ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Ngô Thị Thu Hương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2017 Tai ngay!!! Ban co t[.]
Một số khái niệm cơ bản của Giải tích hàm
Không gian metric
Không gian metric được định nghĩa là tập X chứa các phần tử x, y, z, trong đó với mọi cặp phần tử x và y, tồn tại một số không âm d(x,y) thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Khoảng cách giữa hai phần tử x và y được gọi là metric, ký hiệu là d(x, y) Một dãy {x n } được xem là dãy cơ bản nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số N > 0 sao cho với mọi m, n > N, ta có d(xn, xm) ≤ ε.
Nếu bất kì một dãy cơ bản nào trong không gian X đều hội tụ đến phần tử thuộc X thì X được gọi là không gian đủ.
Ánh xạ co
Định nghĩa 1.1.3 Một ánh xạ A từ không gian metric (X,d) vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số q ∈ (0,1) sao cho với mọi x, y ∈ X, d(A(x), A(y)) < qd(x, y).
Khi đó hằng số q được gọi là hệ số co của ánh xạ A.
Nguyên lí ánh xạ co
Cho A là ánh xạ co trong không gian metric đủ (X, d) Khi đó:
• Tồn tại duy nhất x ∗ ∈ X sao cho A(x ∗ ) = x ∗ Phần tử x ∗ ∈ X gọi là điểm bất động của ánh xạ A.
• Mọi dãy lặp xn+1 = A(xn),(n ≥ 0) xuất phát từ x0 bất kì đều hội tụ. Ngoài ra ta có ước lượng sau d(x n , x ∗ ) ≤ q n (1−q) −1 d(x 0 , x 1 ) (n ≥ 1),d(x n , x ∗ ) ≤ q(1−q) −1 d(x n−1 , x n ) (n ≥ 1).
Phương pháp sai phân
Lưới sai phân
Ta chia đoạn [a, b] thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài h= b−a
Lưới sai phân trên đoạn [a, b] được xác định bởi các điểm x_i = a + ih, với i = 0, 1, , N, và được ký hiệu là Ω_h Mỗi điểm x_i trong lưới này được gọi là một nút, trong khi h đại diện cho bước đi của lưới.
Hàm lưới
Xét hàm số u(x) xác định trên đoạn [a,b], khi đó tập giá trị của hàm trên các điểm lưới được gọi là hàm lưới ui =u(xi).
Công thức Taylor
Giả sử hàm số u(x) có đạo hàm đến cấp m + 1 trong khoảng (α, β) chứa x và x + ∆x, với ∆x có thể là âm hoặc dương Khi đó, công thức khai triển của hàm số này được biểu diễn như sau: u(x + ∆x) = u(x) + ∆xu'(x) + (∆x)^2.
(m+ 1)!u (m+1) (c). trong đóclà một điểm ở trong khoảng từxđếnx+∆x Có thể viếtc= x+θ∆x với 0 < θ 0 không phụ thuộc vào ∆x sao cho:
Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau: u(x+∆x) =u(x)+∆xu 0 (x)+(∆x) 2
Một số công thức xấp xỉ đạo hàm
Xét không gian lưới Ω h với bước lưới h = b−a
N , chúng ta xét công thức khai triển Taylo tổng quát đối với hàm u(x): u(x±h) = u(x)±hu 0 + h 2
Dựa trên công thức Taylor dừng với ba số hạng khai triển, chúng ta có thể thu được các công thức xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác cấp 1 và cấp 2 Cụ thể, công thức xấp xỉ cấp 1 là u 0 (x i ) = u i+1 − u i / h + O(h), trong khi công thức xấp xỉ cấp 2 là u 00 (x i ) = u i+1 − u i−1.
Nếu sử dụng công thức khai triển Taylo với 6 số hạng khai triển, chúng ta thu được các công thức u i+1 =u i +hu 0 i + h 2
Từ đây suy ra ui+1+u i−1 = 2ui+h 2 u 00 i + h 4
Vậy ta có lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 6 u i−1 −2u i +u i+1 h 2 = u (2) i + h 2
Với hàm f(x) tùy ý, ta cần xác định các đạo hàm các cấp thông qua giá trị hàm tại các mốc nội suy.
Sử dụng kết quả của đa thức nội suy Lagrange, ta có f (m) (x i ) n
Độ chính xác của việc khai triển hàm số tăng lên khi số lượng mốc nội suy được sử dụng nhiều hơn Do đó, các đạo hàm của hàm tại điểm xi có thể được tính toán thông qua các giá trị hàm tại các điểm xk, mang lại độ chính xác bậc cao.
Bằng tính toán cụ thể, ta có các công thức sau đây Đạo hàm cấp 1 f 0 (x0) = 1
12h(25fn−48fn−1 + 36fn−2 −16fn−3+ 3fn−4) +O(h 4 ). Đạo hàm cấp 2 f 00 (x0) = 1
12h 2 (11fn−20fn−1 + 6fn−2+ 4fn−3−fn−4) +O(h 2 ), f 00 (xn) = 1
12h 2 (35fn−104fn−1 + 114fn−2 −56fn−3+ 11fn−4) +O(h 2 ), Đạo hàm cấp 4 f (4) (x 0 ) = 1 h 4 (f 0 −4f 1 + 6f 2 −4f 3 +f 4 ) +O(h), f (4) (x1) = 1 h 4 (f0 −4f1 + 6f2 −4f3 +f4) +O(h), f (4) (xk) = 1 h 4 (f k−2 −4f k−1 + 6fk −4fk+1+fk+2) +O(h), f (4) (x n−1 ) = 1 h 4 (f n −4f n−1 + 6f n−2 −4f n−3 +f n−4 ) +O(h), f (4) (x n ) = 1 h 4 (f n −4f n−1 + 6f n−2 −4f n−3 +f n−4 ) +O(h).
Các công thức tính xấp xỉ đạo hàm trên sẽ được sử dụng để xây dựng các lược đồ sai phân giải các phương trình vi phân.
Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo
Các hệ số của ma trận 3 đường chéo cần thỏa mãn các điều kiện sau đây:
|Ci| ≥ |Ai|+|Bi|, i = 1,2, , n trong đó tồn tại ít nhất một bất đẳng thức chặt.
Hệ phương trình được gọi là hệ 3 đường chéo Đối với dạng hệ đặc biệt này, có thể tìm nghiệm bằng thuật toán cụ thể.
Thuật toán truy đuổi 3 đường chéo
Chúng ta tìm nghiệm của hệ phương trình (1.1) dưới dạng: \( x_i = \alpha_{i+1} x_{i+1} + \beta_{i+1} \) cho \( i = 0, 1, 2, , n-1 \), trong đó các hệ số \( \alpha_{i+1} \) và \( \beta_{i+1} \) được xác định từ điều kiện ràng buộc của hệ (1.2) Bằng cách thay thế (1.2) vào (1.1) và áp dụng đẳng thức \( x_{i-1} = \alpha_i x_i + \beta_i = \alpha_i (\alpha_{i+1} x_{i+1} + \beta_{i+1}) + \beta_i \), chúng ta có thể phát triển thêm các nghiệm của hệ phương trình này.
[αi+1(αiAi −Ci) +Bi]xi+1+ [(αiAi−Ci)Bi+1+βiAi +di] = 0. Đẳng thức này đúng ∀i = 1,2, , n−1 nên: α i+1 (α i A i −C i ) +β i = 0, (α i A i −C i )B i+1 +β i A i +d i = 0.
Từ đó ta có công thức truy hồi: α i+1 = β i
(C i −α i A i ); i = 1,2, , n−1. Để có các hệ số đó, ta cần xác định α1, β1;
Do phương trình đầu tiên: −C 0 x 0 +B 0 x 1 = −d 0 hay: x0 = B 0
.Nhưng để tính theo công thức (1.2), ta cần có xn Ẩn xn sẽ được tìm nhờ phương trình cuối cùng của hệ (1.1)
Lại theo (1.2) ta có: x n−1 =αnxn+βn.
Loại trừ x n−1 từ hệ này, ta suy ra được: x n = β n A n +d n
. Như vậy nghiệm của hệ (1.1) được tìm theo công thức
Xuất phát từ các công thức trên, thuật toán truy đuổi 3 đường chéo được thực hiện bằng thuật toán sau đây:
C 1 , xác định tất cả các giá trị αi, βi,∀i = 2,3, , n theo công thức: αi+1 = Bi
, xác định tất cả các x i , i n−1, n−2, ,1, theo công thức: xi = αi+1xi+1+βi+1; i = 1,2, , n−1,
Chúng ta có thể thấy rằng độ phức tạp của thuật toán là O(n).
Phương pháp lưới giải bài toán biên cho phương trình cấp 2
(1.4) α0, α1, β0, β1 ≥ 0, α 2 0 +α 1 2 > 0, A, B là các hằng số tùy ý.
Sử dụng các công thức sai phân với độ chính xác cấp 2, ta có u 00 = u i+1 −2u i +u i−1 h 2 +O(h 2 ), u 0 0 = u 1 −u 0
Khi đó (1.4) được đưa về hệ phương trình sai phân sau đây
(2hα 0 +α 1 )u 0 −α 1 u 1 = 2hA, ui+1−2ui +ui−1 = h 2 fi,
Hệ phương trình (1.5) thuộc dạng hệ truy đuổi 3 đường chéo với tính chất chéo trội, cho phép giải bằng thuật toán truy đuổi có độ phức tạp O(n) Tuy nhiên, do phương pháp sai phân được áp dụng cho các đạo hàm, độ chính xác của kết quả chỉ đạt O(h).
Thuật toán với độ chính xác bậc cao
Sử dụng các công thức xấp xỉ đạo hàm với độ chính xác bậc cao, ta thu được ui+1 = ui +hu 0 i + h 2
Vậy ta có lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 6 u i−1 −2ui +ui+1 h 2 = fi+ h 2
Sử dụng các công thức đạo hàm cấp 1 để sai phân hệ điều kiện biên của bài toán, chúng ta có thể xây dựng một hệ phương trình sai phân với độ chính xác cấp 4 Hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng α0u0 − α1.
Ta thu được hệ đại số tuyến tính
0 0 a n−1n−2 a n−1n−1 a n−1n a nn−4 a nn−3 a nn−2 a nn−1 a nn
Hệ phương trình sai phân (1.3) tương ứng với bài toán biên cho phương trình vi phân (1.1) đạt độ chính xác cấp 4 Khi điều kiện biên có dạng Dirichletu(a) = A; u(b) = B, lược đồ sai phân thu được sẽ có độ chính xác cấp 6, do không cần sai phân điều kiện biên.
Bởi vì ma trận A của hệ không phải dạng 3 đường chéo, do đó hệ không giải được bằng thuật toán truy đuổi.
Qua một số phép biến đổi hữu hạn, ta có thể chuyển hệ phương trình ban đầu về dạng 3 đường chéo với các hệ số xác định theo công thức: a00 = α0 + α1 h; a01 = −α1 h; ai−1i = 1; aii = −2; aii+1 = 1 (với i = 1, 2, , n−1); an−1n = β1 h; ann = β0 + β1 h.
Do điều kiện α0, α1 > 0, β0, β1 ≥ 0 do đó các hệ số của hệ thỏa mãn tính chất
Hệ thu được là hệ 3 đường chéo với tính chất chéo trội, có thể giải quyết bằng thuật toán 3 đường chéo với độ phức tạp tính toán O(n).
Chương 1 tập trung vào các lý thuyết cơ bản về không gian metric, nguyên lý ánh xạ co và các phương pháp sai phân, xấp xỉ đạo hàm thông qua khai triển Taylor tổng quát Những kết quả này là nền tảng cho việc nghiên cứu các nội dung trong các chương tiếp theo của luận văn.
Phương pháp số giải phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và hệ phương trình vi phân với hệ điều kiện đầu
Chương 2 cung cấp cơ sở lý thuyết cho việc phát triển các lược đồ tính toán nhằm tìm nghiệm số cho phương trình và hệ phương trình vi phân Các kết quả lý thuyết trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1, 8, 9, 10].
Cơ sở lý thuyết về phương pháp Runge-Kutta
Phương pháp Euler 1
Xét trường hợp riêng của phương pháp Runge-Kutta khi r = 1.
Ta có công thức ϕ 1 (h) = y(x 0 + h) − y 0 − p 11 hf(x 0, y 0) với điều kiện ϕ 1 (0) = 0 Để ϕ 0 1 (0) = 0 cho mọi hàm, cần có p 11 = 1, trong khi ϕ 00 1 (0) = y 0 00 ≠ 0 Do đó, ∆y0 = p 11 k1(h) = hf(x 0, y 0), dẫn đến công thức Euler: y 1 = y 0 + hf(x 0, y 0) Tổng quát, ta có công thức y k+1 = y k + hf(x k, y k) với x k = x 0 + kh.
Sai số địa phương của phương pháp:
. Để nhận được công thức sai số toàn phần, ta giả thiết f(x, y) liên tục
Lipschitz theo biếny với hằng số Lipschitz L >0, ngoài ra vi phân toàn phần df dx
≤ M Cho x n cố định trong khi bước h thay đổi Gọi y(x) là nghiệm đúng của bài toán Cauchy (2.1) ta có:
Có thể thấy rằng phương pháp Euler 1 có độ chính xác O(h).
Phương pháp Euler 2
Trong phương pháp Runge-Kutta, ta xét trường hợp r = 2.
Vì k 1 (h) = hf(x 0 , y 0 ) nên k 1 (0) = 0; k 1 0 (0) = f (x 0 , y 0 ) và k 00 1 (0) = 0 Tiếp theo k2(h) = hf(ξ2, v2) trong đó ξ2 = x0 +α2h; v2 =y0 +β21k1(h) Ta có: k 2 0 (h) = f (ξ2, v2) +h
Ở đây chúng ta dùng kí hiệu f0 := f (x0, y0) ; ∂f0
∂y tương ứng tính tại điểm (x 0 , y 0 ) Từ hệ thức (2.4), ta suy ra:
Từ phương trình ban đầu suy ra: p 21 +p 22 = 1.
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ, ta được:
Vì công thức Runge-Kutta (ứng với r = 2) đúng cho mọi hàm f nên để
Ta nhận được công thức gọi là công thức Euler 2 sau:
Có thể thấy rằng phương pháp Euler 2 có độ chính xác O(h 2 ).
Thuật toán RK4
Ngoài ra ta còn đòi hỏi ϕ 00 4 (0) =ϕ 000 4 (0) = ϕ (4) 4 (0) = 0.
Kết quả là có 11 phương trình đối với 13 ẩn: α 2 , α 3 , α 4 , β 21 , β 31 , β 32 , β 41 , β 42 , β43, p4i; i = 1,4
Như vậy sẽ có một họ các công thức RK4 Công thức thông dụng nhất có dạng:
Có thể chứng minh rằng R 4 (h) =h 5 ϕ (5) 4 (ξ)
Phương pháp Runge-Kutta đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến
Xét hệ phương trình vi phân cấp 1
dx1 dt = f 1 (t, x 1 , x 2 , , x m ), dx2 dt = f 2 (t, x 1 , x 2 , , x m ), dx3 dt = f 3 (t, x 1 , x 2 , , x m ), dx m dt = f m (t, x 1 , x 2 , , x m ).
Nghiệm của hệ cần thỏa mãn hệ điều kiện đầu: x1(0) = x10, , xm(0) =xm0. Đặt
U0 = (x10, , xm0) T Khi đó hệ (2.9) tương với phương trình vi phân cấp 1 dạng vecto dU dt = F(t, U);U(t = 0) =U0 (2.10)
Bằng cách áp dụng phương pháp Runge Kutta bậc 4, chúng ta có thể phát triển lược đồ giải số cho hệ phương trình vi phân dưới dạng vector.
Có thể chứng minh rằng lược đồ (2.11) cũng có độ chính xác bậc 4.
Phương pháp Runge-Kutta đối với phương trình vi phân cấp cao 21
Xuất phát từ các kết quả truyền thống đối với phương trình vi phân cấp
1, sau đây chúng ta sẽ đưa ra các kết quả khi mở rộng các phương pháp cho phương trình vi phân dạng tổng quát cấp n.
Việc xây dựng phương pháp sai phân trực tiếp cho phương trình vi phân cấp cao gặp nhiều khó khăn do việc xác định công thức sai phân cho các đạo hàm cấp cao Tuy nhiên, chúng ta có thể áp dụng các phép biến đổi dạng vecto để chuyển đổi về dạng phương trình vi phân cấp 1.
Khi đó bài toán (2.12) là tương đương với bài toán sau đây:
Sử dụng sơ đồ tính toán tương tự như phương pháp Runge-Kutta, ta có sơ đồ sai phân một cách hình thức như sau:
Các kí hiệu U, K1, K2, K3, K4, F, Ua đều là các vecto n chiều
Lưu ý rằng trong lược đồ (2.14), nghiệm xấp xỉ của phương trình vi phân cấp cao được xác định là tọa độ đầu tiên của vectơ U, khác với lược đồ (2.11) Cả hai lược đồ đều có độ chính xác bậc 4 Dưới đây là một số kết quả liên quan đến việc xây dựng lược đồ sai phân cho phương trình cấp cao.
v k wk f(xk, uk, vk,wk)
Hoàn toàn tương tự, chúng ta có thể xây dựng các sơ đồ QH_4, QH_5,QH_6, tìm nghiệm số cho các phương trình vi phân cấp 4, 5, 6, .
Giới thiệu thư viện QH_2015
Bài viết đề cập đến các lược đồ tính toán cho phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2 tuyến tính, cùng với các sơ đồ QH_2, QH_3 cho các phương trình vi phân phi tuyến cấp cao và hệ phương trình vi phân Thư viện QH_2015 cung cấp các hàm hỗ trợ việc trả lại nghiệm bằng số cho các phương trình tương ứng.
Trong thiết kế thư viện, thống nhất sử dụng hệ thống các kí hiệu như sau: + a, b là giá trị 2 đầu mút của đoạn [a, b].
+ n là số nút lưới chia đoạn [a, b].
+ α0, α1, β0, β1, A, B là các hệ số trong hệ điều kiện biên đối với phương trình vi phân tuyến tính cấp 2.
+u0,a, u1,a, , un−1,a là các giá trị đầu cho phương trình vi phân phi tuyến cấp n tổng quát Các hàm được xây dựng trong thư viện gồm:
+ Hàm Rk1(a, b, n, u 0,a ) trả lại kết quả nghiệm bằng số đối với phương trình vi phân cấp 1 theo phương pháp Euler 1.
+ Hàm Rk2(a, b, n, u0,a) trả lại kết quả nghiệm bằng số đối với phương trình vi phân cấp 1 theo phương pháp Euler 2.
+ Hàm Rk4(a, b, n, u 0,a ) trả lại kết quả nghiệm bằng số đối với phương trình vi phân cấp 1 theo phương pháp Runge-Kutta.
Hàm qh4(a, b, n, α0, α1, β0, β1, A, B) cung cấp nghiệm số cho phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với điều kiện đầu Phương pháp này sử dụng thuật toán truy đuổi 3 đường chéo, đảm bảo độ chính xác cấp 4 trong các tính toán.
+ Hàm qhm(a, b, n, U0)trả lại kết quả nghiệm bằng số đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp n sử dụng lược đồ tính toán QH_m.
+ Hàm qhhm(a, b, n, X 0 ) trả lại kết quả nghiệm bằng số đối với hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp 1 sử dụng lược đồ tính toán QH_m.
10000 2.6e-15 2.8e-15 2.8e-15 2.8e-15 2.8e-15 Bảng 2.1: Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m u ∗ (x) = e −x , x ∈ [0, 1]
Bảng 2.2: Kết quả kiểm tra sai số đối với lược đồ QH_m
Thư viện QH_2015 đã được kiểm tra và chứng minh độ chính xác của các hàm xây dựng theo lý thuyết Nó cung cấp cho người dùng các công cụ chuẩn để tìm nghiệm số cho các phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân.
Chương 2 trình bày kết quả xây dựng các lược đồ tính toán nghiệm xấp xỉ cho các phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân dựa trên sơ đồ Runge-Kutta Những kết quả này sẽ được sử dụng để phát triển thư viện số QH_2015, cung cấp công cụ giải số hữu ích cho người dùng Đồng thời, các lược đồ này cũng sẽ hỗ trợ cho việc cài đặt các thuật toán được giới thiệu trong chương 3 của luận văn.
Phương pháp lặp giải mô hình các bài toán biên phi tuyến cấp 4
Trong chương này, luận văn trình bày kết quả nghiên cứu mô hình bài toán biên phi tuyến, bao gồm sự tồn tại duy nhất nghiệm và cơ sở toán học cho phương pháp lặp tìm nghiệm số dựa trên lý thuyết ánh xạ co Phần thực nghiệm được thực hiện trên máy tính điện tử với các chương trình mẫu từ thư viện QH_2015 Các kết quả lý thuyết được tham khảo từ tài liệu [4, 5, 6, 7].
Giới thiệu
Chúng ta xét bài toán biên được mô tả bởi phương trình vi phân phi tuyến cấp 4 có dạng u 0000 (x)−M(
0 u 0 2 (s)ds)u 00 (x) =f(x, u(x), u 0 (x)), 0 < x < L (3.1) với các điều kiện biên u(0) =u 00 (0) = 0 (3.2) u(L) = 0, u 00 (L) = g(u 0 (L)) (3.3) trong đó các hàm số f ∈ C([0, L])×R×R, g ∈ C(R) và M ∈ C(R + ) là các hàm số thực.
Trong tài liệu [4], phương trình mô tả dao động của dầm đàn hồi dài L, với một đầu tựa tại x = 0 và đầu còn lại gắn vào điểm cố định phi tuyến xoắn lò xo tại x = L Lực tác động lên dầm trong quá trình dao động được mô tả bởi hàm phí tuyến f(x), trong khi lực tác động vào đầu xoắn lò xo được mô tả bởi hàm g(x) Nhiều tác giả trên thế giới đã nghiên cứu các mô hình toán học cho dầm đàn hồi với hai đầu gối phức tạp Đối với bài toán biên (3.1-3.3), chúng ta sẽ phân tích các tính chất nghiệm và xem xét cơ sở toán học để xây dựng các sơ đồ lặp nhằm tìm nghiệm số cho bài toán.
Nghiên cứu các tính chất của nghiệm
Phương pháp phân rã cho phép chuyển đổi các bài toán cấp cao thành các bài toán cấp thấp hơn Đối với bài toán đang xem xét, ta đặt v(x) = M(ku 0 k 2 2 )u(x) + u''(x) Như vậy, bài toán (3.1-3.3) được chuyển đổi thành hai bài toán cấp 2.
Trong đó chuẩn k.k 2 kí hiệu là chuẩn trong không gian L 2 (0, L) Chúng ta xem xét việc tìm công thức nghiệm giải tích của các bài toán (3.4)-(3.5).
Kí hiệu G(x,t) là hàm Green được xác định bởi công thức
Khi đó theo lý thuyết hàm Green, với mỗi hàm h ∈C[0, L], w(x) L
G(x, t)h(t)dt sẽ là một nghiệm của bài toán biên Dirichlet
Như vậy áp dụng kết quả trên, chúng ta sẽ có: u(x) L
Lg(u 0 (L)), sẽ cho công thức nghiệm tổng quát của bài toán (3.1)-(3.3).
Nhận thấy rằng u(x) sẽ là một nghiệm của bài toán (3.1) - (3.3) khi và chỉ khi u(x) là một điểm bất động của toán tử T xác định bởi công thức
Chúng ta sẽ nghiên cứu tính chất của toán tử T Định lý 3.2.1 (Krasnosel’skii)
Giả sử P là một hình nón trong không gian Banach E, với Ω 1 và Ω 2 là các tập con mở của E, trong đó 0 ∈ Ω 1 ⊂ Ω˜ 1 ⊂ Ω 2 Giả sử T là một toán tử hoàn toàn liên tục từ P ∩ (Ω 2 \Ω˜ 1) đến P, thỏa mãn điều kiện kT uk ≥ u với mọi u ∈ P ∩ ∂Ω1 và kT uk ≥ u với mọi u ∈ P ∩ ∂Ω 2.
Tại điểm bất động T trong miền P ∩ (Ω 2 \Ω˜ 1 ), chúng ta áp dụng định lý Krasnosels’kii cho một hình nón của hàm trong không gian hàm có đạo hàm liên tục C 1 [0, L] Không gian này được trang bị với chuẩn kuk C 1 max{kuk ∞ ,ku 0 k ∞ }, trong đó kwk ∞ = max t∈[0,L] |w(t)|, và chúng ta sẽ xem xét các hình nón liên quan.
P = {u∈ C 1 [0, L]|u(0) =u(L) = 0,u là lõm}, (3.11) là một tập đóng trong C 1 [0, L].
Bổ đề 3.2.2 Nếu u ∈ C 1 [0, L] là không âm và thỏa mãn u(0) = u(L) = 0, khi đó kuk ∞ ≤ 1
Chúng ta xét điều kiện tồn tại nghiệm dương của bài toán Giả sử có tồn tại các hằng số m, R > 0 sao cho
0 ≤ M(s) ≤ m nếu s ∈[0, LR 2 ] (3.13) và giả sử có tồn tại hằng số A, B > 0 0 sao cho
0 ≤ f(t,0,0) ≤ f(t, u, v) ≤ A,(t, u, v) ∈ [0, L]×[0,(L/2)R]×[−R, R] (3.14) g(v) ≤ B, v ∈ [−R; 0] (3.15) Định lý 3.2.3 Giả sử rằng các điều kiện (3.13) - (3.15) luôn đúng đồng thời
2R+B, t ∈ [pL,(1−p)L] (3.16) đối với một số p < 1
2 < R, (3.17) thì bài toán (3.1)-(3.3) có một nghiệm dương.
Chứng minh Định lý 3.2.3 dựa vào ứng dụng của định lý Krasnosel’kii’s, thông qua việc lấy vi phân theo toán tử T được xác định trong (3.8) và nón P được định nghĩa trong (3.11) Để thực hiện chứng minh này, chúng ta sẽ áp dụng các kết quả từ các bổ đề được trình bày trong tài liệu [4].
Bổ đề 3.2.4 Với các điều kiện (3.14) - (3.17), T là toán tử P∩B(0, R)→ P.
Bổ đề 3.2.5 Giả sử các điều kiện (3.15) và (3.17) thỏa mãn Khi đó tồn tại hằng số dương r < R để kT uk ≥ kuk đối với tất cả u∈ P thỏa mãn kuk =r.
Bổ đề 3.2.6 Giả sử (3.15), (3.16) và (3.17) thỏa mãn Khi đó kT uk ≤ kuk nếu u∈ P và kuk = R.
Bổ đề 4 chứng minh rằng T là một ánh xạ toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục từ P ∩ B(0, R) vào P Theo bổ đề 3.2.5 và 3.2.6, điều kiện (3.10) được thỏa mãn với Ωr = B(0, r) và ΩR = B(0, R) Do đó, theo Định lý Krasnosel’skii, bài toán (3.1) - (3.3) có một nghiệm dương, được xác định như là một điểm bất động của toán tử T.
Ví dụ 3.2.7 Chúng tôi cho một ví dụ đáp ứng tất cả các giả thiết của Định lý 3.2.2 Giả sử rằng
Do đó (3.14) - (3.16) thỏa mãn với m = 2
5, A = 8, B = 1 và do đó (3.17) là thỏa mãn vìAL 3
G(t, s)f(s,0,0)ds t− t 3 và sau đó lấy p = 1
4] Điều này cho thấy (3.17) thỏa mãn vì mL
Định lý 3.2.3 khẳng định rằng bài toán (3.1)-(3.3) có nghiệm tồn tại và duy nhất Nghiệm này được xác định là điểm bất động của toán tử T theo công thức (3.8)-(3.9).
Phương pháp xây dựng sơ đồ lặp
Cơ sở lý thuyết
Nếu toán tử T: B(0, R) → B(0, R) được định nghĩa trong (3.8)-(3.9) là một ánh xạ co, thì sẽ tồn tại duy nhất một điểm cố định trong B(0, R) ⊂ C 1 [0, L] Điều này có nghĩa là nếu tồn tại một hằng số nhất định, thì điểm cố định sẽ được xác định trong không gian này.
0 < λ < 1 thỏa mãn kT u−T vk ≤λku−vk, kuk,kvk ≤R (3.18) Khi đó điểm bất động sẽ được xác định bằng sơ đồ lặp u k+1 = T u k (3.19)
Giả sử rằng tồn tại các hằng số dương λf, λg, λM sao cho
Định lý 3.3.1 khẳng định rằng, dưới các giả thiết của Định lý 3.2.3 và các điều kiện (3.20) - (3.22), nếu các tham số λf, λg, λM và m được chọn đủ nhỏ, thì bài toán (3.1) - (3.3) sẽ có một nghiệm dương duy nhất, chính là điểm bất động của toán tử T trong miền P ∩ B(0, R).
Chứng minh Từ Định lý 3.2.2, chúng ta biết rằng T là toán tử tác dụng từ
Để chứng minh T là toán tử có tính chất co, chúng ta cần dựa vào các giả thiết đã được nêu trong Định lý 3.2.3 cùng với các giả thiết (3.20)-(3.22).
Từ đó suy ra kT u−T vk ≤ L 3
Từ (3.20) và (3.21), ta thấy rằng s∈[0,L]max |f(s, u(s), u 0 (s))−f(s, v(s), v 0 (s))| ≤ λ f max
2 +λ M L 2 R 2 ku−vk. Kết hợp tất cả các bất đẳng thức trên, ta thu được kết quả kT u−T vk ≤
Như vậy, nếu λf, λg, λM và m đủ nhỏ để thỏa mãn
Toán tử T sẽ thỏa mãn điều kiện là một ánh xạ co Nếu điều kiện (3.23) được thỏa mãn, sơ đồ lặp u (k+1) = T(u (k)) sẽ hội tụ, và tốc độ hội tụ được xác định bởi công thức u (k+1) − u ∗.
Sơ đồ lặp tìm nghiệm số
Dạng 1 Chúng ta xét bài toán biên cấp 4 phi tuyến
(3.27) Để xây dựng sơ đồ, chúng ta đặt v = u (2) −M(
Khi đó bài toán được đưa về hai bài toán biên cấp 2:
Trên cơ sở của sơ đồ lặp tổng quát (3.24), chúng ta thực hiện thuật toán lặp như sau
Bước 2: Với mọi k = 0,1,2, giải liên tiếp 2 bài toán
Bước 3: k = k+ 1, quay về bước 2. Điều kiện dừng lặp là u (k+1) −u (k)
Phương pháp lặp đã được xác nhận hiệu quả qua Định lý 3.3.1, cho thấy rằng độ chính xác của nghiệm số phụ thuộc vào lược đồ sai phân được áp dụng cho các bài toán biên cấp 2.
Các bài toán (3.28) và (3.29) là bài toán giá trị biên cấp hai với điều kiện biên Dirichlet, có thể được giải bằng các lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 6 trong thư viện QH_2015.
Dựa trên thuật toán đã đề cập, chúng ta có thể mở rộng để giải quyết bài toán biên phi tuyến theo dạng tổng quát hơn, cụ thể là bài toán biên cấp 4 phi tuyến tổng quát.
Dễ thấy rằng bằng phép đổi biến ξ(x) =u(x)−(a0x 3 +a1x 2 +a2x+a3) (3.31)
Hàm ξ(x) sẽ là nghiệm của bài toán
Trong đó các hệ số a0, a1, a2, a3 là nghiệm của hệ
Bài toán (3.32) chính là dạng bài toán (3.27) nếu chúng ta sử dụng phép đổi biến x = y+a;L = b−a (3.34)
Như vậy, chúng ta cũng xây dưng được phương pháp lặp tượng tự đối với bài toán biên tổng quát.
Bước 2: Với mọi k = 0,1,2, giải liên tiếp 2 bài toán
Bước 3: k = k+ 1, quay về bước 2 Điều kiện dừng lặp là u (k+1) −u (k)
Phương pháp lặp đã được chứng minh hiệu quả qua Định lý 3.3.1, cho thấy độ chính xác của nghiệm số phụ thuộc vào lược đồ sai phân được áp dụng cho các bài toán biên cấp 2.
Các bài toán (3.35) và (3.36) là bài toán giá trị biên cấp hai với điều kiện biên Dirichlet, và chúng có thể được giải bằng các lược đồ sai phân với độ chính xác cấp 6 trong thư viện QH_2015.
Một số kết quả thực nghiệm
Để kiểm tra sự hội tụ và tốc độ hội tụ của các sơ đồ lặp, chúng ta áp dụng phương pháp sai phân để chuyển đổi các bài toán vi phân thành hệ phương trình sai phân Việc tính toán gần đúng tích phân xác định được thực hiện bằng công thức Parabol với độ chính xác O(h^4), trong đó h = (b−a)/n là bước lưới sai phân Để giải gần đúng các hệ sai phân, chúng ta sử dụng các hàm trong thư viện QH_2015 với độ chính xác cấp 4 Sai số trong tính toán được xác định bằng ε = u(k+1) − u(k).
Khi biết nghiệm chính xác, sai số bước lặp được tính bằng ε u (∗) −u (k), trong đó u (∗) là nghiệm đúng của bài toán Các kết quả thử nghiệm số được phân chia thành hai trường hợp: Trường hợp đầu tiên áp dụng cho bài toán (3.27) với điều kiện biên thuần nhất (thuật toán 1), và trường hợp thứ hai áp dụng cho bài toán biên (3.30) với các hệ điều kiện biên tổng quát (thuật toán 2).
3.3.3.1 Kết quả thực nghiệm đối với thuật toán 1
Bảng 3.1: Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) u d (x) = x 5 − x 4 − x 3 + x; M (x) = 1
Hình 3.1: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng
Bảng 3.2: Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi.m) u d (x) = sin(πx); M (x) = 1
Hình 3.2: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng
Trong bài viết, các hàm f(x, u, u 0 ), g(x), M0(x) đã được chọn phù hợp với các điều kiện của các định lý Kết quả thực nghiệm cho thấy sơ đồ lặp trong thuật toán 1 hội tụ với tốc độ nhanh Độ chính xác của phương pháp đạt yêu cầu tương đương với lý thuyết về phương pháp sai phân Những kết quả này đúng trong trường hợp bài toán thực tế khi chỉ biết dạng phương trình và điều kiện biên thuần nhất, như được trình bày trong Bảng 3.3.
Bảng 3.3: Trường hợp không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_moi_xx.m) f (x, u, u 0 ) = x + u − u 0 ; M (x) = 1
Hình 3.3: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng
3.3.3.2 Kết quả thực nghiệm đối với thuật toán 2
Bảng 3.4: Trường hợp biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tq.m) u d (x) = sin x + e −x ; M (x) = 1
Hình 3.4: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng
Kết quả thực nghiệm cho thấy sơ đồ lặp trong thuật toán 2 vẫn hội tụ với tốc độ nhanh Độ chính xác của phương pháp đạt O(h 4 ), phù hợp với lý thuyết về phương pháp sai phân.
Bảng 3.5: Trường hợp không biết trước nghiệm đúng (Tofuma_tp_xx.m)
Hình 3.5: Đồ thị sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm gần đúng
Luận văn tập trung vào nghiên cứu các phương pháp xây dựng sơ đồ giải số cho các phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân Các kết quả chính của nghiên cứu này bao gồm những phương pháp hiệu quả và ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến vi phân.
Bài viết này trình bày các kiến thức cơ bản về không gian metric, bao gồm nguyên lý ánh xạ co và phương pháp sai phân Ngoài ra, nó cũng đề cập đến các phương pháp xấp xỉ đạo hàm và thuật toán truy đuổi 3 đường chéo, giúp người đọc nắm vững các khái niệm quan trọng trong lĩnh vực toán học và ứng dụng của chúng.
Xây dựng sơ đồ tính toán để tìm nghiệm số cho phương trình vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân cấp 1 sử dụng phương pháp Runge-Kutta có độ chính xác cấp 4 là một kỹ thuật quan trọng trong giải tích số Phương pháp này cho phép đạt được độ chính xác cao trong việc giải các bài toán vi phân phức tạp, từ đó ứng dụng hiệu quả trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật Việc áp dụng sơ đồ Runge-Kutta không chỉ giúp đơn giản hóa quá trình tính toán mà còn nâng cao tính chính xác của nghiệm số thu được.
Xây dựng thuật toán giải bài toán biên phi tuyến cấp 2 với độ chính xác cao bằng cách áp dụng thuật toán truy đuổi 3 đường chéo, kết hợp với các công thức sai phân đạo hàm bậc cao.
+ Xây dựng thư viện QH_2015 gồm tất cả các hàm mô tả các lược đồ tính toán trên ngôn ngữ Matlab.
Nghiên cứu lý thuyết xây dựng sơ đồ lặp cho bài toán biên cấp 4 tổng quát mô tả dao động của dầm đàn hồi với điều kiện biên đặc biệt Thực hiện tính toán thử nghiệm cho sơ đồ lặp trong các trường hợp cụ thể Kết quả đạt được khẳng định những ưu điểm của sơ đồ tính toán số và sơ đồ lặp cho bài toán biên cấp 4.
Hướng phát triển của luận văn trong tương lai sẽ tập trung vào việc mở rộng các sơ đồ tính toán và sơ đồ lặp, nhằm giải quyết hiệu quả hơn các bài toán phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân phức tạp.
[1] Phạm Kỳ Anh (1990),Giải tích số, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật.
[2] Tạ Văn Đĩnh (2005), Phương pháp sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật.
Vũ Vinh Quang, Trương Hà Hải, Nguyễn Thanh Hường và Ngô Thị Kim Quy (9/2015) đã trình bày kết quả xây dựng thư viện số QH2015 giải phương trình vi phân tại Hội thảo Quốc gia “Một số vấn đề chọn lọc của CNTT và TT” diễn ra tại Đại học Nguyễn Tất Thành.
[4] T.F Ma, A.L.M Martinez (2010), Positive solution for a fourth order equation with nonlinear boundary conditions, Mathematics and Comput- ers in Simulation 80(11), pp.2177-2184.
[5] T.F Ma (2000), Existence Results for a Model of Nonlinear Beam on Elastic Bearings, Applied Mathematics Letters 13(5), pp 11-15.
[6] T.F Ma (2003), Existence Results and numerical solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions, Applied Numerical Mathe- matics 47(2), pp 189-196.
[7] T.F Ma, J.D Silva (2004), Iterative solutions for a beam equation with nonlinear boundary conditions of third order, Applied Mathematics and computation 159, pp.11-18.
[8] Samarskij, A.A., Nikolaev E.S (1989), Numerical Methods for Grid Equa- tions,Vol 2, Birkhauser, Basel.
[9] Marchuk, G.I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York.
[10] E Haier, S.P Norsett, G Wanner (2008), Runge-Kutta and Extrapola- tion Methods, Solving Ordinary Differential Equations Nonstiff Problem,Springer.
Phần phụ lục Một số chương trình nguồn sử dụng trong luận văn
1 Chương trình giải số bài toán biên cấp 2 với độ chính xác cấp 4 function qh40 = qh40(e,g,f,ga,gb,n) h=(g-e)/n; for i=3:n-1
F(1)=F(1)-ga;F(n-1)=F(n-1)-gb; for i=1:n-1 c(i)=-2;a(i)=1;b(i)=1; end; u4=truyduoi(a,b,c,F,n-1); for i=1:n-1 qh40(i+1)=u4(i); end; qh40(1)=ga;qh40(n+1)=gb; function u=truyduoi(a,b,c,f,n) alpha(1)=-b(1)/c(1);beta(1)=f(1)/c(1); for k=2:n-1; alpha(k)=-b(k)/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); beta(k)=(f(k)-a(k)*beta(k-1))/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); end; u(n)=(f(n)-a(n)*beta(n-1))/(a(n)*alpha(n-1)+c(n)); for k=(n-1):-1:1; u(k)=alpha(k)*u(k+1)+beta(k); end;
2 Chương trình mô tả thuật toán 1 function TF=Tofuma_moi(a,b,n,k,saiso); clc;h=(b-a)/n; for i=0:n; x=a+i*h;ud(i+1)=u(x); end; uu=zeros(1,n+1);dh=zeros(1,n+1);dh2=zeros(1,n+1); ss;count=0; while and(ss>saiso,countsaiso,count
