003 06 1 toan 10 b6 c3 he thuc luong trong tam giac tu luan hdg

DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC {Tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.} + Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, cá

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 6 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Cho tam giác ABC BC a CA b AB c ,  ,  ,  , S là diện tích tam giác Giả sử h h ha, ,b c lần

lượt là độ dài các đường cao đi qua ba đỉnh , , ;A B C m m ma, ,b c lần lượt là các đường trung

tuyến đi qua ba đỉnh , , RA B C và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nột tiếp của

tam giác ABC Ta có kết quả sau đây:

e) Công thức Hê- Rông S p p a p b p c        

4 Công thức trung tuyến (bổ sung)

Trang 2

3.5 Cho tam giác ABC có a6,b5,c8 Tính cos , , A S r

Lời giải

Ta có

2 2 2 52 82 62 53cos

Trang 3

3.8 Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng

70

S E với vận tốc 70 km/h Đi được 90 phút thì

động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo

hướng nam với vận tốc 8km/h Sau 2 giờ kể từ

khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một

a) Theo giả thiết ta có: AB105km BC, 16km,

Góc BAD 70 , ABD20  ABC160

Khoảng cách từ A tới đảo tàu neo đậu bằng đoạn

3.9 Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten

cao 5m Từ một vị trí quan sát A cao 7m so

với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột

ăng-ten, với các góc tương ứng

là 50và 40 so với phương nằm ngang

(H.3.18)

a) Tính các góc của tam giác ABC

b) Tính chiều cao của tòa nhà

Lời giải

a) Ta có BAC    50 40   ,10

ABC90  BAD 40  ACB180  ABC BAC  130

b) Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có

Trang 4

Vậy chiều cao của tòa nhà là: 11,9 7 18,9   m

3.10 Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được

Đảo Yến Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn

đảo (theo chiều ta ngắm được) Đảo Yến nhìn từ bãi biển

Lấy điểm D trên bãi biển sao cho A C D, , thẳng hàng và có

độ dài đoạn CD a mét Ta xác định được ADB 

Từ đó áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD và ABC ta xác định được bề rộng AB củahòn đảo

3.11 Để tránh núi, đường giao thông hiện tại

phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19

Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi,

người ta dự định làm đường hầm xuyên núi,

nối thẳng từ A tới D Hỏi độ dài đường mới

sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Trang 5

Xét tam giác ABFvuông tại F có B   15  AF AB  sin15    2 6 2 2   km

Mặt khác EF BC 6km

6 4 2 2 6 16,56

Vậy độ dài đường mới sẽ giảm 9, 44 kmso với đường cũ

DẠNG 1: GIẢI TAM GIÁC

{Tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.}

+ Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài

Câu 1 Cho tam giác ABC có AB  4, AC  6,  A  120 0 Tính độ dài cạnh BC

Trang 6

Câu 3 Cho tam giác ABCcó độ dài ba cạnh là AB  2, BC 5, CA 6 Tính độ dài đường trung tuyến

MA, với M là trung điểm của BC.

Trang 7

Vậy

7 22

a

R 

D R a

Lời giải Chọn D

Theo định lý sin trong tam giác ta có 2 

sin

BC R

Diện tích tam giác ABClà 

1sin2

S ac B 1

.4.5sin1502

Ta có:

52 56 602

Trang 8

Mặt khác 4

abc S R



4

abc R S

  52.56.60

4.1344

 32,5

Câu 5: Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy Người ta

xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 60 Biết

4 6

3

M B

Trang 9

Câu 10: Tam giác ABC có B   60 , C   45 ,AB 3 Tính cạnh AC.

Trang 10

Ta có:

.sin sin 3.sin 60 3 6

c

3 28

c

9 28

c

32

c

Lời giải Chọn B

Ta có

1cos cos( )

C     

3 22



C –0,125 D 0, 75

Lời giải

Chọn C

Trang 11

Ta có c= AB=4 , b=AC=5 , a=BC=6 .



a

54

a

32

a

34

a

Lời giải Chọn A

Trang 12

F

E

C D

2

5

5 134

a a

4

a DF

2 2 2 62 122 92 11cos

a

53

a

2 23

a

23

a

Trang 13

a BM

Vì trong tam giác ABC ta có A B bù với góc C nên  

Vì trong tam giác

ABC ta có B C bù với góc A nên  

1cos B C

5

 

1cos

Trang 14

9

5 . D 2 10.

Từ giả thiết cotC 2, ta suy ra C là góc nhọn

2

2 2

12

Từ giả thiết tanA 2 2 , ta suy ra A là góc tù

S a b C

S lớn nhất khi sin C lớn nhất, hay sin C   1 C   90o.

Câu 25: Cho tam giác MPQ vuông tại P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E F, sao cho các góc MPE,

EPF, FPQ bằng nhau Đặt MP q PQ m PE ,  , x PF, y Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?

Trang 15

Chọn C

q

m

x y M

Tam giác MPF có MPF MPE EPF       60o;

Ta có:

1cot( )

3

A B 

nên

1cot

1010

3

A B 

Trang 16

Ta có:

1tan( )

3

A B 

nên

1tan

1010

8

B 

,

3cos

a

115

a

7 5

a

6 4

a

Lời giải Chọn C

30

a a A

B

C

M

Trang 17

a BM

DẠNG 2: HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC, NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài

Câu 1 Cho tam giác ABC thỏa

sin

2cossin

Tam giác ABC cân tại A.

Câu 2 Chứng minh trong tam giác ABC ta có: h a 2 sin sinR B C

Do đó: ha  2 sin sin R B C  h ba  sin C ( đúng)

Câu 3 Cho tam giác ABC Chứng minh S R r  sin  A  sin B  sin C 

Trang 18

Vì tam giác ABC cân có 1 góc bằng 60

nên tam giác ABClà tam giác đều.

Câu 5 Chứng minh trong tam giác ABC ta có: sin cosB Csin cosC BsinA

Theo công thức đường trung tuyến ta có

Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: a2 b2c2 2 cosbc A

Câu 3: Nếu tam giác ABC có a2b2c2 thì:

A A là góc tù. B A là góc vuông. C A là góc nhọn. D A là góc nhỏ nhất.

Lời giải Chọn C

Trang 19

Câu 4: Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện  a b c a b c         3 ab

Khi đó số đo của

C là

Câu 6: Cho tam giác ABC thỏa mãn c a cosB Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tam giác ABC là tam giác cân. B Tam giác ABC là tam giác nhọn.

C Tam giác ABC là tam giác vuông. D Tam giác ABC là tam giác tù

Theo định lí pi ta go tam giác ABC vuông tại A.

Câu 7: Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây?

Ta có: I đúng vì là công thức Hê-rông tính diện tích tam giác.

Trang 20

a



C a2 sinR A D b R tanB

Theo định lí hàm số sin ta có: sin sinB sinC 2

Câu 10: Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b c 2a Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

C

1sin sin sin

2

B C  A

D sinBcosC2sinA

Trang 21

Mà b c 2a 2 sinR B2 sinR C4 sinR A sinBsinC 2sinA

Câu 11: Tam giác ABCcó A 120 thì câu nào sau đây đúng?

Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: a2 b2c2 2 cosbc A

Vì hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau nên ABG vuông tại G với G là

trọng tâm tam giác ABC.

sinAsinBsinC. B 2sinAsinBsinC

sinAsinB sinC .

Lời giải Chọn A

Trang 22

Ta có:

2 2 2 2

Ta có:  a b c a b c         3 ab  a b 2 c2 3ab  a2b2 c2 ab

Mà

2 2 2 1cos

Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?

A Chỉ I, II B Chỉ II, III.

C Chỉ I, III D Cả I, II, III.

Ta có I và II đúng vì đây là bất đẳng thức tam giác

Ta có:

2 2 2 2

Trang 23

Câu 18: Tam giác ABC có các cạnh a , b , c thỏa mãn điều kiện b2c2 a2 3bc Tính số đo của

góc A.

Câu 19: Tam giác ABC a.cosB b cosA Tam giác ABC là tam giác gì?

A Tam giác vuông B Tam giác đều C Tám giác vuông cânD Tam giác cân

Câu 20: Cho tam giác ABC vuông tạiA, AC b ,AB c Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho góc

b

33

Trang 24

* a2 b2c2thì cosA 0 do đó A là góc vuông nên D đúng.

* Nếu tam giácABCcó góc Btù thì b2 a2c2; nếu góc Ctù thì c2 a2b2do đó B sai.

Trang 25

Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2  40.2 80  km.

Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S S12S22 2 cos60S S1 2 0 20 13

Câu 2: Từ một đỉnh tháp chiều cao CD80m, người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các

Suy ra: khoảng cách AB116,7 25,7 91   m

Câu 3: Cho tam giác ABC có a13,b8,c7 Tính góc A, suy ra S, h a, R, r, m a.

5 Tính cạnh BC, và độ dài đường cao

Trang 26

Theo công thức tính diện tích ta có S ABC = 1AB AC .sinA = 1.4.5.4=8

a

h =

Câu 5: Cho tam giác ABC có AB =10,AC =4 và µA = 600.

a) Tính chu vi của tam giác

b) Tính tanC

Lời giải

a) Theo định lí côsin ta có

cos,

Hình 2.23a

Trang 27

S r

p

Câu 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết Aµ = 30 ,0 Bµ =450 Tính độ dài

trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Trang 28

Theo công thức đường trung tuyến ta có

2

A ³

Lời giảia) Áp dụng định lí sin ta có sin , sin ,sin

2sin sin sin

Trang 29

Thay vào (*) ta có đpcm

Câu 12: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C

vuông góc với nhau là b2+c2= 5a2

Lời giảiGọi G là trọng tâm của tam giác ABC .

Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi tam giác GBC vuông

Trang 30

1sin2

 0

2(2 sin ) cos (2 sin ) cos 2 sin cos

2sin cos sin( ) sin

KL: Tam giác ABC đều

Câu 17: Nhận dạng tam giác ABC biết: a.sinA+bsinB +csinC =h a +h b+h c

Vậy tam giác ABC đều.

Câu 18: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân nếu h a =c.sinA

Trang 31

bh =ah Û a=bsuy ra tam giác ABC cân tại C

Tiêu đề	Hệ thức lượng trong tam giác
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	bài giảng
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Quảng Bình

Định dạng
Số trang	31
Dung lượng	2,31 MB