ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ HẢI PHƯỢNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2017 Tai ngay!!! Ban co the x[.]
Không gian Hilbert
Không gian Hilbert là một khái niệm quan trọng trong toán học, với nhiều tính chất tương tự như không gian hữu hạn chiều Định nghĩa không gian Hilbert được thiết lập qua một tích vô hướng h., i, là ánh xạ từ H × H đến R, thỏa mãn các điều kiện: tính đối xứng, tính tuyến tính, và tính không âm Cụ thể, với mọi u, v, w thuộc U, ta có hu, vi = hv, ui, hu+v, wi = hu, vi + hv, wi, và hλu, vi = λhu, vi Hơn nữa, tích vô hướng hu, ui luôn không âm và bằng 0 chỉ khi u = 0.
H cùng với tích vô hướng này được gọi là không gian tiền Hilbert.
Nếu định nghĩa ||u|| = phu cho mọi u ∈ H, thì ||.|| trở thành một chuẩn trên H, tạo thành không gian định chuẩn (H,||.||) Hơn nữa, nếu định nghĩa ρ(u, v) = q hu−v, u−vi, thì ρ là một metric, dẫn đến (H, ρ) là không gian metric Nếu (X, ρ) là không gian metric đầy đủ, thì (H,h., i) được gọi là không gian Hilbert.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu H để chỉ một không gian Hilbert thực Rõ ràng, không gian Euclide n-chiều có thể được coi là một trường hợp đặc biệt của không gian Hilbert.
Hai vectơ u và v trong không gian Hilbert được gọi là trực giao nếu hu, vi = 0, ký hiệu là u ⊥ v Từ định nghĩa này, ta có một số tính chất quan trọng: i) Nếu u ⊥ v thì v ⊥ u, và u ⊥ u chỉ khi u = 0; vectơ 0 trực giao với mọi vectơ u ii) Nếu u ⊥ (v1, v2, , vn) thì u ⊥ (α1v1 + α2v2 + + αnvn) iii) Nếu u ⊥ yn, vn → v (∀n→ ∞) thì u ⊥ v iv) Nếu tập M trù mật trong H thì M ⊥ chỉ có một phần tử duy nhất là 0, tức là u ⊥ M ⇒ u = 0 v) Nếu u ⊥ v thì ||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2 (định lý Pythagore) vi) Nếu {un} là một hệ trực giao, tức là các vectơ trực giao từng đôi một, thì chuỗi
(u n ) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi
Trong không gian Hilbert H, bất kỳ phần tử u nào đều có thể được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng u = v + w, trong đó v thuộc không gian con đóng M và w thuộc phần bù M ⊥ Phần tử v là phần tử của M gần u nhất, thỏa mãn điều kiện ||u−v|| ≤ ||u−x|| với mọi x ∈ M Ngoài ra, một toán tử tuyến tính bị chặn A : X → Y được gọi là toán tử compact nếu nó biến tập bị chặn thành tập compact tương đối trong các không gian định chuẩn X và Y.
Ví dụ 1.1 X và Y là các không gian hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính A: X → Y đều là toán tử compact.
Toán tử compact là một lớp quan trọng của toán tử bị chặn.
Mệnh đề 1.1 ([3]) Mọi toán tử compact đều bị chặn.
Mệnh đề sau nói về các phép tính đại số của toán tử compact.
Mệnh đề 1.2 ([3]) Cho A, B là hai toán tử compact Với A, B :H →H.
Ta có các phép tính đại số về toán tử compact như sau: i) (A+B)(u) =A(u) + B(u); ii) (αA)(u) =αA(u); iii) (A×B)(u) =A(u)×B(u).
Trong không gian Hilbert H, nếu A là toán tử compact và B là toán tử bị chặn, thì tích AB và BA đều là các toán tử compact Định nghĩa 1.3 nêu rõ rằng một toán tử được coi là hữu hạn chiều khi miền giá trị của nó là hữu hạn.
Trong không gian hữu hạn chiều hai khái niệm này trùng với nhau Cụ thể ta có:
Mệnh đề 1.3 khẳng định rằng toán tử bị chặn và hữu hạn chiều là compact Định lý 1.2 chỉ ra rằng giới hạn của dãy hội tụ đều các toán tử compact cũng là compact Đặc biệt, nếu E1, E2, , En là các toán tử compact trong không gian Hilbert H và ||En − E|| → 0 khi n → ∞ với mọi toán tử, thì điều này chứng minh tính đóng của dãy toán tử compact trong không gian Hilbert.
Hệ quả 1.1 Giới hạn của dãy hội tụ các toán tử hữu hạn chiều là toán tử compact.
Một toán tử E trên không gian Hilbert H được coi là compact nếu và chỉ nếu nó biến đổi một dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh Điều này được thể hiện qua Định lý 1.3, nhấn mạnh mối quan hệ giữa hai loại hội tụ trong bối cảnh toán tử compact.
E là compact nếu và chỉ nếu u n → u thì Eu n → Eu với bất kì u n , u ∈ H.
Bất đẳng thức biến phân
Bài toán bất đẳng thức biến phân là một khái niệm quan trọng trong toán học, được định nghĩa rõ ràng nhằm giải quyết các vấn đề liên quan đến sự tối ưu hóa Tiếp theo, bài toán bù cũng được trình bày, cùng với một số bài toán liên quan khác để làm rõ hơn về mối liên hệ và ứng dụng của chúng trong lĩnh vực này.
Phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert (H,h., i) và cho
T :C →H là một ánh xạ Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân được định nghĩa bởi C và T, kí hiệu là V I(C, T), được phát biểu dưới dạng:
Tìm vectơ x ∗ ∈ C sao cho hT(x ∗ ), x−x ∗ i ≥ 0,∀x ∈ C (1.2)
Tập nghiệm của bài toán được kí hiệu là Sol(C, T).
Dưới đây là một giả thiết trong đó C là tập lồi, đóng và ánh xạ T là liên tục Một ví dụ điển hình cho hai bài toán bất đẳng thức biến phân là việc giải một phương trình phi tuyến cổ điển, tương ứng với trường hợp H = C Trong tình huống này, điều kiện (1.2) có thể được viết lại thành T(x ∗ ) = 0 Thông thường, T được gọi là ánh xạ giá Biểu diễn hình học của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T) cho thấy x ∗ thuộc C là một nghiệm của bài toán này.
V I(C, T) xảy ra khi và chỉ khi vectơ T(x ∗) và vectơ y − x ∗ tạo thành một góc nhọn hoặc vuông với mọi y thuộc tập C Điều này có thể được diễn đạt dưới dạng nón pháp tuyến ngoài tại điểm x ∗ của tập C.
Vectơ z ∈ N C (x ∗) được định nghĩa là vectơ pháp tuyến ngoài tại điểm x ∗ ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T) khẳng định rằng x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán này nếu và chỉ nếu T(x ∗) là một vectơ pháp tuyến ngoài tại x ∗ của C.
Khi C là một nón, có nghĩa là nếu x thuộc C thì mọi số vô hướng τ lớn hơn hoặc bằng 0 nhân với x cũng thuộc C Một số trường hợp đặc biệt của bài toán này được gọi là bài toán bù Bài toán bù được xác định bởi một nón lồi C và một ánh xạ cụ thể.
T :C →H là một bài toán tìm một vectơ x ∗ ∈ H với: x ∗ ∈ C, T(x ∗ ) ∈ C ∗ ,hT(x ∗ ), x ∗ i = 0, (1.3) với
C ∗ := {d ∈ H : hd, xi ≥ 0, ∀x ∈ C}, là một nón đối ngẫu của C Bài toán (1.3) được viết tắt là KP(C, T).
Khi x ∈ C và T(x) ∈ C ∗ thì x được gọi là vectơ chấp nhận được của
KP(C, T) Nếu bài toán KP(C, T) có một vectơ chấp nhận được thì nó được gọi là có tính chấp nhận được.
Nếu H = R n , T là một ánh xạ affin, tức là, T(x) = M x +q với M ∈
R n×n , q ∈ R n , và C = R n + (trong trường hợp này C ∗ = R n + ), KP(C, T) trở thành bài toán bù tuyến tính, kí hiệu là LKP(M, q) : x ∗ ≥ 0, M x ∗ + q ≥0,hM x ∗ +q, x ∗ i = 0 (1.4)
Khi đó bất đẳng thức trong R n + được xem là các thành phần không âm. Tập nghiệm của bài toán này được kí hiệu là Sol(M, q).
Mối liên hệ mật thiết giữa V I(C, T) và KP(C, T) với là một nón được mô tả dưới đây.
Nếu C là một nón lồi, thì điểm x ∗ được coi là một nghiệm của bài toán bù KP(C, T) nếu và chỉ nếu x ∗ cũng là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T).
Chứng minh Thật vậy, trước giả thiết x ∗ là nghiệm của bài toán bù
KP(C, T), thì x ∗ ∈ R n + , T(x ∗ ) ∈ R n + và hT(x ∗ ), x ∗ i = 0 Khi đó hT(x ∗ ), x−x ∗ i = hT(x ∗ ), xi − hT(x ∗ ), x ∗ i
Vì vậy x ∗ là nghiệm đúng của V I(C, T).
Ngược lại, giả sử x ∗ ∈ R n + là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T) Đặt e i = (0, ,0,1,0, ,0), y = x ∗ +e i , trong đó 1 là vị trí thứ i Khi đó, y ∈ R n + và
Từ bất đẳng thức hT(x ∗ ), x−x ∗ i ≤ 0,∀x ∈ R n + và x = 0 ∈ R n + , suy ra hT(x ∗ ), x ∗ i ≤ 0.
Mặt khác, theo giả sử x ∗ ∈ R n + và theo (1.5), ta có hT(x ∗ ), x ∗ i ≥ 0 Do đó: hT(x ∗ ), x ∗ i = 0.
Vậy x ∗ nghiệm đúng của KP(C, T).
Toán tử đơn điệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
Bài toán bất đẳng thức biến phân liên quan đến ánh xạ T và tập C, yêu cầu điều kiện nhất định cho sự tồn tại nghiệm Để phân tích vấn đề này, cần hiểu rõ các khái niệm về tính đơn điệu của ánh xạ Định nghĩa 1.5 nêu rõ rằng C là tập con lồi, không rỗng trong không gian Hilbert H và ánh xạ T có dạng C ⊂ H → H.
1) Ánh xạ T được gọi là đơn điệu mạnh trên C nếu ∃γ > 0 sao cho hT(x)−T(y), x−yi ≥ γ||x−y|| 2 , ∀x, y ∈ C;
2) giả đơn điệu mạnh trên C nếu ∃γ > 0 sao cho hT(x), y−xi ≥ 0⇒ hT(y), y−xi ≥ γ||x−y|| 2 , ∀x, y ∈ C;
3) đơn điệu chặt trên C nếu hT(x)−T(y), x−yi > 0, ∀x, y ∈ C, x 6= y;
4) đơn điệu trên C nếu hT(x)−T(y), x −yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C;
5) giả đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C hT(y), x−yi ≥ 0 ⇒ hT(x), x−yi ≥ 0;
6) tựa đơn điệu trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C hT(y), x −yi > 0⇒ hT(x), x−yi ≥ 0;
7) tựa đơn điệu hiển trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C hT(y), x−yi > 0 ⇒ hT(w), x−yi ≥ 0, ∀w ∈ x+y
Mệnh đề dưới đây cho ta biết tập nghiệm của V I(C, T) là khác rỗng nếu
T là giả đơn điệu mạnh và cấu trúc của Sol(C, T) là lồi nếu T liên tục và giả đơn điệu.
Mệnh đề 1.5 chỉ ra rằng với tập lồi, đóng C ⊂ H và ánh xạ liên tục T : C → H, nếu T là giả đơn điệu mạnh, thì V I(C, T) sẽ có ít nhất một nghiệm Ngoài ra, nếu T chỉ là giả đơn điệu, thì tập nghiệm Sol(C, T) sẽ có tính lồi.
Chứng minh NếuT là giả đơn điệu mạnh với mođunγ > 0và x ∗ , y ∗ ∈ Sol(C, T) thì hT(y ∗ ), x ∗ −y ∗ i ≥ 0 và hT(y ∗ ), y ∗ −x ∗ i ≥ γ||x ∗ −y ∗ || 2
Thêm vào bất đẳng thức này 0 ≥ γ||x ∗ −y ∗ || 2 suy ra x ∗ = y ∗ và do đó chứng minh được khẳng định i).
Cho T là liên tục và giả đơn điệu Để có được ii), ta phải chứng minh rằng
Nếu x ∗ thuộc Sol(C, T), thì hT(x ∗ , x−x ∗ )i ≥ 0 với mọi x ∈ C, nhờ vào tính giả đơn điệu của T Điều này dẫn đến việc x ∗ nằm trong vế phải của đẳng thức trên Hơn nữa, nếu x ∗ thuộc tập thứ hai, thì với mọi x ∈ C, ta có τ x ∗ + (1−τ)x ∈ C cho mọi τ ∈ (0,1), từ đó suy ra hT(τ x ∗ + (1−τ)x), x−x ∗ i ≥ 0 với mọi τ ∈ (0; 1).
Với τ → 1 suy ra hT(x ∗ ), x−x ∗ i ≥ 0 Như vậy x ∗ ∈ Sol(C, T) Với mỗi x ∈ C, tập {x ∗ ∈ C : hT(x), x−x ∗ i ≥ 0} là lồi và từ giao của các tập lồi là lồi, kéo theo là Sol(C, T) cũng là lồi.
Trong phần chứng minh của mệnh đề 1.5ii), nếu hàm F là liên tục và giả đơn điệu trên một tập C lồi và đóng, thì điểm x ∗ thuộc tập nghiệm Sol(C, T) khi và chỉ khi điều kiện hT(x), x−x ∗ i ≥ 0 được thỏa mãn cho mọi x trong C.
Kết quả trên được gọi là bổ đề Minty cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Đây là một tổng quát của bổ đề Minty cổ điển.
Toán tử chiếu và các tính chất cơ bản
Xét phép toán tử chiếu được đưa ra ở Định nghĩa 1.6 với giả thiết rằng
Tập C ⊂ H là một tập lồi, đóng và không rỗng Bài viết này sẽ trình bày một số tính chất cơ bản của toán tử chiếu P C : H → C Theo định lý 1.4, C được xác định là tập lồi và đóng trong không gian H.
1) P C (.) là ánh xạ không giãn, tức là với mọi x, y ∈ H,
2) Với y ∈ H, z ∈ C hai tính chất sau tương đương a) z = PC(y). b) y −z ∈ N C (z).
3) Lấy bất kỳ x ∈ H và bất kỳ y ∈ C,
Giả sử y ∈ C, thì siêu phẳng tựa của C tại P C (y) được xác định bởi điều kiện hP C (y)−y, x−P C (y)i = 0, tách biệt y ra khỏi C với hP C (y)−y, x−P C (y)i ≥ 0 cho mọi x ∈ C và hP C (y)−y, y−P C (y)i < 0 Nếu C là tập lồi và x ∗ ∈ C, thì siêu phẳng ht, x−x ∗ i = 0 (đi qua x ∗) sẽ thỏa mãn ht, x−x ∗ i ≥ 0 cho mọi x ∈ C, được gọi là siêu phẳng tựa.
Trước hết ta đi chứng minh Khẳng định 2)
Trước tiên ta chứng minh a) ⇒ b).
Giả sử z = P C (y) ta cần chứng minh y −z ∈ N C (z). Đúng vậy, lấy x ∈ C, λ ∈ (0,1). Đặt x λ = λx+ (1−λ)z.
Ta có x, y ∈ C và tập C lồi nên xλ ∈ C. mà z = P C (y) nên suy ra
Khi đó, ta có λ 2 ||z −x|| 2 + 2λhz −x, y−zi ≥ 0.
Do λ > 0 nên λ 2 ||z−x|| 2 + 2λhz−x, y−zi ≥ 0 đúng với mọi x ∈ C và λ ∈ (0,1).
Giả sử y −z ∈ N C (z), ta cần chứng minh z = P C (y).
Vì y−z ∈ NC(z),∀x ∈ C nên ta có
Theo Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có
Do đó a) và b) là tương đương như nhau.
Vậy Khẳng định 2) được chứng minh.
Từ (1.10) ta có hx−P C (x), y−P C (x)i ≤ 0, vì vậy
||(y −P C (x))|| 2 ≤ ||x−y|| 2 − ||(x−P C (x))|| 2 Vậy khẳng định 3) được chứng minh.
Vì y−z ∈ N C (z) nên hz−y, x−zi ≥ 0,∀x ∈ C, hay hP C (y)−y, x−P C (y)i ≥ 0,∀x ∈ C.
Do đó hz−y, xi = hz−y, yi là một siêu phẳng tựa C tại z Siêu phẳng này tách hẳn khỏi y nên ta có hz −y, y −zi = −||z −y|| 2 < 0. hay hP C (y)−y, y−PC(y) < 0.
Với x, y ∈ H được cho một cách tùy ý Từ Định lí 1.5, ta có
Cộng các bất đẳng thức trên với nhau và sắp xếp số hạng, ta thu được hP C (x)−P C (y), x −yi ≥ ||P C (x)−P C (y)|| 2
Từ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz,
Vậy khẳng định 1) là đúng.
Tiếp theo, ta có hình chiếu của một điểm lên siêu hộp, hình cầu, không gian con của R n được biểu diễn bởi một số công thức như sau:
Ví dụ 1.2 Trong R n , cho siêu hộp C có dạng
C = {x = (x1, x2, , xn) E ∈ R n | ai ≤ xi ≤bi, i = 1,2, , n}, trong đó a = (a 1 , a 2 , , a n ) E , b = (b 1 , b 2 , , b n ) E ∈ R n Tìm hình chiếu của y = (y 1 , y 2 , , y n ) lên C.
Lời giải Đặt c = (c1, c2, , cn) trong đó c i
a i , khi y i < a i , y i , khi y i ∈ [a i , b i ], bi, khi yi > bi.
Chứng minh c là hình chiếu của y trên C.
Thật vậy, với mọi x = (x 1 , x 2 , , x n ) E ∈ C, ta có:
Theo cách xác định của c i ta có
Vậy c là hình chiếu của y trên C.
Ví dụ 1.3 Giả sử c là hình cầu tâm I = (a 1 , a 2 , , a n ) ∈ R n và bán kính
), và b = (b 1 , b 2 , , b n ) ∈ R n Tìm hình chiếu của b trên K.
Lời giải Xét hai trường hợp:
Trường hợp 2: Với b 6= K thì hình chiếu của b trên K là giao điểm của đường thẳng nối b và tâm I của K với hình cầu
Phương trình tham số của đường thẳng này như sau: δ = {x ∈ R n | x i = a i + t(b i −a i ),∀i = 1,2, , n; t ≥ 0}.
Thay x i = a i +t(b i −a i ) vào phương trình của S ta được t 2 n
Vậy hình chiếu PK(b) của b trên K có tọa độ là xi = ai + (bi −ai) R v u u t n
Ví dụ 1.4 Cho K ⊂ H là một không gian con k chiều với một cơ sở
X i=1 v j η j ∈ K, trong đó y j là hệ số thực sao cho z = x−y thỏa mãn hz, η j i = 0,∀j = 1,2, , k Chứng minh y là hình chiếu của x lên K Xác định biểu thức tọa độ của y.
Lời giải Thật vậy, vìz trực giao nên với mọi vectơ trong cơ sở của K ta có
= hx−y, x−yi +hy −t, y −ti + 2hz, y −ti
Khi đó, y là hình chiếu của x trên K Xác định biểu thức tọa độ của y với mọi i = 1,2, , k ta có hz, η j i = 0
Với 1 ≤i, j ≤ k ta đặt a ij = hη i , η j i, b i = hx, η j i.
Vậy ta thu được hệ tuyến tính k phương trình có k ẩn
Mặt khác, theo định nghĩa A là ma trận xác định dương nên detA 6= 0 hay hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất y E = A −1 b.
Nên hình chiếu của x lên K là y k
Nếu B được chọn làm cơ sở trực chuẩn trong K, tức là hη j , η j i (0, khi i 6= j
1, khi i = j Thì ma trận A là ma trận đơn vị Do đó, ta có yjbi = hx, η j i, i = 1,2, , k.
Phép chiếu metric và sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá khái niệm về phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao Tiếp theo, bài viết sẽ tóm tắt một số điều kiện cần thiết để đảm bảo sự tồn tại nghiệm cho bài toán V I(C, T).
Mệnh đề 1.6 ([8], Chương 1, Bổ đề 2.1) Cho C ⊂H là tập lồi, đóng và khác rỗng Khi đó, với mỗi x ∈ H có duy nhất y ∈ C sao cho
Phép chiếu metric, hay còn gọi là phép chiếu trực giao, của một điểm x ∈ H trên tập hợp C dưới chuẩn Euclide ||.|| được ký hiệu là P C (x) Định nghĩa này được xác định khi tồn tại duy nhất một vectơ y thỏa mãn điều kiện ||x−y|| = inf z∈C||x−z||.
Trong đó: arg min{||x−y|| : y ∈ C} là tập hợp tất cả các điểm cực tiểu của || x - y || trên tập C.
Chú ý rằng P C (x) = x với mọi x ∈ C và
||x−PC(x)|| ≤ ||x−y||, ∀y ∈ C. Định lý 1.5 ([8], Chương 1, Định lí 2.3) Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng. Khi đó y = P C (x) nếu và chỉ nếu y ∈ C sao cho hx−y, z −yi ≤ 0, ∀z ∈ C (1.10)
Quay lại với V I(C, T), từ Định lí 1.5, thông qua phép chiếu metric ta có thể biểu thị được nghiệm của bất đẳng thức biến phân.
Hệ quả 1.2 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng và T : C → H Thì x ∗ nghiệm đúng của V I(C, T) khi và chỉ khi x ∗ = P C (x ∗ −λT(x ∗ )), với mỗi λ > 0.
Chứng minh Giả thiết rằng λ >0 là một vô hướng Từ Định lí 1.5, x ∗ = P C (x ∗ −λT(x ∗ )) khi và chỉ khi x ∗ ∈ C và hx ∗ −λT(x ∗ )−x ∗ , x−x ∗ i ≤ 0, ∀x ∈ C.
Có nghĩa là tương đương với x ∗ ∈ C và hT(x ∗ ), x−x ∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C, hay x ∗ ∈ Sol(C, T).
Trong bài toán bất đẳng thức V I(C, T), với mỗi x ∈ C và λ > 0 xét ánh xạ T C nat : C →C được xác đinh bởi
Ánh xạ tự nhiên T C nat được định nghĩa bởi công thức T C nat (x) = x − PC(x − λT(x)) Đây là ánh xạ tự nhiên của T trên C Mối liên hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T) và ánh xạ tự nhiên T C nat sẽ được trình bày trong kết quả dưới đây.
Mệnh đề 1.7 Một điểm x ∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức
V I(C, T) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của ánh xạ T C nat , hay 0 T C nat (x ∗ ).
Chứng minh Từ định nghĩa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(C, T) và λ >0, ta có hλT(x ∗ ), y−x ∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C, hay hx ∗ −[x ∗ −λT(x ∗ )], y−x ∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C.
Trong bài toán bất đẳng thức biến phân VI(C, T), nếu x ∗ là không điểm của ánh xạ giá tự nhiên T C nat, thì bất đẳng thức Mà hx−P C (x), y−P C (xi ≤ 0, ∀y ∈ C, x ∈ H tương đương với x ∗ = PC(x ∗ −λT(x ∗ )) Đa số các kết quả chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này dựa vào Định lý điểm bất động Browder Cụ thể, Định lý 1.6 khẳng định rằng nếu C là một tập con lồi, compact và khác rỗng của không gian Hilbert thực H, cùng với một ánh xạ liên tục T : C → H, thì bài toán bất đẳng thức biến phân VI(C, T) sẽ có nghiệm.
Giả thiết rằng với mỗi x ∈ H, phép chiếu P C (x) tồn tại và duy nhất, được gọi là ánh xạ không dãn trên C Do đó, với mỗi λ > 0, phép chiếu PC(I −λT) : C → C là một ánh xạ liên tục Vì C là một tập lồi, compact và không rỗng, cùng với tính liên tục của P C (I −λT), theo Mệnh đề 1.4 và Hệ quả 1.2, tồn tại duy nhất một điểm x ∗ ∈ C của ánh xạ giá tự nhiên.
Với x = x ∗ −λT(x ∗ ), ta có hy −P C (x ∗ −λT(x ∗ )), x ∗ −λT(x ∗ )−P C (x ∗ −λT(x ∗ ))i ≤ 0,∀y ∈ C. Kết hợp điều này với P C (I −λT)(x ∗ ) =x ∗ , suy ra hy −x ∗ , x ∗ −λT(x ∗ )−x ∗ i ≤ 0.
Lại có λ > 0, ta có hT(x ∗ ), y −x ∗ i ≥ 0,∀ ∈ C.
Vậy, x ∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T).
Sol(C, T) là ký hiệu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(C, T) là một bài toán bất đẳng thức biến phân mà việc giải quyết nó dựa trên các giả thiết đơn điệu của hàm giá T Giải bài toán này gần giống với việc giải bài toán DV I(C, T) tương ứng.
Bài toán đối ngẫu của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T) có tập nghiệm được kí hiệu là Sol(C, T) ∗ Tính chất của tập nghiệm Sol(C, T) và mối quan hệ với Sol(C, T) ∗ được thể hiện qua Định lý 1.7 Theo định lý này, nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H cùng với ánh xạ liên tục T: C → H, thì tập nghiệm Sol(C, T) sẽ là tập con lồi và đóng Hơn nữa, mối quan hệ giữa các tập nghiệm được xác định bởi Sol(C, T) ⊆ Sol(C, T) ∗ và nếu C là ánh xạ giả đơn điệu thì có thêm điều kiện Sol(C, T) ∗ ⊆ Sol(C, T).
Định lý 1.8 khẳng định rằng nếu C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, và T là một ánh xạ liên tục từ C đến H, thì bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T) sẽ có nghiệm nếu và chỉ nếu tồn tại một R > 0 sao cho bài toán V I(C ∩ B(0, R), T) có một nghiệm x R với điều kiện ||x R || < R Tuy nhiên, điều kiện bao hàm thức iii) trong định lý này có thể không xảy ra nếu ánh xạ T là tựa đơn điệu.
Chứng minh Giả sử bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T) có một nghiệm x ∗ ∈ C Chọn R thỏa mãn R >||x ∗ || Khi đó hT(x ∗ ), y −x ∗ i ≥ 0,∀ ∈ C.
Do đó, bài toán V I(C ∩ B(0, R), T) có nghiệm x ∗
Mặt khác, giả sử x R là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân
V I(C ∩ B(0, R), T) thỏa mãn ||x R || < R Khi đó, với mỗi y ∈ C, tồn tại ε ≥ 0 đủ nhỏ sao cho z = x R + ε(y − x R ) ∈ C ∩ B(0, R) Theo đó định nghĩa tồn tại nghiệm x R của bài toán V I(C∩B(0, R), T) ta có x R ∈ C và
0 ≤ hT(xR), z −xRi = εhT(xR), y−xRi,∀y ∈ C.
Vậy x R là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T).
Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với bất đẳng thức biến phân 24 1.7 Phương pháp gradient kéo dài với bất đẳng thức biến phân 26
Một trong những ý tưởng cơ bản trong việc giải bất đẳng thức biến phân là thay thế bài toán ban đầu bằng một chuỗi các bài toán dễ hơn Phương pháp hiệu chỉnh TiKhonov (TRM) đã được phát triển như một trong những cách thể hiện linh hoạt nhất cho sáng kiến này.
Phương pháp hiệu chỉnh TiKhonov được áp dụng cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu, dựa trên một bài toán đơn điệu thiếu tính ổn định tương tự như bài toán đơn điệu mạnh Lịch sử đã mở rộng nghiên cứu này bằng cách xem xét bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu, dẫn đến những hiểu biết sâu sắc hơn về bản chất của bất đẳng thức biến phân đơn điệu.
Trong không gian Hilbert thực H, bài toán V I(C, T) được giải thông qua chuỗi các vấn đề V I(C, T ε k ), với T ε = T + εI và {ε k } là dãy số thực dương hội tụ tới 0 Để tìm nghiệm x k ∈ Sol(C, T ε k ), ta tính giới hạn lim k→0 x k, từ đó thu được vectơ là nghiệm của V I(C, T) khi giới hạn tồn tại Việc tính toán sẽ dừng lại khi ||x k − x k−1 || ≤ θ, với θ > 0 là hằng số Theo Định lý 1.9, nếu T :C →H là ánh xạ giả đơn điệu và liên tục trên C, và Sol(C, T) không rỗng, thì x¯ là chuẩn nhỏ nhất trong tập hợp nghiệm, dẫn đến các khẳng định: (i) với mọi ε > 0, nếu ánh xạ T ε là giả đơn điệu thì Sol(C, T ε ) không rỗng; (ii) tập Sol(C, T ε ), ε > 0 là bị chặn đều.
Trong đó, B(u, r) là hình cầu đóng tâm u, bán kính r. iii) Với mọi dãy con hội tụ của {x(ε)} đều tiến đến x.¯ Trong đó, x(ε) là một nghiệm của V I(C, T ε ).
Trong trường hợp H = R n, định lý 1.10 xác định rằng nếu C ⊂ R n là tập lồi, đóng và khác rỗng, cùng với ánh xạ liên tục T: C → R n là giả đơn điệu, thì bài toán V I(C, T) có nghiệm sẽ dẫn đến ba kết luận quan trọng Thứ nhất, tập hợp Sol(C, T ε) sẽ khác rỗng và có tính compact cho mọi ε > 0 Thứ hai, dãy {x(ε)} thuộc Sol(C, T ε) sẽ hội tụ tới chuẩn nhỏ nhất của Sol(C, T) khi ε tiến đến 0 Cuối cùng, đường kính của tập Sol(C, T ε) sẽ tiến tới 0 khi ε giảm dần, với đường kính được định nghĩa là sup{||x − y|| : x, y ∈ Ω}.
Trong đó, ε giảm dần tới 0
1.7 Phương pháp gradient kéo dài với bất đẳng thức biến phân
Phương pháp gradient kéo dài (EGM) là một kỹ thuật giải cho V I(C, T) thông qua việc thực hiện hai phép chiếu trong mỗi lần lặp Tên gọi của phương pháp này xuất phát từ việc mở rộng đánh giá và phép chiếu cho từng vòng lặp Một trong những ưu điểm nổi bật của EGM là khả năng áp dụng hiệu quả bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu cổ điển Để đảm bảo tính hiệu quả, ánh xạ T cần phải liên tục Lipshitz, với một hằng số Lipshitz L được yêu cầu Ánh xạ T: C → H được định nghĩa là liên tục Lipshitz nếu tồn tại một điều kiện nhất định.
Bước 1: Nếu x k = PC(x k −αT(x k )), dừng lại.
Cho k+ 1 → k và quay lại Bước 1.
Cho H là không gian Hilbert Dãy {x k } trong H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x trong H nếu với mọi y ∈ H, ta có: k→∞lim x k , y = hx, yi.
Trong không gian Hilbert, sự hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh Định lý 1.11 chỉ ra rằng nếu C là tập lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert H, với ánh xạ đơn điệu T : C → H là L− liên tục Lipshitz, và Sol(C, T) khác rỗng, thì tồn tại một điểm x¯ ∈ Sol(C, T) sao cho dãy {x k } hội tụ yếu tới x¯ Tương tự, Định lý 1.12 khẳng định rằng nếu C ∈ R n là tập lồi, đóng và khác rỗng, với ánh xạ giả đơn điệu T : C → R n là L− liên tục Lipshitz, và Sol(C, T) khác rỗng, thì cũng tồn tại một điểm x¯ ∈ Sol(C, T) sao cho dãy {x k } hội tụ tới x¯.
Xét bài toán V I(C, T) theo Định nghĩa 1.3, với C là tập con lồi, đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H T thỏa mãn điều kiện Lipshitz (1.11) với hằng số L > 0 Phương pháp Gradient kéo dài cải biên được trình bày thông qua thuật toán dưới đây.
Thay k bởi k + 1 và quay lại Bước 1.
Chương 1 cung cấp kiến thức cơ sở cần thiết cho các chương tiếp theo của luận văn, bao gồm việc nhắc lại bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan Nội dung chương cũng đề cập đến không gian Hilbert, toán tử chiếu và sự tồn tại nghiệm Bên cạnh đó, hai phương pháp giải bất đẳng thức biến phân được trình bày là phương pháp hiệu chỉnh TiKhonov và phương pháp Gradient kéo dài.
Một số phương pháp chiếu cải biên
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các phương pháp chiếu cải biên nhằm giải quyết bài toán bất đẳng thức biến phân Chúng tôi cũng nghiên cứu việc đánh giá sai số và sự hội tụ mạnh của dãy lặp thông qua việc lựa chọn độ dài bước ngẫu nhiên từ một khoảng đóng cố định, với độ dài bước tạo thành một dãy không khả tổng giảm dần của các số thực dương.
Nội dung của chương này dựa vào tài liệu [7].
2.1 Phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân
Bài toán V I(C, T) được xác định bởi bài toán bất đẳng thức biến phân với giả thiết C ⊂ H là tập lồi, đóng và khác rỗng Để giải bài toán này, phương pháp chiếu cải biên sẽ được áp dụng, và quy trình cụ thể sẽ được trình bày trong thuật toán 2.1.
Bước 1: Nếu x k = P C (x k −λ k T(x k )) thì dừng lại.
Bước 2: Tính x k+1 = PC(x k −λkT(x k )), và thay k bởi k + 1, quay lại bước 1.
Khi việc tính toán dừng lại ở bướck,thì ta đặtx k 0 = x k với mọik 0 ≥k+1.
Từ đó độ dài bước của dãy đã cho {λ k } ⊂ (0,+∞).
Thuật toán 1.2 tạo ra một dãy lặp duy nhất {x k } cho mỗi điểm ban đầu x 0 ∈ C Định lý 2.1, sẽ được sử dụng trong các nội dung tiếp theo, khẳng định rằng nếu T là giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ và liên tục Lipshitz với hệ số L, thì dãy {x k } được sinh ra bởi Thuật toán 2.1 sẽ hội tụ đến nghiệm duy nhất x ∗ của V I(C, T).
[1 +λ k (2γ −λ k L 2 )] ||x k+1 −x ∗ || 2 ≤ ||x k+1 −x ∗ || 2 , ∀k ∈ N (2.1) Chứng minh Từ x k+1 = P C (x k −λT(x k )), theo Định lí 1.8 ta có hx k −λkT(x k )−x k+1 , x −x k+1 i ≤ 0, ∀x ∈ C.
Thay x = x ∗ ∈ C vào ta thu được bất đẳng thức sau: hx k −λ k T(x k )−x k+1 , x ∗ −x k+1 i ≤ 0, hay là
Đối với mọi x ∈ C, tồn tại x ∗ ∈ Sol(C, T) sao cho hT(x ∗), x − x ∗i ≥ 0 Từ tính chất giả đơn điệu mạnh của T, ta có hT(x), x − x ∗i ≥ γ||x − x ∗||² với mọi x ∈ C Nhờ vào Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và tính liên tục Lipshitz của T, ta có thể rút ra các hệ quả quan trọng.
Kết hợp với bất đẳng thức
Trong phép cộng, dễ có
(2.4) Kết hợp (2.2) với (2.3) và (2.4) ta có
2.2 Phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân với hệ số ưu tiên
Bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu hội tụ tuyến tính khi có nghiệm Nếu giả sử dãy số thỏa mãn điều kiện nhất định, ta có thể phân tích và chứng minh tính hội tụ của nó.
{x k } hội tụ về λ thì dãy này hội tụ tuyến tính nếu lim k
Số à được gọi là tốc độ hội tụ.
Chúng tôi sẽ chứng minh rằng dãy lặp được sinh ra bởi Thuật toán 2.1 cho bài toán này là hợp lệ Định lý 2.2 khẳng định rằng nếu T là giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số γ và liên tục Lipshitz trên C với hệ số L, thì các điều kiện cần thiết sẽ được thỏa mãn.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét dãy {x k} được sinh bởi Thuật toán 2.1, với a và b là những hằng số dương Nếu x ∗ là nghiệm duy nhất của V I(C, T), thì dãy {x k} sẽ hội tụ tuyến tính tới x ∗ Đồng thời, sự ưu tiên và đánh giá sai số cũng được đề cập.
1−à||x k+1 −x k ||, (2.7) cố định với mọi k ∈ N Ở đây à:= 1 p1 +a(2γ−bL 2 ) ∈ (0,1) (2.8) Chứng minh Từ (2.5) thì
Theo (2.1) và từ bất đẳng thức ở trên
||x k+1 −x ∗ || ≤à||x k −x ∗ ||∀k ∈ N, (2.9) với à được xỏc định bởi (2.8) Ta cú à ∈ (0,1) Tớnh chất (2.9) chứng tỏ rằng {x k } tuyến tính hội tụ tới x ∗
Ta đi chứng minh (2.6) và (2.7) Từ (2.9) ta có