NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN HÌNH HỌC TRONG CÁC BÀI TOÁN THUỘC HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH

Đề tài : NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN HÌNH HỌC TRONG CÁC BÀI TOÁN THUỘC HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH Bố cục của luận văn gồm 3 chương. Nội dung tóm tắt của các chương được trình bày như sau: Chương 1 sẽ trình bày lại một số khái niệm cơ bản của hệ thống động học tuyến tính theo quan niệm lý thuyết điều khiển cổ điển nhằm cung cấp một cái nhìn toàn diện trước khi thực hiện việc áp dụng cái nhìn mới của phương pháp tiếp cận hình học trong nghiên cứu. Các khái niệm nền tảng của phương pháp tiếp cận hình học chẳng hạn như các định lý, tính chất hệ quả được trình bày trong chương 2. Chương 3, từ các khái niệm cơ bản của phương pháp tiếp cận hình học đề cập trong chương 2, chúng ta sẽ lần lượt xem xét các bài toán điều khiển dưới cái nhìn mới.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG VIỆT NAM

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

-NGUYỄN THỊ HỒNG HUỆ

NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP

TIẾP CẬN HÌNH HỌC TRONG CÁC BÀI TOÁN

THUỘC HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đến giáo viên hướngdẫn PGS.TSKH Nguyễn Ngọc San, người đã tận tình chỉ bảo tôi trong định hướngnghiên cứu, đề xuất các ý tưởng và giúp đỡ về mặt phương pháp luận cũng như việckiểm tra cuối cùng đối với luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông,Lãnh đạo khoa Quốc tế và Đào tạo Sau đại học và các đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi rấtnhiều trong quá trình học tập, nghiên cứu và tạo điều kiện giúp tôi trong công tác đểtôi có thời gian thực hiện việc học tập và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới bố mẹ và dành tìnhcảm tới chồng tôi, người động viên về tinh thần và hỗ trợ nhiều về mặt khoa học

NGUYỄN THỊ HỒNG HUỆ

MỤC LỤC

CHƯƠNG II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÌNH HỌC

CHƯƠNG III ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HÌNH HỌC

Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt

 implies and is implied by Bao hàm và kéo theo bởi

: equal by definition Bằng theo định nghĩa

A , X sets or vector spaces Tập hoặc các không gian véctơ

a, x elements of sets or vectors Các phần tử của tập hoặc của các véctơ

{ }x i the set whose elements are x i Tập gồm các phần tử là x i

f

A

 contained in or equal to Chứa trong hoặc bằng với

 containing or equal to Chứa trong hoặc bằng với

B the set of binary symbols 0 and 1 Tập số nhị phân 0 và 1

 the set of all natural integers Tập các số tự nhiên nguyên

 the set of all integer numbers Tập các số nguyên

 the set of all real numbers Tập các số thực

 the set of all complex numbers Tập các số phức

f  a segment of (.)f Một đoạn của (.)f

n

x

  the n-norm of vector x Trị chuẩn n của véctơ x

x, y the inner or scalar product of

Im A the image of A Ảnh của A

B- CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VÀ VIẾT TẮT

V : Không gian con bất biến điều khiển được nói chung

S : Không gian con bất biến có điều kiện nói chung

Hình 1.1: Biểu diễn dạng khối của một hệ thống 10

Hình 1.2: Phân tích một hệ động học thông thường 13

Hình 2.2: Ổn định nội và ngoại của một bất biến 34

Hình 2.3: Ý nghĩa hình học của không gian con điều khiển được 37

Hình 2.4: Ý nghĩa hình học của không gian con có điều kiện ( , )A C 39

LỜI NÓI ĐẦU

Cùng với lịch sử phát triển lâu đời, lý thuyết điều khiển h thống đ ng học là m tệ thống động học là một ộng học là một ộng học là mộtmảng nghiên cứu kết hợp của nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau như toán học, lýthuyết h thống… Trong đó, sự kết hợp của các khái ni m toán học cùng các phươngệ thống động học là một ệ thống động học là mộtpháp tiếp c n đã tạo dựng được nhiều thành công trong nghiên cứu như: phươngpháp tiếp cận trong miền tần số; phương pháp tiếp cận trong miền thời gian; phươngpháp tần số trong miền đa thức - ma trận …Các các phương pháp tiếp cận này gặpmột số nhược điểm sau:

- Việc biểu diễn của các hệ thống, kể cả biểu diễn bởi hệ phương trình vi phân haydạng ma trận tần số, chúng bao gồm các thành phần là các giá trị số cần phải đượcxác định một cách chính xác.

- Các thuật toán kèm theo của các phân tích và tổng hợp hệ thống đều dựa trên phéptính ma trận mà không quan tâm đến việc hệ thống có cấu trúc đặc biệt hay khônghoặc hệ thống có hồi tiếp hay không

- Do việc dựa vào các tính toán ma trận nên khi các hệ thống xem xét có bậc lớn vàphức tạp việc giải quyết các bài toán gặp nhiều khó khăn, thậm chí trở thành phithực tế, nhất là đối với các hệ điều khiển đòi hỏi các đáp ứng thời gian thực, bởi sựphức tạp của các tính toán

- Các bước tổng hợp hồi tiếp khi sử dụng các phương pháp nói trên chỉ thích hợpcho các hệ thống có số đầu vào, số trạng thái và số đầu ra giới hạn Đối với các hệthống lớn như hệ thống có sự rải rác (sparsity)…, thì các phương pháp này khôngthể áp dụng được

- Các phương pháp này không cung cấp được cái nhìn rõ ràng (insight) trực quancũng như ý nghĩa vật lý thực của các biểu diễn, biến đổi và các thuật toán

- Một số phương pháp không thể áp dụng cho hệ thống đa biến MIMO

Với các nhược điểm và hạn chế kể trên vi c tìm kiếm m t phương pháp đơn giản,ệ thống động học là một ộng học là mộtcung cấp tính thu n ti n trong phân tích biểu diễn h thống, đồng thời không làmệ thống động học là một ệ thống động học là mộtmất cái nhìn và ý nghĩa trực quan của các biến đổi là cần thiết Và phương pháp hìnhhọc là m t trong các phương pháp đó.ộng học là một

Phương pháp tiếp c n hình học gồm hai phần cốt lõi là: lý thuyết đại số và phầntính toán hay còn gọi là phần thu t toán Phương pháp hình học được phát triển trên

cơ sở toán học không phụ thu c vào h tọa đ , do đó có ưu điểm đơn giản, choộng học là một ệ thống động học là một ộng học là mộtphép không những đạt được những kết quả mong muốn mà còn cung cấp được cáinhìn trực quan, toàn di n về bản chất cũng như ý nghĩa v t lý rõ ràng và các thủ tụcệ thống động học là mộtthực hi n các biến đổi Hơn nữa, phương pháp này dễ dàng cho phép mở r ng vớiệ thống động học là một ộng học là một

h thống MIMO b c cao.ệ thống động học là một

Với các ưu điểm kể trên của phương pháp tiếp c n hình học, vi c tìm hiểu,ệ thống động học là mộtnghiên cứu và áp dụng vào vi c giải quyết các bài toán điều khiển là thực sự cần thiếtệ thống động học là một

và là đ ng lực cho lu n văn này.ộng học là một

Lu n văn được hoàn thành với mục đích cung cấp m t cái nhìn tổng quan vềộng học là mộtphương pháp tiếp c n hình học trong nghiên cứu và điều khiển h thống Từ nhữngệ thống động học là mộtminh họa trong vi c áp dụng lý thuyết hình học vào giải m t số bài toán điều khiểnệ thống động học là một ộng học là một

cổ điển điển hình nhằm tái khẳng định những nh n định về tính ưu vi t của phươngệ thống động học là mộtpháp tiếp c n hình học Bên cạnh đó cũng muốn tìm hiểu kỹ m t số hạn chế (nếu có)ộng học là mộtcủa phương pháp này để đề xuất những phương án khắc phục cũng như mở rahướng nghiên cứu trong kế hoạch tiếp theo (future work)

Do m t số hạn chế khách quan và chủ quan nên luận văn chỉ t p trung vào hộng học là một ệ thống động học là mộtthống đ ng học tuyến tính bất biến H thống tuyến tính bất biến ở đây được m cộng học là một ệ thống động học là một ặcđịnh là h thống MIMO tổng quát với số đầu vào đầu ra và trạng thái xác định nàoệ thống động học là một

đó Dựa trên h thống này, các lý thuyết và khái ni m cũng như định nghĩa nền tảngệ thống động học là một ệ thống động học là mộtcủa phương pháp tiếp c n hình học như không gian con bất biến, các không quancon có thể điều khiển được … sẽ được xây dựng và áp dụng cho các bài toán điềukhiển điển hình Do sự hạn chế về không gian trình bày, m t số kết quả của các địnhộng học là một

lý ho c các h quả sẽ được m c nhiên thừa nh n mà không trình bày các chứngặc ệ thống động học là một ặcminh

Bố cục của lu n văn gồm 3 chương Nội dung tóm tắt của các chương được trìnhbày như sau:

Chương 1 sẽ trình bày lại m t số khái ni m cơ bản của h thống đ ng học tuyếnộng học là một ệ thống động học là một ệ thống động học là một ộng học là mộttính theo quan ni m lý thuyết điều khiển cổ điển nhằm cung cấp m t cái nhìn toànệ thống động học là một ộng học là một

di n trước khi thực hi n vi c áp dụng cái nhìn mới của phương pháp tiếp c n hìnhệ thống động học là một ệ thống động học là một ệ thống động học là mộthọc trong nghiên cứu

Các khái ni m nền tảng của phương pháp tiếp c n hình học chẳng hạn như cácệ thống động học là mộtđịnh lý, tính chất h quả được trình bày trong chương 2 ệ thống động học là một

Trong chương 3, từ các khái ni m cơ bản của phương pháp tiếp c n hình học đềệ thống động học là một

c p trong chương 2, chúng ta sẽ lần lượt xem xét các bài toán điều khiển dưới cáinhìn mới

Phần cuối cùng sẽ là kết lu n của bản lu n văn này

CHƯƠNG I

HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH

I.6 CÁC KHÁI NIỆM VÀ THUẬT NGỮ CƠ BẢN

Ngày nay các thu t ngữ “ h thống”, “lý thuyết h thống”, “khoa học h thống”ệ thống động học là một ệ thống động học là một ệ thống động học là một

và “kỹ thu t h thống” trở nên khá phổ biến và được sử dụng trong nhiều lĩnh vựcệ thống động học là mộtkhác nhau như điều khiển, xử lý số li u, công ngh sinh học… và khiến chúng đượcệ thống động học là một ệ thống động học là mộthiểu theo hàm nghĩa liên quan đến lĩnh vực được sử dụng Do đó, thấy cần có m tộng học là mộtđịnh nghĩa rõ ràng phù hợp với vi c nghiên cứu trong lu n văn này.ệ thống động học là một

Trước hết, thu t ngữ h thống ệ thống hay hệ được dùng để diễn tả m t đối tượng, thiếtộng học là một

bị ho c m t hi n tượng mà có sự biến chuyển trong các đại lượng đo lường quanặc ộng học là một ệ thống động học là mộttâm, chẳng hạn như các máy công cụ, các đ ng cơ đi n, m t máy tính, m t v tinhộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một ộng học là một ệ thống động học là mộtnhân tạo, nền kinh tế của m t quốc gia.ộng học là một

Đại lượng đo lường là m t đ c tính có thể tương hỗ với m t ho c nhiều đạiộng học là một ặc ộng học là một ặclượng số, chẳng hạn đi n áp, trở kháng của m t đoạn mạch.… Đối với những hệ thống động học là một ộng học là một ệ thống động học là một

thống có tham số phân tán, các đ c tính có thể được biểu diễn bởi các hàm thựcặc

ho c phức trong không gian tọa đ ặc ộng học là một

Mô hình toán học biểu diễn sự liên kết giữa các đại lượng đo lường ho c biến sốặccủa h thống thông qua m t quá trình xấp xỉ nào đó Mô hình toán học là m t côngệ thống động học là một ộng học là một ộng học là mộtcụ hữu hi u và cần thiết trong vi c tái tạo và phân tích đ c tính, đáp ứng của m tệ thống động học là một ệ thống động học là một ặc ộng học là một

h thống Cùng m t h thống, có thể được biểu diễn bởi m t số mô hình toán họcệ thống động học là một ộng học là một ệ thống động học là một ộng học là mộtkhác nhau phụ thu c vào các tiêu chí cũng như sự lựa chọn các mục tiêu (trái ngượcộng học là mộtgiữa sự đơn giản hóa trong biểu diễn phân tích và sự chính xác trong biểu diễn) Đôikhi những tiêu chí cho vi c xây dựng mô hình còn phải phụ thu c vào những trườngệ thống động học là một ộng học là mộthợp bài toán đ c bi t.ặc ệ thống động học là một

Các mô hình toán học tự thân chúng là các h thống, nhìn dưới góc đ giản lược,ệ thống động học là một ộng học là mộtđược xây dựng để biểu diễn đối tượng nghiên cứu và mô hình toán học của đốitượng đó Khái ni m ệ thống động học là một lý thuyết h thống ệ thống gắn liền với vi c xây dựng mô hình toán họcệ thống động học là mộtcho h thống, vi c phân định, nghiên cứu các thu c tính của h thống, và áp dụngệ thống động học là một ệ thống động học là một ộng học là một ệ thống động học là mộtnhững nghiên cứu này trong vi c giải quyết các bài toán khoa học kỹ thu t.ệ thống động học là một

M t h thống tổng quát có thể được biểu diễn bởi m t khối và các biến số củaộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một

nó trong liên kết với môi trường và các h thống khác như hình 1.1 Trong quá trìnhệ thống động học là mộtxây dựng mô hình toán học, trước hết chúng ta cần phân các biến số của h thốngệ thống động học là mộtthành hai loại: Các biến có tính nguyên nhân hay còn gọi là các biến đầu vào (input);các biến có tính kết quả hay còn gọi là các biến đầu ra (output) Sự phân bi t giữa cácệ thống động học là mộtbiến đầu vào và đầu ra thường mang tính tự nhiên, các biến đầu vào tương ứng vớicác biến đ c l p, các biến đầu ra tương ứng với các biến phụ thu c Tuy nhiên, sựộng học là một ộng học là mộtphân bi t này có thể khá phức tạp trong m t số trường hợp.ệ thống động học là một ộng học là một

Hình 1.1: Biểu diễn dạng khối của một hệ thốngCâc h thống có thể chia thănh hai lớp chính:ị́ thống động học là một h thống không có nhớ ị́ thống hay còn gọi

lă h thống thuđ̀n túy đại số ị́ thống ; h thống có nhớ ị́ thống hay còn gọi lă h thống đ ng học ị́ thống ộng học Hị́ thống động học là mộtthống không có nhớ lă h thống trong đó giâ trị của câc biến đầu ra ở m t thời điểmị́ thống động học là một ộng học là mộtnhất định năo đó chỉ phụ thu c văo giâ trị của câc biến đầu văo ở cùng thời gian đó.ộng học là mộtKhâc với h thống không có nhớ, h thống có nhớ có giâ trị câc biến đầu ra khôngị́ thống động học là một ị́ thống động học là mộtnhững phụ thu c văo giâ trị câc biến đầu văo ở cùng thời điểm mă còn phụ thu cộng học là một ộng học là mộtvăo giâ trị câc biến đầu văo trước đó trong quâ trình biến đổi h thống Trong lu nị́ thống động học là mộtvăn năy, từ nay về sau chúng ta sẽ dùng khâi ni m h đ ng học thay vì h thống cóị́ thống động học là một ị́ thống động học là một ộng học là một ị́ thống động học là mộtnhớ

Trong h thống học, khâi ni m ị́ thống động học là một ị́ thống động học là một trạng thái đóng vai trò cơ sở nền móng M t câchộng học là mộttrực quan, trạng thâi của m t h thống lă thông tin cơ bản cần thiết ở m t thời điểmộng học là một ị́ thống động học là một ộng học là mộtnhất định để dự đoân ảnh hưởng của quâ khứ của h thống lín câc đâp ứng của hị́ thống động học là một ị́ thống động học là mộtthống trong tương lai Trạng thâi lă m t t p câc biến số của h thống, ho c lă m tộng học là một ị́ thống động học là một ặc ộng học là mộthay m t số hăm của không gian tọa đ của h thống tham số phđn tân, mă t p năyộng học là một ộng học là một ị́ thống động học là một

lă đối tượng của sự biến đổi theo thời gian của câc chuyển biến theo thời gian củacâc biến đầu văo

Để đơn giản, câc thu t ngữ “ đđ̀u vào”, “trạng thái”, vă “đđ̀u ra” của m t hộng học là một ị́ thống động học là mộtthống thường được dùng để chỉ t p hợp toăn b câc biến đầu văo, biến trạng thâi vặ̃ng học là mộtbiến đầu ra Khâi ni m ị́ thống động học là một hàm đđ̀u vào, hàm đđ̀u ra vă sự v n đ ng đ̣n động ộng học được dùng để chỉ

sự chuyển biến theo thời gian của câc biến tương ứng níu trín Trong m t số trườngộng học là mộthợp đ c bi t, câc hăm đầu văo, câc hăm đầu ra thường được gọi tương ứng lă câcặc ị́ thống động học là một

tín hi u vào ệ thống , tín hi u ra ệ thống Đôi khi những khái ni m tín hi u vào, tín hi u ra được thayệ thống động học là một ệ thống động học là một ệ thống động học là mộtthế bởi các khái ni m tương ứng là ệ thống động học là một tín hi u kích thích ệ thống và tín hi u đáp ứng ệ thống

M t h thống không kết nối với môi trường bởi bất cứ m t đầu vào nào được gọiộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một

là h thống tự do ệ thống hay còn gọi là h thống tự trị ệ thống (autonomous system) Ngược lại, nếu

có bất cứ m t đầu vào nào biểu diễn sự kích thích từ môi trường, chúng thườngộng học là mộtđược gọi là các tín hi u ngoại sinh, lên h thống thì h thống được gọi là ệ thống động học là một ệ thống động học là một ệ thống động học là một h thống ệ thống chịu tác đ ng ộng học (forced system) Trong các bài toán điều khiển, thường chúng ta phân

bi t các đầu vào thành 2 lớp chính: lớp biến có thể điều khiển được; lớp không thểệ thống động học là mộtđiều khiển được Lớp các giá trị đầu vào được dùng trong suốt quá trình điều khiển

để nhằm đạt được mục tiêu điều khiển đ t ra được gọi là lớp đầu vào có thể điềuặckhiển được Trong khi đó, lớp đầu vào không điều khiển được là lớp đầu vào thay đổi

m t cách tùy ý và thường là không thể dự đoán được, chúng thường được gọi là tínộng học là một

hi u can nhiễu (disturbances)ệ thống động học là một

I.7 CÁC ĐỊNH NGHĨA TỔNG QUAN CỦA HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH

Trước khi đưa ra các khái ni m chúng ta quy định m t số ký hi u toán học nhưệ thống động học là một ộng học là một ệ thống động học là mộtsau: T :biểu diễn t p thời gian; U : biểu diễn t p đầu vào; Uf : biểu diễn t p hàm

đầu vào; X : biểu diễn t p trạng thái; Y : biểu diễn t p đầu ra

ĐỊNH NGHĨA 1.2.1: (H thống liên tục theo thời gian và h thống rời rạc theo thời gian ệ thống ệ thống )

M t h thống được gọi là liên tục theo thời gian nếu t p thời gian của h là t p sốộng học là một ệ thống động học là một ệ thống động học là mộtthực  , và được gọi là h thống rời rạc theo thời gian nếu t p thời gian của h làệ thống động học là một ệ thống động học là một

t p số nguyên 

ĐỊNH NGHĨA 1.2.1: (H thống thuần túy đại số ệ thống ) M t h thống không có nhớ hay cònộng học là một ệ thống động học là mộtgọi là h thống thuần túy đại số là m t h bao gồm các t p thời gian ệ thống động học là một ộng học là một ệ thống động học là một T , t p đầuvào U , t p đầu ra Y , và m t hàm quan h vào-ra hay còn gọi là hàm ánh xạộng học là một ệ thống động học là mộtvào ra được biểu diễn bởi:

ĐỊNH NGHĨA 1.2.5: (H thống thuần túy đ ng học ệ thống ộng học ) M t h thống thuần túy đ ng họcộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một

là m t h trong đó hàm ánh xạ đầu ra có thể đơn giản ở dạng:ộng học là một ệ thống động học là một

( ) ( ( ), )

Từ định nghĩa 1.2.5, chúng ta thấy với m t h thống thuần túy đ ng học, các đầuộng học là một ệ thống động học là một ộng học là mộtvào không có ảnh hưởng trực tiếp đến đầu ra mà chỉ ảnh hưởng thông qua trạng tháicủa h thống Như v y, m t h thống thuần túy đ ng học liên tục theo thời gian làệ thống động học là một ộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một

m t h thống có đầu ra là hàm liên tục theo thời gian, và m t h thống thuần túyộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một ệ thống động học là một

đ ng học rời rạc theo thời gian là m t h thống có đầu ra trễ ít nhất 1 chu kỳ mẫu soộng học là một ộng học là một ệ thống động học là mộtvới đầu vào Bất kỳ m t h thống đ ng học nào cũng có thể được xem như cấuộng học là một ệ thống động học là một ộng học là mộtthành từ m t h thuần túy đ ng học và m t h thuần túy đại số, trong đó sự liênộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một ộng học là một ệ thống động học là mộtkết giữa chúng được minh họa như trong hình 1.2 Hầu hết các bài toán trong lýthuyết h thống được tiếp c n thông qua h thống thuần túy đ ng học tương ứng,ệ thống động học là một ệ thống động học là một ộng học là mộtđiều này dễ dàng đạt được bởi vì mô hình toán học cho h thống thuần túy đại sốệ thống động học là mộtkhá đơn giản là m t hàm và dễ dàng mở r ng được cho với h thống tổng quát.ộng học là một ộng học là một ệ thống động học là một

Hình 1.2: Phân tích một hệ động học thông thường

TÍNH CHẤT 1.2.1: (Khái ni m trạng thái ệ thống ) Trạng thái của m t h đ ng học là m t thànhộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một ộng học là mộtphần (của m t t p hợp còn được gọi là t p trạng thái) mà đối tượng thay đổi theoộng học là mộtthời gian và giá trị của nó tại m t thời điểm ộng học là một t0 nào đó là x t( )0 , cùng với m tộng học là mộtđoạn cắt hàm đầu vào u[ , ]t t0 1

, m t cách duy nhất xác định m t đoạn cắt hàmộng học là một ộng học là mộtđầu ra

I.8 KHÁI NIỆM ĐIỀU KHIỂN VÀ QUAN SÁT KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

Khái ni m có thể điều khiển được diễn tả khả năng có thể ảnh hưởng đến chuyểnệ thống động học là một

đ ng ộng học là một x(.) ho c đáp ứng ặc y của m t h đ ng học (.) ộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một  bởi hàm đầu vào(ho c hàm điều khiển) ặc u (.) Uf

Vi c phân tích tính có thể điều khiển được liên h ch t chẽ với định nghĩa củaệ thống động học là một ệ thống động học là một ặccác t p con đ c biệt của không gian trạng thái ặc X Cụ thể :

- Tập có thể tiếp cận được ở thời điểm cuối t t1 từ sự kiện ( , )t x :0 0

( , , { ( , , , (.)), (.) f}

- Tập có thể tiếp cận ở một thời điểm bất kỳ trong khoảng thời gian [ , ]t t0 1

từ sự kiện ( , )t x :0 0

- Tập có thể điều khiển được từ một sự kiện ( , )t x từ một thời điểm bất1 1

kỳ trong khoảng thời gian [ , ]t t :0 1

( , , { ( , , , (.)), [ , ], (.) f}

W t t x   x x  t  x u  t t u UTrong các định nghĩa trên, ta luôn giả thiết thứ tự t0  Từ đó dễ dàngt1

được bằng cách giao t p C( ,t x 0 0 của tất cả các chuyển dịch có thể (bao

gồm cả sự ki n ệ thống động học là một ( ,t x 0 0 ) với m t đa di n ặc ệ thống động học là một P1: {( , t x t t  1} trong khi đó

1: {( , t x t t  1}

P dọc theo trục thời gian t ( , ,t t x0 1 0

R

và ( , ,t t x0 1 0



Hình 1.3: Tập các trạng thái có thể điều khiển được

ĐỊNH NGHĨA 1.3.1: (Tính có thể tiếp c n được và tính có thể điểu khiển được của m t ận động ộng học sự ki n ệ thống ) T p trạng thái của m t h thống đ ng học ộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một  ho c h thống mở rộng củaặc ệ thống động học là mộtchính nó , được gọi là có thể tiếp cận được hoàn toàn từ sự ki n ệ thống động học là một ( ,t x0 trong

khoảng thời gian [ , ]t t0 1 nếu ( , ,t t x0 1

: Biểu diễn tập có thể điều khiển được tới x tại thời điểm t t từ thời1

điểm khởi đầu 0

- t1 (x



W

: Biểu diễn tập có thể điều khiển được đến trạng thâi x tại bất kỳ thời

điểm năo trong khoản thời gian [0, ]t1 từ thời điểm khởi đầu 0.

Với hai thời điểm cho trước t t1, 2 thỏa mên t1 , suy ra quan h :t2 ị́ thống động học là một

Tức lă biểu diễn t p có thể tiếp c n được từ trạng thâi x vă

t p có thể điều khiển được đến trạng thâi x trong m t khoảng thời gian bất kỳ đủộng học là mộtlớn

ĐỊNH NGHĨA 1.3.2: (H thống hoàn toàn có thí̉ đií̀u khií̉n được ị́ thống ) M t h thống bấtộng học là một ị́ thống động học là mộtbiến theo thời gian được gọi lă m t h thống hoăn toăn điều khiển được hay đượcộng học là một ị́ thống động học là mộtkết nối nếu nó tiếp c n đến m t trạng thâi bất kỳ từ m t trạng thâi khâc năo đó, vặ̃ng học là một ộng học là một

do đó (x (x

Thu t ngữ tính có thể quan sát được diễn tả m t cách tổng quát khả năng củaộng học là một

vi c suy dẫn trạng thái khởi đầu ệ thống động học là một x t ( 0 ho c trạng thái cuối ặc x t (1 của m tộng học là một

h thống đ ng học ệ thống động học là một ộng học là một  khi sự chuyển biến thời gian của đầu vào và đầu ra trongkhoảng thời gian [ , ]t t0 1 được cho biết Tính có thể quan sát trạng thái cuối

cùng cũng được biểu thị với thu t ngữ tính có thể tái cấu trúc được Vi c quan sátệ thống động học là mộttrạng thái và các bài toán tái cấu trúc có thể không tồn tại lời giải, khi đó, với vi cệ thống động học là mộtquan sát trạng thái khởi đầu thu c vào m t lớp mà toàn b phần tử của lớp là khôngộng học là một ộng học là một ộng học là mộtthể phân bi t được trong khoảng thời gian ệ thống động học là một [ , ]t t0 1 .

Cũng giống như tính có thể điều khiển được, tính có thể quan sát được cũngđược phân tích bằng cách xem xét các t p con thích hợp của t p trạng thái X , đ cặc

tả h thống đ ng học dựa trên khả năng của các trạng thái suy diễn từ các chuyểnệ thống động học là một ộng học là mộtbiến đầu vào và đầu ra Nói m t các cụ thể:ộng học là một

- Tập các trạng thái khởi đầu nhất quán với các hàm đầu vào (.u  , hàm đầu

ra y  trong khoảng thời gian (. [ , ]t t : 0 1

ĐỊNH NGHĨA 1.3.3: (Chẩn đoán, khu trú của m t h thống ộng học ệ thống ) T p trạng thái của m tộng học là một

h thống đ ng học ệ thống động học là một ộng học là một , ho c h thống mở r ng chính nó, được gọi là có thể quan sátặc ệ thống động học là một ộng học là một

được trong khoảng thời gian [ , ]t t0 1 bởi m t thí nghiệm quan sát thích hợpộng học là một(còn được gọi là chuẩn đoán) nếu tồn tại ít nhất m t hàm đầu vào ộng học là một u (.) Uf

sao cho t p được định nghĩa Q có thể giản lược thành m t thành phần đơn với mọi ộng học là mộthàm đầu ra y(.)Yf( , (.))t u0 ; h thống được gọi là có thể tái cấuệ thống động học là một

trúc được trong khoảng thời gian [ , ]t t0 1 bởi m t thí nghi m thích hợp (cònộng học là một ệ thống động học là mộtđược gọi là khu trú) nếu tồn tại ít nhất m t hàm đầu vào ộng học là một u (.) Uf

ĐỊNH NGHĨA 1.3.4: (H thống hoàn toàn quan sát được ho c có thể tái cấu trúc m t ệ thống ặc có thể tái cấu trúc một ộng học các đầy đủ) T p trạng thái của m t h thống đ ng học ộng học là một ệ thống động học là một ộng học là một , ho c là mở r ng củaặc ộng học là mộtchính nó, được gọi là hoàn toàn quan sát được trong khoảng thời gian [ , ]t t0 1

nếu với tất cả các hàm đầu vào u (.) Uf

vàvới tất cả các hàm đầu ra y(.)Yf( , (.))t u0 , t p định nghĩa cho



Q ở trên có thể giản lược thành m t phần tử đơn.ộng học là một

Do trạng thái cuối là m t hàm của trạng thái khởi đầu và đầu vào, nên nếu các hộng học là một ệ thống động học là mộtthống là quan sát được bởi m t phép thử thích hợp thì cũng là h thống có thể táiộng học là một ệ thống động học là mộtcấu trúc được bởi cùng phép thử đó Hơn nữa, mọi h thống hoàn toàn quan sátệ thống động học là mộtđược cũng là các h thống có thể tái cấu trúc hoàn toàn.ệ thống động học là một

Trong các h bất biến theo thời gian, ệ thống động học là một ( , , (.), (.)t t u0 1 y

Q

và t1 ( (.), (.)u y

Q

I.9 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH

I.4.1 Tính ổn định

Thuật ngữ tính ổn định xét trên nghĩa rộng diễn tả khả năng của một hệ thống độnghọc đáp ứng lại với những tác động thay đổi trong một giới hạn nào đó hoặc phản ứnglại với trạng thái khởi đầu, các đầu vào, hoặc các tham số tác động nào đó Các kýhiệu tính ổn định ám chỉ rằng các không gian véc-tơ đầu vào, trạng thái, đầu ra và cáckhông gian véc-tơ tham số và các hàm tương ứng là các độ đo của hệ thống Tính ổnđịnh đóng vai trò quan trọng trong việc tiếp cận phân tích, tổng hợp hầu hết các hệthống động học vì tính ổn định của hệ là một yêu cầu tất yếu cho mọi thực thi của các

hệ thống điều khiển Trong phần này, chúng ta sẽ đề cập đến các định nghĩa toán họcquan trọng và các khía cạnh của tính ổn định

I.4.1.1 Hệ thống tuyến tính thay đổi theo thời gian

Giả sử chúng ta có một hệ tuyến tính thay đổi theo thời gian được cho bởi côngthức:

( ) ( ) ( )

trong đó x F n , với F : hoặc F :, ( )A t là ma trận

kích thước n n của các hàm liên tục theo thời gian với giá trị nằm trong tập

ĐỊNH NGHĨA 1.4.2: (Tính chất ổn định BIBS) Hệ tuyến tính (1.17) là hệ thống ổn

định tương ứng với các tác động hàm đầu vào hay nói một cách khác là có tính ổnđịnh BIBS nếu với mọi thời điểm t và với mọi giá trị 0   tồn tại một giá trị 0

x t  t  B  u  d t t

(1.19)ĐỊNH LÝ 1.4.3: Hệ tuyến tính (1.17) là hệ thống ổn định BIBS nếu và chỉ nếu:

ĐỊNH NGHĨA 1.4.3: (Tính ổn định BIBO) Hệ tuyến tính (1.17)-(1.18) được gọi là hệ

thống ổn định BIBO nếu với mọi thời điểm t bất kỳ và với mọi giá trị 0  0tồn tại một giá trị   sao cho từ điều kiện ( )0 u t     điều kiện saut t0

được thỏa mãn:

0

0

( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t

y t C t  t  B  u d D t u t  t t

(1.21)ĐỊNH LÝ 1.4.4: Hệ tuyến tính (1.17)-(1.18) là hệ thống ổn định BIBO nếu và chỉ nếu:

I.4.1.2 Hệ thống tuyến tính bất biến

Xét hệ thống tuyến tính bất biến:

( ) ( )

ĐỊNH LÝ 1.4.5: Hệ tuyến tính (1.23) là hệ thống ổn định theo Liapunov nếu và chỉnếu:

- Không có trị riêng nào của A có phần thực dương

- Các trị riêng của A với phần thực bằng không là các điểm không (zeros) đơn trị

của đa thức tối thiểu

BỔ ĐỀ 1.4.1: Hệ tuyến tính (1.23) là hệ thống ổn định theo Liapunov nếu và chỉ nếu:

- Không có trị riêng nào của A có phần thực dương.

- Tất cả các khối biến đổi Jordan tương ứng với các trị riêng có phần thực bằngkhông có chiều bằng 1

ĐỊNH LÝ 1.4.6: Hệ tuyến tính (1.23) là hệ thống ổn định một cách tiệm cận theo

Liapunov nếu và chỉ nếu tất cả các trị riêng của A có phần thực âm.

Để suy ra các phát biểu tương tự cho hệ thống rời rạc tuyến tính bất biến, trước hếtchúng ta sử dụng các thành phần của ma trận lũy thừa:

- Không có trị riêng nào của A có giá trị tuyệt đối lớn hơn 1.

- Các trị riêng của A với giá trị tuyệt đối bằng 1 là các điểm không đơn trị của đa

thức tối giản

ĐỊNH LÝ 1.4.8: Hệ tuyến tính (1.25) là hệ thống ổn đinh một cách tiệm cận theo

Liapunov nếu và chỉ nếu tất cả các trị riêng của A có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1.

I.4.2 Tính có thể ổn định được và tính có thể quan sát được

I.4.2.1 Hệ thống tuyến tính thay đổi theo thời gian

Một tính chất cơ bản của tập các trạng thái có thể đạt được từ gốc tọa độ và của tậpcác trạng thái có thể điều khiển được từ gốc tọa độ được phát biểu như sau:

TÍNH CHẤT 1.4.1: Xét hệ tuyến tính thay đổi theo thời gian, tập có thể đạt được từgốc tọa độ ( ,0 1,0

R là các không gian con của không gian trạng thái X

TÍNH CHẤT 1.4.2: Xét hệ tuyến tính thay đổi theo thời gian, tập ( ,t t x0 1, 0

 R

là tuyến tính và được xác định bằng tổng của không gian con

0 1,0

( ,





R và bất kỳ trạng thái có thể đạt được nào từ trạng thái khởi đầu x trong0

khoảng thời điểm [ , ]t t0 1 , trong khi đó tập ( ,t t x0 1, 0

G t t F t F t dt

(1.27)Nếu công thức (1.26) đúng với x 0 , từ định nghĩa ta thấy các hàng của (.)

F là phụ thuộc tuyến tính trong khoảng thời gian [ , ]t t , do đó, các hàng0 1

của F(.) là độc lập tuyến tính trên [ , ]t t nếu và chỉ nếu 0 1 G t t là( , )0 1

ma trận không suy biến (non-singular matrix)

ĐỊNH LÝ 1.4.9: Xét hệ tuyến tính (1.17)-(1.18) Các hệ phương trình sau được thỏamãn:

P t t   t  B B   t  d

(1.30)Như vậy, hệ tuyến tính (1.17)-(1.18) là hệ thống hoàn toàn điều khiển được vàhoàn toàn tiếp cận được trong khoảng thời gian [ , ]t t nếu và chỉ nếu ma trận 0 1

0 1

( ,

P t t  trong định nghĩa (1.30) là một ma trận không suy biến.

Đối với tính có thể quan sát được, chúng ta có một số điểm sau

TÍNH CHẤT 1.4.3: Một hệ thống tuyến tính hoàn toàn quan sát trong khoảng thờigian [ , ]t t cũng là một hệ thống có thể tái tạo được trong khoảng thời gian đó.0 1

Điều này cũng đúng trong trường hợp ngược lại đối với trường hợp hệ thống tuyếntính liên tục

TÍNH CHẤT 1.4.4: Một hệ thống tuyến tính hoàn toàn quan sát được bởi một phépthử chẩn đoán hoặc có thể tái cấu trúc được bởi một phép thử khu trú là một hệ thốnghoàn toàn quan sát được hoặc hoàn toàn tái cấu trúc được

TÍNH CHẤT 1.4.5: Đối với hệ tuyến tính, các tập ( , ,0,0t t0 1

Q là các không gian con của không gian trạng thái X

TÍNH CHẤT 1.4.6: Đối với hệ tuyến tính, tập ( , ,0,t t0 1 y0

I.4.2.2 Hệ thống tuyến tính bất biến

Trong trường hợp hệ thống tuyến tính bất biến, ta có:

TÍNH CHẤT 1.4.6: Đối với hệ thống là hệ thống tuyến tính bất biến ta có các đẳngthức sau:

với P: [ B AB A B n1 ] (1.40)TÍNH CHẤT 1.4.7: Xét hệ thống (1.38)-(1.39), tập có thể tiếp cận được từ gốc tọa độtrong khoảng thời gian [0, ]t có thể được biểu diễn là:1

TÍNH CHẤT 1.4.8: Xét hệ thống (1.38)-(1.39), tập có thể điều khiển được từ gốc tọa

độ tương đương với tập có thể tiếp cận được từ gốc tọa độ, nói một cách khác:

TÍNH CHẤT 1.4.9: Đối với hệ thống tuyến tính bất biến, chúng ta có các đẳng thứcsau:

ĐỊNH LÝ 1.4.12: Xét hệ thống (1.38)-(1.39), tập đầu vào không không thể quan sátđược trong khoảng thơi gian [0, ]t là:1

1(0,0 ker

t Q

 Q

với Q T : [ C T A C T T (A T n) 1C T] (1.45)TÍNH CHẤT 1.4.10: Với hệ thống (1.38)-(1.39), tập đầu vào không thể quan sát đượctrong khoảng thời gian [0, ]t có thể được biểu diễn bởi:1

I.10.CÁC BÀI TOÁN TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG

Các bài toán trong lý thuyết h thống có thể chia làm hai nhóm chính là: các bàiệ thống động học là mộttoán phân tích và các bài toán tổng hợp Bài toán phân tích là bài toán nghiên cứucác thu c tính vốn có của các h thống, thường được phát biểu và tiếp c n dựa trênộng học là một ệ thống động học là một

mô hình toán học Trong khi đó, bài toán tổng hợp suy dẫn các công cụ toán học

ho c các h thống con nhân tạo, thường được gọi là các khối điều khiển ho c khốiặc ệ thống động học là một ặcđiểu chỉnh, để tác đ ng nhằm thu được m t đáp ứng mong muốn từ h thống.ộng học là một ộng học là một ệ thống động học là một

M t số bài toán phân tích quan trọng trong lý thuyết h thống có thể kể đến nhưộng học là một ệ thống động học là mộtsau:

- Bài toán mô hình hóa: thiết lập một mô hình toán học thích hợp để biểu diễnmột hệ thống cho trước nào đó

- Bài toán phân tích chuyển động và đáp ứng: xác định quá trình chuyển biếntrạng thái và đầu ra theo thời gian của hệ thống với đầu vào và trạng thái khởiđầu cho trước

- Bài toán phân tích tính ổn định của hệ thống: một cách đơn giản, tính ổn địnhcủa hệ thống là tính chất của hệ thống đó đáp ứng với một sự thay đổi tronggiới hạn cho phép của các trạng thái và của các đầu ra với một tập hàm đầu vàothay đổi trong một giới hạn cho phép

- Bài toán phân tích tính có thể điều khiển được: tiến hành phân tích khả năng cóthể tiếp cận được của các giá trị trạng thái cho trước hoặc các véc-tơ đầu ra chotrước hoặc đạt được một kiểu chuyển biến trạng thái hoặc đầu ra theo các hàmđầu vào nào đó

- Bài toán phân tích tính có thể quan sát được: tiến hành phân tích khả năng cóthể đạt được sự hiểu biết về trạng thái từ những hiểu biết đầy đủ hoặc một phầncủa các hàm đầu vào và đầu ra

- Bài toán phân tích nhận dạng: phân tích khả năng có thể dẫn giải một mô hìnhđầu vào đầu ra hoặc một số tham số của nó từ hiểu biết đầy đủ hoặc một phầncủa các hàm đầu vào đầu ra

M t số bài toán tổng hợp quan trọng phổ biến thường g p có thể kể đến là:ộng học là một ặc

- Bài toán tổng hợp đầu vào điểu khiển: xác định một hàm đầu vào sao cho, vớimột trạng thái khởi đầu cho trước, chuyển biến của một hệ thông nguyên nhân

có thể đạt được một nhiệm vụ điều khiển đặc biệt nào đó

- Bài toán tổng hợp thời gian, trạng thái khởi đầu và đầu vào điều khiển: cũnggiống như bài toán tổng hợp ở trên, nhưng với trạng thái khởi đầu cho trước,trong trường hợp thay đổi theo thời gian, cần xác định thời gian khởi đầu cũngnhư hàm đầu vào để đạt được một nhiệm vụ điều khiển nào đó

- Bài toán tổng hợp của một bộ quan sát trạng thái: xác định một thủ tục hoặcmột thiết bị để có thể suy dẫn trạng thái của hệ thống từ một bảng ghi hữu hạncủa các hàm đầu vào và đầu ra

- Bài toán tổng hợp một bộ nhận dạng: xác định một thủ tục hoặc một thiết bị màthiết bị đó suy dẫn một mô hình hệ thống hoặc một số tham số của hệ thống từmột bản ghi hữu hạn các hàm đầu vào và đầu ra

- Bài toán tổng hợp máy điều khiển tự động: thiết kế một bộ xử lý mà có thể tiếnhành đo đạc đánh giá các biến đầu ra và tự động thiết lập những biến có thể vậndụng để đạt được một nhiệm vụ điều khiển cho trước

CHƯƠNG II

CƠ SỞ LÝ THUYẾT HÌNH HỌC TRONG PHÂN TÍCH HỆ ĐỘNG HỌC TUYẾN TÍNH

Tiếp cận hình học là một phương pháp điều khiển dựa trên cơ sở của không gianvéctơ thay vì đại số ma trận Trong phần tóm lược lý thuyết hình học, chúng ta giả sử

những kiến thức cơ bản về không gian véc-tơ với chiều hữu hạn đã được trang bị.Xét hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian n chiều với m đầu vào và p đầu ranhư sau:

(2.1)Các ma trận được xác định dựa trên việc lựa chọn không gian trạng thái, đầu vào,đầu ra của hệ thống, giả sử lần lượt là R , n m

R và p

R Để thuận tiện cho việc ký hiệucũng như thống nhất với ký hiệu truyền thống, chúng ta ký hiệu không gian trạngthái R là , không gian đầu vào n m

R là U và không gian đầu ra p

R là Y Các matrận hệ số trong công thức (2.1) có thể được xem như là các ánh xạ tuyến tính

, B:U X và C:X  Y .

Thay đổi của biến trạng thái trong công thức (2.1), , P B1 và CP thườngđược xem xét với sự thay đổi cơ sở của không gian trạng thái Chúng ta luôn cóđược một không gian con ảnh B, trong đó

x x t t u   t t x   t s Bu s ds

(2.2)

trong đó x0là trạng thái khởi đầu, t0là thời gian khởi đầu Dễ dàng thấy rằng hệ (2.1)

thỏa mãn nguyên lý chồng chất (principle of superposition)

I.11 KHÔNG GIAN CON VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Trước hết chúng ta sẽ tổng quan lại một số công cụ toán học cần thiết cho việcbiểu diễn trong chương này và trong suốt luận văn Các mô tả chi tiết hơn ta có thểtham khảo Basile và Marro [3], Curtis [8], hay Wonham [6]

Một không gian véc-tơ V qua trường F được định nghĩa khi một tập không

trống các phần tử được gọi là véc-tơ với hai phép toán nhị phân Tổng hai véc-tơ

,

v w  V là một véc-tơ v w V Phép nhân của một vô hướng F với một

véc-tơ v  V là véc-véc-tơ v V và được gọi là tích của  và v Ngoài ra phép nhân và

phép cộng còn thỏa mãn các tiền đề sau đây: Với mọi , F và , ,u v wV

III.1.1 u(v w ) = (u v )w và u v v u = 

III.1.2 Tồn tại một véc-tơ 0  V sao cho u0 =u với mọi u  V

III.1.3 Với một véc-tơ u có một véc-tơ u sao cho u ( ) 0u  V III.1.4 (u v ) =uv

ĐỊNH NGHĨA 2.1.1: (Không gian con) Cho một không gian véctơ  trong trường

F , một tập con S của V được gọi là không gian con của V nếu x yS , vớimọi ,  F và ,x y S

Ký hiệu S V (với  được viết hoa) có nghĩa là  là không gian con của 

ĐỊNH NGHĨA 2.1.2: (Ánh xạ tuyến tính) Cho  và W là các véc-tơ trong trường

F Hàm :A V W được gọi là hàm tuyến tính (linear function) hay ánh xạ tuyến

tính (linear map) hay phép ánh xạ tuyến tính (linear transformation) nếu:

ĐỊNH NGHĨA 2.1.4 (Phép nhân của một ánh xạ tuyến tính - Kernel of a Linear Map)

Cho  và W là các không gian con và :A V W một ánh xạ tuyến tính TậpKer : {xA  V zAx 0 W được gọi là không gian nhân (Kernel Space) hay không}

gian không (null Space) của A.

ĐỊNH NGHĨA 2.1.5 (Đa tạp tuyến tính - Linear Manifold) Cho  và S là các khônggian con với SV và v 0 V Tập

V S là một không gian véc-tơ của trường F

I.12 TÍNH BẤT BIẾN, KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN

(Invariants – Invariant Subspaces)

Xét hệ tuyến tính n chiều

( ) ( )

trong đó x Rn

ĐỊNH NGHĨA 2.2.1 Một tập  R là một tập bất biến của (2.3) nếu với mọi điểm n

khởi đầu x  0 , ta có x x t( , )0 e x At 0    , t 0

Ở đây ta xét một tập đặc biệt trong tập bất biến: không gian con bất biến

Khai triển chuỗi Taylor ta có:

2 2

ĐỊNH NGHĨA 2.2.2 Một không gian con J X được gọi là không gian con bất

biến (Bất biến A) với ánh xạ tuyến tính : A X  X nếu A J J

Lý do quan trọng mà không gian con bất biến được quan tâm nhiều trong hệthống trạng thái tuyến tính (2.1) có thể được giải thích bởi nghiệm đầu vào khôngcủa (1) Giả sử J là không gian con bất biến của A Khi đó, ma trận mũ có thể đượcbiểu diễn bởi:

ĐỊNH LÝ 2.2.1 Cho các không gian con B , C chứa trong X sao cho B C và một

ánh xạ tuyến tính : A X  X , tập các không gian con bất biến J thỏa mãn

B J C là một mạng không phân bố  đối với , ,0   

THUẬT TOÁN 2.2.1 (Tính toán cực tiểu bất biến A có chứa trong : ImBB  )

0

1 ( 1, , )min ( , )= min ( , )

trong đó giá trị của k n   được xác định bởi điều kiện 1 Zk 1Zk.

THUẬT TOÁN 2.2.2 (Tính toán cực đại bất biến A có chứa trong : kerCC )

0

1 1 1

ĐỊNH LÝ 2.2.2 Tính đối ngẫu

max ( , )=min ( , )min ( , )=max ( , )

T T

J được gọi là ổn định nội nếu A J

ổn định Cho hai tới khônggian con bất biến J 1

và J 2

sao cho J 1J 2

, ánh xạ ứng với A trên không gian

thương J 1/J 2

được định nghĩa bởi A J 1 /J 2

Ngược lại không gian bất biến J đượcgọi ổn định ngoại nếu A X J/

cơ sở của J ) và T2sao cho T không đơn trị Cơ sở mới của ánh xạ tuyến tính A được

biểu diễn bởi:

' 22

Thể hiện của những quỹ đạo trong không gian trạng thái đối với một bất biến cóthể được biểu diễn như sau:

Hình 2.2: Ổn định nội và ngoại của một bất biến

Giả sử đa thức đặc trưng của ánh xạ tuyến tính A được phân tích thành các đa

thức:

det(I  A)p( ) p( )

Ở đây, tất cả các nghiệm của p ( )

có chứa phần thực âm và tất cả các nghiệm của( )

X được gọi là không gian con ổn định của hệ phương trình trạng

thái tuyến tính (2.1)

ker[ ( )]p A



X được gọi là không gian con không ổn định của hệ phương trình

trạng thái tuyến tính (2.1)

Hiển nhiên thấy rằng X và  

X là không gian con của  Hơn nữa, cả hai không gian con bất biến đối với ánh xạ tuyến tính A, bởi vì dễ dàng có Ap A( )p A A( ) vớimọi đa thức ( )p  Thuật ngữ “tính ổn định” ở đây được đánh giá trên tính chất cơbản của phép phân tích

ĐỊNH LÝ 2.2.3 Các không gian ổn định và không ổn định của hệ phương trình trạng

thái tuyến tính (2.1) tạo thành tổng phân tích trực tiếp

Hơn nữa, trong hệ cơ sở thích hợp với X và  

X các thành phần của hệ phương

trình trạng thái tương ứng với X có tính ổn định hàm số mũ, trong khi đó tất cả các

giá trị riêng của các thành phần của hệ phương trình trạng thái tương ứng với X

chứa thành phần thực không âm

ma trận vuông A Do đó, từ đẳng thức của đa thức ( ) p  q( ) suy ra rằng có đẳng

thức của ma trận bằng cách thay thế  bởi A, nghĩa là ( ) p A q A( ) Từ nhận xét này,chúng ta có kết quả: