Bai tap toan 11 chan troi sang tao tap 1

 Đơn vị rađian: Trên đường tròn tâm O, bán kính R tùy ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng R được gọi là một góc có số đo 1rađian.. Độ dài cung tròn Một cung của đường tròn







1 Góc lượng giác

a Khái niệm

 Cho hai tia Oa, Ob

 Nếu một tia Om tùy ý quay quanh gốc O theo một chiều nhất định từ Oa đến Ob, thì ta nói

nó quét một góc lượng giác, với tia đầu là Oa và tia cuối là Ob Kí hiệu (Oa Ob, )

 Khi tia Om quay một góc  thì ta nói số đo của góc lượng giác (Oa Ob, ) bằng 

2 Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

a Đơn vị đo góc và cung tròn

 Đơn vị độ:

 Để đo góc ta dùng đơn vị độ

 Đơn vị độ được chia thành các đơn vị nhỏ hơn, như: 1  60 ; 1   60 

 Đơn vị rađian:

Trên đường tròn tâm O, bán kính R tùy ý, góc ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng R

được gọi là một góc có số đo 1rađian Kí hiệu AOB 1rad

 Quan hệ giữa độ và rađian

 Vì góc bẹt (180 ) chắn nửa đường tròn với độ dài R nên nó có số đo là rad

Khi đó ta viết 180  rad Vậy ta có mối quan hệ  

b Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo  rad thì có độ dài lR

1 Đường tròn lượng giác

 Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính

bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của

đường tròn

 Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo

 (độ hoặc rađian) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho



 (OA OM, )

2 Giá trị lượng giác của góc lượng giác

 Trên đường tròn lượng giác, gọi M x y( ; ) là điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo  Khi đó

 Tung độ y của điểm M gọi là sin của  , kí hiệu là sin  Ta viết sin  y OK

 Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của  , kí hiệu là cos Ta viết  cos  x OH

 Nếu cos   0 thì tỉ số 



sincos gọi là tang của  , kí hiệu là tan Ta viết  



 sin tan



 cos  cot

sin

x y

 Các giá trị sin , cos , tan , cot    được gọi là giá trị lượng giác của góc 

 Chú ý

 Ta gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin

 Từ định nghĩa ta còn suy ra:

 sin , cos  xác định với mọi  

tan( k2 ) tan cot(k2 ) cot  

 Dấu của giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đường tròn lượng giác

Góc phần tư Giá trị

3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Rad 0 

6

4

3

2

23

3

3

3 2

4 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

Góc đối nhau

 và 

cos( )  cossin( )   sintan( )   tan cot( )   cot

Góc bù nhau

 và  

sin(  )  sin cos(  )   costan(  )   tan cot(  )   cot

5 Các hệ thức lượng giác cơ bản

sin , với sin 0

Bài 1 Tính giá trị còn lại của góc x, biết

Bài 2 Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau

1) Cho tanx  2 Tính 1 5cot 4 tan 2 2 sin cos

Bài 4 Cho tanxcotx3 Hãy tính giá trị của biểu thức sau

1) A tan 2x cot 2x 2) B tanx cotx

DẠNG 1 TÌM GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG (GÓC)

Bài 5 Cho sinxcosxm Hãy tính theo m giá trị các biểu thức

Bài 6 Tính sin , cos , tan , cotx x x x Biết rằng

1) sinxcosx 2 2) sinxcosx 2

Bài 9 Chứng minh các đẳng thức sau

1) cos 2x sin 2x  1 2 sin 2x 2) 2 cos 2x   1 1 2 sin 2x

3) 3 4 sin  2x 4 cos 2x 1 4) sin cotx xcos tanx xsinxcosx 5) sin 4x cos 4x  1 2 sin 2xcos 2x 6) cos 4x sin 4x cos 2x sin 2x

4 cos x  3 1 2 sinx 1 2 sin x 8)    2 2  2

1 cos x sin xcosxcos x sin x

9) sin 4x cos 4x  1 2 cos 2x 2 sin 2x 1 10) sin 3xcosx sin cosx 3x sin cosx x 11) tan 2x sin 2x tan 2xsin 2x 12) cot 2x cos 2x cot 2xcos 2x

Bài 10 Chứng minh các đẳng thức sau



 

tan tan tan tan

sin x cos x  1 3 sin xcos x

2) sin6x cos6x (sin2x cos2x)(1 sin  2xcos2x)

3) sin 8x cos 8x  (1 2 sin 2xcos 2x) 2  2 sin 4xcos 4x

4) sin 8x cos 8x (sin 2x cos 2x)(1 2 sin  2xcos 2x)

Bài 12 Chứng minh các đẳng thức sau

1) 1 sin xcosxtanx (1 cos )(1 tan )x  x

2) (1 tan )(1 cot )sin cos x  x x x 1 2 sin cosx x

3) (1 tan )cos  x 2x  (1 cot )sinx 2x (sinx cos )x 2

4) sin 2xtanx cos 2xcotx 2 sin cosx x tanx cotx

5) sin 2xtan 2x 4 sin 2x tan 2x 3 cos 2x 3

Bài 13 Chứng minh các đẳng thức sau

1)

1 2 sin cos tan 1

Bài 15 Biến đổi các biểu thức sau thành tích số

5) E  1 sinx cosx tanx 6) F tanx cotx sinx cosx

7) Gcos tanx 2x 1 cosx 8)  2   

3 4 cos sin 2 sin 1

13) M 1 cosxcos2xsinx1 cos x 14) 3 2

2 cos 2 cos sin 1

O x x x 16) Q2 cosx1 sin xcosx1

4 sin 3 cos 3 sin sin cos

R x x x x x 18) S 1 sinxtan2x 1 cosx

21) V  tanx 3 cotx 4 sin x 3 cosx 22) X 3 sinx 2 cosx 3 tanx 2

23) Y2 tan xsinx 3 cotxcosx5 24) Z3 cot xcosx 5 tanxsinx2

Bài 16 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

4) Dcos4x2 cos2x 3 sin4x2 sin2x3

5) E sin 6x cos 6x 2 sin 4x cos 4x sin 2x

8) H cos 2xcot 2x 5 cos 2x cot 2x 4 sin 2x

9) I  1 cotxsin3x 1 tanxcos3xsinxcosx

10) Jsin4xcos4x1 tan 2xcot2x2

Bài 18 Tính các giá trị lượng giác của các góc sau

1) sin(x 90 ) 0 2) cos(180 0 x) 3) sin(270 0 x)

cos(x 540 ) 6) 0

cot(180 x) 7) sin(x 540 ) 0 8) tan(360 0 x) 9) cos(450 0 x)

10) 2 0

sin (270 x) 11) 3 0

cos (90 x) 12) 5 0

cot (180 x)

Bài 19 Tính các giá trị lượng giác của các góc sau

1) cot(x) 2) sin( x) 3) tan(2 x)

4) cot(3x) 5) sin(x7 ) 6) tan(x5 )

DẠNG 2 DÙNG CUNG LIÊN KẾT ĐỂ TÍNH GIÁ TRỊ

RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Bài 22 Rút gọn các biểu thức sau:

Bài 23 Chứng minh các đẳng thức sau

sin x cos x   1 3 sin x.cos x

d) sin cos 1 2 cos

tan x sin x  tan x.sin x

g) 1 sin  x cosx tanx  (1 cos )(1 tan )  x  x

h)

2

2 2

sin x cos x   1 4 sin x.cos x 2 sin x.cos x

Bài 24 Chứng minh các đẳng thức sau

tan tan sin sin

Bài 26 Rút gọn các biểu thức sau:

cos cos cot

sin sin tan

(sin x cos x 1)(tan x cot x 2)

d) cos 2x.cot 2x 3 cos 2x cot 2x 2 sin 2x

1 Công thức cộng

sin(a b )  sin cosa b  sin cosb a cos(a b ) cos cosa b sin sina b

sin(a b )  sin cosa b sin cosb a cos(a b ) cos cosa bsin sina b

tan tantan( )

2 Công thức nhân đôi

a Công thức nhân đôi

 sin 2   2 sin cos  

cos 3 4 cos  3 cos

 tan 3 3 tan tan2 3



3 Công thức biến đổi tích thành tổng

4 Công thức biến đổi tổng thành tích

   , với 3

2

2   12) cos(a b ).cos(a b ) khi 1

Bài 30 Không dùng máy tính Hãy tính giá trị của các biểu thức

1) A sin 12 cos 48 0 0  cos12 sin 48 0 0

2) B cos 38 cos 22 0 0  sin 38 sin 22 0 0

Bài 32 Tính giá trị của các biểu thức sau

1)

0 0

sin10 cos 20 sin 20 cos10

cos17 cos13 sin17 sin13

sin 73 cos 3 sin 87 cos17

cos132 cos 62 cos 42 cos 28

1) A sin cos 5x x cos sin 5x x

2) B sin 4 cot 2x x cos 4x

3) C cos 6 tan 3x x sin 6x

4) Dsinx y  cos x y sinx y  cos x y 

5) Ecos 40 0x cos x200sin 40 0x sin x200

Bài 36 Rút gọn các biểu thức sau

1) sin  sin sin 

Bài 37 Rút gọn các biểu thức sau

1) A cos 2x 3 sin 2x sin 2x

2) B 4 sin3x 3sinx 3 cos 3x

Bài 38 Chứng minh các đẳng thức sau

1) sin 2x 2 sin cosx x

cos 3x 4 cos x 3 cosx

6) cos sin 2 cos 2 sin

cos x y cos x y cos xsin ycos ysin x

Bài 39 Chứng minh các đẳng thức sau

3) sin sinx y z  sin siny z x  sin sinz x y 0

4) cos sinx y z  cos siny z x  cos sinz x y 0

5) tanx y tanxtanytanx y tan tanx y

9) cos700cos 500cos 2300cos 2900  cos 400cos1600cos 3200cos 38000

Bài 40 Chứng minh các đẳng thức sau

1)  

cot cot 1 cos

Bài 41 Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước

1) Nếu cosa b  0 thì sina2bsina

2) Nếu sin 2 a b  3sinb thì tana b  2 tana HD:  

2

b

a b  a 8) Nếu cosa b  kcosa b  thì 1

Bài 42 Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến x

1) sin2 cos cos

Từ đó tính giá trị của biểu thức 0 0 0

tan10 tan 50 tan110

Bài 44 Cho tam giác ABC với A B C lần lượt là ba góc của tam giác Chứng minh , ,

1) sinCsin cosA Bsin cosB A

2) sinAsin cosB Csin cosC B

3) cosAsin sinB Ccos cosB C

tan tan , , 90cos cos

C

5) tanA tanB tanC tan tan tanA B C

6) cot cotA B cot cotB C cot cotC A 1

7) sin cos cos sin sin

Bài 45 Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi)

11) K tan 36 tan 72 2 0 2 0 12) L cos 70 2 0  sin 40 sin 100 2 0 0

13) M cos 202 02sin 552 0 2 sin 650 14) 0 0 0 0

sin 6 sin 42 sin 66 sin 78

11) K cos10 cos 20 cos 30 cos 70 cos 80 0 0 0 0 0

12) L 8 tan18 cos18 cos 36 cos 72 0 0 0 0

13) M cos 20 cos 40 cos 60 cos 80 0 0 0 0

Bài 47 Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi)

1)

cos 80 cos 20cos 35 cos15 sin 35 sin15

x B

x x

Bài 51 Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết

4) Dcos 270 04x khi biết cot 45 0x2

Bài 55 Tính theo cos 2x các biểu thức sau

1) A  1 cos 2x 2) B sin 2xcos 2x

3)

2 2

1 sin

cos

x C

x



2 2

1 cot

1 cot

x D

x





5) E sin 6x cos 6x 6) F sin 6xcos 2x cos 6xsin 2x

Bài 56 Tính theo tan

Bài 57 Chứng minh các đẳng thức sau

1) cos 4x sin 4x cos 2x 2) sin 4x4 sin cosx x1 2 sin 2x

cos 4x 8 cos x 8 cos x 1 5) 4

8 sin x  3 4 cos 2x cos 4x 6) 4 4 3 1

4 4

7) sin4cos4x6 cos2xsin2xcos 4x 8) 6 6 5 3

x

x x

    8) tan 2xtanxcos 2xtanx

x x

Bài 63 Tính giá trị của biểu thức

20sin 4 sin 2



sin 2tan cot 2

x L

17) sin 2 2 sin 3 sin 4

cos 3 2 cos 4 cos 5

19) cos 2 sin 4 cos 6

cos 2 sin 4 cos 6

23) cos7 cos 8 cos 9 cos10

sin 7 sin 8 sin 9 sin10

Bài 65 Biến đổi thành tích các biểu thức sau đây

1) A cos 3x cosx 2) B sin 3x sin 2x

3) C cos 4x cosx 4) D sin 5x sinx

5) E  1 sin 2x 6) F  1 sinx

7) G  1 2 cosx 8) H 2 sin 2x1

9) I 3 2 cos 2 x 10) Jsina b  sina b 

LOẠI 3 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

11) 2 2

cos cos

K x y 12) L  1 sinx cos 2x

13) M  1 sinx cosx 14) N cosx sin 2x cos 3x

15) O sin 3x sinx sin 2x 16) Qcosxcos 2xsin 3x

17) R sinx sin 2x sin 3x 18) S cosx cos 2x cos 3x

19) T 2 sin 2xcos 5xcos9x 20) U sin 3x 2 sin 2x sinx

21) V  cosx cos 3x 2 cos 5x 22) X cos 460cos 2202 cos 780

27) cos 5 sin cos 3

29) A1 sinxsinysinx y  30) A2 cosxcosysinx y 

31) A3 cosxcosycosx y 1 32)  0   0 

33) A5  1 cos 2xcos 4xcos 6x 34) A6 sin 2xsin 4xsin 6x

35) A7 sin 5xsin 6xsin7xsin 8x 36) A8 cos 5xcos 8xcos 9xcos12x

Bài 66 Biến đổi thành tích các biểu thức sau đây

1) 1 cos  x cos 2x cos 3x 2) sinx sin 3x sin 7x sin 5x

3) sinx sin 2x sin 5x sin 8x 4) cos 7x sin 3x sin 2x cos 3x

5) cos 9x cos 7x cos 3x cosx 6) cos10x cos 8x cos 6x 1

7) sin 350cos 400sin 550cos 200 8) 0 0 0 0

sin 57  sin 59  sin 93  sin 61

Bài 67 Biến đổi thành tích các biểu thức sau đây

1) cos 2x cos 2 2 x cos 3 2 x 1

sin sin 2 sin 3

2

3) sin 3 2 x sin 2 2 x sin 2x

4) sin 2x cos 2 2 x cos 3 2 x

5) sin 2x 2 sin 2 2 x sin 3 2 x

cos12  cos 48  sin18

3) sin 65 0  sin 55 0  3 cos 5 0

10) sinx1 2 cos 2 x2 cos 4x2 cos 6xsin7x

11) 1 4 cos 6 sin 2 4 sin 16 sin 2 sin4

sinxcosx cos 4x4 sin 2 sinx x15 cos x15

Bài 69 Cho a b c Chứng minh: sin sin sin 4 cos cos sin

4) sin 2A sin 2B sin 2C 4 sinAsin sinB C

5) 1 cos 2  A cos 2B cos 2C  4 cosAcos cosB C

sin Asin Bsin C2 1 cos cos cos A B C

Bài 72 Biến đổi thành tổng các biểu thức sau

5) Esinx y  cos x y  6) Fsinx30 cos0 x300

7) G 2 sin sin 2 sin 3x x x 8) H 8 cos sin 2 sin 3x x x

I  x  x x

    10) J4 cosa b  cos b c  cos c a 

Bài 73 Tính giá trị của biểu thức

20) T sin 5 sin 15 sin 25 sin 65 sin 75 sin 85 0 0 0 0 0 0

LOẠI 4 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Bài 74 Rút gọn biểu thức A2 sinxcosxcos 3xcos 5x

Từ đó suy ra giá trị của biểu thức 3 5

Bài 75 Rút gọn các biểu thức sau

1) Acos11 cos 3x xcos17 cos 9x x 2) Bsin18 cos13x xsin 9 cos 4x x

3) Csin sin 3x xsin 4 sin 8x x 4) Dsin 2 sin 6x xcos cos 3x x

5) Ecos 3 cos 6x xcos 4 cos7x x 6)  0   0 

sin sin 60 sin 60

7) G8 cos cos 60x  0 x cos 600x1 8) 1

cos cos 2 sin 3 sin12

4

9) I4 sin 2 sin 5 sin 7x x xsin 4x 10) 1

sin 2 sin 6 cos 4 cos12

7) sin sina b c  sin sinb c a  sin sinc a b  0

8) cos2x2 cos cos cosa x a x cos2a x sin2a

tan15 tan 25 tan 35 tan 85  1

17) tan 200tan 400tan 800  3 3

18) tan 100tan 50otan 600tan 700  2 3

tan 20  tan 40  tan 80  tan 60  8 sin 40

Bài 77 Tính các góc của ΔABC biết rằng

Bài 78 Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC vuông

1) cos 2Acos 2Bcos 2C 1 2) tan 2Atan 2Btan 2C0



Bài 79 Chứng minh điều kiện cần và đủ để ΔABC cân:

1) tan tan  tan

cos cos cos

a b a

 thì A a sinx b cosx không phụ thuộc vào a và x

Bài 86 Cho a b c, , là ba cạnh của tam giác, tương ứng các góc lần lượt là A B C Các góc nhọn , ,, , γ

  được xác định bởi cos a , cos b , cos γ c

Bài 88 Tính giá trị của biểu thức: M sin 20 8 0  sin 40 8 0  sin 80 8 0

Bài 89 Tính giá trị của biểu thức

Bài 90 Rút gọn các biểu thức sau

1) A coscos 3cos 5  cos 2 n1 ĐS: sin 2

n x E

x



Bài 91 Chứng minh các bất đẳng thức sau

1) sin 3 cosx x cos 3 sinx x cos 2x 2

2) 3 sin 3x cos 2 cosx x sin 2 sinx x 2

4

4) cos cos 3x xsin 2 sin 4x x1

5) cos 2 cosx xsin sin 3x xsin2xcos 3x 1

6) 2 sinxcosxcos 3xcos 5xcos7xcos 9x1

Bài 92 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau

 Ta nói hàm số y f x( ) đồng biến trên ( ; )a b nếu x x1, 2 ( ; )a b có x1x2  f x( )1  f x( ).2

 Ta nói hàm số y f x( ) nghịch biến trên ( ; )a b nếu x x1, 2 ( ; )a b có x1x2  f x( )1  f x( ).2

3 Hàm số tuần hoàn

 Hàm số y f x( ) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu: ,

tồn tại T 0 sao cho với mọi x D ta có (x T ) D và (x T ) D và f x T(  )  f x( )

 Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f.

II HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Hàm số y sin x

 Hàm số y sinx có tập xác định là D   ysinf x( ) xác định  f x( ) xác định

 Tập giá trị T   1;1 , nghĩa là:  1 sinx1 Suy ra 0 sinx 1, 0 sin  2x 1

 Hàm số y f x( )  sinx là hàm số lẻ vì f(  x) sin(   x) sinx f x( ).

Nên đồ thị hàm số y sinx nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

 Hàm số y sinx tuần hoàn với chu kì T o  2 , nghĩa là: sin(x k 2 ) sin   x

Hàm số y sin(ax b ) tuần hoàn với chu kì 2

o T a

2 Hàm số y cos x

 Hàm số ycosx có tập xác định D   ycosf x( ) xác định  f x( ) xác định

 Tập giá trị T   1;1 , nghĩa là:  1 cosx1 Suy ra 0 cosx 1, 0 cos  2x 1

 Hàm số y f x( )  cosx là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

 Hàm số ycosx tuần hoàn với chu kì T o  2 , nghĩa là cos(x k 2 ) cos   x

Hàm số y cos(ax b ) tuần hoàn với chu kì 2

o T a

 Hàm số y f x( )  tanx là hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O

 Hàm số y tanx tuần hoàn với chu kì T o  y tan(ax b ) tuần hoàn với chu kì T o

4 Hàm số y cot x

 Hàm số y cotx có tập xác định là D \k, k , nghĩa là xk; (k )

Suy ra hàm số ycotf x( ) xác định  f x( ) k; (k ).

 Tập giá trị T 

 Hàm số y f x( )  cotx là hàm số lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O

 Hàm số y cotx tuần hoàn với chu kì T o   y cot(ax b ) tuần hoàn với chu kì T o

Bài 93 Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

2

1cos

x y

Bài 94 Tìm tập xác định của các hàm số lượng giác sau:

a)

2 2

sin 2

x y

x y

4

x y

DẠNG 2 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1 Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn: