Định lí 1.3.1 Định lí phân loại Bằng phép biến đổi toa độ thích hợp, mỗi dường bậc hai tổng quát trong mặt phang Euclid afin chiều đều dược đưa về một trong số 9 đường chính tắc sau:...
Trang 3SÁCH ĐƯỢC XUẤT BẢN BỞI s ự TÀI TRỢ CỦA D ự ÁN GIÁO DỤC ĐẠI HỌC 2
Trang 4M ụ c l ụ c
Giới thiệu 7
Ì Đường và mặt bậc hai 9
1.1 Siêu p h a n g a f ì n 9 1.1.1 T h u ậ t k h ử Gauss-Jordan g i ả i h ệ p h ư ơ n g t r ì n h
p h a n g E u c l i d 21 1.7 P h â n l o ạ i d ờ i h ì n h c á c m ặ t bậc hai t r o n g k h ô n g gian
Trang 54 Đ ỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
2.1 C u n g t h a m số hoa v à c u n g
c h í n h q u y 25 2.2 Đ ộ d à i đ ư ờ n g cong t r o n g R " Đ ư ờ n g t r ắ c đ ị a 27
2.3 M ụ c t i ê u t r ự c c h u ẩ n M ụ c t i ê u F r é n e t Đ ộ cong Đ ộ
x o ắ n 30 2.4 Đ ị n h lí c ơ b ả n 33
Trang 6t ổ n g q u á t 103
Trang 8G i ớ i t h i ệ u
0 t r ư ờ n g pho t h ô n g , h ì n h học đ ư ợ c d ạ y v à học t h e o q u a n đ i ể m
h ì n h h ọ c E u c l i d C á c vật thể hình học đ ư ợ c c ấ u t h à n h t ừ c á c mảnh
phang v à mảnh cầu Quan hệ so sánh giữa c á c v ậ t t h ể h ì n h h ọ c
đ ư ợ c t h ự c h i ệ n b ở i c á c phép dời hình; hai vật thể hình học được
xem là bằng nhau n ế u c h ú n g c ó t h ể đ ư ợ c chồng khít lên nhau qua những phép dời hình
Trang 98 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
C á c t á c g i ả
Trang 10C h ư ơ n g Ì
T r o n g c h ư ơ n g n à y c h ú n g t a sẽ h ệ t h ố n g hoa l ạ i n h ữ n g k h á i n i ệ m v à
k ế t q u ả n g h i ê n c ứ u đ ư ờ n g v à m ặ t t r o n g Đ ạ i số t u y ế n t í n h v à H ì n h học g i ả i t í c h d ư ớ i m ộ t c á c h n h ì n t h ố n g n h ấ t l à t h a m số hoa v à t o a
đ ộ hoa C á c h n h ì n t h ố n g n h ấ t n à y sẽ cho m ộ t h ì n h d u n g sơ b ộ v ề
p h ư ơ n g p h á p n g h i ê n c ứ u c ủ a h ì n h học v i p h â n cổ đ i ể n
1.1 Siêu phang afĩn
Trong Đại số tuyến tính, các siêu phang afĩn đóng vai trò cơ bản,
c á c m - p h ẳ n g đ ư ợ c x e m n h ư giao của h ệ c á c s i ê u p h a n g a f ì n
T r o n g h ì n h h ọ c a f i n , s i ê u m ặ t a f i n l à đ ố i t ư ợ n g cơ b ả n C á c giao của c á c s i ê u m ặ t b ậ c 2 cho t a c á c đ ố i t ư ơ n g k i ể u c á c n h á t c ắ t c ầ u ,
Trang 1110 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
sở của k h ô n g gian n g h i ệ m r ồ i b ổ sung t h à n h m ộ t cơ sở c ủ a t o à n
b ộ Rn t h ì t a có t h ể n ó i r ằ n g : C ó t h ể t á c h b i ế n X = (x, y) v ớ i
X — ( x i , , xn- r ) , y = ( y i , • • •, y r ) sao cho r = rank[,4] v à m a t r ậ n
con
a \,n-r+l • • • a l,n 0-r,n—r+l a r,n
là k h ả nghịch C á c b i ế n Xi, , x n -r l à b i ế n t ự do C á c b i ế n Ui, , y T
Trang 12Hình học vi phẫn l i
không gian con afin Xo + L Nếu xem không gian con afin như là vật thê hình học độc lập thì các phép biến đổi hình học cho phép chính là các phép biến đổi afin Việc chọn cách tách biến như trên cho phép "tọa độ hoa" không gian (đa tạp) afin đó
M ộ t v í d ụ k h á c l à c á c h ì n h t h u đ ư ợ c n h ờ c o m p a T h e o q u a n
d i ê m t r ừ u t ư ợ n g corapa là c ô n g cụ có t á c d ụ n g d u y n h ấ t l à v ẽ c á c
đ ư ờ n g t r ò n h o ặ c l à c á c c u n g c ủ a n ó M ộ t lý thuyết tổng quát các
mặt bậc 2 đ ư ợ c n g h i ê n c ứ u t r o n g p h ầ n c u ố i của m ộ t g i á o t r ì n h đ ạ i
số t u y ế n t í n h T r o n g t r ư ờ n g h ợ p n à y các phép biến đổi cho phép là
các phép biến đổi bảo toàn các dạng bậc 2, tức là các phép biến đổi afin trực giao V í d ụ v ớ i m ặ t c ầ u p h é p b i ế n đ ổ i cho p h é p là c á c p h é p
1.1.3 Các phép biến đồi trong hình học
Trong một không gian, điều quan trọng hơn cả là chúng ta chấp
t u y ế n t í n h k h ả n g h ị c h C h ú n g t a t h u đ ư ợ c h ì n h họ c a f i n [aphin]
N ế u c h ú n g t a h ạ n c h ế h ẹ p h ơ n , ch ỉ c h ấ p n h ậ n c á c p h é p b i ế n đ ổ i
Trang 1312 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
Trong hình học giải tích, hyperbola được định nghĩa như quỹ tích
c á c đ i ể m M m à t r ị t u y ệ t đ ố i c ủ a h i ệ u k h o ả n g c á c h đ ế n h a i đ i ể m
F\ v à F 2 cho t r ư ớ c là m ộ t đ ạ i l ư ợ n g k h ô n g đ ổ i
G ọ i k h o ả n g c á c h g i ữ a h a i đ i ể m F i v à F 2 l à 2d C h ọ n t r u n g đ i ể m của đ o ạ n FịF2 l à gốc o c ủ a h ệ t o a đ ộ Descartes, c h ọ n v é c t ơ e i sao cho OF 2 = dũi B o sung t h ê m m ộ t v é c t ơ e2 đ e c ó m ộ t cơ sở
t r ự c c h u ẩ n t h u ậ n h ư ớ n g v à do v ậ y c ó h ệ t o a đ ộ Descartes o, e i , e2
T r o n g h ệ t o a đ ộ n à y đ i ể m M c ó c á c t o a đ ộ l à (x, y) v à t a có p h ư ơ n g
t r ì n h đ ư ờ n g h y p e r b o l a
Trang 14Định lí 1.3.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toa độ thích
hợp, mỗi dường bậc hai tổng quát trong mặt phang Euclid afin chiều đều dược đưa về một trong số 9 đường chính tắc sau:
Trang 1514 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
5 Cặp hai đường thẳng song song
7 Cặp hai đường thẳng ảo cắt nhau:
Định lí 1.4.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toa độ thích
hợp, mỗi mặt bậc hai tổng quát trong không gian Euclỉd ba chiều
đều được đưa về một trong số 17 mặt chính tắc sau:
Trang 1716 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
10 Cặp mặt phang ảo cắt nhau:
Trang 182a A i v ò A2 c ù m / dấu: A i > 0, A2 > 0, A3 = 0 K h i c ó m ộ t g i á
t r ị r i ê n g A3 = 0 t h ì h ệ số t ự do l ạ i có t h ể l à m t r i ệ t t i ê u N ế u h ệ số
bậc n h ấ t theo z k h á c 0 t a có t h ể đ ặ t là ± 2 p , V > 0 T a có
7 Nếu hệ số bậc nhất theo z triệt tiêu, ta có phương trình dạng
A i x2 + A2y2 =Ị c ĐAI HỌC THẢI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Trang 1918 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
Trang 20a f i n Av t h o a m ã n p h ư ơ n g t r ì n h 0 - đ i ể m c ủ a m ộ t hàm bậc 2
q(M) = ip[ÕM, OM) + 2ĩ (ÔM) + c = 0,
trong đó phần bậc 2 ự) là không đồng nhất bằng 0 Nếu trên siêu
m ặ t b ậ c 2 c ó điểm tâm đối xứng o, t ứ c l à -OM t h o a m ã n p h ư ơ n g
—*
t r ì n h q{M) = 0 n ế u ÔM t h o a m ã n , t h ì v i ế t t r o n g gố c t ọ a đ ộ t ạ i o
p h ầ n b ậ c n h ấ t t r i ệ t t i ê u
/(ỠM) = $(00, ÔM) + ĩ {ÔM) = 0
Trang 2120 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
Đ ị n h l í 1.5.1 Mỗi siêu mặt bậc hai s : ợ ( M ) = ự>(OM,OM) +
2 / ( O M ) + c = 0 trong không gian Euclid afin Áy, bằng các phép
biến đổi afin đẳng hự, đều được đưa về d ạ n g c h í n h t ắ c trong hệ toa
độ chính tắc ( O , e i , , en) với e t là các phương chính của q{M):
í Trường hợp có tâm đối xứng: q(M) = \ 1 ( x 1 ) 2 + + Ar( xr)2+ C
VỚI r < n, Xi Ỷ 0, \ \ > > Ar, điểm gốc 0 ở tâm dối xứng
2 Trường hợp không có tâm đối xứng: q(M) = ÀiOr1)2 + +
Ar( xr)2 - 2px r+x , trong đó 0 < r < n - Ì , At Ỷ 0, A i > >
Ằ r ,p > 0
Nhận xét 1.5.2 Nếu trong trường hợp Ai > > Ar > 0 ta thêm
các phép biến đổi siêu việt đưa tọa độ Descartes về toa độ cực
Trang 22Hình học vi phân 21
với r G ( 0 , o o ) , (0i ì ,9 n -i) e [ 0 , 2 7 r )n-2 X ( - § , § ) , í/iì siêu mặt
ellipsoid có dạng r2 + c = 0 Tương tự trong trường hợp có Xi với
dấu ăm, ta xét các hàm lượng giác hyperbolic, cũng có kết quả tương
tự Như vậy việc mở rộng nhóm biến đổi cho phép mô tả cấu trúc các siêu mặt bậc hai
1.6 Phân loại dời hình các đường bậc
hai trong mặt phang Euclid
Chúng ta xét nhóm các phép biến đổi afìn đẳng cấu đẳng cự trong
m ặ t p h a n g D ễ d à n g n h ậ n t h ấ y r ằ n g " H a i đ ư ờ n g b ậ c 2 t r o n g m ặ t
p h a n g là t ư ơ n g đ ư ơ n g d ờ i h ì n h v ớ i n h a u n ế u v à chỉ n ế u c h ú n g t h u được t ừ n h a u b ằ n g p h é p b i ế n đ ổ i a f ì n đ ẳ n g c ấ u đ ẳ n g cự" T a c ó
m ệ n h đ ề sau
Mệnh đề 1.6.1 Gọi T là nhóm các phép tịnh tiến trong mặt phang,
0(2) là nhóm các biến đổi trực giao (quay và phản xạ) Khi đó nhóm các phép biến đổi dời hĩnh đẳng cấu với tích nửa trực tiếp
Mệnh đề 1.7.1 Gọi T là nhóm các phép tịnh tiến trong không
gian Euclid 3-chiều, 0 ( 3 ) là nhóm các biến đổi trực giao (quay và phản xạ) Khi đó nhóm các phép biến đổi dời hình đẳng cấu với tích nửa trực tiếp 0 ( 3 ) K R
Trang 2322 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
1.8 Phương pháp toa độ cong
Chúng ta nhắc lại một số phép biến đổi toa độ quen biết:
• T o a đ ộ c ự c t r o n g m ặ t p h a n g
X = r cos ự),
\ y = rsirnp, l y — arccos ^ Ị ^ >
với 0 < r < oo, 0 < <p < 2iĩ
• Toa độ cực hyperbolic trong mặt phang
• Toa độ cầu trong không gian n-chiều
X 1 = r COSỚ1 cosớn_i,
X 2 = r c o s ớ i s i n ớn_ i ,
x = rsinỚ!
y/x 2 +y 2 +z' 2 '
Trang 24Hình học vi phẫn 23
1.8.1 Các đường bậc 2 tham số hoa
Trong các hệ toa độ thích hợp các đường bậc 2 có dạng rất đơn
g i ả n V í d ụ t r o n g h ệ t o a đ ộ elliptic
ị 2 = rmsẹtị í r — V ầ2 + b2,
ị ị = rsintp, 1 <p = arccos jặ; 3
phương trình đường ellipse trở thành r=l,0<<£><27T
Hệ quả 1.8.1 Qua p/iép tiến đối íoạ độ elliptic nói trên, đường
elhpse được biến thành đoạn đóng-mở
Các phép biến đổi toa độ tương tự được áp dụng cho các đường
cong bậc 2 k h á c
1.8.2 Các mặt bậc hai tham số hoa
Trong các hệ toa độ thích hợp các đường bậc 2 có dạng rất đơn
Hệ quả 1.8.2 Qua phép biến đổi toa độ cầu elliptic nói trên, mặt
ellipsoid được biến thanh hình vuông đóng-mở
Các phép biến đổi toa độ tương tự được áp dụng cho các mặt cong
b ậ c 2 k h á c
Trang 2524 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
Nhận xét 1.8.3 Bằng cách chấp nhận thêm các phép biến đổi siêu
việt (kiểu các phép đổi toa độ phi tuyến nói trên) các đường và mặt bậc 2 trở thành các hình hình học hết sức đơn giản Những phép biến đổi như thế chính là các phép biến đổi vi phôi (các ánh xạ khả
VI, khả nghịch và nghịch đảo củng là khả VI tại mọi điểm) Phăn loại các vật thể hình học VỚI độ chính xác đến VI phôi chính là phương pháp của hình học vi phân
4 Xây dựng vi phôi đĩa mở với không gian Euclid chứa nó
5 Qua phép đổi toa độ thích hợp, hãy tham số hoa đường bậc
2 v à m ặ t bậc 2 b ấ t kì
Trang 2726 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
song ánh liên tục (f từ một khoảng mở (a, b) = R vào Rn
Ví dụ Cung tham số hoa xác định bởi các hàm toa độ Descartes
Íx(t) = acosí,
y(t) — a s i n í , xịt) = bi,
với t € R
Định nghĩa 2.1.2 Hai tham số hoa ự) : (ã, b) -» Rn và ĩp : (c, á) —>
vi phôi, tức là tồn tại một ánh xạ khả vi liên tục, khả nghịch và ánh
xạ ngược là khả vi liên tục a : (a, b) —* (c, d) sao cho ìp o a = ự)
Định nghĩa 2.1.3 Đường cong liên tục là ảnh của một ánh xạ liên
tục từ một khoảng mở (a.b) vào Rn Dường cong tham số hoa là
hợp của một họ các cung tham số hoa Nói cách khác ta có the chia đường cong thành hợp các cung tham số hoa
Ví dụ Đường tròn s1 có thể chia thành Lợp của hai cung tham số
hoa, m ỗ i c u n g l à s1 t r ừ đ i m ộ t đ i ể m k h á c n h a u , v í d ụ , s1 = U1UU2
v ớ i c á c c u n g Ui = s1 \ { 7 V } , u 2 = s1 \ {S}, t r o n g đ ó N l à đ i ể m cực bắc v à s là đ i ể m cực n a m t r ẽ n v ò n g t r ò n
Định nghĩa 2.1.4 (Cung tham số hoa chính quy) Điểm p cho
bởi r(t) trên cung tham số hoa f : (a,b) —» Rn được gọi là điểm chính quy nếu đạo hàm f ( t ) của tham số hói là khác 0 Cung tham
số hoa được gọi là cung chính quy, nếu mọi điểm của nó là chính quy Đường cong được gọi là đường cong chính quy, nếu nó là hợp của các cung tham số hoa chính quy
Nhận xét rằng nếu một điểm là chính quy trong một tham số
hoa t h ì , theo q u y t ắ c đ ạ o h à m của h à m h ợ p , n ó c ũ n g l à c h í n h q u y
t r o n g m ọ i t h a m số ho a t ư ơ n g t h í c h k h á c B ở i t h ế k h á i n i ệ m c h í n h
q u y k h ô n g p h ụ t h u ộ c v i ệ c c h ọ n t h a m số hoa
Trang 28Hình học vi phẫn 27
Đ ị n h n g h ĩ a 2 1 5 ( t h a m s ố h o a đ ư ờ n g c o n g ) Mỗi hệ toa độ
Descartes trong không gian Euclỉd E n « Rn cho ta một tham số hoa địa phương các khoảng mở của đường cong bằng các hàm thành phần:
t e R « ( - 1 , 1 ) ^ rịt) E E n 4-» x(t) € Rn
/T/ii đó x(t) = (x^í), , £n(£)), wứz xl(í) là các hàm trơn Véctơ
tiếp xúc với dường cong tại một điểm X — x(t), với t cố định là
( x1^ ) , i n { t ) ) trong toa độ Descartes của Rn
Trang 2928 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
Cauchy
Ị xịt) = C(xịt))
\ x(0) = X
có nghiệm duy nhất và nghiệm đó gọi là đường cong qua điểm X
Độ dài của một véctơ tiếp xúc £(x(t)) = x(t) là
Định nghĩa 2.2.3 (Đường trắc địa) Đường cong trong Rn nối
2 diêm Xo và X có độ dài ngắn nhất được gọi là đường trắc địa nối hai điểm đó
Tức là đường đi ngắn nhất nối hai điểm Xo và Xi trong Rn là đường
thẳng đi qua hai điểm đó
Trang 30là m ộ t t h a m số của đ ư ờ n g cong
Định nghĩa 2.2.5 Tham số hoa đường cong theo tham số độ dài
của nó từ một điểm cố đinh Xo = x(to) đến một điểm X = x(t) bất
kì dược gọi là tham số hoa tự nhiên
X = x(s) = x(t(s)), s € R
Trang 3130 Đỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
véctơ tiếp xúc luôn có độ dài là Ì ,
" ả
- 1 1 * 1 1 - 1 1=1
M ệ n h đ ề 2 3 1 Trong hệ tham số hoa tự nhiên của đường cong,
đạo hàm véctơ tiếp xúc r(s) theo biến tham số độ dài s là một véctơ T'(S) vuông góc với véctơ tiếp xúc r ( s )
Trang 32Hình học vi phẫn 31
Đ ị n h n g h ĩ a 2 3 2 Véctơ chuẩn hoa n(s) = ịSrỂĩị được gọi là véctơ
pháp tuyến của đường cong tại x(s)
Định nghĩa 2.3.3 Đại lượng k(s) = \\T'(S)\\ gọi là độ cong tại
điểm x(s)
Nhận xét 2.3.4 (Ý nghĩa hình học của độ cong) Độ cong k(s)
của đường cong chính quy tại x(s) là với R là bán kính của đường tròn tiếp xúc với đường cong, tâm ở điểm cuối của véctơ T'(S)
Thật vậy, chúng ta có công thức khai triển Taylor bậc nhất
2 sin sin I i ? s s i n |
Ì
R'
t r o n g đ ó 9 l à g ó c g i ữ a v é c t ơ r ( s ) v à v é c t ơ r ( s + A s )
Đ ị n h n g h ĩ a 2 3 5 ( H ệ q u y c h i ế u E Y é n e t ) Véctơ f ( s ) là véctơ
tiếp xúc Véctơ n(s) = Tị^ịị được gọi là véctơ pháp tuyến Véctơ
è ( s ) = ĩ ( s ) X n ( s ) được gọi là véctơ trùng pháp tuyến Hệ quy chiếu T(S),TĨ(S), b(s) được gọi là hệ quy chiếu Frénet Mặt phang sinh bởi hai véctơ đơn vị f (s) và n ( s ) được gọi là mặt mật tiếp Mặt phang sinh bởi f?(s) và b(s) được gọi là mặt pháp diện Mặt phang sinh bởi
—t
hai véctơ r ( s ) và b(s) được gọi là mặt trực đạc
Trang 3332 Dỗ Ngọc Diệp, Nông Quốc Chinh
Nhận xét 2.3.7 Trong mặt mật tiếp ta có thể nhìn thấy hình ảnh
của đường cong như đường cong phang chính quy tiếp xúc với trục
T, nằm về phía ri Trong mặt trực dạc ta cũng nhìn thấy dường cong
là đường cong phang tiếp xúc với trục T nhưng có thể nằm về hai phía Trong mặt pháp diện ta nhìn thấy hai nhánh dường cong theo hình gấp nếp
Trang 34N h ậ n x é t 2 3 9 Tronc? / â n cận điểm x(s), ảnh của đường cong lên
mặt mát tiếp và mặt trực đạc là các đường cong tiếp xúc với f ( s ) Hĩnh chiếu trực giao của đường cong lên mặt pháp diện là hai nhánh cùng đi từ gốc tọa độ tiếp xúc với phương n ( s ) có kì dị hình nếp gấp Do vậy cơ sở Frénet cho một nghiên cứu định tính đường cong tại lân cận mỗi điểm Từ dó suy ra rằng hình ảnh của đường cong trong hệ toa độ Frénet là tiếp xúc với phương f ( s ) và là giải kì dị với phương n ( s )
2 4 Đ ị n h l í c ơ b ả n
Nhận xét 2.4.1 Các khái niệm độ dài đường cong, độ cong của
cung chính quy là những khái niệm bất biến qua đẳng cấu affine trực giao còn khái niệm độ xoắn của cung song chính quy định hướng bất biến qua các phép biến đổi affine trực giao, bảo toàn định hướng
