TỔNG QUAN VỀ MÔN HỌC
Giới thiệu
Trong quá trình lao động, con người đã tạo ra những sản phẩm có hình dạng ba chiều Ban đầu, những người nghĩ ra các đối tượng ba chiều cũng chính là những người trực tiếp chế tạo chúng.
Hình 0-01 – Ví dụ như người suy nghĩ ra hình dạng của một cái bình cũng chính là người nhào nặn ra cái bình đó
Theo sự phát triển của văn minh nhân loại, quá trình phân công lao động đã tách biệt suy nghĩ và hiện thực hóa đối tượng thành hai phần do các nhóm người khác nhau thực hiện Ví dụ, kiến trúc sư thiết kế công trình trên bản vẽ giấy hai chiều (2D).
Kỹ sư xây dựng có nhiệm vụ xây dựng công trình đó thành một đối tượng ba chiều (3D) trên thực tế
Hình 0-03 – Ví dụ nhà tạo dáng sản phẩm công nghiệp đưa ra ý tưởng bằng các hình vẽ 2D
Thợ sản xuất dựa theo bản thiết kế đó mà làm ra sản phẩm 3D trên thực tế
Thông tin về một đối tượng trong không gian cần được thể hiện qua các bản vẽ giấy, giúp các nhóm người khác nhau có khả năng đọc và liên tưởng lại hình ảnh của đối tượng đó.
Việc chuyển tải thông tin của một đối tượng ba chiều lên bản vẽ hai chiều yêu cầu sử dụng các phương pháp biểu diễn hiệu quả, nhằm đảm bảo mọi thông tin cần thiết đều được thể hiện rõ ràng Điều này giúp người đọc có thể hình dung lại hình ảnh ba chiều của đối tượng trong tâm trí một cách chính xác.
Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn là cơ sở lý luận quan trọng cho việc xây dựng bản vẽ, đồng thời phản ánh nguồn gốc lịch sử của môn Hình Học Họa Hình.
Định nghĩa môn học
Hình học họa hình là môn học nghiên cứu cách biểu diễn không gian hình học này lên không gian hình học khác có chiều thấp hơn, từ đó sử dụng các hình biểu diễn để phân tích và khám phá không gian hình học ban đầu.
Trong giáo trình này, chúng ta chỉ giới hạn trong phạm vi biểu diễn không gian hình học Euclide ba chiêu lên không gian hình học Euclide hai chiều.
MỤC ĐÍCH CỦA MÔN HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC
Mục đích của môn học
Học môn hình học họa hình giúp người học nắm vững cách thể hiện bản vẽ kỹ thuật, kiến trúc và mỹ thuật, đồng thời rèn luyện tư duy không gian hiệu quả.
Phương pháp học
Để tiếp thu hiệu quả môn học, người học cần kết hợp tư duy không gian với tư duy logic trong việc vận dụng các hình biểu diễn.
Hình 0-04 – Phương pháp học môn hình học họa hình
QUI ƯỚC VỀ KÝ HIỆU BIỂU DIỄN CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC
Để tránh xảy ra nhầm lẫn khi biểu diễn các yếu tố hình học, ta qui ước sử dụng thống nhất các ký hiệu sau đây : (xem hình 0-05) 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC HỌA HÌNH
Phép chiếu
Khái niệm về phép chiếu có thể được hiểu thông qua việc mô hình hóa một vật thể ba chiều được đặt trước một nguồn sáng, từ đó tạo ra bóng đổ lên một bề mặt.
1 Xem mục 4.1 để biết khái niệm về phép chiếu
Hai phép chiếu, bao gồm phép chiếu 1-1 và sự suy biến, là những khái niệm cơ bản trong hình học họa hình Mặc dù có thể được định nghĩa chính xác bằng các công cụ toán học như tập hợp và ánh xạ, những định nghĩa này thường mang tính trừu tượng Vì vậy, giáo trình này sẽ trình bày các khái niệm này một cách dễ hiểu và trực quan nhất cho người đọc.
- Để ký hiệu điểm, ta dùng các chữ in: A, B,
- Để ký hiệu đường (thẳng hoặc cong), ta dùng chữ thường: a, b, c, d, e, …
- Để ký hiệu mặt (phẳng hoặc cong), ta dùng chữ hoa: , , , …hoặc ta để các chữ trong dấu ngoặc đơn: (ABC), (p // q), …
- Để ký hiệu hình chi ếu 1 của một đối tượng hình học A, ta thêm các chỉ số: A’ hoặc A 1 hoặc A 2 hoặc A 3 , … Hình 0-05
- Nguồn phát ra tia sáng được mô hình hóa thành một điểm gọi là ngu ồn chiếu (hay tâm chiếu) S
- Các tia xuất phát từ nguồn chiếu S được gọi là tia chi ếu
- Mặt (phẳng) nhận bóng của vật thể được gọi là m ặt (phẳng) hình chiếu
- Bóng của vật thể A in lên trên mặt (phẳng) hình chiếu được gọi là hình chi ếu A’ hay ảnh A’ của vật thể A
Tương ứng 1-1
Ta có thể hiểu khái niệm tương ứng 1-1 như là một sự tương đương giữa hai vấn đề
A và B là hai cách diễn đạt khác nhau nhưng thể hiện cùng một vấn đề Nếu hiểu A, bạn cũng sẽ hiểu B và ngược lại.
Tương ứng 1-1 là điều kiện cần thiết để truyền đạt thông tin chính xác qua các hình thức diễn đạt khác nhau, nhằm đảm bảo rằng thông tin nhận được không bị sai lệch hay thay đổi so với thông tin gốc.
Sự Suy Biến
Hình chiếu A’ của một đối tượng hình học A gọi là bị suy bi ến khi có các đặc điểm sau : (xem hình 0-08 a,b)
- Số chiều không gian của hình chiếu A’ (là n-1), giảm đi một so với số chiều không gian của đối tượng hình học A (là n)
- Nếu mở rộng đối tượng hình học A trong không gian ra vô tận thì nó luôn đi qua nguồn chiếu S
Đường thẳng a (một chiều) có hình chiếu a’ tương ứng với một điểm A (không chiều) Khi kéo dài đường thẳng a đến vô tận, nó sẽ đi qua nguồn chiếu S, dẫn đến việc hình chiếu a’ bị suy biến thành một điểm.
Mặt phẳng (ABC) có hình chiếu (A’B’C’) là một đường thẳng khi mở rộng ra vô tận và đi qua nguồn chiếu S, dẫn đến hình chiếu (A’B’C’) bị suy biến thành một đường thẳng.
Sự suy biến đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán tìm giao tuyến trong hình học họa hình Để tìm ra lời giải cho các bài toán này, trước tiên cần xác định hoặc tạo lập các yếu tố suy biến.
BỔ SUNG YẾU TỐ VÔ TẬN VÀO KHÔNG GIAN HÌNH HỌC EUCLIDE 3 CHIỀU
Để biểu diễn đầy đủ không gian hình học ba chiều trên giấy vẽ hai chiều và đơn giản hóa các yếu tố hình học, không gian Euclide ba chiều được mở rộng bằng cách thêm yếu tố vô tận (∞).
Ta có hệ tiên đề mới về yếu tố vô tận (∞) như sau :
- Mỗi đường thẳng có một điểm vô tận
Những đường thẳng song song nhau thì có chung với nhau điểm vô tận (Hinh 0-
➔ Ta xem các yếu tố vô tận và các yếu tố hữu hạn của không gian có vai trò bình đẳng như nhau
Sau khi bổ sung các yếu tố vô tận vào không gian hình học Euclide ba chiều, các mệnh đề liên thu ộc 3 được phát biểu đơn giản hơn :
- Hai đường thẳng thuộc cùng một mặt phẳng thì có ít nhất một điểm chung
- Một đường thẳng và một mặt phẳng trong không gian thì có ít nhất một điểm chung
- Hai mặt phẳng trong không gian thì có ít nhất một đường thẳng chung.
CÁC PHÉP CHIẾU
Phép chiếu xuyên tâm
Mọi điểm trong không gian Euclide ba chiều đều có hình chiếu trên mặt phẳng nhờ vào yếu tố vô tận, ngoại trừ những điểm trùng với nguồn chiếu S.
3 Liên thuộc là một thuật ngữ của hình học họa hình dùng để chỉ mối liên hệ giữa những đối tượng có liên quan và phụ thuộc với nhau
- Mỗi mặt phẳng có một đường thẳng vô tận Những mặt phẳng song song nhau thì có chung với nhau đường thẳng vô tận (Hinh 0-10)
Tất cả các điểm vô tận trong không gian kết hợp lại tạo thành một mặt phẳng vô tận Trong mặt phẳng này, mọi điểm và đường thẳng vô tận đều được bao gồm.
➔ Xây dựng phép chiếu : (hình 0-11)
Trong không gian ta lấy một điểm S hữu hạn làm tâm chiếu (nguồn chiếu) và một mặt phẳng làm mặt phẳng hình chiếu
Giả sử có một điểm A trong không gian, khi chiếu điểm A qua tâm chiếu S lên mặt phẳng, ta vẽ tia SA Tia SA sẽ giao với mặt phẳng tại điểm A’, và A’ được gọi là hình chiếu của điểm A qua tâm chiếu S lên mặt phẳng.
➔ Các tính chất của phép chiếu xuyên tâm :
Phép chiếu song song
➔ Định nghĩa : Phép chiếu song song là phép chiếu xuyên tâm có nguồn chiếu S ở vô tận
➔ Các tính chất của phép chiếu song song :
- Hình chiếu của những đường thẳng song song nhau cũng là những đường thẳng song song nhau : a // b a’ // b’ (hình 0-13)
- Tỉ số của hai đoạn thẳng song song nhau được bảo toàn :
MN - Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng được bảo toàn:
- Hình chiếu của một điểm (không trùng tâm chiếu) là một điểm
- Hình chiếu của một đường thẳng (không đi qua tâm chiếu) là một đường thẳng
- Sự liên thuộc giữa điểm và đường thẳng được bảo toàn: A a A’ a’
- Tỉ số kép giữa bốn điểm thẳng hàng được bảo toàn: (hình 0-12)
AB Hay viết gọn hơn là (ABCD) = (A’B’C’D’)
Hay viết gọn hơn là (ABC) = (A’B’C’)
Phép chiếu thẳng góc
CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN KHÔNG GIAN CỦA HÌNH HỌC HỌA HÌNH 8 1 Phương pháp hình chiếu thẳng góc
Phương pháp hình chiếu trục đo
Phương pháp này liên quan đến việc gắn một vật thể ba chiều vào hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz và sau đó chiếu cả vật thể lẫn hệ trục tọa độ lên một mặt phẳng hình chiếu theo một hướng song song đã được chọn trước.
Phương pháp này được áp dụng phổ biến trong các lĩnh vực kỹ thuật như chế tạo máy, kiến trúc và xây dựng Nó thường được kết hợp với phương pháp hình chiếu thẳng góc để minh họa hình không gian của các vật thể.
Phương pháp hình chiếu phối cảnh
Phương pháp này sử dụng phép chiếu xuyên tâm để chiếu vật thể lên mặt phẳng thẳng đứng và phép chiếu thẳng góc để chiếu lên mặt phẳng nằm ngang Hình ảnh thu được trên các mặt phẳng này được gọi là phối cảnh của vật thể.
Phương pháp này có ưu điểm là dễ dàng hình dung các vật thể ba chiều, mặc dù hình ảnh thu được có thể bị biến dạng một phần và không hoàn toàn giống với thực tế.
Phương pháp này có nhược điểm là các kích thước bị biến dạng theo một hệ số nhất định, dẫn đến việc khó khăn trong việc đo đạc và lấy kích thước trực tiếp từ hình vẽ.
Phương pháp này có ưu điểm nổi bật là giúp người dùng dễ dàng hình dung các vật thể ba chiều trong không gian, với hình biểu diễn chính xác phản ánh những gì mà mắt người quan sát thấy.
- Nhược điểm của phương pháp này là kích thước bị biến dạng rất nhiều, hoàn toàn không thể đo đạc và lấy kích thước trực tiếp trên hình vẽ
➔ Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong các ngành : hội họa, kiến trúc, …
Phương pháp hình chiếu có đánh số
Phương pháp này sử dụng phép chiếu thẳng góc để chiếu vật thể lên mặt phẳng hình chiếu ngang, đồng thời hiển thị các số đo độ cao trên các đường đồng mức.
- Ưu điểm của phương pháp này là biểu diễn được các đối tượng có hình dạng phức tạp như địa hình đồi núi, nhiệt độ, sự phân bố mây, …
Phương pháp này có nhược điểm là chỉ có khả năng biểu diễn gần đúng các đối tượng hình học ba chiều, mà không thể đảm bảo độ chính xác hoàn toàn.
➔ Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong các ngành đo đạc địa chất, thủy văn, …
Giáo trình này được thiết kế nhằm phục vụ cho các đối tượng trong lĩnh vực kiến trúc và xây dựng, tập trung vào các phương pháp biểu diễn hình chiếu thẳng góc, hình chiếu trục đo và hình chiếu phối cảnh, đồng thời không đề cập đến phương pháp hình chiếu có đánh số.
PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC BÀI 1 BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC
HỆ THỐNG HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU
1 XÂY DỰNG HỆ THỐNG MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC (hình 1-01)
Trong không gian, lấy hai mặt phẳng (mp) vuông góc nhau Mặt phẳng thẳng đứng
Trong hình học, mp hình chiếu đứng được gọi là mp 1, trong khi mp hình chiếu bằng được gọi là mp 2 Hai mặt phẳng này giao nhau tại một đường thẳng, được gọi là trục hình chiếu x.
Gọi là mp phân giác 4 của góc nhị diện (thuộc phần tư thứ 2 và thứ 4 ) hợp bởi 1 và 2
Gọi S 1∞ và S 2∞ lần lượt là những hướng chiếu thẳng góc (vuông góc) với mặt phẳng
Khi chiếu một vật thể bất kỳ trong không gian lên hai mặt phẳng hình chiếu 1 và 2, ta sử dụng hai phép chiếu thẳng góc với nguồn chiếu lần lượt là S1∞ và S2∞.
Bài viết này khảo sát hai mặt phẳng phân giác của góc nhị diện, một thuộc phần tư thứ nhất và thứ ba, và một thuộc phần tư thứ hai và thứ tư Tuy nhiên, giáo trình chỉ tập trung vào một mặt phẳng phân giác G duy nhất nằm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư.
Góc phần tư 1 Góc phần tư 2
Góc phần tư 3 Góc phần tư 4
2 ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM
2.1 Thành lập đồ thức của một điểm (hình 1-02)
Giả sử có một điểm A bất kỳ trong không gian, để thành lập hình biểu diễn của điểm
A ta tiến hành như sau :
- Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S1∞ lên mp 1 ta được điểm A1
- Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S2∞ lên mp 2 ta được điểm A2
- Quay mặt phẳng 2 và mặt phẳng quanh trục x đến trùng với mặt phẳng 1 thì điểm A2 có vị trí mới trên mặt phẳng 1 như hình vẽ 1-02
Nhận thấy rằng A1 và A2 nằm trên cùng một đường gióng 5 thẳng đứng vuông góc với trục hình chiếu x
- Cặp điểm (A1,A2) gọi là đồ thức của điểm A (A1A2 ⊥ x)
- A1 gọi là hình chi ếu đứng của điểm A
- A2 gọi là hình chi ếu bằng của điểm A
- Gọi Ax là giao điểm của A1A2 với trục x ta có :
Đường gióng, hay còn gọi là đường dóng, là các đường thẳng phụ trợ quan trọng trong việc canh chỉnh và so sánh vị trí giữa các hình chiếu của một đối tượng hình học Những đường này thường được vẽ bằng nét liền mảnh để đảm bảo tính chính xác và rõ ràng trong các bản vẽ kỹ thuật.
Độ cao của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng 2
Trên hình 1-02, độ cao của điểm A là đoạn thẳng AA2 = A1Ax
Độ xa của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng 1
Trên hình 1-02, độ xa của điểm A là đoạn thẳng AA1 = A2Ax
Lưu ý rằng đồ thức của một điểm B nào đó, ký hiệu là (B1, B2), có mối liên hệ ràng buộc duy nhất là B1B2 ⊥ x Thứ tự của B1 và B2, tức là B1 nằm trên hay B2 nằm dưới, hoặc cả hai hình chiếu B1 và B2 cùng nằm trên hoặc dưới trục x, là tự do và phụ thuộc vào vị trí tương đối của điểm B trong không gian so với các mặt phẳng hình chiếu.
1 và 2 (Xem ví dụ hình 1-03)
2.2 Các điểm đặc biệt (hình 1-04)
- Điểm B thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng 1 thì có hình chiếu bằng B2 nằm trên trục hình chiếu x : B 1 B 2 x
- Điểm C thuộc mặt phẳng hình chiếu bằng 2 thì có hình chiếu đứng C1 nằm trên trục hình chiếu x : C 2 C 1 x
- Điểm D thuộc mặt phẳng phân giác thì có hình chiếu đứng D1 và hình chiếu bằng D2 trùng nhau : D D 1 D 2
- Trục hình chiếu x thuộc mặt phẳng phân giác nên mọi điểm trên x cũng có hai hình chiếu trùng nhau : E x E 1 E 2
3.1 Thành lập đồ thức của một đường thẳng (thường)
- Đường thẳng nối 2 tâm chiếu S1∞ và S2∞ được gọi là đường thẳng tâm chiếu 6
- Đường thẳng thường là đường thẳng không cắt đường thẳng tâm chiếu 7
- Đồ thức của đường thẳng thường là một cặp đường thẳng không vuông góc với trục hình chiếu x (hình 1-05)
3.2 Các đường thẳng thường gặp
- Đường thẳng bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
Tính chất : Hình chiếu đứng của đường thẳng bằng là một đường thẳng song song với trục hình chiếu x b là đường thẳng bằng b 1 // x
Ghi chú : Mọi đường thẳng d nằm trên mặt phẳng hình chiêu bằng 2 đều có hình chiếu đứng d1 x Ta vẫn có thể xem d như là một đường thẳng bằng
- Đường thẳng mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng 1
Đường thẳng tâm chiếu nối hai điểm vô tận S1∞ và S2∞ là đường thẳng vô tận của các mặt phẳng vuông góc với trục hình chiếu x, tuy nhiên, đường thẳng này không thể quan sát được trên hình vẽ.
Bảy đường thẳng cắt đường thẳng tâm chiếu chỉ xảy ra khi chúng nằm trên một mặt phẳng vuông góc với trục hình chiếu x Những đường thẳng này được coi là đặc biệt trong không gian hình học.
Tính chất : Hình chiếu bằng của đường thẳng mặt là một đường thẳng song song với trục hình chiếu x m là đường thẳng mặt m 2 // x
Ghi chú : Mọi đường thẳng n nằm trên mặt phẳng hình chiêu đứng 1 đều có hình chiếu bằng n2 x Ta vẫn có thể xem n như là một đường thẳng mặt
➢ Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng 2 (hình 1-08)
Tính chất : Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng bị suy bi ến thành một điểm
: d 2 A 2 Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng là một đường thẳng vuông góc trục x d là đường thẳng chiếu bằng d 2 là một điểm và d 1 ⊥ x
- Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng 1 (hình 1-09)
Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng bị suy biến thành một điểm, ký hiệu là a1 tương đương với D1 Trong khi đó, hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng là một đường thẳng vuông góc với trục x, ký hiệu là a2 Do đó, ta có a là đường thẳng chiếu đứng tương đương với a1 là một điểm và a2 vuông góc với trục x.
Đường thẳng cạnh là đường thẳng vuông góc với trục hình chiếu x trong mặt phẳng Do có nhiều đường thẳng cạnh khác nhau có hình chiếu trùng nhau, không thể sử dụng ký hiệu thông thường để biểu diễn chúng Để đảm bảo sự tương ứng 1-1, cần phải biểu diễn đồ thức của đường thẳng cạnh bằng đồ thức của hai điểm A và B bất kỳ thuộc đường thẳng đó.
Tính chất : Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đường thẳng cạnh là một cặp đường thẳng trùng nhau và cùng vuông góc với trục hình chiều x
AB là đường thẳng cạnh (đường thẳng) A 1 B 1 (đường thẳng) A 2 B 2 và ⊥ x
4 SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
4.1 Điểm thuộc đường thẳng thường (hình 1-11) Điểm thuộc đường thẳng thường khi và chỉ khi các hình chiếu của điểm thuộc các hình chiếu có cùng ch ỉ số của đường thẳng và thỏa mối liên hệ ràng buộc của điểm
Hình 1-11 Điểm I thuộc đường thẳng d I 1 d 1 , I 2 d 2 và I 1 I 2 ⊥ x
Nhìn trên hình 1-12, ta có nhận xét là điểm J không thuộc đường thẳng cạnh AB nhưng vẫn có các hình chiếu J1 (đường thẳng) A1B1 và J2 (đường thẳng) A2B2
Mặc dù các hình chiếu của điểm có thể nằm trong các hình chiếu có cùng chỉ số của đường thẳng, điều này không đảm bảo rằng điểm đó thuộc về đường thẳng cạnh.
Điểm I thuộc đường thẳng cạnh AB khi và chỉ khi tỉ số đơn của ba điểm A1, B1, I1 trên hình chiếu đứng bằng tỉ số đơn của ba điểm A2, B2, I2 trên hình chiếu bằng.
Dựa vào tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng, chúng ta có thể xác định xem một điểm I có thuộc đường thẳng cạnh AB hay không thông qua phép gióng song song, như minh họa trong hình 1-13.
- Trên hình chiếu đứng, vẽ hai tia song song bất kỳ đi qua A1, B1
- Trên hình chiếu bằng, vẽ hai tia song song theo một hướng bất kỳ khác đi qua A2 và B2
- Các tia qua A1 và A2 cắt nhau tại điểm A’, Các tia qua B1 và B2 cắt nhau tại điểm B’ Nối A’B’
- Từ I1 vẽ tia song song với A1A’ cắt A’B’ tại điểm I’
Từ điểm I, vẽ một tia song song với A’A2 cắt A2B2 tại một điểm Nếu điểm cắt này trùng với vị trí của điểm I2, thì I thuộc đoạn thẳng AB Ngược lại, nếu không, I sẽ không thuộc đoạn thẳng AB.
4.2 Điểm thuộc đường thẳng cạnh (hình 1-12)
5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
5.1 Trường hợp hai đường thẳng thường Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường cắt nhau là giao điểm của các hình chiếu có cùng ch ỉ số của chúng nằm trên cùng một đường gióng vuông góc với trục x (hình 1-14) Nếu không thỏa có nghĩa là hai đường
22 Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song nhau là các hình chiếu có cùng ch ỉ số của chúng cũng phải song song nhau (hình 1-16)
5.2 Trường hợp đường thẳng thường và đường thẳng cạnh
Một đường thẳng thường và một đường thẳng cạnh chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau Chúng không thể song song với nhau được
BIỂU DIỄN CÁC VẬT THỂ HÌNH HỌC
SỰ THẤY-KHUẤT TRÊN ĐỒ THỨC
Khi biểu diễn nhiều vật thể hình học, các vật thể có thể che khuất lẫn nhau trên các hình chiếu thẳng góc Do đó, việc phân biệt giữa các phần vật thể được thấy và phần bị che khuất là rất quan trọng để sử dụng các nét vẽ phù hợp, bao gồm nét thấy và nét khuất.
• Khi xét sự thấy-khuất trên đồ thức của một điểm, ta có các qui ước sau :
- Điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những vật thể đục, không trong suốt
- Mắt người quan sát được đặt ở các tâm chiếu tương ứng S1trước P 1 và S2 trước P 2
- Các điểm thuộc cùng một đường thẳng chiếu (chiếu đứng hay chiếu bằng) thì được gọi là các điểm đồng tia chiếu (chiếu đứng hay chiếu bằng)
➢ Từ các qui ước trên ta có các nhận xét 1: (hình 2-01)
- Nếu hai điểm thuộc cùng một tia chiếu đứng, điểm nào có độ xa lớn hơn thì điểm đó được thấy trên hình chiếu đứng
- Nếu hai điểm thuộc cùng một tia chiếu bằng, điểm nào có độ cao lớn hơn thì điểm đó được thấy trên hình chiếu bằng
• Khi xét sự thấy- khuất của hai mặt phẳng P và Q giao nhau theo một đường giao tuyến chung g, ta có nhận xét 2 : (hình 2-02)
Giao tuyến g là đường phân chia ranh giới giữa hai mặt phẳng giao nhau, nơi sự thấy khuất xảy ra Khi một trong hai mặt phẳng vượt qua giao tuyến g, hiện tượng thấy khuất của nó sẽ bị đảo ngược.
Q vượt qua g và đi xuống phía dưới
P, Q trở nên khuất (bị P che khuất)
Sự thấy khuất của điểm dẫn đến sự thấy khuất của đường chứa nó, và sự thấy khuất của đường lại kéo theo sự thấy khuất của mặt chứa nó.
Điểm I nằm trên đường thẳng d, dẫn đến việc phần đường thẳng d phía sau giao tuyến g cũng bị khuất Vì đường thẳng d thuộc mặt phẳng P, nên phần mặt phẳng P phía sau giao tuyến g cũng sẽ bị khuất theo.
➔ Ta vận dụng 2 nhận xét trên để giải quyết các bài toán xét thất-khuất của hai vật thể giao nhau như ví dụ minh họa sau :
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét hai hình phẳng (ABC) và (DEF) giao nhau tại giao tuyến IJ, như đã thể hiện trong hình vẽ Nhiệm vụ là biểu diễn phần thấy và phần khuất của hai hình phẳng này trong hình chiếu đứng và hình chiếu bằng, theo hình 2-03.
Để xác định sự thấy-khuất của (ABC) và (DEF) trong hình chiếu đứng, ta chọn hai điểm đồng tia chiếu đứng: điểm 1 thuộc AB và điểm 2 thuộc DE Quan sát trên hình chiếu bằng cho thấy điểm 12 cách xa hơn điểm 22, vì vậy trong hình chiếu đứng, điểm 11 ở phía trước sẽ che khuất điểm 21 ở phía sau.
Theo nhận xét 2, điểm 1 thuộc đoạn thẳng AB và điểm 2 thuộc đoạn thẳng DE, dẫn đến sự thấy-khuất của các đoạn thẳng này cũng như các mặt phẳng (A1B1C1) và (D1E1F1) Cụ thể, ở phía trên giao tuyến I1J1, mặt phẳng (A1B1C1) sẽ che khuất mặt phẳng (D1E1F1), trong khi ở phía dưới giao tuyến, mặt phẳng (D1E1F1) sẽ che khuất mặt phẳng (A1B1C1).
Tương tự như vậy, ta dùng hai điểm đồng tia chiếu bằng là điểm 3 AC và điểm 4
DF được sử dụng để xác định sự che khuất giữa hình phẳng (ABC) và (DEF) trong hình chiếu bằng Kết quả cho thấy, phía trên giao tuyến I2J2, hình phẳng (D2E2F2) che khuất hình phẳng (A2B2C2) Ngược lại, phía dưới giao tuyến I2J2, hình phẳng (A2B2C2) lại che khuất hình phẳng (D2E2F2).
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU
PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU ĐỨNG
Thay mặt phẳng hình chiếu đứng bằng cách chọn một mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng hiện tại, đồng thời xác định hướng vuông góc với mặt phẳng một để tạo ra hướng chiếu đứng mới.
- Hình chiếu bằng A 2 của điểm A vẫn giữ nguyên không thay đổi
- Hình chiếu bằng A 2 và hình chiếu đứng mới A’ 1 của điểm A thuộc cùng một đường gióng vuông góc trục x’
- Độ cao cũ và độ cao mới của điểm A bằng nhau : A’ 1 A x’ = A 1 A x
1.3 Các công thức thay mặt phẳng hình chiếu đứng Đường thẳng thường AB Đường thẳng mặt AB Để biến đổi một đường thẳng thường AB thành một đường thẳng mặt, ta vẽ trục x’ song song với hình chiếu bằng A2B2 của đường thẳng AB (hình 3-03)
Để xác định độ dài thực của đoạn thẳng AB và góc giữa đoạn thẳng AB với mặt phẳng hình chiếu bằng 2, ta sử dụng phép biến đổi mặt phẳng hình chiếu đứng Qua đó, đoạn thẳng AB sẽ được chuyển đổi thành đoạn thẳng mặt A’1B’1, với A’1B’1 = AB và (A’1B’1, x’) = (AB, P 2).
Để chuyển đổi đường thẳng bằng CD thành đường thẳng chiếu đứng, cần vẽ trục x’ vuông góc với hình chiếu bằng C2D2 của đường thẳng CD.
Mặt phẳng thường (ABC) Mặt phẳng chiếu đứng (ABC)
Thay mp 1 x' ⊥ h.c bằng của đ.t bằng thuộc mp (ABC)
Để chuyển đổi mặt phẳng thường (ABC) thành mặt phẳng chiếu đứng, ta cần vẽ một đường thẳng bất kỳ b(b1,b2) trong mặt phẳng đó Tiếp theo, vẽ trục x’ vuông góc với hình chiếu tại b2 Qua phép biến đổi, hình chiếu đứng mới (A’1B’1C’1) của mặt phẳng (ABC) sẽ trở thành một đường thẳng.
Khi biến đổi một mặt phẳng vết thành mặt phẳng vết chiếu đứng, cần lưu ý rằng vết bằng V2 cũng chính là một đường thẳng thuộc mặt phẳng đó.
Để xác định vết đứng mới V'1, chúng ta cần vẽ trục x' vuông góc với V2 Tiếp theo, chọn một điểm 1(11, 12) trên vết đứng cũ và xác định hình chiếu đứng mới 1’1 Vết đứng mới V'1 sẽ là đường thẳng nối điểm 1’1 với giao điểm của V2 và trục x'.
Để chuyển đổi mặt phẳng chiếu bằng (DEF) thành mặt phẳng mặt, cần vẽ trục x’ song song với hình chiếu bằng suy biến của mặt phẳng (DEF) Qua đó, hình chiếu đứng mới (D’1E’1F’1) của mặt phẳng (DEF) sẽ có diện tích đúng bằng diện tích thật.
PHÉP THAY MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU BẰNG
Để thay mặt phẳng hình chiếu bằng, cần chọn một mặt phẳng 2 vuông góc với mặt phẳng 1 làm mặt phẳng hình chiếu bằng mới Đồng thời, thay thế mặt phẳng 2 và chọn hướng vuông góc với mặt phẳng 2 làm hướng chiếu bằng mới (hình 3-08)
Thay mp 1 x' // h.c bằng suy biến của mp (DEF)
- Hình chiếu đứng A 1 của điểm A vẫn giữ nguyên không thay đổi
- Hình chiếu đứng A 1 và hình chiếu bằng mới A’ 2 của điểm A thuộc cùng một đường gióng vuông góc trục x’
- Độ xa cũ và độ xa mới của điểm A bằng nhau : A’ 2 A x’ = A 2 A x
2.3 Các công thức thay mặt phẳng hình chiếu bằng Đường thẳng thường AB Đường thẳng bằng AB
Để chuyển đổi một đường thẳng thường AB thành đường thẳng bằng, cần vẽ trục x’ song song với hình chiếu đứng A1B1 của đường thẳng đó Tương tự, để biến đổi đường thẳng mặt CD thành đường thẳng chiếu bằng, ta vẽ trục x’ vuông góc với hình chiếu đứng C1D1 của đường thẳng CD.
Mặt phẳng thường (ABC) Mặt phẳng chiếu bằng (ABC)
Thay mp 2 x' ⊥ h.c đứng của đ.t mặt thuộc mp (ABC)
Để chuyển đổi mặt phẳng thường (ABC) thành mặt phẳng chiếu bằng, ta cần vẽ một đường thẳng trong mặt phẳng đó, gọi là m(m1,m2) Sau đó, vẽ trục x’ vuông góc với hình chiếu đứng m1 Kết quả là hình chiếu bằng mới (A’2B’2C’2) của mặt phẳng (ABC) qua phép biến đổi sẽ trở thành một đường thẳng.
Khi biến đổi một mặt phẳng vết thành mặt phẳng vết chiếu bằng, cần lưu ý rằng vết đứng V1 là một đường thẳng thuộc mặt phẳng Do đó, chỉ cần vẽ trục x’ vuông góc với V1 Chọn một điểm 1(11, 12) trên vết bằng cũ và xác định hình chiếu bằng mới 1’2 Vết bằng mới V’2 là đường thẳng nối điểm 1’2 với giao điểm của V1 và trục x’.
Mặt phẳng chiếu đứng (DEF) Mặt phẳng bằng (DEF)
Thay mp 2 x' // h.c đứng suy biến của mp (DEF)
Để chuyển đổi mặt phẳng chiếu đứng (DEF) thành mặt phẳng bằng, cần vẽ trục x’ song song với hình chiếu đứng của mặt phẳng Qua phép thay mặt phẳng 2, hình chiếu bằng mới (D’2E’2F’2) sẽ có diện tích tương ứng với diện tích thực của mặt phẳng (DEF).
BÀI TOÁN TÌM GIAO TUYẾN
BÀI TOÁN TÌM BÓNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC
CÁC KHÁI NIỆM VÀ QUY ƯỚC VỀ BÓNG
Để việc xác định bóng trên các hình chiếu thẳng góc của vật thể được dễ dàng, người ta đưa ra các quy ước sau đây:
- Nguồn sáng là một điểm S (không xét trường hợp nguồn đường, nguồn mặt hay nguồn khối), điểm này có thể là điểm hữu hạn hoặc là điểm vô tận
- Tia sáng là những đường thẳng xuất phát từ nguồn sáng S và rọi đến vật thể
Với các quy ước trên, ta có những nhận xét sau: (hình 5-03)
- Bóng của một điểm A do nguồn sáng S gây ra trên mặt P là giao điểm Ab của đường thẳng SA với mặt P
- Bóng của một đường thẳng d do nguồn sáng S gây ra trên mặt P là giao tuyến db của mặt phẳng (S,d) với mặt P
Khi mặt A được chiếu sáng bởi nguồn sáng S, nó sẽ tạo ra vùng sáng và vùng tối Đường phân cách giữa hai vùng này trên mặt A được gọi là đường bao bóng bản thân.
Các tia sáng từ nguồn S chiếu tới mặt A theo đường bao bóng của bản thân, tạo thành một mặt nón gọi là mặt nón tia sáng Điểm giao nhau của mặt nón này với bề mặt P được gọi là đường bao bóng đổ của mặt A trên mặt P.
Bóng của mặt A trên bề mặt P được xác định bởi đường bao bóng đổ, mà cũng có thể xem như bóng của đường bao bóng bản thân Một điểm M trên đường bao bóng bản thân a trên mặt A sẽ tạo ra bóng Mb thuộc đường bao bóng đổ ab trên bề mặt P Do đó, nếu biết đường bao bóng bản thân của mặt A, ta có thể dễ dàng suy ra đường bao bóng đổ trên bề mặt P và ngược lại.
• Quy ước về hướng của tia sáng tới:
Hướng của tia sáng tới thay đổi theo thời gian trong ngày, dẫn đến sự biến đổi của bóng đổ trên bề mặt đối tượng hình học Để đảm bảo việc vẽ bóng được đơn giản và thống nhất, ta quy ước chọn hướng tia sáng tới là hướng của đường chéo hình lập phương, với hai mặt song song với các mặt phẳng hình chiếu P1 và P2 Do đó, nguồn sáng S được coi là nguồn vô tận, phát ra các tia song song theo phương đường chéo hình lập phương quy ước.
Trong phần lý thuyết về bóng đổ, các đường bóng thường được mô tả là "sắc nét", điều này khác với thực tế, nơi đường phân cách giữa vùng sáng và tối trên các vật thể cong là một dải chuyển tiếp từ sáng sang tối Nguyên nhân là do chúng ta đã lý tưởng hóa môi trường đổ bóng của vật thể, không tính đến các hiệu ứng phụ như phản quang, phản xạ bề mặt và ánh sáng khuếch tán.
Khi phân tích hướng tia sáng, chúng ta thường chọn hướng từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải của hình lập phương Các hình chiếu của tia sáng tới đều tạo với trục hình chiếu x một góc 45 độ, như minh họa trong hình 5-05.
Gọi (theta) là góc tạo bởi hướng của tia áng tới với các mặt phẳng hình chiếu, ta có: tang = √ 2
Để xác định giá trị góc θ = 35° 15' 54", chúng ta thường không sử dụng thước đo độ mà thay vào đó áp dụng phương pháp dựng hình bằng thước kẻ và compa Phương pháp này giúp thực hiện phép quay để xác định góc θ một cách chính xác, như minh họa trong hình 5-05.
BÓNG CỦA MỘT ĐIỂM
2.1 Điểm đổ bóng lên các mặt phẳng hình chiếu P 1 và P 2 - loại 1 :
Cho điểm A và điểm B có đồ thức như hình vẽ 5-06 Trên hình không gian, ta nhận thấy vị trí
Ab và Bb được xác định bằng cách chiếu các tia sáng s1, s2 lên trục hình chiếu x, sau đó gióng vuông góc lên hình chiếu còn lại.
Để xác định Ab(A1b,A2b) và Bb(B1b,B2b) trên đồ thị, chúng ta cần cho hai tia s1 và s2 nghiêng 45 độ so với trục x, đi qua các điểm A(A1,A2) và B(B1,B2) Khi một trong hai tia này giao với trục x và vuông góc với tia còn lại, ta sẽ thu được các hình chiếu của bóng cần tìm.
Ab và Bb được xác định theo cách trên gọi là các giá trị bóng thật Ngoài các bóng thật, còn có thể xác định các vị trí Ab(ảo) và Bb(ảo) dựa trên giả định rằng sau khi chạm vào vị trí của bóng thật, tia sáng tiếp tục xuyên qua một trong hai mặt phẳng hình chiếu P1 hoặc P2 và chạm tới mặt phẳng hình chiếu còn lại, tạo ra các bóng ảo.
Bóng thật và bóng ảo của một điểm cùng loại và chỉ số luôn thẳng hàng theo phương ngang, tạo thành bốn đỉnh của hình vuông với các đường chéo là s1 và s2 Đặc biệt, bóng ảo luôn nằm bên phải của bóng thật.
Bóng thật và bóng ảo của một điểm đổ lên các mặt phẳng hình chiếu P1 và P2 là dấu vết của đường thẳng 14 tia sáng s tương tác với các mặt phẳng này.
2.2 Điểm đổ bóng lên các mặt phẳng chiếu đứng và chiếu bằng - loại 2 :
Trong không gian, điểm A và điểm B được xác định cùng với các mặt phẳng vết chiếu đứng Q và mặt phẳng vết chiếu bằng H, như thể hiện trong hình vẽ 5-08 Vị trí của Ab và Bb là giao điểm của tia sáng s với các mặt phẳng Q và H.
Ab có các hình chiếu A1b = s1 V 1 Q (hình chiếu suy biến), A2b s2
Bb có các hình chiếu B2b = s2 V 2 H (hình chiếu suy biến), B1b s1
Để xác định Ab(A1b, A2b) và Bb(B1b, B2b) trên đồ thị, chúng ta cần cho các tia s1, s2 nghiêng 45 độ so với trục x và đi qua các điểm A(A1, A2) và B(B1, B2) Một trong hai tia này sẽ giao với hình chiếu suy biến của mặt phẳng Q, H, và từ đó, kéo vuông góc lên tia còn lại để tìm ra các hình chiếu của bóng mà chúng ta cần xác định.
Bóng của một điểm trên các mặt phẳng chiếu đứng hoặc chiếu bằng được xác định là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trong trường hợp đặc biệt, khi có yếu tố suy biến.
14 Xem lại bài 1-Biểu diễn điểm-đường thẳng-mặt phẳng, mục 7.1-Vết của đường thẳng
2.3 Điểm đổ bóng lên một mặt phẳng (nghiêng) bất kỳ - loại 3 :
Cho điểm A và mặt phẳng nghiêng Q có đồ thức như hình vẽ 5-09 Trong không gian, vị trí Ab là giao điểm giữa đường thẳng tia sáng s và mặt phẳng Q.
Q (Q là một mặt phẳng thường, không có chứa yếu tố suy biến)
Để xác định các vị trí A1b và A2b trên đồ thức, cần áp dụng phương pháp mặt phẳng phụ trợ, trong đó mặt phẳng R được sử dụng để chiếu đường thẳng tia sáng s.
Bóng của một điểm trên mặt phẳng nghiêng được xác định là giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng trong trường hợp tổng quát, không có yếu tố suy biến.
BÓNG CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
3.1 Đoạn thẳng đổ bóng lên cùng một mặt phẳng : Để tìm bóng của một đoạn thẳng AB, ta chỉ cần đổ bóng hai điểm đầu mút A và B của đoạn thẳng đó Trong trường hợp hai điểm bóng Ab và Bb nằm trên cùng một mặt phẳng thì ta có thể nối chúng lại với nhau để được bóng AbBb của cả đoạn thẳng
Hình 5-10 minh họa trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng lên mặt phẳng hình chiếu đứng P1, tương tự cho mặt phẳng P2 Để xác định vị trí Ab(A1b, A2b) và Bb(B1b, B2b) theo bóng đổ loại 1, ta chỉ cần nối A1bB1b và A2bB2b, từ đó thu được các hình chiếu bóng của đoạn thẳng AB cần tìm.
Hình 5-11 minh họa trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng lên mặt phẳng chiếu Q, tương tự như trường hợp mặt phẳng chiếu đứng Để xác định vị trí trên đồ thị, chúng ta chỉ cần thực hiện các bước cần thiết.
Ab(A1b,A2b) và Bb(B1b,B2b) theo bóng đổ loại 2 Nối A1bB1b và A2bB2b ta có được các hình chiếu là bóng của đoạn thẳng AB cần tìm
Hình 5-12 minh họa trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng lên mặt phẳng nghiêng Q Để xác định vị trí Ab(A1b, A2b) và Bb(B1b, B2b) theo bóng đổ loại 3, ta áp dụng phương pháp mặt phẳng phụ trợ Kết nối A1bB1b và A2bB2b sẽ cho ra các hình chiếu của bóng đoạn thẳng AB cần tìm.
3.2 Đoạn thẳng đổ bóng cùng lúc lên hai mặt phẳng : Để tìm bóng của một đoạn thẳng AB trong trường hợp các điểm bóng Ab và Bb nằm trên hai mặt phẳng khác nhau, ta cần xác định thêm bóng ảo của một trong hai điểm
A (hoặc B) sao cho điểm bóng ảo đó nằm trên cùng một mặt phẳng với điểm bóng thật còn lại B (hoặc A) – Hình 5-13
Khi nối các điểm bóng ảo Ab và thật Bb, có cùng chỉ số trên các hình chiếu và thuộc cùng một mặt phẳng, ta sẽ xác định được đoạn bóng thật cần thiết của đoạn thẳng AB trên mặt phẳng P.
Xác định giao điểm I của đoạn bóng
Ab(ảo)Bb đã kết nối với giao tuyến chung g của hai mặt phẳng nhận bóng Khi nối điểm I với điểm bóng thật còn lại Ab, chúng ta xác định được phần bóng thật của đoạn thẳng AB nằm trên mặt phẳng Q cần tìm, như minh họa trong Hình 5-13.
Hình 5-14 cho ta trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng cùng lúc lên hai mặt phẳng hình chiếu
Điểm A đổ bóng lên mặt phẳng P2 tạo thành A2b, trong khi điểm B đổ bóng lên P1 tạo thành B1b Do các điểm bóng này không nằm trong cùng một mặt phẳng, cần xác định thêm điểm bóng ảo B2b(ảo) của điểm B trên mặt phẳng P2 Cả A2b và B2b(ảo) đều thuộc mặt phẳng hình chiếu P2 và có cùng chỉ số, cho phép nối đoạn bóng A2bB2b(ảo).
x = I (I1b I2b) Nối I1b về B1b ta có được phần bóng còn lại cần tìm của đoạn thẳng AB rớt trên mặt phẳng hình chiếu đứng P 1
Hình 5-15 cho ta trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng cùng lúc lên mặt phẳng hình chiếu bằng
Điểm A tạo bóng trên mặt phẳng P2, được ký hiệu là Ab(A1b, A2b), là bóng đổ loại 1 Tương tự, điểm B tạo bóng trên mặt phẳng Q, ký hiệu là Bb(B1b, B2b), là bóng đổ loại 2 Do các điểm bóng này không nằm trên cùng một mặt phẳng, cần xác định thêm một điểm bóng ảo B2b(ảo) cho điểm B.
Trong mặt phẳng hình chiếu P2, ta có A2b và B2b (ảo) với cùng chỉ số, cho phép nối lại đoạn bóng A2bB2b(ảo) Khi A2bB2b(ảo) giao với V2Q, ta nhận được I2b Từ I2b, kéo thẳng lên trục x, ta có điểm I1b.
A2bI2bB2b và A1bI1bB1b ta có được các đoạn bóng cần tìm của đoạn thẳng AB
Hình 5-16 cho ta trường hợp đoạn thẳng AB đổ bóng cùng lúc lên mặt phẳng hình chiếu bằng
Trong không gian ba chiều, khi điểm A đổ bóng lên mặt phẳng P2, ta có bóng đổ loại 1 được ký hiệu là Ab(A1b, A2b) Tương tự, điểm B đổ bóng lên mặt phẳng H tạo ra bóng đổ loại 3 ký hiệu là Bb(B1b, B2b) Do các điểm bóng này không nằm trên cùng một mặt phẳng, cần thiết phải xác định thêm một điểm bóng ảo B2b(ảo) cho điểm B.
Trong mặt phẳng hình chiếu P2, ta có A2b và B2b (ảo) với cùng chỉ số, cho phép nối lại đoạn bóng A2bB2b(ảo) Từ đó, A2bB2b(ảo) giao với V2H tạo thành I2b, và khi kéo dài I2b lên trục x, ta có I1b Kết nối A2bI2bB2b và A1bI1bB1b giúp xác định các đoạn bóng cần tìm của đoạn thẳng AB.
3.3 Các nguyên tắc đổ bóng của một đoạn thẳng dưới nguồn S ∞ :
Thay vì xác định bóng của một đối tượng hình học bằng cách đổ bóng từng điểm, chúng ta có thể áp dụng các đặc tính của nguồn S∞, nơi phát ra tia song song Phương pháp này giúp việc tạo bóng cho đối tượng hình học diễn ra nhanh chóng và dễ dàng hơn.
Nguyên tắc 1: Đoạn thẳng AB song song với mặt phẳng P sẽ tạo ra bóng đổ AbBb trên mặt phẳng P, và bóng này cũng song song với đoạn thẳng AB, có độ dài bằng chính nó.
Hệ quả : Hình phẳng A song song với mặt phẳng P sẽ có bóng đổ A b trên mặt phẳng P song song và có diện tích S Ab bằng với chính nó – hình 5-17b
Nguyên tắc 2: Khi đoạn thẳng AB và CD song song và cùng đổ bóng lên mặt phẳng P, bóng của chúng là AbBb và CbDb trên mặt phẳng P cũng sẽ song song với nhau.
BÓNG CỦA CÁC KHỐI HÌNH HỌC CƠ BẢN
Khi khối hộp chỉ đổ bóng lên mặt đất, để xác định bóng của toàn bộ khối hộp, ta chỉ cần tìm bóng của một điểm A trên mặt nắp hộp Áp dụng nguyên tắc 1, bóng đổ của mặt nắp sẽ có diện tích và hình dạng giống như chính nó Sau khi xác định được bóng đổ của nắp hộp, ta nối các đỉnh của bóng nắp về các điểm chân hộp để tạo thành đường viền ngoài, từ đó có được toàn bộ bóng cần tìm.
Trong trường hợp khối hộp đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và vách tường nằm ngang phía sau
Để xác định bóng của khối hộp, ta chỉ cần tìm bóng của các điểm A, B, C trên mặt nắp hộp Bằng cách áp dụng nguyên tắc 1 cho các đoạn thẳng đổ bóng lên mặt phẳng song song, ta sẽ có được bóng cần tìm Hình 5-23 minh họa bóng đổ loại 1 lên mặt phẳng hình chiếu đứng P1 và mặt phẳng hình chiếu bằng P2.
Trong trường hợp khối hộp đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và mặt phẳng nằm nghiêng phía sau
Để xác định bóng của khối hộp trên mặt phẳng nghiêng, ta cần tìm bóng của các điểm A, B, C thuộc mặt nắp trên của hộp Bằng cách áp dụng nguyên tắc 5 cho các đoạn thắng chiếu qua các điểm này, ta có thể xác định bóng của khối hộp trên hình chiếu bằng Từ các giao điểm của cạnh viền bóng C2C2b và A2A2b với vết bằng V2 P, ta kéo lên trục x và nối về điểm C1b.
A1b ta có bóng của khối hộp trên hình chiếu đứng
Khi khối trụ chỉ đổ bóng lên mặt đất, để xác định bóng của toàn bộ khối trụ, ta chỉ cần tìm bóng của điểm O, là tâm của mặt nắp trên khối trụ Áp dụng nguyên tắc 1, bóng đổ của mặt nắp trên sẽ có diện tích và hình dạng tương tự như chính nó.
Sau khi xác định bóng đổ của nắp trụ, chúng ta tiến hành vẽ hai đường thẳng tiếp xúc từ bóng nắp trụ đến đáy trụ Bằng cách lấy đường viền ngoài của bóng, chúng ta có thể xác định toàn bộ diện tích bóng đổ cần tìm.
Tại vị trí các tiếp điểm chân bóng của đáy trụ trên hình chiếu bằng, khi gióng vuông góc lên hình chiếu đứng, ta xác định được hai đường bao bóng bản thân của khối trụ Đáng chú ý, các tiếp điểm này nằm trên đường thẳng nghiêng 45 độ so với trục x và vuông góc với hướng tia sáng tới.
Trong trường hợp khối trụ đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và vách tường nằm ngang phía sau
Để xác định bóng của khối trụ, trước tiên cần tìm các đường bao bóng bản thân của nó Trên hình chiếu bằng, vẽ một đường thẳng nghiêng 45 độ so với trục x, vuông góc với hướng tia sáng Đường thẳng này cắt đường tròn đáy trụ tại hai tiếp điểm Từ các tiếp điểm này, gióng vuông góc lên hình chiếu đứng để xác định các đường bao bóng với đỉnh tại hai điểm cụ thể Thêm một điểm thuộc mặt nắp trụ, và từ ba điểm này, ta có thể đổ bóng lên mặt vách, tạo thành một cung elip ở phần bóng phía trên của mặt trụ Tại các vị trí đã xác định, bóng của mặt trụ được thể hiện rõ ràng.
2 cạnh song song vuông góc x Theo nguyên tắc 5, trên hình chiếu bằng, qua các điểm 12 và
32, ta có bóng của mặt trụ là hai đường nghiêm 45 0 so với x
Trong trường hợp khối trụ đổ bóng cùng lúc lên mặt đất và mặt phẳng nằm nghiêng phía sau
Để xác định bóng của khối trụ, trước tiên cần xác định các đường bao bóng đi qua điểm 1 và 3, cùng với một điểm 2 thuộc mặt nắp trụ Sau khi đổ bóng cả ba điểm 1, 2, 3 lên mặt vách nghiêng, phần bóng phía trên của mặt trụ sẽ tạo thành một cung elip.
Theo nguyên tắc 5, trên hình chiếu bằng, nối các điểm 1212b và 3232b, ta có đường bao bóng đổ của mặt trụ là hai đường nghiêm 45 0 so với x
Từ vị trí giao nhau của các đường bóng 1212b và 3232b với vết V 2 Q, kéo thẳng lên trục x và nối đến các điểm bóng 11b và 31b trên hình chiếu đứng, ta có thể xác định toàn bộ bóng đổ cũng như bóng bản thân của khối trụ.
Khi khối nón chỉ đổ bóng lên mặt đất, để xác định bóng đổ của toàn bộ khối nón, ta chỉ cần xem xét bóng của đỉnh nón S Bằng cách kẻ các đường tiếp xúc từ điểm bóng của đỉnh nón S2b xuống đáy nón, ta có thể tìm được bóng đổ của khối nón trên hình chiếu bằng.
Từ hai điểm tiếp xúc của đường bao bóng với đáy nón trong hình chiếu bằng, kéo thẳng lên trục x và nối tới đỉnh nón S1 trong hình chiếu đứng, ta xác định được đường bao bóng bản thân của khối nón.
Lưu ý rằng phần bóng đổ và bóng bản thân của mặt nón sẽ thay đổi tùy thuộc vào góc nghiêng α của đường sinh mặt nón so với mặt phẳng hình chiếu bằng P2.
- Nếu α < : Toàn bộ mặt nón được chiếu sáng và không có bóng - hình 5-29a
Khi α = θ, bóng của đỉnh nón sẽ rơi đúng vào đáy nón, dẫn đến việc mặt nón không có bóng đổ Đường bao bóng của khối nón được xác định bởi một đường kẻ duy nhất từ đỉnh nón S đến điểm bóng Sb trên đáy nón, như thể hiện trong hình 5-29b Mặt nón này được gọi là mặt nón giới hạn, vì các mặt nón có góc α > θ sẽ bắt đầu xuất hiện bóng đổ.
Khi α = 45°, mặt nón sẽ có các đường bao bóng đổ và bóng bản thân là những đường thẳng nằm ngang và vuông góc với trục x, chắn đúng một phần tư đường tròn, cụ thể là phần tư phía trên bên phải của mặt nón trong hình chiếu bằng.
Khi xem xét mặt nón úp ngược, phần bóng của những mặt nón có góc nghiêng α lớn hơn θ sẽ khác biệt so với phần bóng của mặt nón bình thường.
CÁC PHƯƠNG PHÁP VẼ BÓNG THƯỜNG DÙNG TRONG KIẾN TRÚC
5.1 Phương pháp mặt trụ và mặt nón tiếp xúc Đối với mặt trụ và mặt nón, việc tìm bóng bản thân của các khối hình học này trên hình chiếu đứng có thể được xác định bằng phương pháp dựng hình đặc trưng mà không cần dùng đến hình chiếu bằng
Hình 5-36a hướng dẫn cách xác định bóng bản thân của khối trụ trong hình chiếu đứng Đầu tiên, dựng nửa đường tròn với tâm tại điểm 1 trên đáy trụ và bán kính bằng bán kính của mặt trụ Sau đó, từ điểm 1, vẽ hai đường nghiêng 45 độ so với phương ngang, cắt nửa đường tròn đã dựng Từ các giao điểm 2 và 3, gióng vuông góc lên đáy trụ để xác định vị trí của hai đường bao bóng bản thân của mặt trụ.
Nhận xét về bóng bản thân của mặt trụ cho thấy tỉ lệ chia đoạn thẳng từ tâm trụ ra ngoài là 7-3 Để xác định các đường bao bóng bản thân, ta có thể sử dụng phương pháp dựng tam giác vuông cân, như được minh họa trong hình vẽ nắp trên của mặt trụ.
Hình 5-36bc mô tả cách xác định bóng bản thân của khối nón thuận và nghịch qua hình chiếu đứng Đầu tiên, từ tâm 0 trên đáy nón, dựng nửa đường tròn có bán kính bằng bán kính đáy nón Tiếp theo, từ điểm 1 trên đỉnh nửa đường tròn, vẽ đường thẳng song song với cạnh biên của mặt nón (có góc nghiêng α so với phương ngang) cho đến khi cắt đáy nón tại điểm 2 Từ điểm 2, dựng các đường thẳng 23 và 24 nghiêng 45 độ so với phương ngang để giao với đường tròn đã dựng Cuối cùng, từ các giao điểm 3 và 4 trên đường tròn, vẽ đường vuông góc lên đáy nón và nối về đỉnh nón S1 để xác định các đường bao bóng bản thân của mặt nón.
Dựa trên cách xác định bóng bản thân của khối trụ và khối nón, chúng tôi đề xuất một phương pháp mặt tiếp xúc để xác định bóng bản thân cho các vật thể có dạng tròn xoay.
37 Đặt các mặt nón và mặt trụ tiếp xúc với mặt tròn xoay sao cho trục của các mặt nón và mặt trụ trùng với trục của mặt tròn xoay
Mặt trụ tiếp xúc với mặt tròn xoay tại đường tròn vĩ tuyến, nơi phình to nhất của mặt tròn Hai đường bao bóng bản thân của mặt trụ cắt đường tròn vĩ tuyến tại hai điểm thuộc đường bao bóng bản thân của mặt tròn xoay Đối với mặt nón, đường giao tuyến tiếp xúc với mặt tròn xoay chính là các đường tròn đáy nón, và chân các đường bao bóng bản thân của mặt nón nằm trên đáy nón cũng là những điểm thuộc đường bao bóng bản thân của mặt tròn xoay.
Chúng tôi sử dụng các mặt nón đặc biệt, như mặt nón có góc nghiên 45 độ để xác định các điểm chuyển từ thấy sang khuất, và mặt nón có góc nghiên θ để xác định các điểm cao nhất và thấp nhất trên đường bao bóng của mặt tròn xoay.
5.2 Phương pháp mặt phẳng cắt phụ trợ
Để đổ bóng của mặt A lên mặt B, như hình 5-38, ta sử dụng nguồn sáng S∞ Kết quả là đường bao bóng bản thân trên mặt A được xác định là a, trong khi đường bao bóng bản thân trên mặt B được ký hiệu là b.
Dùng mặt phẳng phụ trợ P có phương song song với tia sáng tới cắt mặt A theo giao tuyến
Các tiếp điểm I, J của tia sáng tới giao tuyến α nằm trong đường bao bóng bản thân a của mặt A Tương tự, các tiếp điểm M, N của tia sáng tới giao tuyến β thuộc đường bao bóng bản thân b của mặt B.
Hình 5-37a (hình chiếu thẳng góc) Hình 5-37b (hình không gian)
Các điểm Ib, Jb trên giao tuyến cũng là các điểm thuộc đường bao bóng đổ ab của mặt A rớt lên trên mặt B
Bằng cách sử dụng nhiều mặt phẳng cắt song song với hướng tia sáng như P, chúng ta có thể thu được nhiều điểm nằm trên đường bao quanh bóng của hai mặt A.
B và nhiều điểm bóng đổ của mặt A lên mặt B
Để xác định các điểm bóng đổ của mặt A lên mặt B một cách nhanh chóng, chúng ta có thể chọn các mặt phẳng cắt P theo phương tia sáng Tuy nhiên, giao tuyến phụ và của mặt phẳng cắt P với các bề mặt A và B thường phức tạp và khó xác định chính xác.
Người ta thường chọn các mặt phẳng phụ song song như R, H, Q để cắt qua bề mặt nhận bóng đổ B, nhằm tạo ra các giao tuyến dễ xác định như đường thẳng và đường tròn Khi đổ bóng mặt A lên các mặt phẳng cắt R, H, Q, ta thu được các bóng ảo của A cắt các giao tuyến này.
Để xác định đường bao bóng đổ ab của mặt A trên mặt B, ta nối các điểm bóng thật trên bề mặt B Hình 5-39 minh họa quá trình này.
BÓNG CỦA CÁC CHI TIẾT KIẾN TRÚC
5.3 Phương pháp tia ngược Để tìm bóng đổ của một mặt A lên một mặt B, trong trường hợp tìm bóng đổ trực tiếp là phức tạp, ta có thể chọn cách đổ bóng gián tiếp cả hai mặt A và B lên một mặt thứ ba C bất kỳ (thường là mặt phẳng) sao cho bóng đổ của A và B lên mặt C là đơn giản và dễ tìm Từ phần chung và giao nhau của A b và B b trên mặt C, bằng tính chất liên thuộc và áp dụng các tia gióng ngược hướng tia sáng trở về lại mặt nhận bóng B, ta có được bóng đổ ab cần tìm của mặt A lên mặt B – hình 5-40
6 BÓNG ĐỔ CỦA CÁC CHI TIẾT KIẾN TRÚC
6.1 Bóng của mái nhà lên mặt đất
Xét trường hợp đổ bóng của một ngôi nhà nhỏ như hình 5-41
Vì các điểm của mái đổ bóng lên mặt đất (lên mặt phẳng hình chiếu bằng P 2) nên đây là trường hợp của bóng đổ loại 1
Chọn đổ bóng phần đầu hồi phía sau của nhà với các điểm 4, 5, 6 Ta có dạng bóng đổ
Nhận xét về đầu hồi phía trước của nhà (123) cho thấy nó song song và có hình dạng tương tự như đầu hồi phía sau Theo nguyên tắc 1 - đổ bóng đoạn thẳng, phần bóng đổ của đầu hồi phía trước nhà cũng được xác định.
1212b(ảo)22b(ảo)32b32 hoàn toàn giống với phần bóng đổ 4242b52b62b62 của phần đầu hồi phía sau nhà
Nối các điểm bóng của các cạnh mái nhà song song với mặt đất, bao gồm 12b(ảo)42b, 22b(ảo)52b, 32b62b, và lấy đường viền ngoài bao bóng đổ 4242b52b62b32b32, ta có thể xác định phần bóng đổ của toàn bộ ngôi nhà xuống mặt đất.
Đường bao bóng đổ là bóng của đường bao bóng bản thân trên vật thể, do đó, các đoạn thẳng 45, 56, 63 và hai đoạn thẳng chiếu bằng tại vị trí 3 và 4 chính là đường bao bóng bản thân của ngôi nhà Hình chiếu đứng thể hiện mặt bên chứa cạnh 3161 của ngôi nhà, trong khi mặt đầu hồi phía sau được tô bóng bản thân.
Lưu ý, trong trường hợp này, mặt mái nghiêng (2563) của ngôi nhà hoàng toàn được chiếu sáng
Ta có thể nhận biết được mặt nghiêng
(2563) của mái nhà có bóng bản thân hay không bằng cách quan sát bóng đổ của ngôi nhà trên mặt đất – hình
Nếu phần bóng đỉnh mái tại đầu hồi phía sau
(điểm bóng 52b) gãy khúc thì mặt nghiêng
(2563) của mái nhà không có bóng bản thân Ngược lại, nếu không có đoạn gãy khúc thì mặt nghiêng
(2563) của mái nhà có bóng bản thân
6.2 Bóng của ống khói và cửa sổ mái trên mái nghiêng
Cho ống khói trên mái nhà có đồ thức thẳng góc như hình 5-44 Để tìm bóng đổ của ống khói lên mái nhà nghiêng
(M), ta cần đổ bóng các điểm 1, 2, 3 thuộc mặt nắp trên của ống khói xuống mái nhà Đây là bóng đổ loại 3 – điểm đổ bóng lên mặt phẳng nghiêng
Để xác định bóng đổ của điểm 3, ta cần xác định 3b bằng cách sử dụng mặt phẳng phụ trợ R chiếu bằng chứa tia sáng, như minh họa trong hình 5-43 Sau đó, nối 3b về chân của ống khói, tạo thành đường thẳng chiếu bằng với đỉnh tại điểm số 3.
Nhận xét là trên hình chiếu đứng, bốn đường thẳng chiếu bằng là các cạnh của ống khói (có các đỉnh 1, 2,
Các đoạn thẳng 3 và 4 song song với nhau, theo nguyên tắc 2 – đổ bóng, bóng của chúng cũng song song và nghiêng một góc so với phương ngang Góc này tương ứng với góc nghiêng giữa các mặt phẳng mái nhà và mặt đất.
Dựa vào nhận xét trước đó, chúng ta có thể xác định bóng đổ của các điểm còn lại là 1 và 2 trên hình chiếu đứng Điều này được thực hiện bằng cách vẽ từ chân của các cạnh ống khói với đỉnh là điểm tương ứng một đường nghiêng góc α so với phương ngang Sau đó, cắt các tia s1 (nghiêng 45 độ) từ điểm đó xuống tại các vị trí bóng 11b và 21b cần xác định Khi đã có 11b và 21b, việc xác định 12b và 22b trên hình chiếu sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Kết nối các điểm chân ống khói trên mái nhà với các điểm bóng 1b, 2b và 3b theo hình 5-44 sẽ giúp xác định bóng đổ của ống khói lên mái nhà nghiêng.
Bóng đổ của các đường thẳng chiếu trên mái nhà nghiêng một góc so với mặt đất cũng tạo ra những đường thẳng nghiêng tương tự trên hình chiếu đứng Điều này cho phép chúng ta vẽ bóng của các dạng ống khối và cửa sổ mái trong hình chiếu đứng mà không cần sử dụng hình chiếu bằng.
Các ví dụ minh họa trên hình 5-45, 5-46, 5-47, 5-48 chỉ rõ cách vẽ bóng của các dạng ống khối và cửa sổ mái trên mái nhà nghiêng
6.3 Bóng của tam cấp – cầu thang
Bóng của một đường thẳng chiếu đứng có bóng song song với chính nó trên hình chiếu bằng Đường thẳng chiếu đứng 3I đổ bóng một phần lên mặt đất và một phần lên tường phía sau Để tìm bóng đổ của điểm I và điểm 4 lên tường, ta nhận được Ib4b Điểm 5, nằm trên mặt tường phía sau, có bóng trùng với chính nó Kết nối các điểm bóng đã tìm được trên hình chiếu đứng và hình chiếu bằng, ta xác định được bóng của bậc thang rơi lên mặt đất và vách tường phía sau như trong hình vẽ 5-49.
Xét tam cấp có đồ thức được cho như hình
Tam cấp này có hai vùng bóng đổ: một vùng từ lan can đổ xuống bậc thang bên trái và một vùng từ bậc thang đổ xuống mặt đất và vách tường bên phải.
Xét phần bóng đổ của bậc thang xuống mặt đất Ta chọn đổ bóng – loại 1 các điểm
Tại các điểm 1b, 2b, 3b, chúng ta có phần bóng của một đường thẳng chiếu bằng, trong đó bóng nghiêng tạo góc 45 độ trên hình chiếu bằng.
Xét bóng của lan can trên bậc thang, ta chọn đổ bóng điểm 6 – loại 2 xuống mặt bậc thứ nhất (mp B), từ đó ta có được 6b Trong hình chiếu bằng, cạnh vách đứng của lan can đi qua điểm này.
Đoạn thẳng 6 là một đường chiếu bằng, với bóng trên hình chiếu bằng là đoạn thẳng 6262b nghiêng 45 độ Tại giao điểm của đoạn thẳng này với mặt phẳng đối bậc đầu tiên (đường ngang qua 12), ta có đoạn bóng thẳng đứng song song với cạnh vách đứng của lan can Để xác định bóng đổ của cạnh nghiêng 6-11 của lan can xuống các mặt bậc thang, ta áp dụng nguyên tắc 4-đổ bóng Mở rộng mặt phẳng B và kéo dài cạnh lan can 6-11 cắt nhau tại điểm J, nơi có bóng trùng chính nó Đường bóng Jb6b kéo dài cắt mặt đối bậc thứ hai tại điểm 7b Tiếp tục, để tìm bóng đổ của cạnh nghiêng 6-11 xuống các mặt đối bậc, ta mở rộng mặt phẳng đối bậc V lên trên và cắt cạnh lan can 6-11 tại điểm K, nơi cũng có bóng trùng chính nó Đường bóng Kb7b kéo dài cắt mặt bậc thứ hai tại điểm cần tìm.
Vì các mặt phẳng bậc song song và đối bậc song song, theo nguyên tắc 3 – bóng đổ của đoạn thẳng, ta có hướng song song của các đoạn bóng 6b.
7b và 7b 8b được lặp lại trên các đối bậc và mặt bậc tiếp theo cho đến điểm bóng 11b (bóng đổ loại 2) thì kết thúc
