003 06 2 toan 10 b6 c3 he thuc luong trong tam giac trac nghiem hdg

Gọi m là độ dài đường a trung tuyến kẻ từ đỉnh A , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đóA. Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác ABC..

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 6 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

DẠNG 1 ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN

Câu 1: Cho tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng?

A a2 b2c22 cosbc A B a2 b2c2 2 cosbc A

C a2 b2c2 2 cosbc C D a2 b2c2 2 cosbc B

Lời giải Chọn B

Theo định lý cosin trong tam giác ABC , ta có a2 b2c2 2 cosbc A

Câu 2: Cho tam giác ABC, có độ dài ba cạnh là BC a AC b AB c ,  ,  Gọi m là độ dài đường a

trung tuyến kẻ từ đỉnh A , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam

giác đó Mệnh đề nào sau đây sai?

A

2 2 2 2

a

B a2 b2c22 cosbc A

C 4

abc S

R



sin sin sin

R

A B  C  .

Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có a2 b2c2 2 cosbc A

Câu 3: Cho tam giác ABC có a8,b10, góc C bằng 600 Độ dài cạnh clà?

A c3 21. B c7 2. C c2 11. D c2 21.

Lời giải Chọn D

Ta có: c2a2b2 2 cosa b C82102 2.8.10.cos600 84 c2 21

Câu 4: Cho ABC có b6,c8,A600 Độ dài cạnh a là:

Lời giải Chọn A

Ta có: a2 b2c2 2 cosbc A36 64 2.6.8.cos60  052 a2 13

C

H

Ư

Ơ

N

G

III

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

III

=

=I

Trang 2

Câu 5: Cho ABC có B60 ,0 a8,c5. Độ dài cạnh b bằng:

Ta có: b2 a2c2 2 cosac B8252 2.8.5.cos600 49 b7

Câu 6: Cho ABC có AB 9;BC 8;B 60  0 Tính độ dài AC

Theo định lý cosin có:



2 2 2 2 cos 73

AC BA BC  BA BC ABC  AC  73

Vậy AC  73.

Câu 7: Cho tam giác ABC có AB2,AC1 và A 60 0 Tính độ dài cạnh BC

A BC  2. B BC 1 C BC  3 D BC 2

Lời giải Chọn C

Theo định lý cosin ta có: BC  AB2AC2 2AB AC. .cos 600

2 1 2.2.1

2

3



Câu 8: Tam giác ABC có a8,c3,B60 0 Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu?

Ta có: b2 a2c2 2 cosac B8232 2.8.3.cos 600 49 b7

Câu 9: Tam giác ABCcó C 150 ,0 BC 3,AC2. Tính cạnh AB?

Theo định lí cosin trong ABC ta có:



2  2 2  2 cos

AB CA CB CA CB C 13 AB 13 Chọn A

Câu 10: Cho ; ;ca b là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC Biết b7;c5;

4 cos

5

A 

Tính độ dài của

a

A 3 2 B

7 2

23

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABCta có:

Trang 3

2 2 2 2 2 4

5

a b c  bc A   

Suy ra:a  18 3 2

Câu 11: Cho xOy   Gọi  30 A B, là 2 điểm di động lần lượt trên Ox Oy, sao cho AB  Độ dài lớn2

nhất của OB bằng bao nhiêu?

Áp dụng định lí cosin:

2

AB OA OB  OA OB   OA OB  OA OB

2 3 2 4 0

Coi phương trình là một phương trình bậc hai ẩn OA Để tồn tại giá trị lớn nhất của OB

thì

Vậy maxOB  4

Câu 12: Cho ; ;ca b là độ dài 3cạnh của một tam giác Mệnh đề nào sau đây không đúng?

A a2 ab ac B a2c2 b22ac C b2c2 a22bc D ab bc b  2

Do b2c2 a2 2 cosbc A2bc b2c2a22bc nên mệnh đề C sai

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có a b c   a2 ab ac ;đáp án A đúng

Tương tự a c b   ab bc b  2;mệnh đề D đúng

Ta có: a2c2 b2 2 cosac B2ac a2c2 b22ac;mệnh đề B đúng

Câu 13: Cho tam giác ABC có AB  cm, 4 BC 7 cm, AC 9cm Tính cos A

A

2 cos

3

A 

1 cos

2

A 

1 cos

3

A 

2 cos

3

A 

Ta có

cos

2

A

AB AC



2 2 2

2.4.9 3

 

Câu 14: Cho tam giác ABC có a2b2 c2 0 Khi đó:

A Góc C 900 B Góc C 900

C Góc C 900 D Không thể kết luận được gì về góc C.

Trang 4

Ta có:

cos

2

C

ab



Mà: a2b2 c20 suy ra: cosC 0 C900

Câu 15: Cho tam giác ABC thoả mãn: b2c2 a2  3bc Khi đó:

A A 30 0 B A 45 0 C A 60 0 D A 750.

Ta có:

0

Câu 16: Cho các điểm A(1;1), (2;4), (10; 2).B C  Góc BAC bằng bao nhiêu?

A 900 B 60 0 C 45 0 D 30 0

Ta có: AB (1;3)

, AC (9; 3)



Suy ra:

.

AB AC

 

Câu 17: Cho tam giác ABC, biết a24,b13,c15. Tính góc A?

Ta có:

0

bc

Câu 18: Cho tam giác ABC, biết a13,b14,c15. Tính góc B?

Ta có:

0

ac

Câu 19: Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC CA AB, , lần lượt là a b c, , và thỏa mãn hệ thức

b b  a c c  a

với b c Khi đó, góc BAC bằng

A 45 B 60 C 90 D 120

Ta có b b 2 a2 c c 2 a2 b3 ba2c3 ca2  b3 c3 a b c2   0

   2 2 2 2 2 2

0

Mặt khác

Câu 20: Tam giác ABC có AB c BC a CA b ,  ,  Các cạnh a b c, , liên hệ với nhau bởi đẳng thức

Trang 5

 2 2  2 2

b b  a c a  c

Khi đó góc BAC bằng bao nhiêu độ.

A 30° B 60° C 90° D 45°

Lời giải

Chọn B

Theo bài ra, ta có: b b 2 a2 c a 2 c2 b3 a b a c c2  2  3  0 b3c3 a b a c2  2 0

b c b  2 bc c2 a b c2  0 b c b  2 bc c2 a2 0 b2 bc c2 a2 0

2 2 2

b c a

bc

Câu 21: Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho

MA MB MC  khi đó góc AMB bằng bao nhiêu?

A 135 B 90 C 150 D 120

Lời giải

MBx  MA2x; MC 3x với 0x BC  2

Ta có

 1 4 2 2 3 2 1 cos

2.1.2 4

BAM

 1 4 2 9 2 1 5 2 cos

MAC

1

     

     

     9x46x2  1 1 10x225x4 16

34x 20x 2 0

2

5 2 2 1

( )

17 5

5 2 2 17

x









cos

2

AMB

AM BM

2 2

2.2

x x

 

 2

2

4

x x





25 10 2 20 8 2

1 :

  

2 2





Vậy AMB 135

Câu 22: Cho tam giác ABC, chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A

2 2 2 2

a

B

2 2 2 2

a

C

2 2 2

a

D

2 2 2

4

a

Ta có:

.

Câu 23: Tam giác ABC có AB 9 cm, BC 15cm, AC 12cm Khi đó đường trung tuyến AM của

tam giác có độ dài là

Trang 6

A 10 cm B 9 cm C 7,5 cm D 8 cm.

Ta có

2

9 12 15 225



2

AM

Câu 24: Cho tam giác ABC có AB3,BC5 và độ dài đường trung tuyến BM  13 Tính độ dài

AC

9

13

5

C B

A

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có:

 

Câu 25: Cho ABC vuông ở A, biết C    30 , AB 3 Tính độ dài trung tuyến AM?

5

7 2

AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

1 2

AM  BC BM MC

Xét BAC có B   90 30 60

Xét tam giác ABM có BM AM và B   suy ra ABM60  là tam giác đều

3

AM AB

Câu 26: Tam giác ABC có a6,b4 2,c2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 3 Độ dài đoạn

AM bằng bao nhiêu?

1

108 2

Ta có: Trong tam giác ABCcó a 6 BC6 mà BM 3 suy ra M là trung điểm BC.

Trang 7

Suy ra:

a

Câu 27: Gọi S m a2m b2m c2 là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC Trong các

mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A

3

4

S  a b c

B S a 2b2c2

C

2 2 2

3

2

S  a b c

D S3(a2b2c2)

Ta có:

Câu 28: Cho ABCcó AB  ;2 AC 3;A 60  0 Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam

giác ABC

A

12

6 2

6 3

6

5.

Gọi M là chân đường phân giác góc A.

Ta có BC2 AB2AC2 2AB AC .cosA 7 BC 7

Lại có

2 3

BM AB

CM AC 

Suy ra

2 7 5

BM 

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABM ta được:

AB BC

6 3 5

AM

CÁ CH 2

Gọi M là chân đường phân giác trong của góc A

Vì đoạn thẳng AM chia tam giác ABC thành hai phần nên ta có:

S S S  AB AC BAC AB AM BAM  AC AM MAC

Trang 8

 

.sin 60

.sin 30

AB AC AM

AB AC



6 3 5

AM

Vậy

6 3 5

AM 

DẠNG 2 ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN

Câu 29: Cho tam giác ABC Tìm công thức sai:

A sin 2

a

R

a A R



C bsinB2 R D

sin

a



Ta có: sin sin sin 2

R

Câu 30: Cho ABC với các cạnh ABc AC, b BC, a Gọi R r S, , lần lượt là bán kính đường tròn

ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A 4

abc S

R



a R

A



C

1 sin 2

S  ab C

D a2b2  c2 2abcosC

Theo định lí Sin trong tam giác, ta có sin 2

a

R

A  .

Câu 31: Cho tam giác ABC có góc BAC   và cạnh 60 BC  3 Tính bán kính của đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC

A R 4 B R 1 C R 2 D R  3

Ta có:

3

2

Câu 32: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC 4 cm, góc A   , 60 B   Độ dài cạnh 45 BC

là

A 2 6 B 2 2 3 C 2 3 2 D 6

Ta có sin sin

A B

3 4

2 2 6 2

2

BC

Trang 9

Câu 33: Cho ABC có AB 5;A 40  ;B 60  Độ dài BC gần nhất với kết quả nào?

A 3,7 B 3,3 C 3,5 D 3,1

C 180   A B 180    40  60  80

Áp dụng định lý sin:

5

Câu 34: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c 2a Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A cosBcosC2cos A B sinBsinC2sin A

C

1

2

B C A

Ta có:

2

b c



Câu 35: Tam giác ABC có a 16,8; B  56 13'0 ; C  710 Cạnh cbằng bao nhiêu?

Ta có: Trong tam giác ABC: A B C   1800 A 1800 710 56 13' 52 47 '0  0

Mặt khác

0 0

Câu 36: Tam giác ABC có A 68 12'0 , B 34 44'0 , AB 117. Tính AC?

Ta có: Trong tam giác ABC: A B C  1800 C 1800 68 12' 34 44' 77 4'0  0  0

Mặt khác

0 0

68.

AC

DẠNG 3 DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN

Câu 37: Chọn công thức đúng trong các đáp án sau:

A

1 sin 2

S  bc A

B

1 sin 2

S  ac A

C

1 sin 2

S  bc B

D

1 sin 2

S  bc B

Ta có:

S  bc A ac B ab C

Câu 38: Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a Góc BAD   Diện tích hình thoi  30 ABCD là

Trang 10

A

2 4

a

2 2

a

2 3 2

a

D a 2

Ta có S ABCD AB AD. .sinBAD

2 1 sin 30

2

Câu 39: Tính diện tích tam giác ABC biết AB3,BC5,CA6

Ta có:

3 5 6

7

AB AC BC

p      

Vậy diện tích tam giác ABC là:

S  p p AB p AC p BC       

Câu 40: Cho ABC có a6,b8,c10. Diện tích S của tam giác trên là:

Ta có: Nửa chu vi ABC: 2

a b c

Áp dụng công thức Hê-rông: S  p p a p b p c(  )(  )(  )  12(12 6)(12 8)(12 10) 24   

Câu 41: Cho ABC có a4,c5,B150 0 Diện tích của tam giác là:

Ta có:

0

ABC

Câu 42: Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?

Ta có:

13 14 15

21

a b c

Suy ra: S  p p a p b p c(  )(  )(  ) 21(21 13)(21 14)(21 15) 84   

Câu 43: Cho các điểm A(1; 2), ( 2;3), (0;4). B  C Diện tích ABC bằng bao nhiêu?

A

13

.

13 4

Ta có: AB ( 3;5) AB 34



Trang 11

Mặt khác

AB AC BC

Suy ra:

13

2

S  p p AB p AC p BC   

Câu 44: Cho tam giác ABC có A(1; 1), (3; 3), (6;0). B  C Diện tích ABC là

Ta có: AB(2; 2)  AB2 2



Mặt khác  AB BC.  0 ABBC

Suy ra:

1

2

ABC

Câu 45: Cho tam giác ABC có a4,b6,c8 Khi đó diện tích của tam giác là:

2 15.

3

Ta có:

4 6 8

9.

a b c

Suy ra: S  p p a p b p c(  )(  )(  ) 3 15.

Câu 46: Cho tam giác ABC Biết AB  ; 2 BC 3 và ABC   Tính chu vi và diện tích tam giác60

ABC

A 5 7và

3

3 3

2

C 5 7 và

3 3

2 D 5 19và

3

2.

Lời giải

J

K I

C B

A

Chọn B

Ta có: AC2 AB2BC2 2.AB BC. .c osABC  4 9 2.2.3.c os60 13 6 7 

Suy ra AC  7

Chu vi tam giác ABC là AB AC BC    2 3 7

Diện tích tam giác ABC là



.sin 2.3.sin 60

ABC

Trang 12

Câu 47: Tam giácABC có các trung tuyến m  , a 15 m  , b 12 m  Diện tích S của tam giác c 9 ABC

bằng

Lời giải 1 Chọn A

Theo bài toán ta có

2 2 2

15

9

a

b

c

m

a

m

















Ta có 2 5 2 13 73

a b c

p     

, áp dụng công thức He-rong ta có ( )( )( ) 72

ABC

S  p p a p b p c   

Cách 2:

Đặt BC a CA b AB c ,  ,  ,

Theo định lý trung tuyến có:

a

b

c







2 2 2





2 2 2

100 208 291

a b c







2 2 2

10 100

a a





Có S ABC  p p a p b p c        

, 1 

2

p a b c 

Suy ra S ABC 72

Câu 48: Cho tam giác ABC có

3 7; 5;cos

5

b c A

Độ dài đường cao h của tam giác ABC a  là

A

7 2

2 2 2 cos 72 52 2.7.5.3 32 4 2

5

2

A  A     

  Suy ra

4 sin

5 4 sin

5

A A







 vì 0 A 1800 nên

4 sin

5

A

sin 7.5 14

mà

14 4 2

S a h   h  h 

Câu 49: Cho tam giác ABC có AB2 ;a AC4a và BAC  120 Tính diện tích tam giác ABC ?

A S8a2 B S2a2 3 C S a 2 3 D S4a2

Lời giải

Trang 13

Chọn B

Diện tích của tam giác ABC là

ABC

S  AB AC BAC a a   a

Câu 50: Cho tam giác ABC đều cạnh a Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng

A

3 2

a

3 3

a

3 4

a

2 2

a

Lời giải

Chọn B

Gọi G là trọng tâm ABC Bán kính đường tròn ngoại tiếp

R AG  

Câu 51: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 Diện tích của

tam giác ABC bằng

Theo đề bài tam giác ABC có chu vi bằng 12 nên nửa chu vi là

12 2

p 

; bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1, tức là ta có: r  1

Diện tích tam giác ABC là: S p r 6.1 6

Câu 52: Cho tam giác ABC đều cạnh 2a Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

A

2 3

a

4 3

a

8 3

a

6 3

a

I K

H

A

Gọi H, K lần lượt là trung điểm cạnh AB BC, ;

I là giao điểm của AH và CK

Lúc đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta có:

2 3

3 2

a

AH  a

Do đó:

a

RAI  AH  a 

Trang 14

Câu 53: Cho tam giác ABC có BC  6, AC 2 và AB  3 1 Bán kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC bằng:

Áp dụng định lý cosin ta có

2 2 2

1 cos

b c a A

bc

suy ra A  60

Áp dụng định lý sin ta có 2sin 2

a R

A

Câu 54: Cho tam giác ABC có AB 3, AC 4, BC 5 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng

8

4

3

4.

Vì AB2AC2 BC2 nên tam giác ABC vuông tại A

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp  

1

2

AB AC S

r

 

Câu 55: Cho ABC có S 84,a13,b14,c15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác

trên là:

Ta có:

ABC

Câu 56: Cho ABC có S 10 3, nửa chu vip10 Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp rcủa tam

giác trên là:

Ta có:

10 3

3.

10

S

p

Câu 57: Một tam giác có ba cạnh là 26, 28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là:

Ta có:

26 28 30

42.

a b c

8.

42

p p a p b p c S

Câu 58: Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60.Bán kính đường tròn ngoại tiếp là:

Trang 15

A

65

65 4

Ta có:

52 56 60

84.

a b c

Suy ra: S  p p a p b p c(  )(  )(  ) 84(84 52)(84 56)(84 60) 1344   

Mà

Câu 59: Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là?

13

11

2 .

Ta có:

2

R

Câu 60: Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu?

Ta có:

5 12 13

15 2

Mà

2

S

Mặt khác

p

Câu 61: Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu?

Ta có:

2

R

Câu 62: Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB4,BC6, M là trung điểm của BC N, là điểm trên

cạnh CD sao cho ND3NC Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng

A 3 5 B

3 5

5 2

2

Trang 16

Ta có

MC NC  MN

BM  AB  AM 

AD ND  AN 

10 5 45

AM AN MN

      15

2

AMN

S  p p AM p AN p MN 

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giácAMN là:

AM AN MN R

S

Câu 63: Cho tam giác đều ABC ;gọi D là điểm thỏa mãn DC  2BD

Gọi R và r lần lượt là bán kính

đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ADC. Tính tỉ số

R

r .

A

5

5 7 7 9



7 5 5 9



7 5 7 9



Ta có DC  2BD  DC 2DB

Do đó DC 2DB

Gọi S là diện tích của tam giác ACD và E là trung điểm của BC

Đặt AB a Suy ra

ABC







   



Tiêu đề	Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông Chuyên
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	1,25 MB