(t)
= v(t)u(t), nản sau khi lĐy tẵch phƠn tứ t 0 án t ta cõ ln C + R t t
BƠy giớ náu cho C → 0 thẳ ró r ng kh¯ng ành cụng úng vợi C = 0
Bờ ã ho n to n ữủc chựng minh.
Chựng minh ∗ Trữớng hủp m = 1 : Ta s³ chựng minh bơng quy nÔp Vợi k = 1 ta câ y 1 ≤ C + a 0 y 0 ≤ C(1 + a 0 ).
Dạ thĐy ngay iãu kh¯ng ành úng vợi k = 1 GiÊ sỷ iãu kh¯ng ành úng vợi bữợc 1, 2, , k − 1 , tực l y k ≤ C k−2
(1 + a i ), ta s³ chựng minh kh¯ng ành úng vợi bữợc thự k Thêt vêy tÔi bữợc thự k ta câ y k ≤ C + k−1
Theo giÊ thuyát quy nÔp ta cõ y k ≤ C k−2
Tứ a m ≤ a vợi mội a ≥ 1, m < 1 ta cõ y 2 ≤ (C + 1)(1 + a 0 ) + a 1 (c + 1)(a 0 + 1)
Tiáp tửc quĂ trẳnh trản ta ữủc y k ≤ C + k−1
Bờ ã ho n to n ữủc chựng minh.
) (1/(1−m)) k = 1, 2, Chựng minh Ta s³ chựng minh bơng quy nÔp Vợi k = 1 ta cõ y 1 ≤ C + a 0 y 0 m ≤ C + a 0 C m
Ta º ỵ rơng vợi mội n > 0, b > 0 : (1 + b) n (1 − nb) ≤ 1 , ta cõ
GiÊ sỷ kh¯ng ành úng vợi k = 1, 2, , k − 1 é bữợc thự k ta cõ y k ≤ C + k−1
0 ] γ := d v sỷ dửng chú ỵ ð trản ta cõ
Tiáp tửc quĂ trẳnh tẵnh tờng trản ta ữủc k−1
Bờ ã ho n to n ữủc chựng minh.
Ch÷ìng 2 ấn ành hằ phữỡng trẳnh vi phƠn
Nội dung của chương trình này giới thiệu một số khái niệm cơ bản về ổn định, khổng ổn định, hàm tuyên tính và phi tuyên tính theo thời gian Nội dung của chương trình được trình bày dựa theo các tài liệu tham khảo.
Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh ổtổnổm
Phương trình vi phân tuyến tính ổn định được mô tả bởi x(t) = Ax(t), với t ≥ 0 Để hiểu rõ hơn về phương trình này, cần phân tích các đặc điểm của ma trận A và ảnh hưởng của nó đến các giá trị riêng của hệ thống.
Chựng minh Tứ lỵ thuyát ma trên v theo cổng thực Sylveste Ăp dửng cho f (λ) = e λ , ta câ e At = q
,trong õ λ k l cĂc giĂ trà riảng cừa A, α k l ch¿ số mụ bởi cừa cĂc λ k trong phữỡng trẳnh a thực °c trững cừa A, Z ki l cĂc ma trên hơng số.
Do â ta câ ¡nh gi¡ sau
Vẳ Reλ k < 0 nản ||x(t)|| → 0 khi t → +∞ Ngữủc lÔi náu hằ l ờn ành mụ, khi õ mồi nghiằm x(t), x(t 0 ) = x 0 cừa hằ (2.1) thọa mÂn iãu kiằn
||x(t) ≤ à||x 0 ||e −δ(t−t 0 ) , ∀t ≥ t 0 , (*) vợi à > 0, δ > 0 n o õ BƠy giớ ta giÊ sỷ phÊn chựng rơng cõ mởt λ 0 ∈ λ(A) sao cho Reλ 0 ≥ 0 Khi õ vợi v²c tỡ riảng x 0 ựng vợi λ 0 n y ta câ
Ax 0 = λ 0 x 0 , v khi õ nghiằm cừa hằ vợi x(t 0 ) = x 0 l x 0 (0) = x 0 e λ 0 t , lúc õ ta cõ
Vêy nghiằm x(t 0 ) n y tián tợi +∞ khi t → +∞ vổ lỵ vợi iãu kiằn (*) do õ ành lỵ ữủc chựng minh.
Vẵ dử 2.1.2 X²t tẵnh ờn ành cừa hằ sau
Lới giÊi Ta thĐy ma trên
, cõ giĂ trà riảng l λ = −2 < 0 Vêy hằ ờn ành tiằm cên.
Tính ổn định của hệ thống động lực học được phân tích thông qua phương trình Lyapunov, giúp xác định các điều kiện cần thiết để đảm bảo rằng hệ thống duy trì trạng thái ổn định trong thời gian dài Phương pháp này thường được áp dụng để đánh giá sự ổn định của các điểm cân bằng trong các hệ thống phi tuyến.
A T P + P A = −Q, (LE) trong õ A T l ma trên chuyºn và cừa ma trên A, P,Q l cĂc ma trên cĐp n v gồi c°p nghiằm cừa (LE) X²t hằ (2.1), tứ bƠy giớ ta s³ nõi ma trên
A ờn ành náu phƯn thỹc cừa tĐt cÊ cĂc giĂ trà riảng cừa A l Ơm, nhữ ta  biát iãu n y tữỡng ữỡng hằ (2.1) l ờn ành tiằm cên Ma trên A l ờn ành khi v ch¿ khi phữỡng trẳnh (LE) cõ c°p nghiằm P, Q l cĂc ma trên ối xựng, xĂc ành dữỡng.
Chựng minh GiÊ sỷ (LE) cõ nghiằm l ma trên P > 0 vợi Q > 0 Vợi x(t) l mởt nghiằm tũy ỵ cừa (2.1) vợi x(0) = x 0 , ta x²t h m số
Ta câ d dt V (x(t)) = hP x, xi ˙ + hP x, xi ˙
Vẳ P l xĂc ành dữỡng nản V (x(t)) ≥ 0, ∀t ≥ 0 v do õ t
M°t khĂc, vẳ Q l xĂc ành dữỡng, nản tỗn tÔi số α ≥ 0 sao cho hQx, xi ≥ α||x|| 2 , ∀x ∈ R n , do â
Ta s³ chựng minh rơng Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A)
Thêt vêy giÊ sỷ cõ mởt số λ 0 ∈ λ(A) m Reλ 0 ≤ 0 LĐy x 0 ∈ R n ựng vợi giĂ trà riảng λ 0 n y thẳ nghiằm cừa hằ (2.1) s³ cho bði x 1 (t) = e λ 0 t x 0 v do â
Vẳ Reλ > 0 , vổ lỵ vợi iãu kiằn (2.2).
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ A l ma trên ờn ành tực l Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A) Vợi bĐt ký ma trên Q ối xựng xĂc ành dữỡng, x²t phữỡng trẳnh ma trên sau
Nhên thĐy hằ cõ mởt nghiằm riảng l
Vẳ A l ma trên ờn ành nản dạ kiºm tra ữủc tẵch phƠn
Z (s)ds < ∞, l xĂc ành v do Q l ối xựng nản P cụng l ối xựng M°t khĂc, lĐy tẵch phƠn hai vá phữỡng trẳnh cừa hằ trản tứ t án 0 ta cõ
Cho t → +∞ º ỵ rơng Z (t) → 0 khi t → +∞ vẳ A l ờn ành nản ta ữủc
−Q = A T P + P A, hay l , cĂc ma trên ối xựng P v Q thọa mÂn (LE) Ta ch¿ cỏn chựng minh P l ma trên xĂc ành dữỡng Thêt vêy, ta cõ hP x, xi =
Do Q > 0 v e At l khổng suy bián nản hP x, xi > 0 náu x 6= 0 do õ ành lỵ ữủc chựng minh.
Vẵ dử 2.1.4 X²t hằ phữỡng trẳnh vi phƠn (2.1) vợi
BƠy giớ ta kiºm tra tẵnh úng ưn cừa ành lỵ (2.1.3) Thêt vêy, vợi ma trên ối xựng xĂc ành dữỡng
Dạ d ng tẳm ữủc nghiằm P cừa phữỡng trẳnh (LE) l mởt ma trên ối xùng x¡c ành d÷ìng
Theo ành lỵ (2.1.3) hằ l ờn ành tiằm cên.
Trong thỹc tá ta cụng g°p baẳ toĂn cõ dÔng (2.1) những ð Ơy ma trên
Hàm số A(t) = A + C(t) là một hàm số hữu hạn, trong đó A đại diện cho giá trị cố định và C(t) là một hàm có tính chất liên tục Chúng tôi sẽ giới thiệu một tiêu chuẩn liên quan đến hàm số hữu hạn này Đặc biệt, giá trị A là một hằng số trong ngành và giá trị C(t) là hàm có thể thay đổi trong miền R+.
Khi õ hằ l ờn ành tiằm cên vợi a > 0 ừ nhọ.
Chựng minh Ta cõ thº viát phữỡng trẳnh (2.1) dữợi dÔng ˙ x(t) = Ax(t) + C(t)x(t), t ≥ 0, do õ nghiằm cừa hằ vợi x(t 0 ) = x 0 cho bði x(t) = e A(t−t 0 ) x 0 +
Vẳ A l ma trên ờn ành suy ra hằ x ˙ = Ax l ờn ành mụ, do õ theo ành nghắa s³ tỗn tÔi số à > 0, δ > 0 sao cho
Ta câ ¡nh gi¡ sau
||x(t)|| ≤ àe −δ(t−t 0 ) ||x 0 || + int t t 0 àe −δ(s−t 0 ) a||x(s)||ds °t u(t) = e δ(t−t 0 ) ||x(t)||, C = à||x 0 ||, a(t) = àa v Ăp dửng bĐt ¯ng thực Gronwall, Bờ ã (1.5.1), ta cõ e δ(t−t 0 ) ||x(t)|| ≤ à||x 0 ||e àa(t−t 0 ) , ∀t ≥ t 0
Ch¿ cƯn chồn a < à δ khi õ hằ s³ ờn ành tiằm cên ành lỵ ữủc chựng minh.
Vẵ dử 2.1.6 X²t tẵnh ờn ành cừa hằ
V A l ma trên ờn ành vẳ λ(A) = − 1
2 nản hằ l ờn ành tiằm cên.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình vi phân ổn định phi tuyến dạng x(t) = Ax(t) + g(t, x), trong đó A = ∂f/∂x (0) và g(t, x) = o(||x||) Để đảm bảo tính ổn định của hệ thống, ma trận A phải thỏa mãn các điều kiện nhất định, trong khi hàm g(t, x) phải đáp ứng điều kiện ||g(t, x)|| ≤ ε||x|| cho mọi x ∈ R^n, với ε > 0 Điều này cho thấy rằng phương trình vi phân (2.3) có thể được phân tích trong khuôn khổ lý thuyết ổn định.
Chựng minh Nghiằm cừa b i toĂn Cauchy cho hằ (2.3) cho bði x(t) = e A(t−t 0 ) x 0 +
Vẳ A l ma trên ờn ành nản hằ x ˙ = Ax l ờn ành mụ, do õ tỗn tÔi số à > 0, δ > 0 sao cho
Ta cõ Ănh giĂ nghiằm sau Ơy
Sỷ dửng bĐt ¯ng thực Gronwall, Bờ ã (1.5.1) ta nhên ữủc Ănh giĂ
Vêy vợi ε < δ à thẳ ||x(t)|| → 0 khi t → +∞ hay hằ Â cho ờn ành tiằm cên. ành lỵ ữủc chựng minh.
Vẵ dử 2.1.8 X²t tẵnh ờn ành tiằm cên cừa hằ phữỡng trẳnh vi phƠn sau
Vẳ A l ma trên ờn ành v
4 ||x|| 2 , do õ hằ ờn ành tiằm cên.
Hằ phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh khổng ổtổnổm
ành nghắa 2.2.1 Cho h m g : R + → R + , f (x) : R m → R n gồi l thọa mÂn iãu kiằn g− Lipschitz náu
Chú ỵ rơng mởt h m f (.) thọa mÂn iãu kiằn Lipschitz náu lĐy g(t) =
L|t|; thọa mÂn iãu kiằn tông trữðng Holder náu lĐy g(t) = L|t| α , 0 < α 0, δ > 0 sao cho: ||e A(s)t || ≤ ke −δt , ∀t, s ≥ 0 ii) A(t) l mởt h m g− Lipschitz, trong õ g(t) l h m bà ch°n trong
Khi õ hằ (2.4) ờn ành tiằm cên.
Chựng minh Ta viát lÔi hằ (2.4) dữợi dÔng: ˙ x(t) = A(0)x(t) + [A(t) − A(0)]x(t) (2.5) Khi õ nghiằm x(t) cừa hằ (2.5) tứ x 0 tợi 0 l
Z t 0 g(s)||y(s)||ds. p dửng bĐt ¯ng thực Gronwall, Bờ ã (1.5.1), ta ữủc
||y(t)|| ≤ K ||x 0 ||e Kh(t) , trong õ h(t) := R 0 t g(s)ds Bði vêy
||x(t)|| ≤ K ||x 0 ||e −δt e Kh(t) (2.7) º ỵ rơng náu ban Ưu t 0 6= 0 tực l x(t 0 ) = x 0 thẳ (2.7) trð th nh
Ta cõ thº °t F (t) = δt − Kh(t)− ∈ K Ưu tiản ta s³ chựng minh cõ mởt T > 0 sao cho F (T ) > 0 Thêt vêy, vẳ g(t) l h m bà ch°n trong
2K , ∀t ≤ 2 ln K δ iãu n y tữỡng ữỡng vợi
LĐy T = 2lnK δ thẳ F (T ) > 0 Tứ bĐt ¯ng thực (2.7) ta suy ra
||x(T )|| ≤ ||x 0 ||e −δ 0 T , (2.9) trong õ δ 0 = T 1 F (T ) > 0 Tẵnh án (2.9), vợi mội k ∈ Z + , trong bĐt ¯ng thực (2.8) ta °t t = kT, t 0 = (k − 1)T , bơng quy nÔp dạ thĐy rơng vợi mội số nguyản dữỡng k ∈ Z + ,
B¥y gií ta s³ ho n th nh chùng minh nh÷ sau
Vợi bĐt kẳ t > 0 tỗn tÔi k ∈ Z + v τ ∈ [0, T ) sao cho t = kT + τ LĐy t 0 = kT, v º ỵ rơng t − t 0 = t − kT = τ , kát hủp vợi (2.8) v (2.10) ta ữủc
Ta cõ thº tẳm ữủc K 1 > 0 sao cho
||x(t)|| ≤ K 1 ||x 0 ||e −δ 0 t , ∀t ≥ 0. ành lỵ ho n to n ữủc chựng minh.
Nhên x²t 2.2.4 trình bày Tứ Ưu chựng minh, trong đó điều kiện cho hàm g(t) và ch°n bði c < K δ n o õ thỏa mãn vợi bĐt kẳ T ≥ δ ln − K Kc Hơn nữa, việc thay đổi điều kiện g(t) và ch°n trong khoảng 2 ln δ K, 2K δ cho phép chúng ta điều chỉnh các điều kiện cần thiết.
Hệ phương trình vi phân phi tuyến được mô tả bởi x(t) = A(t)x(t) + f(t, x(t)), với t ≥ 0, trong đó A(t) thuộc R^n và f: R^+ × R^n → R^n là hàm liên tục Phương trình sai phân rời rạc tương ứng là x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k, x(k)), với k thuộc Z^+ Hệ thống này thể hiện sự phát triển của x theo thời gian, trong đó A(k) cũng thuộc R^n và g(k, x) là hàm liên quan đến x.
Z + ì R n → R n l mởt h m phi tuyán v g(k, 0) = 0, k ∈ Z + Vợi mội x 0 ∈ R n , nghiằm x(k) cừa (2.12) bưt Ưu tứ x(0) = x 0 ữủc xĂc ành bði x(k) = G(k, 0)x 0 + k−1
A(j), k > i. ành lỵ 2.2.5 GiÊ sỷ rơng: i) Tỗn tÔi K > 0, δ > 0 sao cho: ||G(k, i)|| ≤ Ke −δ(k−i) , k = 1, 2, , i =
X k=0 a(k)e −δk(m−1) < +∞ (2.16) Khi õ hằ (2.12) ờn ành tiằm cên.
Chựng minh Vợi bĐt kẳ nghiằm x(k) bưt Ưu tứ x 0 ãu cõ dÔng (2.13).
Do õ tứ i) v ii) ta cõ
NhƠn cÊ hai vá vợi e −δk v °t z(k) = e −δk ||x(k)||, b(k) = Ke −δ[1+(1−m)k] a(k), ta ữủc x(k) ≤ K ||x 0 || + k−1
X i=0 b(i)z(i) m (2.17) a) Trữớng hủp 0 < m < 1 : p dửng bĐt ¯ng thực Gronwall, Bờ ã (1.5.2), cho trữớng hủp 0 < m < 1 ta ữủc z(k) ≤ (C + 1) k−1
Tứ iãu kiằn (2.14) ta cõ thº tẳm ữủc số p > 0 sao cho lim sup Ke δk(1−m) a(k) ≤ p < 1 − e −delta
Do vêy s³ cõ N ∈ Z + sao cho vợi mồi k ≥ N, ta cõ
Ke k(1−m) a(k) + e −delta < p + e −δ = q < 1 tứ õ suy ra
Khi q < 1 thẳ lim k → ∞||x(k)|| = 0. b) Trữớng hủp m = 1 : Vợi m = 1 ta cõ ngay (2.17), p dửng bĐt ¯ng thực Gronwall, Bờ ã (1.5.2), cho trữớng hủp m = 1 ta ữủc z(k) ≤ C k−1
[e −δ + Ka(i)]. p dửng giÊ thiát (2.15) ta tẳm ữủc mởt số p > 0 sao cho lim sup Ka(k) ≤ p < 1 − e −δ
Do vêy tỗn tÔi N ∈ Z + sao cho vợi mồi k ≥ N ta cõ
||x(k)|| ≤ K||x 0 ||q k , tực l hằ Â cho ờn ành tiằm cên. c) Trữớng hủp m > 1 : Vợi m > 1 ta cõ bĐt ¯ng thực (2.17) x(k) ≤ K ||x 0 || + k−1
GiÊ sỷ r > 0 l mởt số bĐt kẳ trong khoÊng (0, 1) p dửng bĐt ¯ng thực Gronwall cho m > 1, Bờ ã (1.5.3), ta ữủc z(k) ≤ C
C = K ||x 0 ||, b(i) = Ke −δ[1+i(1−m)] a(k), náu ch¿ cõ mởt
X i=0 b(i) > 0 (2.18) º ỵ thĐy rơng náu (2.18) cố ành vợi mồi x 0 thẳ
1 m − 1 := R trong â γ := k−1 P i=0 b(i), vẳ (2.16) hỳu hÔn Thêt vêy, ta cõ
Suy ra, vợi mồi x 0 m ||x 0 || ≤ R ta cõ
Vẳ vêy vợi bĐt kẳ ε > 0, ta chồn ữủc số δ 0 < min R, K ε
1 v N ∈ Z + sao cho vợi ||x 0 || < δ 0 v k ≥ N thẳ ||x(k)|| < ε ành lỵ ho n to n ữủc chựng minh.
Nhên x²t 2.2.6 Tứ iãu kiằn (2.14) ta thĐy rơng e −δ < 1 tực l hằ rới rÔc theo thới gian x(k + 1) = A(k)x(k) ờn ành tiằm cên iãu kiằn ừ cho (2.14) l ∞
Nhên x²t 2.2.7 Mởt trong nhỳng iãu kiằn ừ cho giÊ sỷ i) (ành lỵ (2.2.5)) l σ(A(k)) ≤ 1
Dỹa v o nhỳng iãu kiằn  biát vã sỹ ờn ành cừa hằ rới rÔc ta x²t sỹ ờn ành cừa hằ (2.11) theo cĂch sau: Ta  biát rơng nghiằm x(t) cừa (2.11) bưt Ưu tứ x 0 tợi 0 ữủc xĂc ành bði x(t) = Φ(t, 0)x 0 + t.
0 Φ(t, s)f (s, x(s))ds, trong õ Φ(t, s) l ma trên nghiằm cỡ bÊn cừa hằ tuyán tẵnh (2.4) GiÊ sỷ k ∈ Z + Vợi mội t ∈ [k, k + 1] nghiằm x(t) kát hủp vợi h m x k (t), t ∈
Z k Φ(k + 1, k + s)f (k + s, x(k + s))ds, khi õ hằ (2.11) ữủc quy vã hằ rới rÔc theo thới gian trong khổng gian Banach C [0,1] dữợi dÔng x(k + 1) = A(k)x(k) + g(k, x(k)), k ∈ Z + , (2.19) trong õ x(k) ∈ C [0,1] vợi chuân
Ta thấy rằng ròng nghiằm cừa hằ rới rÔc theo thời gian (2.19) bứt Ưu tứ x(0) = x 0 l nghiằm cừa hằ (2.11) bứt Ưu tứ x 0 tợi 0 và ngữủc lÔi Ứng dụng dừng ở (2.2.5) ta có tiêu chuẩn và sỹ ởn ngành cừa hằ khổng ổtổnổm (2.11) ảnh lỵ 2.2.8 GiÊ sỷ rơng i) Tồn tÔi K > 0, δ > 0 sao cho.
0 e −δ(k+s)(m−1) a(k + s)ds < +∞,Khi õ hằ (2.11) ờn ành tiằm cên.
Nhỳng vĐn ã chẵnh ữủc trẳnh b y trong luên vôn l :
Trình bày một số khái niệm về tính chất của bên cửa hàm phi tuyến, nghiên cứu theo Lyapunov, và một số kết quả tiêu biểu liên quan Đồng thời, trình bày một số kiến thức và xác suất liên quan đến hàm theo Lyapunov.
Phần trồng tôm cần tuân thủ các yêu cầu về môi trường và kỹ thuật để đảm bảo sự phát triển bền vững Việc quản lý theo thời gian là rất quan trọng, bao gồm việc theo dõi tình hình phát triển của tôm theo từng giai đoạn Cần chú ý đến các yếu tố như độ ổn định của môi trường và các biến động có thể xảy ra Hơn nữa, việc minh họa bằng các ví dụ cụ thể sẽ giúp làm rõ hơn các phương pháp và kỹ thuật áp dụng trong quá trình nuôi tôm.