Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê chương 1 nguyễn văn tiến

Biến cố C được gọi là tổng union của hai biến cố A và B nếu C chỉ xảy ra khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra... Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc với nhau nếu A và B

CHƯƠNG 1

BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

• Phân loại biến cố

nguyenvantien0405.wordpress.com

Biến cố ngẫu nhiên

 A và B là các biến cố trong

không gian mẫu Ω

 B chứa nhiều kết quả hơn A

 Các kết quả nằm trong A

đều nằm trong B

nguyenvantien0405.wordpress.com

Quan hệ kéo theo

• Định nghĩa Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B cũng xảy ra.

nguyenvantien0405.wordpress.com

Ví dụ 1

• Theo dõi 3 bệnh nhân đang được điều trị

• Gọi Ai: có i bệnh nhân khỏi bệnh (i=0,1,2,3)

• B: có nhiều hơn 1 bệnh nhân khỏi bệnh

• Xét quan hệ kéo theo giữa các cặp biến cố sau:

• A2 và B

• A3 và B

• A1 và B

Quan hệ tương đương

• Định nghĩa Biến cố A tương đương với biến cố B nếu

A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại

Biến cố tổng

• Định nghĩa Biến cố C được gọi là tổng (union)

của hai biến cố A và B nếu C chỉ xảy ra khi có ít

nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra

• Kí hiệu C=A∪B hay C=A+B

• Biến cố C xảy ra khi A hoặc B xuất hiện trong

phép thử

Ví dụ 3

• Mua ngẫu nhiên 2 bóng đèn

• A: biến cố bóng 1 hỏng

• B: biến cố bóng 2 hỏng

• Hãy mô tả biến cố A+B?

nguyenvantien0405.wordpress.com

Biến cố tích

• Định nghĩa Biến cố C gọi là tích của hai biến cố A

và B nến C xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và

B cùng đồng thời xảy ra

• Ký hiệu C=A.B

Ví dụ 5

Sinh viên đi thi 2 môn Toán Cao cấp và Nguyên lý 2.Cho các biến cố sau

• A: sinh viên đậu Toán Cao cấp

• B: sinh viên đậu Nguyên lý 2

a) A.B là biến cố nào?

b) Biểu diễn các biến cố sau theo A, B

i C: Sinh viên không đậu cả hai môn

ii D: Sinh viên chỉ đậu môn Toán Cao cấp

nguyenvantien0405.wordpress.com

Quan hệ xung khắc

• Định nghĩa Hai biến cố A, B được gọi là xung khắc

với nhau nếu A và B không thể đồng thời xảy ratrong một phép thử

• Ngược lại thì hai biến cố gọi là không xung khắc

• Nếu hai biến cố A, B xung khắc thì:

Xung khắc từng đôi

• Định nghĩa Các biến cố A1, A2,…,An gọi là xungkhắc từng đôi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong nbiến cố này cũng xung khắc với nhau

• Ví dụ 6 Tổ có 3 sinh viên, hãy chỉ ra nhóm các

biến cố xung khắc từng đôi trong số các biến cốsau

• A3: tất cả là nam A4: có ít nhất 1 nam

• A5: có cả nam và nữ

nguyenvantien0405.wordpress.com

Biến cố hiệu

• Định nghĩa Biến cố xuất hiện biến cố A nhưng

không xuất hiện biến cố B gọi là biến cố hiệu của A



Ví dụ 7

• Sinh viên đi thi 2 môn Toán Cao cấp và Nguyên lý 2

• A: sinh viên đậu Toán Cao cấp

• B: sinh viên đậu Nguyên lý 2

Ví dụ 9

a) Xác định biến cố X từ đẳng thức sau:

b) Cho 4 sản phẩm Gọi A là bc cả 4 sp đều tốt B

là bc có ít nhất 1 phế phẩm Cho biết ý nghĩa

1.3 Xác suất của biến cố

• Khái niệm

• Các định nghĩa

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 22

Khái niệm

• Xác suất của một biến cố là một con số đặctrưng cho khả năng xuất hiện của biến cố trongphép thử

• Kí hiệu xác suất: P(A)

Định nghĩa cổ điển

• Xác suất xuất hiện biến cố A là tỷ số giữa số biến

cố thuận lợi cho A và tổng số các biến cố đồng khảnăng có thể xảy ra

Ví dụ 10

Cơ quan có 50 người, trong đó có 25 người học vềđại học về kinh tế, 20 người học về kỹ thuật, 10người học cả hai, còn lại không ai học đại học

Tìm xác suất chọn ngẫu nhiên 1 người thì người đó:a) Chỉ học ĐH đúng 1 ngành

b) Học ĐH ít nhất 1 ngành

c) Học 2 ngành nếu người đó có học đại học

Ví dụ 11

• Một khách hàng chọn mua một hộp gồm 12 sảnphẩm Ông ta chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm củahộp để kiểm tra, nếu không có phế phẩm thì sẽmua hộp sản phẩm đó

• Tính xác suất người đó mua hộp sản phẩm biếtrằng trong hộp có 4 phế phẩm

Ví dụ 12

Một nhóm gồm n người Tìm xác suất để trong

nhóm có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh (cùng

ngày và tháng)

nguyenvantien0405.wordpress.com

Định nghĩa hình học

• Nếu phép thử có không gian mẫu  được biểudiễn bởi miền hình học  và biến cố A được biểudiễn bởi miền hình học A:

Ví dụ 14

• Both the bus and you get to the bus stop at random times

between 12 pm and 1 pm When the bus arrives, it waits for 5

minutes before leaving When you arrive, you wait for 20

minutes before leaving if the bus doesn't come What is the

probability that you catch the bus?

nguyenvantien0405.wordpress.com

Định nghĩa thống kê

• Tần suất xuất hiện biến cố trong n phép thử là tỷ

số giữa số phép thử trong đó biến cố xuất hiện vàtổng số phép thử được thực hiện

Định nghĩa thống kê

• Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số p không đổi mà tần suất f xuất hiện biến cố đó trong n phép thử sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn.

Ví dụ 17

• Nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi gieođồng xu cân đối, đồng chất

Số lần tung

Số lần sấp

Tần suất

Nguyên lý xác suất nhỏ - lớn

• Nguyên lý xác suất nhỏ (nguyên lý biến cố hiếm):Nếu một biến cố có xác suất rất gần 0 thì thực tế

có thể xem rằng trong một phép thử biến cố đó

sẽ không xảy ra

• Nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xácsuất rất gần 1 thì thực tế có thể xem rằng biến cố

đó sẽ xảy ra trong một phép thử

Xác suất điều kiện

• Định nghĩa Xác suất của biến cố A được tính với điều

kiện biến cố B đã xảy ra gọi là xác suất có điều kiện của

A hay xác suất của A trong điều kiện B.

• Kí hiệu: P(A|B)

nguyenvantien0405.wordpress.com

Tính độc lập

• Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với

nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại.

• Nếu hai biến cố A, B độc lập thì:

Độc lập từng đôi và độc lập toàn phần

• Các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập từng đôi(pairwise independence) nếu mỗi cặp hai biến cốtrong n biến cố đó độc lập với nhau

• Các biến cố A1, A2,…,An gọi là độc lập toàn phần(mutual independence) nếu mỗi biến cố độc lậpvới mọi tổ hợp bất kỳ của các biến cố còn lại

nguyenvantien0405.wordpress.com

Công thức nhân xác suất

Công thức xác suất điều kiện

Ví dụ 19

• Xác suất một chuyến bay khởi hành đúng giờ là0,83

• Xác suất chuyến bay đến đúng giờ là 0,82

• Xác suất một chuyến bay vừa khởi hành đúng giờvừa đến đúng giờ là 0,78

• a) XS chuyến bay đến đúng giờ biết nó đã khởihành đúng giờ

• b) Khởi hành đúng giờ biết nó đến không đúnggiờ

nguyenvantien0405.wordpress.com

Ví dụ 19

Công thức cộng xác suất

• Hai biến cố bất kỳ

• Hai biến cố xung khắc

Ví dụ 21

• Sinh viên A sắp tốt nghiệp Sau khi tham gia hộichợ việc làm tại trường, được 2 công ty phỏng vấnanh ta đánh giá như sau:

• Xs anh ta được công ty A chọn là 0,8

• Xs anh ta được công ty B chọn là 0,6

• Xs anh ta được cả 2 công ty chọn là 0,5

• Tính xác suất anh ta được chọn bởi ít nhất 1 côngty?

nguyenvantien0405.wordpress.com

Tính chất xác suất điều kiện

• Khi cố định điều kiện A với P(A)>0 Ta có:

Ví dụ 22

• Trong đợt đấu giải tennis, A sẽ gặp B và sau đó A

sẽ gặp C Xác suất A thắng B là 0,6 và xác suất Athắng C là 0,7

Ví dụ 24

• Một người đi bán hàng ở 3 nơi độc lập, xác suấtbán được ở mỗi nơi đều bằng 0,8 Tính xác suấtngười đó:

Dãy phép thử Bernoulli

• i) Các phép thử độc lập

• ii) Chỉ quan tâm biến cố A hoặc

• iii) Xác suất xuất hiện biến cố A trong mọi phépthử là bằng nhau

    1

P A  p P A   p q

Ví dụ 25

• Một sinh viên thi trắc nghiệm môn Ngoại Ngữgồm có 10 câu hỏi Mỗi câu có 4 phần để lựa chọntrả lời, trong đó chỉ có 1 phần đúng Giả sử sinhviên làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các phầncủa câu hỏi Tính xác suất trong các trường hợpsau:

• a) Sinh viên vừa đủ điểm đậu (5 điểm)

• b) Sinh viên chọn đúng ít nhất 1 câu hỏi

Công thức xác suất đầy đủ

Công thức xác suất đầy đủ

• Biến cố A phụ thuộc vào hệ biến cố đầy đủ Hi

• Xác suất của biến cố A:

Ví dụ 26

• Lấy ngẫu nhiên một hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 3 sản phẩm Tính xác suất để lấy được 2chính phẩm và 1 phế phẩm?

Ví dụ 27

• Công ty có 3 máy sản xuất các sản phẩm Tươngứng máy B1, B2, B3 sản xuất 30%; 45% và 25% sảnphẩm của công ty Theo đánh giá có 2%; 3% và 1%các sản phẩm của các máy tương ứng kém chấtlượng

• Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Xác suất sản phẩmnày kém chất lượng là bao nhiêu?

• Giả sử sp chọn ra là sp tốt Khả năng cao nhất spnày do máy nào sx ra?

nguyenvantien0405.wordpress.com

Tính xác suất của biến cố

• 1 Gọi tên biến cố, xác định rõ phép thử dẫn đếnbiến cố đó

• 2 Biểu diễn biến cố thông qua các quan hệ đểđơn giản hóa

• 3 Xác định công thức tính (cần chú ý các điều kiệnđối với mỗi công thức sử dụng)

Bài 23,24

Bài tập 26,27,28,29

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 68

Bài 37-40

Bài 46-49

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 70

Bài 50-52

Bài 57-59

nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019 72