Lý thuyết điều khiển phi tuyến part 5 potx

Nó phát biểu như sau: “Can va du dé ma tran đối xứng xác định dương là toàn bộ n ma trận con nằm dọc theo đường chéo chính của nó có định thức đương", Như vậy, để kiểm tra Lính xác định

là ma trận xác định âm hay @ 1A ma trận xác định đương

Một trong các công cụ khá tiện ích để kiểm tra tính xác định dương của một ma trận là định lý Sylvester Nó phát biểu như sau: “Can va du dé ma tran đối xứng xác định dương là toàn bộ n ma trận con nằm dọc theo đường chéo chính của nó có định thức đương", Như vậy, để kiểm tra Lính xác định dương của ma trận đối xứng:

Chúng mình

Trước tiên ta chứng mình điều kiện cần, tức là khi phương trình Lyapunov (8.18) với Q xác định đương có nghiệm P cũng xác dịnh dương thì A phải là ma trận bển

Sử dụng ham xác định dương V(x) xac dinh theo (3.14) Khi đó, do có (3.15) với Q xác định dương nên đạo hàm 2 đọc theo quỹ đạo trạng thái tu do x(t) của hệ tuyến tính có mô hình không bị kích thích (3.13) là xác định âm Vậy theo tiêu chuẩn yapunov (định lý 3.1) hệ tuyến tính (3.13) là ổn định tiệm cận Suy ra Á phải là ma trận bền

Chuyển sang điểu kiện đủ, ta phải chứng minh khi A lA ma trận bển thì phương trình Lyapunov (318) với Q xác định dương sẽ có nghiệm P duy nhất cũng xác định

đương Trước tiên ta đặt:

thỏa mãn diéu kién dau J(0)=Q Khi đó, từ lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính

hệ số hằng thì phương trình trên có nghiệm:

và dễ dàng thấy nghiệm này là xác định đương

Để chứng minh nghiệm (3.18) là duy nhất, ta giả sử ngoài nó ra còn có một nghiệm

2) Khai niém ổn dinh déu (uniformly stable):

Khai niém nay dude bat ngudn tu dang quy dao trang thai tự do của hệ tuyến tính tham số hằng (3.3) có A là ma trận bền (hệ ổn định), tức là nghiệm của (3.13) với:

Chuyển sang hệ phi tuyến (3.1) người ta nói: "Hệ là én định đêu trong miễn © néu có [xls xo) với mọi f>0, xụe Ó và yeK"

Như vậy, hệ (3.1) sẽ ổn định đều trong miền Ó nếu khi tiến về 0, khoảng cách giữa quỹ dao trang thai tu do x(t) so với điểm gốc 0 là không tăng

Ký hiệu thêm £ là lớp các hàm thực một biến ổ(r), re RE” đơn điệu giảm và thỏa mãn lim ổữ)=0 Cũng như vậy ta ký hiệu ££ là lớp các hàm hai biến Ø(z,£), z,teR”

nếu khi / cố định thì nó thuộc lớp K€ và khi z cố định thì nó thuộc lớp £ Với các ký hiệu này thì rõ rằng hệ (3.1) sẽ ổn dink déu va tiém can vé 0 (uniformly asymtotically stable) trong O néu d dé c6:

xO |< Axol-t) với mọi (>0, x(0)=goe @ và đe K€ (3.30) Nói cách khác, hệ sẽ ổn định tiệm cận đều trong miền @ nếu khi tiến về 0, khoảng cách

giữa quỹ đạo trạng thái tự do x(£) so với gốc 0 luôn đơn điệu giảm theo thời gian

3) Khai niém 6n dink theo ham mii (exponentialy stable)

Khái niệm này cũng được bắt nguồn từ dạng quỹ đạo trạng thái tự do (3.19) của hệ

tuyến tính ổn định tham số hằng (3.3) Chuyển sang cho hệ phi tuyến (3.1), người ta

định nghĩa: "Hệ (3.1) được gọi là ổn định theo hàm mũ, nếu nó ổn định tiệm cận đều theo

nghĩa (3.20) uà ở đó có Øxa|.)=elxale”"t uới a, b là hai số dương"

4) Tính đủ của tiêu chuẩn Lvapune cà miễn ổn định O:

Về ý nghĩa sứ dụng thì tiêu chuẩn Iyapunov phát biểu trong định lý 3.1 chỉ là một công cụ đủ Điểu đó nói rằng khi ta tìm được một ham V(x,¢) như yêu cầu thì sẽ khẳng

định được hệ ổn định tại 0 Song nếu ta không tìm được một hàm như vậy, mà rất có thể

là nó nẫn tấn tại, thì điều đó chưa đủ để kết luận rằng hệ không ổn định

Tương tự về miền ổn định tiệm cận © Ta chỉ khẳng định “được mọi quỹ đạo trạng

thái xuất phát từ bên trong Ø sẽ kết thúc tại 0 chứ không thể kết luận được là một quỹ đạo xuất phát từ bên ngoài @Ø sẽ không tiến về 0 và kết thúc tại đó,

181

5) Tiéu chuẩn kiểm tra tính không ổn định

Mặc dù không khẳng định được hệ (3.1) có ổn định hay không khi ta không tìm ra được một hàm Lyapunov V(x.t) cụ thể, song hoàn toàn tương tự như ta có thể đưa ra một điều kiện đủ để kiểm tra tính không ổn định cúa hệ

Hệ (3.1) sẽ không ẩn định tại 0 nếu

có ít nhất một quỹ đạo trạng thái của nó gradV(x)

xuất phát từ lân cận 0 nhưng không kết

thúc tại 0 Hình 3.6 lại cho thấy nếu đạo

Đường đồng

ham 2 của bàm xác định dương mức của V\x)

V(x,t) tinh doc theo quỹ đạo trạng thái

tu do x(t) cua hé, cũng xác định dương

tức là: Hình 3.8; Giải thích về điều kiện để

kiểm tra tính không ổn định

thì không những có một mà là mọi quỹ đạo trạng thái xuất phát từ lân cận 0 đều không kết thúc tại 0 (cắt các đường đẳng mức của Víz,£) từ trong ra ngoài) Nói cách khác: "Hệ (3.1) sẽ không ổn dink Lyapunov tai 0 nếu tân tại một lên cận © ctia Q sao cho trong O

tên tại một hàm xác định dung V(x.t) va dao hàm (3.31) của nó cũng xác định dương trong trong O"

6) Một hé qua cua tiéu chuén Lyapunov: Dinh ly LaSalle

Tương tự như định lý 3.1 LaSalle đã đưa ra kết luận sau:

Định lý 3.3: Xét hệ tự trị mô tả bởi mô hình không bị kích thích

Goi V(x) 1a ham tron, xac dinh duong theo nghĩa (3.9), tức là:

Khi đó:

a) Nếu hàm Ÿ(x) thỏa mãn

182

trong dé W(x) là một hàm liên tục, thì hệ đã cho là ổn định (theo nghĩa Lyapunov), déng thai nghiém x(t) là bị chặn với

Sau đây ta sẽ làm quen với một số phương pháp điển hình thường được sử dụng để xác định ham V(x,t)

Phương phap Krasovski

Xét hệ tự trị khi không bị kích thích thị được mô tả bởi mô hình (3.32) Giả sử răng

hệ cân bằng tại gốc tọa độ 0, Dé tim mét ham Lyapunov Krasowski da dé nghi sti dung hàm xác định đương

=P vad = F QF

133

trong đó @ là ma trận nxn xác định đương, Khi đó

Chú ý: Miền ổn định tiệm cận là tập điểm trạng thái © ma tai dé ma tran K(x) xác

định âm Với những ma trận @ khác nhau ta có các miễn ổn định Ø khác nhau Ma tran

xeo= (EY are -(° set) ( mm *)( , )

ox ox} [1 -1 Jhas go} laa ae J \-8x7 1

—xi-x) Ta >Ũ => bates xi“

Vậy hệ ổn định tiệm cận tại 0 Tất cả các quỹ đạo pha, nếu đi qua một điểm thuộc miễn

Ø xác định bởi Jx¡| Ệ đều kết thúc tại gốc tọa độ a

Cho hệ tự trị cân bằng tại gốc 0 có mô hình không bị kích thích mô tả bởi phương trình trạng thái (3.22) Néu V(x) la hàm Lyapunov của hệ thì

LạV = Š” ƑQ) = (gradVf" FQœ¡<o š Ty Ê :

với mọi ze Ó, trong đó dấu bằng chỉ xảy ra khi x=0

Để kiểm tra tính ổn định tiệm cận của hé tai 0, Schultz va Gibson đã xét lớp các hàm nhiều biến V(x) có vector gradient dạng

9 EV =(gradvy" F(x) 1 ma tran xac dinh am

Bxjdx, dx,0x,;

dung với mọi ¡,&

Như vậy ta sẽ chọn Q là ma trận đối xứng Q =@, Sau khi đã tìm được Q, hàm

Vix) được xác định theo

Ví) = [gradVdx

0

với một đường lấy tích phân thích hợp Thông thường và để cho đơn giản, người ta hay tính Ví) từ gradV bằng phương pháp tích phân trực tiếp theo từng biến Cuối cùng, xác định miến ổn định Ó sao cho trên nó hàm V(x) xác định đương

Vi du 3.11: Minh hoa phương pháp Schultz~Gibson

Cho hệ không kích thích mô tả bởi

av

So = ay G3xXyt đạX¡† G2ko = Gary g›x¿ = gạxi¡† 2x 1

và được

Vie) = qaxizgt xy they) = ox a ggxot dx; k(x)

thay ngược lại vào (3.28) rồi so sánh với (3.30) ta đi đến

Ví dụ 3.12: Minh họa phương pháp Schultz-Gibson

Cho hệ không kích thích mô tả bồi

Với kết quả này hàm

xác định đương với mọi x, nên hệ là ổn định tiệm cận toàn cục ñ

Phương phớp Aiserman

Trong khi hai phương pháp của Krasovski và của Schulz-Gibson có thể áp dung cho một hệ phi tuyến bất kỳ thì phương pháp Aiserman chỉ ứng dụng được cho hệ có mô hình không bị kích thích dạng

Giá sử hệ cân bằng tai géc Goi V(x) 1A ham Lyapunov cia (3.32); tức là bản thân

nó xác định dương và xác định âm Khi đó đường đồng mức V(x)=£ sẽ chính là

139

biên một lân cận gốc tọa độ (điểm cân bằng) và lân cận này là tập các điểm trạng thái thỏa mãn (hình 3.7)

Giả thiết rằng hệ tuyến tính tham số hằng (3.34) ổn định Vậy thì các giá trị riêng

s¡ của Á phải có phần thực âm và điều này tương đương với việc tại giao điểm với đường

đồng mức V(x)=£ vector định hướng Ax nằm hoàn toàn bên trong miền Og Ta chon

Thay A= A+E vao (3.36) thi diéu kiện để vector vector Axt+Ex nam được bên

trong Ogvdi £ bất kỳ là tính xác định âm của ma trận

140

Từ đây ta có được bai bước của thuật toán Aiserman nhằm xác định miền ổn định

© cho hệ (3.33) như sau:

1) Cho trước Q xác định dương Giải phương trình (3.36) để tìm P xác định dương Nếu phương trình vô nghiệm thì hệ không ổn định tại 0

2) Thay P vừa tìm được vào (3.37) và áp dụng tiêu chudn Sylvester (3.16) dé tim tap điểm x mà ở đó ma trận (3.37) xác định âm

Ví dụ 3.13: Minh họa phương pháp Aiserman

Cho hệ không kích thích mồ tả bởi

Hệ cân bằng tại 0 Tach mô hình thành hai phần theo (3.82)

16~(x‡~9x„)” >0 — = gab e2ox, oda} -2

141

hay miền ổn định Ø là tập điểm (hình 3.8):

O={xer? | 3Ÿ t2 xà >2 xỸ =8 } a

Hinh 3.8: Minh hoa vi du 3.13

3.1.3 Hàm điều khiển Lyapunov (CLF)

Mặc dù có xuất xứ ban đầu là để kiểm tra tính ổn định của hệ phi tuyến (3.1), song

người ta lại biết đến lý thuyết Lyapunov nhiều nhờ ý nghĩa ứng dụng của nó trong việc thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái làm ổn định đối tượng phi tuyến, gọi là phương pháp thiết bế Lyapunov Có thể nói, cho tối nay phương pháp thiết kế Lyapunov

này không những là một công cụ đơn giản nhưng toàn năng để thiết kế bộ điều khiển,

mà còn là một gợi ý tiền đề cho nhiều các phương pháp điều khiển phi tuyến khác như điều khiển ổn định ISS trong điều khiển thích nghỉ, điểu khiển thụ động (passive), thiết

Gọi V(x) là hàm trơn, xác định dương

thích hợp Như vậy, theo định lý 3.1, để hệ |

kín ổn định tiệm cận với miền ổn định Ø thì BY

bộ điều khiển 6 dieu khién can tim w(x) phải làm cho cần tì hải làm chị Hình 3.9: Ứng dụng tiêu chuẩn

LV = x Flxu(x)) Lyapunov để thiết kế bộ điều khiển

xúc định âm với mọi xe Ø, tức là phải tìm một quan héu(x) dé có (định lý 3.3):

142

av

Pilz) s W(x) s poz) với py.ppeK va x€O

Một hàm trơn, xác định dương V(x) nào đó mà với nó tổn tại ít nhất một quan hệ

u(x) thỏa mãn (3.38), được gọi là hàm dieu khién Lyapunov (CLF-Control Lyapunov

Function) Noi cach khác, một hàm trơn, xác định dương V(x) bất kỳ sẽ được gọi là hàm

CLPF của đối tượng (3.38) nếu như nó thỏa mãn:

inf LpV = [SE đe) <0 VxeØ và x#0

Định nghĩa này cũng cho thấy cẩn va di để một đối tượng điều khiển ổn định tiệm

cận được tại gốc bằng bộ điều khiển phan héi trạng thái là với nó tổn tại một hàm CLE, Định lý 3.5: Xét hệ nhiều đầu vào có cấu trúc afñne:

trong đó we R” JA vector tin hiéu điển khién va H(x) la ma trận hàm với các vector

c6t hy (x), B(x) oe By (xe) Goi Vix) 1a mét ham tron, xac dinh dung, hgp thiic tùy ý Ký hiệu:

ale) = (Ly, Vig), Ly Va)"

va

Néu trong mién 2 ham L,V(x) xdc dinh âm, tức là

thì nó cũng sẽ là hàm CLF của (3.40) và một trong các bộ điểu khiển phan héi trang thái (x) tương ứng làm đối tượng ổn định tiệm cận toàn cục là:

(3.43) thyy nếu xe Z

trong đó 7(x) là một hàm xác định dương được chọn bất kỳ

143

Ví dụ 3.14: Minh họa khái niệm hàm điều khiển Lyapunov

Cho đối tượng phi tuyến với mô hình:

Vậy, để có được LrV xác định âm (trong toàn bộ không gian trạng thái), ta có thể chọn

=—x;¿ hay bộ điểu khiển làm ổn định đối tượng đã cho sẽ là w(x) =x» va do dé ham

Ví dụ 3.15: Minh họa khái niệm hàm điều khiển Lyapunov

Xét đối tượng có mô hình trạng thái

TựV =— hxỶ Ýx(xị+4) — xác định âm khi xị>-4

nên hệ sẽ ổn định tiệm cận tại 0 với miền ổn định

O=lxeR” | x,>-4}

và do dé Vix) da chọn là một hàm CLF của đối tượng o

3.2 Phuong phap thiét ké cuén chiéu (backstepping)

Tuy rằng được biết đến trong điều khiển phi tuyến như một công cụ toàn năng để

thiết kế bộ điểu khiển làm hệ ốn định tiệm cận, song cho tới nay vẫn chưa có một phương pháp tổng quát nào giúp ta xác định được hàm CLE một cách nhanh chóng và

đơn giản Người ta mới chỉ có được một số ít các phương pháp dành cho những hệ có cấu

trúc đặc biệt và cuốn chiếu (bøcksfepping) là một phương pháp thuộc trong những số ít

đó Phương pháp này cho phép ta xác định được hàm CLF của hệ từ hàm CLE của hệ con nằm bên trong hệ đã cho

3.2.1 Cuốn chiếu hệ truyền thẳng qua khâu tích phân

Cho đổi tượng phi tuyến dạng truyền thẳng qua khâu tích phân (hình 3.10):

(3.44)

Hình 3.10: Đối tượng truyền thẳng với

một khâu tích phần và một khâu phi /

tuyến affine mắc nối tiếp

Giả sử với khâu phi tuyến affine con bên trong nó là:

ta da cé ham diéu khién Lyapunov V(x) cing nhu bé diéu khién v=r(x) tương ứng Vấn

dé đặt ra ở đâ

là ti V(x) va r(x) dé ta phải tìm hàm điều khiển Lyapunov WQ(x,e)

cũng như bộ điểu khiển (x,u) cho đối tượng truyền thẳng (3.44) ban đầu

Dinh ly 3.6: Xét đối tượng truyền thẳng (3.44) Nếu khâu phi tuyến con (3.45) bên trong

nó có hẻm điều khiển Lyapunoo V{x) và bộ điều khiển ổn định khả vì 0u=r(x)

tương ứng thỏa mãn r(0)=0 thì một trong các ham diéu khién Lyapunov V,(x,0)

có thể có của đối tượng (3.44) ban đầu là:

a¥e(ev) _aV 47, de=) >

See) = FE ae) HE ae hth hed alu wef ther 2d]