Giáo trình cơ học cơ sở (tập 2 động học và động lực học tái bản) phần 1

Nội dung nghiên cứu cùa động học là xác định vị trí và các dặc trưng hình học chuyển động của điểm hay vật rắn vì vậy ta phải hiểu các khái niệm sau: - Thông số định vị là thông số xác đ

NHÀ XUẤT BÀN XÃY DỰNG 1 ::^

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI

L Ờ I N Ó I ĐẦU

Giáo trìn h Cơ học cơ sở tập 1 p h ầ n tĩnh học đã được x u ấ t bản năm 2007 Đê

p h ụ c vụ cho yêu cầu giăng dạy và học tập, chúng tôi cho xu ấ t bản cuốn sách

Cơ học cơ sở tập 2 ph ầ n Động học và Động lực học.

Theo Q uyết đ ịn h của Ban giám hiệu Trường Đại học Kiên trúc H à Nội, từ năm 2008 sin h viên sẽ được đào tạo theo hệ thống tín chỉ Do đó thời lượng dành cho các m ôn học lại m ột lần nữa được rút gọn Môn Cơ học cơ sở gồm hai học p h ầ n : Cơ học cơ sở 1 (Tinh học) dành cho các ngành: X ây dựng, Công trìn h ngầm , Kiến trúc, Quy hoạch, Vật liệu, Đô thị, Quản lý xây dựng đô thị với thời lượng 30 tiết Cơ học cơ sở 2 (Động học và Động lực học) dành cho ngành X ây dựng, Công trình ngầm với thời lượng 45 tiết Vi thời lượng giảng dạy trên lớp còn ít, nên k h i biên soạn cuốn Cơ học cơ sở tập 2 này, chúng tôi cô gắng trìn h bày các vấn đê kh á ti mỉ, đưa vào nhiều ví dụ m in h họa, nhiều bài tập với các d ạ n g khác nhau đê sinh viên có thê tự nghiên cứu và rèn luyện ở nhà Đặc biệt, đê đáp ứng n hu cầu học tập của các sinh viên khá giỏi và phục

vụ cho công tác bồi dưỡng thi sin h viên giỏi, thi O lympic Cơ học toàn quốc

h à n g năm , chúng tôi đưa vào p h ầ n lý thuyết m ột sô nội dung năng cao và 40 bài tập chọn lọc, trong đó có nhiều bài là đề thi sin h viên giỏi của Trường Đại học K iến trúc H à nội, đề thi O lympic Cơ học toàn quốc nhữ ng năm trước đây.

C uốn sách n à y là tài liệu cần th iết cho sin h viên Trường Đ ại học K iến

T rúc H à N ội, đồng thời củng là tài liệu tốt cho sin h viên các trường đại học

kỹ th u ậ t khác.

C húng tôi x in chân th à n h cảm ơn B an g iá m hiệu, B an chủ nhiệm khoa Xây

dự ng và p h ò n g Q uản lý khoa học Trường Đ ại học Kiến Trúc H à N ội đã tạo điều kiện th u ậ n lợi đê cuốn sách được xu ấ t bản.

C húng tôi củng chăn thành cảm ơn các đồng nghiệp đã đóng góp ý kiến và

g iú p đỡ trong việc hoàn thành cuốn sách.

Vì thời gia n biên soạn cuốn sách có hạn nên chắc chắn còn thiếu sót, chúng tôi m ong m uốn n h ậ n được ý kiến đóng góp của các bạn đồng nghiệp và các em sin h viên.

Mọi ý kiến x in gửi uể phòng Q uản lý khoa học Trường Đại học Kiến Trúc

H à Nội.

PGS TS Đ ặ n g Quô’c Lương

3

ĐỘNG HỌC

MỞ ĐẦU ĐỘNG HỌC

Động học là phẩn thứ hai của cơ học cơ sờ Động học nghiên cứu chuyển động của vật thể về mặt hình học, không quan tâm đến nguyên nhân gây ra chuyển động, cũng như nguyên nhân gây ra sự biến đổi chuyển động của chúng, v é một phương diện nào đó, động học được xem là mở đầu của động lực học, vì nó xác lập nên những khái niệm và

sự phụ thuộc động học cơ bản Những khái niệm và sự phụ thuộc này rất cẩn thiết khi nghiên cứu chuyển động cùa vật thể dưới tác dụng cùa lực Khi nghiên cứu động học ta cần hiếu rõ những khái niệm sau đây:

1 Hệ quy chiếu

Chuyển động của vật thể hoàn toàn có tính chất tương đối, phụ thuộc vào vật lấy làm mốc để theo dõi chuyển động Ví dụ một người ngồi trên tàu đang chạy là đứng yên so với tàu nhưng lại dang chuyển động so với ngôi nhà bên đường Như vậy đế mô tả chuyển động của vật thể ta phải chỉ rõ vật lấy làm mốc, vật lấy làm mốc để theo dõi chuyển động cùa vật thể chuyển động được gọi là hộ quy chiếu Đê' thuận tiện cho việc tính toán, ta thường gắn vào hệ quy chiếu một hệ tọa độ v ề sau này đế đỡ cồng kẻnh người ta ihưèmg lấy Mguy liô tọa đô đỏ lùm hô C|uy chiếu

2 Khổng gian và thời gian

Chuyển động cùa vật thê diễn ra trong không gian và theo thài gian Thực ra không gian và thời gian là hai dạng tồn tại khách quan của vật chất, chúng phụ thuộc vào chuyển động cụ thể của vật chất Trong Cơ học cơ sờ để đơn giản ta xem không gian và thời gian không phụ thuộc vào chuyển động của vật khảo sát, gọi là không gian tuyệt đối và thời gian tuyệt đối

Không gian tuyệt đối được hiểu là không gian Ơcơlit 3 chiểu trong đó lý thuyết hình học ơcơlít được nghiệm đúng Đơn vị cơ bản để đo độ dài là mét

Thời gian tuyệt đối được hiểu là thời gian trôi đều từ quá khứ đến hiên tại tới tương lai, không phụ thuộc vào hệ quy chiếu cũng như không phụ thuộc vào chuyển động của vật thể Đơn vị cơ bản để đo thời gian là giây Đối với các vật thể chuyển động với vận tốc nhỏ thua nhiều so với vận tốc ánh sáng (khoảng 300.000km/s) tức là các chuyển động cơ học trong kỹ thuật, các khái niệm này hoàn toàn có thê chấp nhận được

5

nó, thì không dùng được hai mò hình trên Đó là đối tượng nghiẽn cứu cùa cơ học các môi trường Liên tục.

Dựa vào hai mô hình trên, động học được chia thành hai phần: Động học điểm và động học vật rắn Động học điếm nghiên cứu chuyên động của vật thê dưới dạng mỏ hình động điếm Động học vật rắn nghiên cứu chuyên dộng của vật thê dưới dạng mô hình vật rắn Việc nghiên cứu động học điểm ngoài ý nghĩa tự thân của nó, còn nhằm chuẩn

bị cho việc khảo sát chuyển động của vật rắn

Nội dung nghiên cứu cùa động học là xác định vị trí và các dặc trưng hình học chuyển động của điểm hay vật rắn vì vậy ta phải hiểu các khái niệm sau:

- Thông số định vị là thông số xác định vị trí của điểm hay vật rắn trong hệ quy chiếu đã chọn

- Phương trình chuyển đỏng là biểu thức liên hệ giữa các thông số định vị với thời gian

- Vận tốc chuyên động là đại lượng biểu thị hướng và tốc độ chuyên động của điểm hay

v ật rắn <v thời đ iểm đ an g xét.

- Gia tốc chuyển đông là đại lượng biểu thị sự thay đổi của vận tốc theo thời gian Gia tốc chuyển động cho biết tính đểu hay biến đổi của chuyển đông

C h u ư n g I

ĐỘNG HỌC ĐIỂM

1 Phưưng trình chuyển động

r =O M Vị trí của điểm M sẽ hoàn toàn được xác định nếu biết được r Vì vậy, ta gọi véctơ r là véc tơ bán kính định vị của M trong hệ quy chiếu Khi M chuyển động rsẽ thay đối vể độ dài và hướng, do đó nó sẽ là hàm của thời gian t

Biểu thức trên là phương trình chuyển động của động điểm viết dưới dạng véctơ.Quỹ đạo của động điểm trong hệ quy chiếu là quỹ tích của động điểm trong hệ quy chiếu ấy Phương trình (1.1) cũng là phương trình quỹ đạo cùa động điểm dưới dạng thum số Nếu quỹ đạo cùa điểm là thẳng thì chuyển động gọi là chuyển động thẳng, nếu quỹ đạo cong thì chuyển động gọi là chuyển động cong

2 Vụn lốc củu đicni

Giả sử tại thời điểm t động điểm ở vị trí M, được xác định bời véctơ bán kính định

vị r Tại thời điểm t' = t + At, trong đó At là đại lượng rất bé của thời gian, động điểm ở

vị trí M' được xác định bởi véctơ r ' Ký hiệu: Ar = r ' - r = M M '

Hình 1.1

7

Véc tơ Ar mô tả gần đúng hướng đi và quãng đường đi được của M trong khoảngthời gian At Véc tơ Ar goi là véc tơ di chuyến của đông điểm và véc tơ — đươc gọi là

Atvận tốc trung bình của động điểm trong khoảng thời gian At

— Ar

Véc tơ này mô tả gần đúng hướng đi và tốc đô cùa điểm M trong khoảng thời gian At

kể từ t Nếu At cảng nhỏ thì đô chính xác càng cao Do đó, ta định nghĩa véc tơ vận tốc tức thời ở thời điểm t của động điểm M là véc tơ:

v = lim v h = lim ^ = — ;

Ai->0 ât-*o At dtNhư vậy, vận tốc của M tại thời điểm t là đạo hàm bậc nhất của véc tơ định vị theo thời gian:

Về mặt hình học véc tơ Ar và v tb nằm trên cát tuyến M M ’ vì vậy khi At —» 0 thì véc

tơ V phải hướng tiếp tuyến với quỹ đạo của động điểm và thuận theo chiểu chuyên động của động điểm Đơn vị đo vận tốc là mét/giây, ký hiệu m/s

3 Gia tốc của điểm

Giả sử tại thời điểm t vận tốc của M là V, tại

thời điểm t’ vận tốc cùa M là v '.Đ ạ i lượng

Av = v' - V cho biết sự thay đổi của vận tốc điểm

lượng Wlb = — cho biết sư thay đổi trang bình

At

của V trong khoảng thời gian At được gọi là gia

tốc trung bình của M tại thời điểm t Đại lượng này càng chính xác nếu At càng bé Do

đó ta định nghĩa gia tốc của điểm M tại thời điểm t là:

w = lim = —

At->0 At dtNhư vậy, gia tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất cùa vận tốc và là đạo hàm bậc 2 của véc tơ bán kính định vị của điểm theo thời gian:

Vì véc tơ Av bao giờ cũng hướng vào bể lõm quỹ đạo Nên véc tơ W cũng hướng vào bể lõm quỹ đạo

4 Nhận xét chuyển động của điểm nhờ véc tơ và

a) Tính chất của quỹ đạo

Xét tích c ó hướng V A W

Nếu V A W = 0 t h ì V, w cùng phương, chuyển động là thẳng

b) T ính đều hay biến đôi cùa chuyển động

Nhược điểm này sẽ được khắc phục nếu ta dùng phương pháp tọa độ Đé Các và phương pháp tọa độ tự nhién dưới đây

1.2 KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐlỂM b ằ n g p h ư ơ n g p h á p t ọ a đ ộ

ĐỂ CÁC

1 Phương trình chuyển động của điểm

Khảo sát chuyển động của động điếm M trong không gian Lập hộ tọa độ Để Các

9

được xác định nếu biết được ba tọa độ này Ta chọn

X, y, z là các thông số định vị cùa M Khi M chuyến

động các tọa độ này sẽ thay đổi theo thời gian, do

X = x (t), y = y ( t), z = z (t) (1 4 )

trong đó: x(t), y(t), z(t) là các hàm nào đó của

thời gian (1.4) cũng là phương trình quỹ đạo cùa

Hướng của vận tốc được xác định nhờ các côsin chỉ phương:

V í dụ: Xác định quỹ đạo, vận tốc và gia tốc của điểm giữa M của thanh truyền AB,

của cơ cấu tay quay thanh truyền

Biết OA = OB = 2a và tay quay OA quay đều quanh o với vận tốc góc co (hình 1.4).Ban đầu OA = Ox

Bài

Đế khảo sát chuyển động của điểm M ta lập hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

X = 2a COS (p + a COS (|) = 3a COS <p

y = asinip

Thay (p = cot ta được phương trình

chuyến động của điểm M:

1.3 KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

1 Ụ NHIÊN

Trong trường hợp đã biết quỹ đạo chuyển dộng của điểm, ta thường dùng phương pháp tọa độ tự nhiên để khảo sát chuyển động cùa nó

1 Phương trình chuyến động

Thông số định vị: Lấy một điểm o tuỳ ý trên quỹ

đạo làm diêm gốc, quy định chiều dương đê tính cung

Gọi OM = ? là tọa độ cong của dộng điểm trên quỹ

đạo Vị trí cùa M hoàn toàn được xác định nếu biết s'

Đó là thông số định vị của M trên quỹ đạo

Phương trình chuyển động của M là s' = ¥ ( t )

Chú ỷ: ? nói chung là một lượng đại số, nhưng nếu chiều chuyển động không đổi và

dương cùa quỹ đạo Tọa độ cong s' và quãng đường đi được nói chung là khác nhau

2 Hệ tọa độ tự nhiên

a) H ệ tọa độ tự nhiên là hệ ba trục vuông góc có gốc là động điểm M.

- Trục tiếp tuyến thuận: tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, hướng dương trùng với hướng dưcmg đã chọn trên quỹ đạo Véc tơ đơn vị kí hiệu là ĩ

- Trục pháp tuyến chính: nằm trong mặt phẳng mật tiếp với đường cong tại M, vuông góc với trục tiếp tuyến thuận, hướng vào bể lõm quỹ đạo Véc tơ đom vị kí hiệu là f i

- Trục trùng pháp tuyến là trục vuông góc với hai trục trên, véc tơ dợn vị kí hiệu là b , cùng với hai trục trên lập thành một tam diộn thuận M T n b

- Mặt phẳng mật tiếp với đường cong tại M: tại M kẻ tiếp tuyến MT, tại M ’ lân cặn với M kẻ tiếp tuyến M T Tại M kẻ MTV/ M T Gọi 71 là mặt phẳng chứa MT và M T ’ Mặt phẳng mật tiếp của đường cong tại M được định nghĩa là giới hạn của mặt phẳng 71 khi M ’ dần tới M

Nếu quỹ đạo phẳng thì mặt phẳng của quỹ đạo chính là mặt phẳng mạt tiếp của quỹ đạo tại mọi điểm thuộc quỹ đạo

b) Độ cong và bán kính cong của quỹ đạo

Độ cong của quỹ đạo tại M là sô' dương: k = lim

Nếu quỹ đạo là đường tròn thì:

Nếu quỹ đạo thẳng thì:

3 Vận tốc và gia tốc của điểm

a) Vận tốc của điểm

trong đó: vx là hình chiếu của lên trục tiếp tuyến thuận.

b) Gia tốc của điểm

Phân tích gia tốc của điểm thành 3 thành phần trên 3 trục cùa hệ tọa độ tự nhiên

Như vậy gia tốc cùa điểm có hai thành phẩn vuông góc với nhau

Thành phần nằm trên trục tiếp tuyến thuận gọi là gia tốc tiếp tuyến: WT = VTĨ

hrớng về bề lõm của quỹ đạo, còn gia tốc tiếp tuyến Wt thì có thể hướng cùng chiều

13

c) Ý nghĩa của gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

V

p

tốc pháp tuyến của điểm mới luôn luôn triệt tiêu

Trong chuyển động cong nói chung Wn Ti 0 Như thế gia tốc pháp tuyến phản ánh

Chuyển động đều cùa điểm là chuyển động có tốc đò không đổi: Vt = VD = const

* Chuyển động biến đổi đều:

Chuyển động biến đổi đều của điểm là chuyển động có trị số gia tốc tiếp tuyến không đổi: WT = a = const

Vì V.W = VTWT nên nếu Vt và WT cùng dấu thì chuyển động là nhanh dần đểu, nếu

V, và Wx trái dấu thì chuyển động là chậm dần đều

* Duo độiHỊ điều lioà:

Điếm thực hiện dao động điều hoà có phương trình:

trong đó: A, k, a là các hằng số:

Gia tốc tiếp tuyến: Wx = s' = - k 2A sin(kt + a ) = - k 2?

V í dụ 1: Một con tàu chuyến động chậm dần đểu trên quỹ đạo tròn có bán kính

R = 600m, quãng đường dài / = 1200m Lúc vào đường con tàu có vận tốc

V, = 54km/h, cuối quãng đường nó có vận tốc là V, = 36km/h Tìm gia lốc toàn phần của

c o n tà u k h i n ó c h ạ y đ irợ c n ử a q u ã n g đ ư ờ n g

Bài 1ịiài:

Chọn gốc tọa độ cong là vị trí của con tàu lúc bắt đầu chuyển động, chiểu dương củaquỹ đạo là chiều chuyển động của con tàu, gốc thời gian là lúc con tàu chạy vào đường

Bài giải:

X

-15

Vậy gia tốc của viên đạn luôn không W,

đổi và hướng ngược chiều với trục y

MVG

\ w ,wu

Hình 1.9

w n gcosa

- Tại thời điểm V = Vmin:

N h ư vộy tại th ờ i đ iể m n à y v é c tơ v ậ n tố c V so n g s o n g vói tru e O x , c ò n véc tơ g ia tốc

W song song với trục Oy, nên hai véc tơ V và W vuông góc với nhau, do đó W = Wn ,

Vì v„= const nền V = Vmin khi Vy = 0

Xác định phương trình quỹ đạo của điểm, quy luật

chuyển động của điểm trên quỹ đạo Vận tốc, gia tốc của

điểm và bán kính cong của quỹ đạo

kNgười ta gọi h là bước của đinh ốc.

Từ (1), (2), (3) ta có: dx = - ak sin kt.dt; dy = ak coskt.dt; dz = bdt

Gọi ds là vi phân cùng trên quỹ đạo ta có:

ds = ^ d x2 + d y2 + d z2 = Va2k2 + b 2dt

Đế xác định hằng số c ta dùng điều kiện ban đầu s(0) = 0 được c = 0

Do đó phương trình chuyển động của M trên quỹ đạo là s = ^ a 2k 2 + b 2 t, như vậy M

Như vậy gia tốc của điểm cũng có giá trị không đổi

wV 2 3 Ị( -Ị _ 2 2 ầ0 -2

Bán kính cong cùa quỹ đao tai điểm bất kỳ trên quỹ đao: p = —— = -^ -

w n ak

Chương II

CHUYỂN ĐỘNG c ơ BẢN CỦA VẬT RẮN

Trong chương này ta nghiên cứu 2 dạng chuyển động đcm giản nhất của vật rắn đó là chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định Mọi dạng chuyển động phức tạp khác của vật rắn đều có thể phân tích thành các dạng chuyển động đơn giản

đó Vì vậy ta gọi chúng là các chuyển động cơ bản của vật rắn

A CHUYỂN Đ Ộ N G TỊNH TIÊN C Ủ A V Ậ T RAN

2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐẶC ĐIỂM c ủ a c h u y ể n đ ộ n g t ị n h t i ế n

1 Định nghĩa

Chuyển đông tịnh tiến của vật rắn là chuyển

động trong đó mọi đường thẳng thuộc vật đểu luôn

luôn không đổi phương

V í dụ: Toa tầu hoả chuyển động tịnh tiến với

mặt đất khi con tàu chạy trên đường ray thẳng Tấm

chữ nhật ABCD chuyển động tịnh tiến khi 0 |A

chuyển động A vẽ nên quỹ đạo CA, B vẽ nên quỹ

đạo CB, trong đó A và B là hai điểm thuộc vật tuyệt

đối rắn nên BA = const Theo định nghĩa chuyển

động tịnh tiến trong quá trình chuyển động BA

không đổi phương Vì vậy BA = c o n st Như vậy

đ iếm B sẽ đến trùng với các điểm A tương ứng, hay quỹ đạo Cg trùng khít với quỹ đạo CA (hình 2.2).

- Gọi rA , ÍB là các véctơ bán kính định vị cùa A, B ta có: rA = ĩg + BA

Từ định lý Irên ta suy ra các hệ quả sau:

b) H ệ quá

- Việc khảo sát chuyển động cùa vật rắn chuyển động tịnh tiến được thay bằng việc

khảo sát chuyển đông của một điểm bất kỳ thuộc nó

- Lấy tên quỹ đạo của các điểm thuộc vật để gọi tên chuyển động của vật

- Lấy vận tốc gia tốc cùa điểm thuộc vật làm vận tốc, gia tốc của chính vật ấy

C hú ỷ: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn nói chung là cong, tịnh tiến thẳng chỉ là

một trường hợp đặc biệt

B CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RAN QUANH MỘT TRỤC c ố ĐỊNH

Đ ịn h nghĩa

N C u u o n g q u á u ì i i h c h u y ể n d ọ n g , v ạ t r á n c ó ÍL I i l i ấ i l i a i d i ẻ i i i c ó d ị i i l i ,

ta nói rằng vật quay quanh trục cố định đi qua hai điểm ấy

V í dụ: Cối xay, quạt trần khi hoạt động là các vật rắn quay

cùa p hoàn toàn xác định vị trí của vật Gọi cp là góc định hướng (từ n

đến p theo chiều ngược kim đổng hồ), khi đó cp sẽ là thông số định vị

cùa vật Phương trình chuyển động của vật có dạng:

Hình 2.3

19

Thât vây, nếu cõ = — > 0 ; cp tăng theo thời gian, vật sẽ quay ngược chiều kim đổng hồ

dt(chiêu dương) Nếu 03 < 0, cp giảm theo thời gian vật sẽ quay thuận chiểu kim đổng hổ (chiều âm)

vòng/phút Khi đổi ra đơn vị rad/s ta được:

Đơn vị của gia tốc góc là rad/s2

c) Dấu hiệu nhận biết chuyển động

Như vậy nếu 05 và Ẽcùng dấu thì vật quay nhanh dần và ngược lại

Q uay đ éu Q u a y n h a n h dàn

Hình 2.4

3 Vài dạng chuyến động quay đặc biệt

a) C huyển động quay đêu

Là chuyến động có tốc độ góc không đổi Chọn ngay chiều quay của vật làm chiều dương để tính góc ta có:

l (P = <Po+“ ot

[e = 0

b) C huyển động quay biến đối đêu

Là chuyển động có gia tốc góc không đổi ẽ = ẼQ = const, bằng phương pháp tích

_ -)

trong đó: cõg là vận tốc góc ban đầu, cpQ là góc định vị ban đầu của vật

- Nếu ẼQ > 0 chuyển động là nhanh dần

* Đinh nghĩa: Véctơ vẠn tốc góc cô là véc tơ nằm trên trục quay cùa vật, sao cho khi

nhìn từ mũi đến gốc thấy vật quay ngược chiều kim đổng hồ và có độ lớn bằng tốc độ góc cùa vật

21

* Biểu diễn: Nếu gọi k là véctơ đơn vị trên trục quay.

b) Véctơ gia tốc góc

thời gian:

Như vậy véctơ gia tốc góc cũng nằm trên trục quay

c) Biểu diễn tính biến đổi chuyển động theo véctơ vận tốc góc rà gia tóc góc

Vì M.ẽ = c5.Ẽ nên:

- Nếu chuyển động quay là nhanh dần thì mẽ > 0 do đó õ> và ẽ cùng chiều

- Nếu chuyển động quay là chậm dần thì S ẽ < 0 do đó ũ và Ẽ trái chiều.

1 Quỹ đạo và phương trình chuyển động

Xét một điểm M bất kỳ thuộc vật rắn Từ M hạ MI vuông góc

với trục quay Trong quá trình chuyển động của vật, khoảng cách

MI = const (vì vật là tuyệt đối rắn) Do đó quỹ đạo của M là

đường tròn tâm I bán kính IM

M, gọi góc OIM = (p Áp dụng phương pháp toạ độ tự nhiên để

khảo sát chuyển động của M (hình 2.7)

Lấy OM = ? làm thông số định vị Chọn chiểu dương của quỹ

đạo trùng với chiều dương tính góc ta có phương (rình chuyển

động cùa điểm là:

V

H ìn h 2 7

Nluin xét: vận tốc của các điểm thuộc vật rắn

quay quanh một trục cô định được phân bố quanh

trục quay theo quy tắc tam giác vuông đổng dạng

- Gia tốc tiếp tuyến:

Wt - Cùng chiều với V nếu vậl quay nhanh dần và ngược lại

Nhận xét: Gia lốc cùa các điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định được phân

23

WM *M w,IM

N

Hình 2.9 c) Biểu diễn véctơ vận tốc v à gia tốc của điểm qua các véctơ vặn tốc góc và gia tóc góc của vật

định vị r = OM từ các kết quả trên ta có:

— = V = ÍO X r

dtCông thức trên gọi là công thức ơle

3 Các phương pháp truyền động đơn giản trong kỹ thuật

Trong kỹ thuật để truyền chuyển động quay quanh một trục cố định thành chuyên

đ ộ n g q u a y q u a n h m ộ t trục cô' đ ịn h k h ác, c h u y ển độ n g q u a y th àn h c h u y ển đ ỏ n g tịnh tiến, chuyển động tịnh tiến thành chuyển đông quay, chuyển động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến, người ta thường dùng các cơ cấu truyền chuyển động đơn gián sau

a) Truyền động bằng cơ cấu đai truyền, dãy xích, bánh răng

Để truyền chuyển động quay quanh hai trục cô’ định song song với nhau người ta

Hình 2.11 Truyền động bằng đai, dây xích

Hình 2.12 Truyền độnạ bànẹ bánh rănẹ

Với giả thiết đai truyền không giãn, không có sự trượt giữa đai truyền và các trục, các bánh răng ăn khớp với nhau thì vận tốc của các điểm tiếp xúc bằng nhau

Truyền động cùng chiều quay biểu diễn trên hình 2.1 la và 2.12a, la có:

V, = r, tõ| = V , = r2õ>, suy ra: 3=- = — ( = — ) cho trường hợp bánh răng trong đó

Vì không có sự trượt giữa bánh và thanh nên ta có: V = Rũ)

c) Truy én động bằng cơ cấu cam

Để truyền chuyến động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến hoặc chuyển đông quay

thành chuyến động tịnh tiến người ta dùng các cơ cấu cam như hình 2.14

Để truyền chuyển động quay quanh một trục cố

định thành một chuyển động tịnh tiến và ngược lại,

b) Truyền động bằng bánh răng, thanh răng

V í dụ: Bánh khía I bán kính r, quay nhanh dần từ trạng thái nghỉ Sau 2 giay có

Chirưng III

CHUYỂN ĐỘNG PHỨC H Ợ P CỦA ĐIỂM

3.1 KHÁI NIỆM VẾ CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HƠP CÚA ĐIỂM

1 Đ ặt bài toán

Trong chương I ta đã khảo sát chuyển động cùa điểm đối với một hệ quy chiếu cố định, trong chương này ta nghiên cứu chuyển động cùa điếm đối với một hệ quy chiếu đang chuyên động đối với một hệ quy chiếu khác được xem là cố định Ta giải quyết hai bài toán sau đây:

Bài toán tống hợp chuyên động: Biết chuyển động của điểm đối với hệ quy chiếu

Già sir động điểm M chuyển động đối với hệ (|iiy

chiếu động Oxyz, chính hệ này lại chuyến động đối

- Chuyển động theo là chuyên động cùa hệ động Oxyz đối với hệ cố định 0 |X |y |Z Ị

Nhận sét: Thực ra M chí trực tiếp tham gia chuyển động tương đối và tuyệt đối, nó

không chủ động tham gia chuyển động theo, nhưng do nằm trên hệ động nên bị kéo theo chuyển động

- Để nhận biết chuyên động tương đối của M cẩn bỏ qua chuyên động của hệ động, xem như hệ động nằm yên

27

- Đê thấy được chuyển động kéo theo của động điểm ta cần đưa ra khái niệm trùng điểm M ‘:

Trùng điểm M ' của M tại thời điểm khảo sát là điếm thuộc hệ động, tại thời điếm đó đông điểm M đến trùng với nó

- M uốn nhận biết chuyển động theo, cần bỏ qua chuyển động tương đối, giả định điểm M tức thời dừng lại trên hệ động

3 Các định nghĩa về vận tốc và gia tốc

- Vận tốc và gia tốc tuyệt đối của điểm là vận tốc và gia tốc cùa điểm trong chuyển động t u y ệ t đ ố i K í hiệu là V ,, Wa

- Vận tốc và gia tốc tương đối cùa điểm là vận tốc và gia tốc của điểm trong chuyển

đông tương đối Kí hiệu là Vr , Wr

- Vận tốc và gia tốc theo cùa điểm là vận tốc và gia tốc của trùng điếm M‘ (có được nhờ c h u y ể n động theo): Ve = VM„; We = WM,

3.2 ĐỊNH LÝ HỢP VẬN T ố c

tốc kéo theo và vận tốc tương đối của nó

(3.1)

C h ứ n g m inh:

Cho động điểm M chuyển động đối với hệ

quy chiếu Oxyz Hệ quy chiếu động lại chuyển

Vị trí của M đối với hệ quy chiếu cố định được

Gọi i, j,k là các véc tơ đơn vị trên hệ quy chiếu động O xyz còn X, y, z là tọa độ cùa

M đối với hệ quy chiếu đó Ta có: r = X i + yj + zk

với i, j, k khóng đổi, theo định nghĩa nó chính là véctơ vận tốc tương đối Vr của M

Tường tượng động điểm dừng lại tức thời trên hộ động, khi đó M = M* còn v r = 0 ,công thức (d) trở thành công [hức xác định vận tốc của trùng điếm M \ theo định nghĩa

•> Khi đó v a cùng chiểu với véc tơ nào dài hơn và có giá trị: Va = |Ve - Vr

- Vr 1 Vt Khi đó Va là đường chéo chữ nhật mà hai cạnh là 2

/éc tơ Ve , Vr và có giá trị: Va = ^Ve2 + Vr2

29

- Vr và Vc lập với nhau góc a

v e , Vr và có giá trị: Va = yJV' + Vr2 + 2Ve Vr COS a

= x ĩ + ỹ j + zk + cỏe X( x i + ý j + zk j = XI + ỷ] + zic + G)e X vr

Hệ thức xi + ỷ j + z k là đạo hàm bậc hai theo thời gian véctơ bán kính định vị ĩ cùa

^ L = Wr + cõe x V r dt

T h e o (c): ữ c X — = Me x ( v r +Õ3e X r ) = Õ3e XV, + ẽ t x ( õ c x r )

Thay các biếu thức này vào ( 0 ta được :

W = ^ 2- + ^ í - x r + we x(cõ x r ) + w +a d t d t 2<ũ XVe rTưởng tượng điểm M dừng lại tức thòi trên hệ động khi đó, M = M , v r = 0 ,w r = 0 Công thức trên trở thành công thức tính gia tốc của trùng điểm M ‘ hay gia tốc theo của

Thay tất cả vào (f) ta được cóng thức cần chứng minh.

w =W +W +W

2 Các trường hựp đặt biệt

u) Hệ quy chiếu động chuyển động tịnh tiến

Trong trường hợp này ũ e = 0 nên Wc = 0 do đó: Wa = Wc + Wr

b) Hệ quy chiếu động quay quanh trục cô định với vận tốc góc (ù

Khi đ ó W c = 2 (5 X V , Trường hợp này Wc s ẽ bằng 0 nếu V r = 0 hay V r/ / (7).

3 Phương pháp xác định gia tốc Còriólít

- Nếu Vr vuông góc với cữ: Quay

Vr theo chiểu quay cùa W một góc 90°

được phương chiều cùa Wc , giá trị của

Wc được xác định như sau:

Wc = 2(1) v r sin 90° = 2co.vr

- Nếu Vr không vuông góc với ữ : Phân tích Vr thành 2 thành phẩn Vr l ủ và Vr / / õ)

Quay Vr theo chiều õj một góc 90° được phương chiều của Wc

V í d ụ I • T rụ trò n h án k ín h R = 9 tn q u a y q u a n h trụ c cô' đ ịn h th e o q u y luột íp — 7 t~ (rn â )

g i a t ố c t u y ệ t đ ố i c ù a M tạ i th ờ i đ i ể m t = 1 s

Bài giải:

Xét động điểm M Chọn hệ quy chiếu động là trụ Hệ chiếu cố

định là mặt đất, vận tốc tương đối Vr dọc theo OM có độ lớn:

Gia tốc tương đối: Wr // Vr và có giá trị: Wr = Vr = 10 m/s

Gia tốc kéo theo: We = Wen + WJ

Wcn hướng từ M đến trục quay, có giá trị:

Chọn xe là hộ quy chiếu động và mặt đất là hệ quy chiếu cố định

- Tại thời điểm t| = ls Điểm M ở vị trí M| có:

Ve = x e = 4t = 4 m /s Theo định lý hợp vận tốc: Va = Ve + Vr

Vì hai véctơ Ve và Vr cùng chiều nẽn Va cũng cùng chiều và có giá trị:

va = v c + v r =71 + 4 * 7, 14m/s

Gia tốc tuyệt đối của điểm M được xác định theo định lý hợp gia tốc

Wa = w e + w r + w c

Vì hệ động chuyển động tịnh tiến nên: Wc = 0

Gia tốc kéo theo hướng song song với trục X và có giá trị:

Chuyến động tương đối của điếm là chuyển động đểu nên gia tốc tương đối cùa điếm chỉ có thành phần pháp tuyến hướng từ Mị đến I

Chương IV

CHUYỂN ĐỘNG SONG PHANG c ủ a v ậ t r ắ n

Trong chương này ta sẽ nghiẽn cứu một dạng

chuyển động phức hợp của vật rắn, đó là chuyển

động song phẳng Ta sẽ tìm cách phân tích

chuyển động phức hợp này thành các chuyển

động cơ bản và sử dụng các kết quả thu được ờ

các chương trước để nghiên cứu

Dinh nghĩa: Chuyển động song phẳng của vật

rắn là chuyển động trong đó mỗi điểm M thuộc

vật luôn luôn di chuyển trong một mặt phẳng p

cố định song song với mặt phẳng quy chiếu cố

định 71 đã chọn trước

song với mặt phẳng quy chiếu, đểu chuyển động

ngay trong mặt phẳng cố định chứa thiết diện ấy

Hình 4.1

Ví dụ: Khi xe, tàu chuyển động thẳng thì mỗi bánh xe thực hiện chuyến dộng song

phảng, mặt phẳng quy chiếu là mặt phảng cố định chọn tuỳ ý vuông góc với trục cùa bánh xe

Thanh truyền AB của cơ cấu tay quay thanh truyền cũng thực hiện chuyển động song phẳng, mặt phẳng quy chiếu là mặt phẳng cố định, vuông góc với trục quay của tay quay

(xem hình 4.2) Chuyển động của vật rắn quay xung quanh một trục cố định là trường họp đặc biệt của chuyển động song phẳng.

4.1 K H Á O SÁT CHU YỂN ĐỘNG CỦA CẢ VẬT

1 Mô hình phảng cùa vật rán chuyển động song pháng

Ta sẽ chứng minh là để khảo sát chuyển động song phẳng cùa vật rắn, chỉ cần khảo sát chuyển động của thiết diện (S) của vật rắn trong mặt phẳng cố định p song song với

m ặt phẳng quy chiếu là đủ Thật vậy, gọi AB là một đoạn thẳng bất kỳ thuộc vật, vuông góc với mặt phẳng quy chiếu cố định 71 (hình 4.1) Theo định nghĩa chuyển động song phẳng, mỗi điểm thuộc AB sẽ chuyển động Irong mội mặt phẳng song song với mặt

phẳng quy chiếu n, vì vậy trong quá trình chuyển động AB sẽ luôn luôn vuông góc với

m ặt phẳng Tí hay không đổi phương, do đó AB thực hiện chuyên động tịnh tiến Theo

tính chất của chuyến động tịnh tiến, chuyển động cùa AB được đặc trưng bời chuyển động cùa một điểm bất kỳ thuộc nó, chắng hạn điểm M là giao điểm của AB và mật phẳng p Nếu coi vật rắn là tập họp vò số' các đoạn AB như thế, thì chuyển động cùa vật được đặc trưng bởi chuyển động của tập hợp các điểm M nói trên Nghĩa là chuyển động cùa thiết diện (S) trên mặt phẳng p cố định (xem hình 4.1) Ta gọi (S) là mô hình phẳng cùa vật rắn chuyên động song phẳng Từ nay vể sau để khảo sát chuyển động song phẳng cùa vật rắn ta chi cần khảo sát chuyển động của (S) trong mặt phảng cố định p chứa nó

2 Phưưng trình chuyển động của vật

Khảo sát chuyển động của một thiết diện phẳng (S)

tiong mạt phảng cơ dinh p cùa nó (xem hình 4.3)

Chọn trong mặt phẳng p một hệ toạ độ cố định OịXiy,

lấy điểm o tuỳ ý thuộc (S) và gắn vào nó một hệ quy

chiếu động Oxy có các trục luôn song song với các

trục tương ứng của hệ cố định OịXịy, Như vậy thiết

diện (S) chuyển động quay tương đối quanh cực o cùa

hệ Oxy còn hệ động Oxy chuyển động tịnh tiến kéo

t h e o đ ố i v ớ i h ệ c ố đ ịn h o IX ] y I, ta c ó đ ịn h lý sa u : H i n l t 4 -3

a) Đ ịnh lý: Bao giờ cũng phân tích được chuyển động song phẩng cùa vật rắn thành

hai chuyên động thành phần: Chuyển động quay tương đối cùa vật quanh cực o cùa hệ dộng Oxy và chuyển đòng tịnh tiến của hệ động đối với hệ cố định o ịX ! y I

b) Phương trình chuyển động

Cân cứ vào định lý trên ta viết được phương trình chuyển động của vật thông qua

35

với hệ quy chiếu cố định và <p là góc định vị của thiết diện phẳng (S) đối với hệ Oxy thì phương trình chuyên động cùa (S) trong mặt phẳng p là:

Hai phương trình đẩu mô tả chuyến động tịnh tiến kéo theo của hộ đông đối với hệ cố

với hộ động

3 Vặn tốc và gia tốc của chuyển dộng

y

a) Vận tốc

Vì chuyển động của thiết diện phẳng đã được

phân tích thành hai thành phẩn, nên vận tổc của nó

Tương tự như trên trạng thái biến đổi chuyển động của (S) được dặc trưng bời gia tốc

Từ hình vẽ ta có: y = (p + a , trong đó a = const

4.2 KHẢO SÁT CHUYẾN ĐỘNG CÚA CÁC ĐIỂM THUỘC VẬT

4.2.1 Vận tốc của các điếm

1 Q uan hệ vận tốc giữa 2 điểm

Định lý: Vận tốc của điểm M bất kì thuộc thiết diện phẳng bằng tổng hình học vận

Giả sử M là một điểm bất kỳ thuộc thiết diện

(S), còn o là cực của hệ động Oxy Theo định lý

(4.2) chuyển động của (S) được phân tích thành 2

Oxy Do đó điểm M thuộc (S) cũng tham gia vào 2

Theo công thức tính vận tốc của điểm thuộc vật rắn quay quanh trục cố định ta có:

X OMThuận chiều quay 05

^rM _ V y io

Giả sử A và B là 2 điểm bất kỳ thuộc (S), nếu chọn A làm cạc và theo (4.5) ta có

thì bằng nhau.

Chứng m inh:

Chiếu hộ thức (4.6) lên trục AB với chú ý

Định lỷ: Ở mỗi thời điểm nếu 03 * 0 có tổn tại và duy nhất I điểm p t h u ộ c th iế t diện

Nếu tại thời điểm đang xét 03 = 0, thì tâm vận tốc tức thời ở xa vô cùng, vân tốc tức thời

c ủ a c á c đ iể m đ ề u b ằ n g n h a u ta n ó i t h iế t d i ệ n s c h u y ể n d ộ n g t ịn h t iế n tứ c th ờ i.

C lìứ iiỵ m inh

» Sự tổn tại và duy nhất của tãm vận tốc tức thời P:

theo chiều ã một góc 90°, được nửa đường thẳng OA, trên OA lấy điểm p sao cho

Vậy p chính là tâm vận tốc tức thời cùa (S)

Bây giờ ta chứng minh sự duy nhất cùa tâm p

Giả sử tại một thời điểm tổn tại 2 điểm P |, p , đểu có vận tốc bằng 0

Hình 4.7